Стационарное уравнение шредингера для линейного гармонического осциллятора

Стационарное уравнение шредингера для линейного гармонического осциллятора

Аналог классического волнового уравнения был предложен Э. Шредингером в 1925 г. Как и классическое уравнение, уравнение Шредингера связывает производные волновой функции по времени и координате. Уравнение Шредингера описывает поведение любых нерелятивистских систем. На примерах частицы, находящейся в бесконечно глубокой яме, и гармонического осциллятора рассмотрены простейшие квантовые системы, получены дискретные спектры состояний. Возможности описания динамики данных систем ограничены набором квантовых чисел, отражающих универсальные и внутренние симметрии квантовых систем.

4.1. Уравнение Шредингера

В квантовой физике изменение состояния частицы описывается уравнением Шредингера

(4.1)

где – оператор Гамильтона – аналог классической функции Гамильтона

в которой и заменены операторами импульса _x, _y, _z и координаты , , :

х → = х, y → = y, z → = z,

(4.2)

Уравнение Шредингера

Зависящее от времени уравнение Шредингера:

где – гамильтониан системы.

Разделение переменных. Запишем Ψ(,t) = ψ()θ(t), где ψ является функцией координат, а θ – функция времени. Если не зависит от времени, тогда уравнение ψ = iћψ принимает вид θψ = iћψθ или

Левая часть является функцией только координат, а правая не зависит от переменной x. Поэтому обе части последнего уравнения должны быть равны одной и той же постоянной, которую обозначим E

θ(t) = exp(−iEt/ћ), ψ() = Eψ() и Ψ(,t) = ψ()exp(−iEt/ћ).

Уравнение ψ() = Eψ() называют стационарным уравнением Шредингера. Для одномерной системы с массой m в поле с потенциалом U(x) оно принимает вид:

или

Для трехмерной системы с массой m в поле с потенциалом U():

−(ћ 2 /2m)Δψ() + U()ψ() = Eψ(),

где Δ – лапласиан.

Так как уравнение Шредингера является линейным уравнением первого порядка по времени, то с его помощью по заданному значению волновой функции Ψ(x, y, z, 0) в момент времени t = 0 можно найти её значение в произвольный момент времени t − Ψ(x, y, z, t).

Уравнение Шредингера для стационарного состояния, когда потенциальная энергия частицы не зависит от времени, имеет вид

ψ() = Eψ().

(4.3)

Это уравнение называют стационарным уравнением Шредингера.

Так как в стационарном состоянии

Ψ(,t) = ψ()exp(−iEt/ћ)

(4.4)

и вероятность найти частицу в момент t в точке x, y, z пропорциональна |Ψ(,t)|, то она

|ψ(x,y,z)| 2 , т.е. не зависит от времени. Аналогично, вероятность обнаружить значение физической величины, характеризующей систему, также не изменяется со временем, поскольку выражается через квадрат модуля волновой функции.

4.2. Частица в одномерной прямоугольной яме с бесконечными стенками

Потенциальная энергия U(x) в прямоугольной яме удовлетворяет следующим условиям:

(4.5)

Рис.4.1. Прямоугольная яма с бесконечными стенками

Частица находится в области 0 ≤ x ≤ L. Вне этой области ψ(x) = 0. Уравнение Шредингера для частицы, находящейся в области 0 ≤ x ≤ L

(4.6)

Волновая функция, являющаяся решением уравнения (4.9), имеет вид

где k = (2mE/ћ 2 ) 1/2 . Из граничных условий ψ(0) = 0, ψ(L) = 0 и условий непрерывности волновой функции следует

kL = nπ, n = 1, 2, 3, … , то есть внутри потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками устанавливаются стоячие волны, а энергия состояния частиц имеет дискретный спектр значений E_n

n = 1, 2, 3, …

(4.9)

Частица может находиться в каком-то одном из множества дискретных состояний, доступных для неё.
Каждому значению энергии E_n соответствует волновая функция ψ_n(x), которая с учетом условия нормировки

(4.10)

В отличие от классической, квантовая частица в прямоугольной яме не может иметь энергию
E 2 π 2 /(2mL 2 ). Состояния частицы ψ_n в одномерном поле бесконечной потенциальной ямы полнос­тью описывается с помощью одного квантового числа n. Спектр энергий дискретный.

Рис. 4.2. Уровни энергии и волновые функции частицы Ψ в бесконечной прямоугольной яме. Квадрат модуля волновой функции |Ψ| 2 определяет вероятность нахождения частицы в различных точках потенциальной ямы.

4.3. Гармонический осциллятор

Положение уровней частицы в потенциальной яме зависит от вида потенциальной ямы. В одномерной потенциальной яме гармонического осциллятора потенциальная энергия имеет вид

(4.11)

В этом случае одномерное уравнение Шредингера имеет вид

(4.12)

Допустимые значения полной энергии определяются формулой

В отличие от бесконечной прямоугольной ямы, спектр уровней гармонического осциллятора эквидистантный.
С увеличением массы частицы или размеров области ее локализации квантовое описание частицы переходит в классическое.

Частица в одномерной потенциальной яме

Одномерная прямоугольная яма шириной L:

n = 1, 2, …

Одномерный гармонический осциллятор:

E_n = ћω₀(n + 1/2), n = 0, 1, 2,

4.4. Частица в поле с центральной симметрией

В сферических координатах стационарное уравнение Шредингера для частицы в центральном потенциале U(r) имеет вид

(4.14)

Решение уравнения (4.14) записываются в виде произведения радиальной и угловой функций

где радиальная функция R_nl(r) и угловая функция Y_lm(θ,φ), называемая сферической, удовлетворяют уравнениям

2 Ylm(θ,φ) = ћ 2 l(l +1)Ylm(θ,φ)

(4.16)

Ylm(θ,φ) = ћ 2 l(l +1)Ylm(θ,φ)

(4.17)

Уравнение (4.16) определяет возможные собственные значения l и собственные функции Y_lm(θ,φ) оператора квадрата момента 2 . Уравнение (4.17) определяет собственные значения энергии Е и радиальные собственные функции R_nl(r), от которых зависит энергия системы (рис. 4.3).
Схема уровней (последовательность и абсолютные значения энергий) зависит от радиальной функции R_nl(r), которая в свою очередь определяется потенциалом U(r), в котором находится частица.

Рис. 4.3. Радиальное распределение вероятности нахождения электрона в кулоновском поле протона (атом водорода). Расстояния даны в боровских радиусах
r₀ = ћ 2 /m_ee 2 ≈ 0.529·10 8 cм.

существуют лишь при определенных значениях квантовых чисел n (радиальное квантовое число), l (орбитальное квантовое число) и m (магнитное квантовое число).
Возможные энергетические состояния системы (уровни энергии) определяются числами n и l и в случае сферически симметричных состояний не зависят от квантового числа m. Число n может быть только целым:
n = 1, 2, …, ∞. Число l может принимать значения 0, 1, 2, …, ∞.

4.5. Орбитальный момент количества движения

Собственные значения L 2 и L_z являются решением уравнений

2 Y_lm(θ,φ) = L 2 Y_lm(θ,φ) и _zY_lm(θ,φ) = L_zY_lm(θ,φ).

Они имеют следующие дискретные значения

L 2 = ћ 2 l(l + 1), где l = 0, 1, 2, 3, …,
L_z = ћm, где m = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…, ± l.

Для характеристики состояний с различными значениями орбитального момента l обычно используют следующие обозначения:

Спектроскопические названия орбитальных моментов l

Состоянию с l = 0 отвечает сферически симметричная волновая функция. В тех случаях, когда l ≠ 0 волновая функция не имеет сферической симметрии. Симметрия волновой функции определяется симметрией сферических функций Y_lm(θ,φ). Имеет место интересное квантовое явление, когда решение сферически симметричной задачи (потенциал описывает сферически симметричную систему) приводит к состояниям, не обладающим сферической симметрией. Таким образом, симметрия уравнений не обязательно должна отражаться в симметрии каждого отдельно взятого решения этих уравнений, а лишь во всей совокупности этих решений.
Для частицы, находящейся в сферически симметричном потенциале, величина орбитального момента количества движения L:

(4.18)

Обычно, для упрощения, когда говорят о величине орбитального момента количества движения, называют этой величиной квантовое число l, имея в виду, что между l и L имеется однозначная связь (4.18).

Рис. 4.4 Возможные ориентации вектора при квантовом числе l = 2.

Так как величина l может принимать только целочисленные значения 0, 1, 2, 3,…, то и орбитальный момент количества движения L квантуется. Например, для частицы с l = 2 момент количества движения

=
= 6.58·10 -22 √6 МэВ·сек ≈ 2.6·10 — 34 Дж·сек.

Пространственное квантование. Орбитальный момент количества движения является векторной величиной. Так как величина орбитального момента количества движения квантуется, то и направление по отношению к выделенному направлению z, например, к внешнему магнитному полю, также квантуется и принимает дискретные значения Lz = ћm, где m изменяется от +l до –l, т. е. имеет 2l + 1 значений. Например, при l = 2 величина m принимает значения +2, +1, 0, -1, -2 (см. рис. 4.4). Вместе с тем энергия системы не зависит от m, т. е. от направления вектора , что является очевидным следствием сферической симметрии системы.
Состояние частицы, находящейся в сферически симметричном поле, полностью описывается тремя квантовыми числами: n, l и m.
Появление квантовых чисел связано со свойствами симметрии системы. Характер этой симметрии определяет возможные значения квантовых чисел. Очевидно, что система, описываемая функцией e im φ , примет прежнее значение только тогда, когда азимутальный угол φ в результате поворота вокруг оси z примет прежнее значение φ. Этому условию функция e im φ удовлетворяет только в случае, когда величина mφ кратна 2π. Т.е. величина m должна иметь целые значения. Так как необходимо учитывать вращение в двух противоположных направлениях и отсутствие вращения, единственно возможными значениями оказываются m = 0, ±1, ±2, … .

4.6. Спин

Спин − собственный момент количества движения частицы. Между значением вектора спина и квантовым числом спина s выполняется такое же соотношение, как между величиной значением вектора орбитального момента и орбитальным квантовым числом l:

2 = ћ 2 s(s + 1)

(4.19)

В отличие от орбитального квантового числа l, которое может быть лишь целым числом или нулем, спиновое квантовое число s (в дальнейшем просто спин) может быть как целым (включая нуль), так и полуцелым, т. е. s = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, … , но при этом для каждой элементарной частицы спин может принимать единственное присущее этому типу частиц значение. Так, спины π-мезонов и К-мезонов равны 0. Спины электрона, протона, нейтрино, кварков и их античастиц равны 1/2. Спин фотона равен 1. Бозоны составляют класс частиц с целым значением спина, спин фермионов имеет полуцелое значение. Спин частицы невозможно изменить, также как её заряд или массу. Это её неизменная квантовая характеристика.
Как и в случае других квантовых векторов, проекция вектора спина на любое фиксированное направление в пространстве (например, на ось z) может принимать 2s + 1 значение:

s_zћ = ±sћ, ±(s − 1)ћ, ±(s − 2)ћ. ±1/2ћ или 0.

Число s_z − это квантовое число проекции спина. Максимальная величина s_z совпадает с s. Так как спин электрона равен 1/2, то проекция этого спина может принимать лишь два значения s_z = ±1/2. Если проекция +1/2, то говорят, что спин направлен вверх, если проекция -1/2, то говорят, что спин направлен вниз.

4.7. Полный момент количества движения

Полный момент количества движения частицы или системы частиц является векторной суммой орбитального и спинового моментов количества движения.

= + .

Квадрат полного момента имеет значение:

2 = ћ 2 j(j + 1).

Квантовое число полного момента j, соответствующее сумме двух векторов и , может принимать ряд дискретных значений, отличающихся на 1:

j = l + s, l + s −1. |l − s|

Проекция на выделенную ось J_z также принимает дискретные значения:

Число значений проекции J_z равно 2j + 1. Если для и определены единственные значения проекций на ось z l_z и s_z, то j_z также определена однозначно: j_z = l_z + s_z.

4.8. Квантовые числа

Квантовые числа – это целые или дробные числа, которые определяют все возможные значения физической величины, характеризующей различные квантовые системы – атомы, атомные ядра, кварки и другие частицы.

Таблица квантовых чисел

n	Радиальное квантовое число. Определяет число узлов волновой функции и энергию системы. n = 1, 2, …, ∞.
J, j	Полный угловой момент J и его квантовое число j. Последнее никогда не бывает отрицательным и может быть целым или полуцелым в зависимости от свойств рассматриваемой системы. 2 = ћ 2 j(j + 1).
L, l	Орбитальный угловой момент L и его квантовое число l. Интерпретация l такая же, как j, но l может принимать только целые значения, включая нуль: l = 0, 1, 2,…. L 2 = ћ 2 l(l + 1).
m	Магнитное квантовое число. Проекция полного или орбитального углового момента на выделенную ось (обычно ось z) равна mћ. Для полного момента m = ±j, ±(j-1), …, ±1/2 или 0. Для орбитального m = ± l, ± (l-1), …, ±1, 0.
S, s	Спиновый угловой момент S и его квантовое число s. Оно может быть либо положительным целым (включая нуль), либо полуцелым. s – неизменная характеристика частицы опреде­лен­ного типа. S 2 = ћ 2 s(s + 1).
sz	Квантовое число проекции спинового момента частицы на выделенную ось. Эта проекция может принимать значения szћ, где sz = ± s, ± (s -1), …, ±1/2 или 0.
P или π	Пространственная четность. Характеризует поведение системы при пространственной инверсии → — (зеркальном отражении). Полная четность частицы Р = π(-1) l , где π – её внутренняя четность, а (-1) l – её орбитальная четность. Внутренние четности кварков положительные, антикварков — отрицательные.
I	Изоспин. Характеризует свойство зарядовой инвариантности сильных взаимодействий

Для обозначения спинового момента часто используют букву J.

Все состояния, в которых может находиться квантовая система, описываются с помощью полного набора квантовых чисел. Так в случае протона в ядре состояние протона описывается с помощью четырех квантовых чисел, соответствующих четырем степеням свободы – трем пространственным координатам и спину. Это

• Радиальное квантовое число n ( 1, 2, …, ∞),
• Орбитальное квантовое число l (0, 1, 2, …),
• Проекция орбитального момента m (± l, ± (l-1), …, ±1, 0),
• Спин протона s =1/2.

Для описания сферически-симметричных систем в квантовой физике используются различные сферически симметричные потенциалы с различной радиальной зависимостью:

• Кулоновский потенциал U = Q/r,
• Прямоугольная потенциальная яма
• Потенциал типа гармонического осциллятора U = kr 2 ,
• Потенциал Вудса-Саксона (с его помощью описываются внутриядерные взаимодействия):

где U₀, а и R – положительные константы (R – радиус ядра). Во всех случаях сферически симметричные системы можно описать с помощью набора квантовых чисел n, l, j, j_z, однако, в зависимости от радиального вида потенциала энергетический спектр состояний системы будет различным.
Существование сохраняющихся во времени физических величин тесно связано со свойствами симметрии гамильтониана системы. Например, в случае, если квантовая система обладает центральной симметрией U = U(r), то этой системе соответствует сохранение орбитального момента количества движения l и одной из его проекций m. При этом из-за сферической симметрии задачи энергия состояний не будет зависеть от величины m, т. е. состояния будут вырожденными по m.
Наряду с пространственными симметриями, связанными с непрерывными преобразованиями, в квантовой физике существуют и другие симметрии – дискретные. Одной из них является зеркальная симметрия волновой функции относительно инверсии координат (→ —). Оператору инверсии соответствует квантовое число четность, которое может принимать два значения +1 и -1 в зависимости от того, сохраняется ли знак волновой функции при инверсии или меняется на противоположный.
Система тождественных частиц характеризуется еще одной симметрией – симметрией относительно перестановок тождественных частиц. Эта симметрия определяется свойствами частиц, образующих систему. Системы частиц с целым спином (бозонов) описываются симметричными волновыми функциями, системы частиц с полуцелым спином (фермионов) − антисимметричными волновыми функциями.

Задачи

4.1. Вычислите допустимые уровни энергии электрона, находящегося в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной 10 -8 см, протона, находящегося в потенциальной яме 5 Фм, и шарика массой 1 г, находящегося в потенциальной яме 1 см.

4.2. Рассчитать энергию перехода между состояниями 1s и 2s в атоме водорода.

4.3. Найти значение полного момента j для протона в d-состоянии. Каким будет результат измерения полного момента протона в состоянии 1d_5/2?

4.4. Найти полный момент (квантовое число j) системы двух нуклонов в s‑состоянии (l = 0).

4.5. Какие значения может иметь полный момент системы j, если
А. Нейтрон и протон находятся в состояниях с |l,s:j>_n = |1, 1 /₂: 3 /₂>, |l,s:j>_p = |1, 1 /₂: 3 /₂>?
Б. Два нейтрона находятся в состояниях с |l,s:j>₁ = |1, 1 /₂: 3 /₂> и |l,s:j>₂ = |1, 1 /₂: 3 /₂>?

4.6. А) Нейтрон находится в p-состоянии. Найти значения полного момента j и возможные значения проекции момента j_z. Каким будет результат измерения орбитального момента частицы в этом состоянии? Б) Рассмотрите задачу А) для протона в d-состоянии.
Ответ: А) j = 3/2, 1/2; j_z = ±3/2, ±1/2; L = ћ√ l(l +1) = √ 2 ћ;
Б) j = 5/2, 3/2; j_z = ±5/2, ±3/2, ±1/2; L = ћ√ l(l +1) = √ 6 ћ

4.7. А) Частица с собственным моментом s = 3/2 находится в состоянии с орбитальным моментом
l = 2. Найти полный момент частицы j.
Б) Частица с собственным моментом s = 1/2 находится в состоянии с орбитальным моментом
l = 3. Определите полный момент частицы j
Ответ: А) j = 7/2 ÷ 1/2; Б) j = 7/2, 5/2

4.8. Протон и нейтрон находятся в состоянии с относительным орбитальным моментом L = 1. Найти полный момент системы J.
Ответ: J = 0, 1, 2

4.9. На оболочке с квантовым числом n = 1, l = 2 находятся протон и нейтрон. Определить их суммарный полный момент J и его проекцию J_z. Изменится ли результат, если на оболочке n = 1,
l = 2 будут находиться два нейтрона?

4.10. Почему возникают вырожденные состояния?

4.11. Написать оператор Гамильтона электронов в атоме He.

4.12. Напишите стационарное уравнение Шредингера в сферической системе координат.

4.13. Какие квантовые числа характеризуют частицу в центрально-симметричной потенциальной яме?

4.14. Покажите, что волновые функции ψ = Aexp(kx −ωt) и ψ = Asin(kx −ωt) не удовлетворяют зависящему от времени уравнению Шредингера.

4.15. Покажите, что волновые функции ψ = Ae i(kx −ωt) и ψ = A(cos(kx −ωt) − sin(kx −ωt))удовлетворяют зависящему от времени уравнению Шредингера.

4.16. Частица находится в низшем состоянии n = 1 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L.
А) Рассчитайте вероятность обнаружить частицу в интервале Δx = 0.001L при x = 1 /₂L, x = 2 /₃L, x = L.
Б) Рассмотрите случай, когда частица находится в состоянии n = 2 при тех же значениях x.
Ответ: А) P(L/2) = 0.002; P(2L/3) = 0.0015; P(L) = 0; Б) P(L/2) = 0; P(2L/3) = 0.0015; P(L) = 0

4.17. Частица находится в состоянии n = 2 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L. Рассчитайте вероятность обнаружить частицу в интервале ( 1 /₃L, 2 /₃L).
Ответ: P(L/3, 2L/3) = 0.2

4.18. Электрон находится всостонии n = 5 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L. Рассчитайте вероятность обнаружить электрон в области x от 0.2L до 0.5L.
Ответ: P(0.2L, 0.5L) = 0.3

4.19. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Рассчитайте ширину потенциальной ямы, если энергия состояния n = 1 равна 0.1 эВ.
Ответ: L = 1.9 нм

4.20. Рассчитайте средние значения и 2 > для состояний n = 1, 2, 3 в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме.

4.21. Что общего и в чем различие в описании атома водорода в теории Шредингера и в модели Бора?

4.22. Почему энергии атома водорода в теории Шредингера не зависят от орбитального квантового числа l?

4.23. Угловой момент характеризуется квантовым числом l = 3. Какие значения могут принимать L_z и L 2 ?
Ответ: L_z = -3ћ, -2ћ. 3ћ; L 2 = 12ћ 2

4.24. Угловой момент характеризуется квантовым числом l = 3. Какие значения могут принимать L_z и L 2 ?

Квантовый гармонический осциллятор

Конспект лекции (с демонстрациями)

Аннотация: изучение качественной стороны решения уравнения Шредингера для гармонического осциллятора, выяснение отличий получаемых результатов от выводов классической механики. (Традиционное изложение темы, дополненное демонстрациями на компьютерных моделях.)

Одна из важных задач о движении микрочастиц – это задача о движении гармонического осциллятора — системе, способной совершать гармонические колебания. История квантовой теории реально начинается с Макса Планка, который в 1900 г. получил формулу для правильного описания спектрального распределения теплового излучения. Планк пришел к выводу, что не может обеспечить вывод своей магической формулы для распределения излучения, если только не сделать предположения, которое с философской точки зрения он считал почти неприемлемым. Это предположение заключалось в том, что рассматриваемые им в качестве излучателей гармонические осцилляторы должны обладать энергиями, не распределенными как непрерывные переменные (чего следовало бы ожидать), а принимающими дискретные и регулярным образом расположенные значения. Осцилляторы с частотой υ должны были обладать значениями энергии, которые были бы кратны, т.е. n раз умножены (где n = 0,1, 2,3. ) на нечто, названное им квантом энергии hυ.

Рассмотрим одномерный случай. (Трехмерные задачи сложны в математическом отношении, а практически все принципиальные особенности движения микрочастиц можно выявить и на одномерных задачах.) Изменение потенциальной энергии по оси x описывается формулой

Какие примеры движения окружающего мира хотя бы приближенно описываются такой потенциальной функцией?

• Колебания маятника с малой амплитудой.
• Другой пример – вертикальные колебания грузика, подвешенного на пружине.

В мире микрочастиц примерами могут быть колебания двухатомной молекулы или колебания атомов в кристаллах. Существенным для всех примеров является ограничение движения некоторой областью значений x. Частица не может покинуть параболическую потенциальную яму, края которой уходят на бесконечность.

Из классической механики известно, что проекция движения частицы на ось x представляет собой синусоидальное колебание около положения равновесия x = 0 с частотой:

Точки a₀ и -a₀, в которых полная энергия частицы E равна потенциальной энергии, являются для частицы точками поворота. Плотность вероятности обнаружения колеблющейся частицы в различных точках оси x описывается формулой

Минимальна вероятность найти частицу около положения равновесия, где она движется с максимальной скоростью. Вблизи точек поворота частица как бы «зависает», и там вероятность обнаружения максимальна.

Оценка минимальной энергии осциллятора

Посмотрим, к каким выводам о характере движения приводит квантовая механика. Начнем с простой оценки минимального значения энергии осциллятора E. Полная энергия осциллятора E складывается из кинетической и потенциальной энергий:

Используя соотношение неопределенности Гейзенберга, в качестве оценки значения импульса p возьмем p

Для малых значений x кинетическая энергия превышает потенциальную, тогда как при больших значениях x имеет место обратное соотношение между ними. Для основного состояния, где энергия минимальна, найдем минимум функции (2). Значение переменной x_min, соответствующее минимуму, равно:

а соответствующее значение энергии E имеет порядок

Заметим, что оценка энергии основного состояния дает ненулевое(!) значение. Уже простые вычисления приводят к нетривиальному результату.

Решения уравнения Шредингера

Нахождение точного решения требует решения уравнения Шредингера с потенциальной энергией (1), которое имеет вид

Трудности решения связаны со слагаемым, содержащим x 2 . Приведем здесь только результаты вычислений. Анализ показывает, что, как и в случае с прямоугольной потенциальной ямой, волновые функции, являющиеся решением этого уравнения, будут непрерывными и конечными не при всех значениях энергии E, а лишь при дискретном наборе значений:

где n принимает значения 0, 1, 2, . . Отметим, что энергетические уровни гармонического осциллятора в отличие от случая прямоугольной потенциальной ямы расположены на одинаковом энергетическом расстоянии друг от друга ΔE = hυ.

Важной особенностью решения является наличие так называемых нулевых колебаний — колебаний с энергией, соответствующих значению квантового числа n = 0. Отличие от нуля минимальной энергии осциллятора характерно для всех квантовых систем и является следствием соотношения неопределенностей (см. оценку выше). В реальных квантовых системах, например, кристаллах, эти колебания сохраняются, как показывает опыт, даже при температурах, близких к абсолютному нулю, когда, казалось бы, все тепловое движение должно прекратиться. Опыты по рассеянию света кристаллами при низких температурах это подтверждают. Велика роль нулевых колебаний и в объяснении природы сил молекулярных взаимодействий (пример ниже) и других молекулярных явлений.

Первые три волновых функции гармонического осциллятора выглядят так:

Здесь введено обозначение x₀ 2 = h/(4π 2 mυ).

Графики этих волновых функций представлены на рисунке ниже.

Пунктиром показаны границы, между которыми совершала бы колебания классическая частица. Значения a₀ отличаются для разных n, так как от n зависит энергия Е (

E 1/2 ). Очевидно, что при малых значениях квантового числа n плотность вероятности нахождения частицы, определяемая квадратом модуля волновой функции ψ₀(x) 2 , кардинальным образом отличается от плотности вероятности обнаружения классического осциллятора: в основном состоянии максимальное значение вероятности приходится на центр, модуль волновой функции для всех квантовых чисел n имеет наибольшие значения между классическими точками поворота и экспоненциально убывающие «хвосты» вне этих точек.

Определим для основного состояния, как велика вероятность P обнаружения частицы вне пределов классической области, т.е. вне области -a₀ Компьютерная модель

Компьютерная модель поможет Вам в исследовании квантового осциллятора. Ее возможности: после того, как Вы зададите порядковый номер атомов Z, из которых состоит молекула (по умолчанию Z=8), компьютер проведет необходимые расчеты и будет готов показать разрешенные значения энергии, соответствующие им волновые функции и распределения плотности вероятности нахождения частицы по координате. Двигайте указатель вдоль оси энергий (мышкой или клавишами со стрелками) и наблюдайте.

• как плотность уровней зависит от массы атомов;
• как энергия частицы зависит от квантового числа n;
• как вероятность обнаружить частицу зависит от x; убедитесь в том, что амплитуда колебаний частицы увеличивается с ростом ее энергии;
• как вероятность обнаружения частицы вне классической области зависит от квантового числа n. Для этого на нижнем графике установите крестик в начало области интегрирования, нажмите клавишу «Enter» и передвиньте крестик в конечную точку. Компьютер рассчитает площадь под кривой, равную вероятности обнаружить частицу в выбранном Вами диапазоне координат;

Смешение состояний (принцип суперпозиции)

Реальные объекты (атомы в молекуле, кристалле. ) редко находятся в основном состоянии. За счет, например, теплового возбуждения реальны состояния с квантовым числом n > 0. Одно из важнейших положений квантовой механики — принцип суперпозиции. Он гласит: если квантовая частица может находиться в состояниях, описываемых функциями Ψ₁, Ψ₂, . Ψ_n, то линейная комбинация (суперпозиция) волновых функций Ψ_i

где с_i — произвольные постоянные, также является волновой функцией, описывающей одно из возможных состояний частицы. Коэффициенты с_i изменяются во времени. Принцип неопределенности ΔtΔE>h/2π не позволяет определить зависимость от времени этих коэффициентов для конкретного осциллятора (можно, однако, получить средние значения для большого количества осцилляторов).

Для гармонического осциллятора интересен набор состояний, который минимизирует соотношение неопределенности «координата — импульс», т.е. произведение ΔpΔx=h/2π. Впервые он был построен Шредингером в 1926 г. Волновая функция Ψ(x,t) может быть разложена по волновым функциям стационарных состояний осциллятора

Коэффициенты этого разложения

Вероятность осциллятору находиться в состоянии с квантовым числом n равна

т.е. дается распределением Пуассона. Волновая функция Ψ(x,t) представляет нерасплывающийся волновой пакет. Центр пакета движется по классическому закону, ширина пакета не зависит от времени.

Эти состояния называют когерентными, так как они используются для описания когерентных свойств электромагнитного излучения в квантовой теории поля (R. Glauber, Нобелевская премия 2005 года; текст нобелевской лекции, 269 кб). Можно показать, что свободное электромагнитное поле эквивалентно бесконечному набору независимых гармонических осцилляторов.

Со свойствами когерентных состояния гармонического осциллятора можно познакомиться поближе с помощью компьютерной модели (автор L. Kocbach).

Вычисление средних значений

С помощью волновых функций можно найти среднее значение любой величины (если ее можно в принципе измерить экспериментально). Величина |ψ(x)| 2 dx — вероятность нахождения частицы в интервале dx. В случае многократных наблюдений за частицей |ψ(x)| 2 dx — доля частиц, которые находились в этом интервале, т.е. |ψ(x)| 2 является функцией распределения по координате. С ее помощью найдем, что среднее значение координаты

Аналогичным образом находится среднее значение любой функции координаты, например, для потенциальной энергии имеем

В этих формулах, чтобы вычислить среднее значение, мы умножаем значение функции в точке x на вероятность нахождения частицы около x и суммируем по всем возможным значениям x. В качестве примера найдем эти величины для основного состояния гармонического осциллятора

т.к. под интегралом нечетная функция, и

Среднее значение потенциальной энергии равно половине полной энергии этого состояния.

Правило для вычисления средней кинетической энергии отличается от приведенного, т.к. кинетическая энергия является функцией импульса p, а не координаты x:

Для основного состояния гармонического осциллятора

т.е. мы показали, что для основного состояния гармонического осциллятора средние значения потенциальной энергии и кинетической энергии равны между собой и составляют половину полной энергии осциллятора. Можно показать, что это утверждение будет справедливым и для любого другого состояния квантового гармонического осциллятора. Среднее значение потенциальной энергии увеличивается с ростом n, так как при больших значениях n функция ψ(x) заметно отлична от нуля в тех областях оси х, где потенциал U(x) увеличивается. Обратите на это внимание при экспериментах с компьютерной моделью .

Энергия излучения при переходе из одного состояния в другое равна

Набор равноотстоящих энергетических уровней гармонического осциллятора (3) на первый взгляд означает, что осциллятор может поглощать и испускать излучение с частотой, кратной υ, т.е. kυ , где k — разность квантовых чисел начального и конечного уровней осциллятора. Однако, на самом деле это не так. Точный анализ показывает, что если

где n и m квантовые числа начального и конечного состояний, среднее значение координаты не меняется во времени, и такие переходы запрещены.

Проверим выполнение этого условия для гармонического осциллятора. Пусть n=1, а m=0. Опуская постоянные, для интеграла получим выражение

т.к. под интегралом четная функция. Если положить n=2, m=1,

по той же причине. Переходы между соседними уровнями 0↔1 и 1↔2 являются разрешенными. Рассмотрим теперь переход между состояниями n=0 и m=2. Соответствующий интеграл имеет вид

поскольку функция под интегралом нечетная, а пределы симметричны относительно x=0. Следовательно, переходы 0↔2 запрещены. Особенности испускания и поглощения электромагнитного излучения гармоническим осциллятором таковы, что возможны переходы только между соседними уровнями Δn = ± 1. Это правило отбора для гармонического осциллятора.

Трехмерный гармонический осциллятор

В общем случае потенциальная энергия выражается суммой

Уравнение Шредингера допускает разделение переменных. Если решение искать в виде ψ(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z), получается три дифференциальных уравнения, совпадающих по виду с одномерным. Для изотропного случая (k_x =k_y =k_z = k) значения энергии таковы

где квантовые числа n₁, n₂ и n₃ пробегают значения от 0 до бесконечности. Как и в одномерной задаче, налицо дискретность значений энергии, не равная нулю нулевая энергия. Но в трехмерном случае решение определяется тремя квантовыми числами. И особенность: одно и то же значение энергии могут иметь различные состояния, для которых выполнено условие n₁+n₂+n₃ = const. Такие состояния называют вырожденными.

Взаимодействие двух осцилляторов

Существование нулевой энергии (формула (3) при n = 0) сыграло важную роль для объяснения такого загадочного явления, как межатомное взаимодействие у благородных газов. Так как это взаимодействие проявляется в уравнении состояния Ван-дер-Ваальса для реальных газов

оно названо ван-дер-ваальсовским. Если молекулы (атомы) обладают дипольным моментом, то их притяжение обусловлено взаимодействием диполей (качественно и количественно исследованный факт). Но нейтральные молекулы с симметричным в состоянии покоя распределением заряда могут взаимодействовать только при смещении зарядов, вызывающем появление дипольного момента. Такое смещение возникает при не исчезающих ни при каких условиях нулевых колебаний с энергией hυ/2. Появление дипольного момента у одной молекулы индуцирует дипольный момент в другой. Взаимодействие этих быстро меняющихся моментов и обуславливает притяжение.

В качестве простой модели рассмотрим два линейных осциллятора, расположенных на расстоянии R друг от друга и колеблющихся вдоль соединяющей их прямой. Положительные заряды будем считать неподвижными, x₁ и x₂ — смещение отрицательных частиц (электронов) от положения равновесия.

В отсутствии второго (или при очень большом R) потенциальная энергия каждого осциллятора может быть рассчитана по формуле (1), а частоту колебаний обозначим через υ₀

Энергия взаимодействия двух диполей по закону Кулона равна

Первые два слагаемых описывают отталкивание одноименных зарядов разных диполей, а вторые два — притяжение. Всегда R >> x₁ и R >> x₂. Поэтому разложим дроби в ряды и, удерживая по три члена разложения, получим

Полная энергия двух взаимодействующих осцилляторов равна (здесь p — импульс электрона)

выражение для полной энергии приводится к виду

представляющему сумму энергий двух независимых осцилляторов с несколько отличающимися частотами

Как мы видели, энергия этих осцилляторов имеет квантованные значения (см. (3) выше) и, следовательно, полная энергия нашей системы будет

а для основного состояния (n₁ = 0 и n₂ = 0)

Теперь надо учесть, что вторые слагаемые под корнями много меньше первых (связь электрона со своим ядром гораздо сильнее связи осцилляторов). Корни квадратные разложим в степенные ряды и ограничимся тремя членами в разложении. Это даст

Последнее выражение равно удвоенной энергии изолированного осциллятора минус небольшая энергия. Поскольку добавка отрицательна, полная энергия взаимодействующих осцилляторов меньше энергии изолированных, для разрыва связи нужно энергию затратить! И, заметим, энергия связи очень быстро убывает с расстоянием

Не было бы нулевых колебаний (чисто квантового эффекта), не существовало бы и связи молекул в основном состоянии.

Ангармонический осциллятор

Гармонический осциллятор — идеализация. Реальные зависимости U(x) выглядят как на рисунке справа. Парабола (штриховая кривая) является хорошим приближением только для малых колебаний вблизи положения равновесия. Для колебаний большой амплитуды формула (3) непригодна, интервалы между верхними уровнями энергии и нижними не одинаковы. Для верхних уровней энергии E_n потенциальная яма шире параболы, и поэтому интервалы между этими уровнями меньше интервалов между нижними уровнями.

Подведем итоги:

• энергия основного состояния частицы не равна нулю;
• энергия частицы квантована, и значение ее растет линейно с n;
• вероятность обнаружить частицу меняется от точки к точке;
• в трехмерном случае различным состояниям может соответствовать одно и то же значение энергии (вырождение);
• нулевые колебания объясняют происхождение сил притяжения между атомами инертных газов;
• для ангармонического осциллятора уровни не эквидистантны и правило отбора Δn = ± 1 нарушается;
• если значение квантового числа n устремить к бесконечности, решение переходит в классическое.

Если возникли какие-либо вопросы, напишите мне.

Стационарное уравнение Шредингера. Гармонический осциллятор.

Запишем выражение для собственных векторов оператора энергии – Гамильтониана. Действие оператора Гамильтона на собственный вектор сводится к умножению его на число – собственное значение.

Согласно постулату, собственные значения оператора — это единственно возможные величины, которые мы можем получить при измерении величины, соответствующей этому оператору. В случае Гамильтониана собственные значениями являются энергии, которыми может обладать система.

Оператор энергии равен сумме кинетической и потенциальной энергий. Мы записали кинетическую энергию через импульс. Подставим координатное представление оператора импульса и запишем потенциальную энергию как функцию координаты х.

Выражение для собственных векторов и значений тогда примет следующий вид. Мы заменили вектор состояния его координатным представлением — волновой функцией. Данное уравнение называется стационарным уравнением Шредингера. Или независящим от времени уравнением Шредингера. Именно это уравнение Шредингер и получил в 1926 году. Современную версию, содержащую время, записал Дирак. Но под уравнением Дирака сейчас подразумевают его знаменитое релятивистское уравнение, а нерелятивистскую версию также называют уравнением Шредингера.

Итак, задача нахождения энергетического спектра системы свелась к заданию функции потенциальной энергии и поиску решений стационарного уравнения Шредингера.

Никому кроме Шредингера не нравится решать дифференциальные уравнения, поэтому мы лучше непосредственно найдем собственные векторы и значения оператора Гамильтона на компьютере. Все математические пакеты умеют находить собственные векторы и значения матриц.

Нам надо дискретизировать оператор взятия второй производной, то есть представить его в виде большой, но конечной квадратной матрицы. Следующая матрица как раз является аппроксимацией второй производной. Если представить, что она умножается на вектор-столбец, то любой i-й элемент получившегося вектор-столбца равен следующему выражению. Но это как раз конечноразностная аппроксимация второй производной. То есть получившийся вектор-столбец является второй производной от исходной функции – первого вектор-столбца.

Итак, чтобы получить оператор кинетической энергии достаточно умножить эту матрицу на -1/2m. Потенциальная энергия — это просто числовая функция, поэтому ее оператор представляется диагональной квадратной матрицей. Прибавляя ее к матрице оператора кинетической энергии изменяются только диагональные элементы.

Мы получили матрицу, аппроксимирующую одномерный оператор Гамильтона. Осталось только выбрать конкретный вид потенциала и найти ее собственные векторы и значения на компьютере.

Выберем квадратичный потенциал. Такая система называется гармоническим осциллятором. В классической механике это маятник или пружина. То есть моделируются колебания. Сила равна минус производной от потенциальной энергии, то есть в нашем случае -2kx. То есть она направлена в противоположную сторону (возвращающая) и увеличивается с ростом x. Колебательные системы обладают такими характеристиками: как раз пружина или маятник. Но в квантовой механике силы фактически не используются. Как мы видим вместо них в уравнении Шредингера появляется потенциал.

Для нахождения собственных векторов и значений воспользуемся матлабом. Большую часть из 20 строчек кода занимает формирование матрицы Гамильтониана и вывод результата в виде графиков. Само нахождение собственных векторов и значений выполняется одной командой eig.

Программа выводит на графике сам вид потенциала (красным) и собственные значения, показанные горизонтальными линиями. Мы видим, что энергетический спектр гармонического осциллятора оказывается дискретным. Мы наблюдаем эффект квантования. Согласно постулату, при измерении энергии гармонического осциллятора мы не можем получить никакие промежуточные значения. Только одно из получившихся собственных значений оператора энергии.

Расстояния между энергетическими уровнями оказались одинаковыми. Это свойство гармонического осциллятора, то есть потенциала вида x 2 . Другие виды потенциальной функции приводят к другим спектрам.

Но каждому собственному значению соответствует собственный вектор. Согласно постулату, при измерении вектор состояния коллапсирует в собственный вектор, соответствующий измеренному собственному значению.

Матлаб сразу нашел нам и все собственные векторы. Вот так выглядит первый собственный вектор. Вот второй. Вот третий. Вот десятый. Теперь понятно почему вектор состояния в координатном базисе исторически получил название волновая функция. Для простейших систем собственные векторы имеют вид стоячих волн.

Однако следует помнить, что вектор состояния и волновая функция ненаблюдаемы в принципе. И они могут быть комплекснозначными. Физический смысл имеет только квадрат абсолютного значения, да и то только в терминах вероятности.

График квадрата абсолютного значения первого вектора в нашем случае выглядит также. Вот график для второго. И третьего. Вероятности не могут быть отрицательными. Видим, что вероятность обнаружить частицу локализована в небольшой области и стремится к нулю в пределах +- бесконечность. Частица стремится минимизировать свою энергию и поэтому локализована вблизи минимума потенциала, но вероятность обнаружить ее осциллирует в этой области. Появляется что-то вроде интерференционных максимумов и минимумов. При увеличении энергетического уровня, область где можно обнаружить частицу расширяется, но все равно симметрична относительно минимума потенциальной энергии.

Заметьте также, что число ноль не входит в список собственных значений гармонического осциллятора, а значит при измерении мы никогда не получим нулевую энергию. Квантовомеханический маятник не может не колебаться. Классические представления, что при нуле градусов Кельвина все колебания атомов и молекул останавливаются, неверны в квантовом случае.

Аналогичная ситуация возникает в квантовой теории поля, когда даже у вакуума, где вроде бы ничего нет, оказывается ненулевая энергия. Она известна как темная энергия. Интересно, что ее вычисленная теоретическая величина больше экспериментально измеренной на 120 порядков.

Однако не следует рассматривать данный факт как экспериментальное опровержение самой квантовой механики. Можно считать квантовую механику неким фреймворком, на основе которого строятся более детальные теории. Результат лишь наводит на мысль, что квантовая теория поля не учитывает какие-то эффекты, критичные для расчета величины темной энергии, или темная энергия не то же самое, что энергия вакуума, или сама квантовая теория поля является всего лишь приближением. Так же как гармонический осциллятор всего лишь идеальный математический маятник, не обязанный описывать все свойства реального маятника.