Стационарное уравнение шредингера и его решение

Стационарное уравнение шредингера и его решение

Аналог классического волнового уравнения был предложен Э. Шредингером в 1925 г. Как и классическое уравнение, уравнение Шредингера связывает производные волновой функции по времени и координате. Уравнение Шредингера описывает поведение любых нерелятивистских систем. На примерах частицы, находящейся в бесконечно глубокой яме, и гармонического осциллятора рассмотрены простейшие квантовые системы, получены дискретные спектры состояний. Возможности описания динамики данных систем ограничены набором квантовых чисел, отражающих универсальные и внутренние симметрии квантовых систем.

4.1. Уравнение Шредингера

В квантовой физике изменение состояния частицы описывается уравнением Шредингера

(4.1)

где – оператор Гамильтона – аналог классической функции Гамильтона

в которой и заменены операторами импульса _x, _y, _z и координаты , , :

х → = х, y → = y, z → = z,

(4.2)

Уравнение Шредингера

Зависящее от времени уравнение Шредингера:

где – гамильтониан системы.

Разделение переменных. Запишем Ψ(,t) = ψ()θ(t), где ψ является функцией координат, а θ – функция времени. Если не зависит от времени, тогда уравнение ψ = iћψ принимает вид θψ = iћψθ или

Левая часть является функцией только координат, а правая не зависит от переменной x. Поэтому обе части последнего уравнения должны быть равны одной и той же постоянной, которую обозначим E

θ(t) = exp(−iEt/ћ), ψ() = Eψ() и Ψ(,t) = ψ()exp(−iEt/ћ).

Уравнение ψ() = Eψ() называют стационарным уравнением Шредингера. Для одномерной системы с массой m в поле с потенциалом U(x) оно принимает вид:

или

Для трехмерной системы с массой m в поле с потенциалом U():

−(ћ 2 /2m)Δψ() + U()ψ() = Eψ(),

где Δ – лапласиан.

Так как уравнение Шредингера является линейным уравнением первого порядка по времени, то с его помощью по заданному значению волновой функции Ψ(x, y, z, 0) в момент времени t = 0 можно найти её значение в произвольный момент времени t − Ψ(x, y, z, t).

Уравнение Шредингера для стационарного состояния, когда потенциальная энергия частицы не зависит от времени, имеет вид

ψ() = Eψ().

(4.3)

Это уравнение называют стационарным уравнением Шредингера.

Так как в стационарном состоянии

Ψ(,t) = ψ()exp(−iEt/ћ)

(4.4)

и вероятность найти частицу в момент t в точке x, y, z пропорциональна |Ψ(,t)|, то она

|ψ(x,y,z)| 2 , т.е. не зависит от времени. Аналогично, вероятность обнаружить значение физической величины, характеризующей систему, также не изменяется со временем, поскольку выражается через квадрат модуля волновой функции.

4.2. Частица в одномерной прямоугольной яме с бесконечными стенками

Потенциальная энергия U(x) в прямоугольной яме удовлетворяет следующим условиям:

(4.5)

Рис.4.1. Прямоугольная яма с бесконечными стенками

Частица находится в области 0 ≤ x ≤ L. Вне этой области ψ(x) = 0. Уравнение Шредингера для частицы, находящейся в области 0 ≤ x ≤ L

(4.6)

Волновая функция, являющаяся решением уравнения (4.9), имеет вид

где k = (2mE/ћ 2 ) 1/2 . Из граничных условий ψ(0) = 0, ψ(L) = 0 и условий непрерывности волновой функции следует

kL = nπ, n = 1, 2, 3, … , то есть внутри потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками устанавливаются стоячие волны, а энергия состояния частиц имеет дискретный спектр значений E_n

n = 1, 2, 3, …

(4.9)

Частица может находиться в каком-то одном из множества дискретных состояний, доступных для неё.
Каждому значению энергии E_n соответствует волновая функция ψ_n(x), которая с учетом условия нормировки

(4.10)

В отличие от классической, квантовая частица в прямоугольной яме не может иметь энергию
E 2 π 2 /(2mL 2 ). Состояния частицы ψ_n в одномерном поле бесконечной потенциальной ямы полнос­тью описывается с помощью одного квантового числа n. Спектр энергий дискретный.

Рис. 4.2. Уровни энергии и волновые функции частицы Ψ в бесконечной прямоугольной яме. Квадрат модуля волновой функции |Ψ| 2 определяет вероятность нахождения частицы в различных точках потенциальной ямы.

4.3. Гармонический осциллятор

Положение уровней частицы в потенциальной яме зависит от вида потенциальной ямы. В одномерной потенциальной яме гармонического осциллятора потенциальная энергия имеет вид

(4.11)

В этом случае одномерное уравнение Шредингера имеет вид

(4.12)

Допустимые значения полной энергии определяются формулой

В отличие от бесконечной прямоугольной ямы, спектр уровней гармонического осциллятора эквидистантный.
С увеличением массы частицы или размеров области ее локализации квантовое описание частицы переходит в классическое.

Частица в одномерной потенциальной яме

Одномерная прямоугольная яма шириной L:

n = 1, 2, …

Одномерный гармонический осциллятор:

E_n = ћω₀(n + 1/2), n = 0, 1, 2,

4.4. Частица в поле с центральной симметрией

В сферических координатах стационарное уравнение Шредингера для частицы в центральном потенциале U(r) имеет вид

(4.14)

Решение уравнения (4.14) записываются в виде произведения радиальной и угловой функций

где радиальная функция R_nl(r) и угловая функция Y_lm(θ,φ), называемая сферической, удовлетворяют уравнениям

2 Ylm(θ,φ) = ћ 2 l(l +1)Ylm(θ,φ)

(4.16)

Ylm(θ,φ) = ћ 2 l(l +1)Ylm(θ,φ)

(4.17)

Уравнение (4.16) определяет возможные собственные значения l и собственные функции Y_lm(θ,φ) оператора квадрата момента 2 . Уравнение (4.17) определяет собственные значения энергии Е и радиальные собственные функции R_nl(r), от которых зависит энергия системы (рис. 4.3).
Схема уровней (последовательность и абсолютные значения энергий) зависит от радиальной функции R_nl(r), которая в свою очередь определяется потенциалом U(r), в котором находится частица.

Рис. 4.3. Радиальное распределение вероятности нахождения электрона в кулоновском поле протона (атом водорода). Расстояния даны в боровских радиусах
r₀ = ћ 2 /m_ee 2 ≈ 0.529·10 8 cм.

существуют лишь при определенных значениях квантовых чисел n (радиальное квантовое число), l (орбитальное квантовое число) и m (магнитное квантовое число).
Возможные энергетические состояния системы (уровни энергии) определяются числами n и l и в случае сферически симметричных состояний не зависят от квантового числа m. Число n может быть только целым:
n = 1, 2, …, ∞. Число l может принимать значения 0, 1, 2, …, ∞.

4.5. Орбитальный момент количества движения

Собственные значения L 2 и L_z являются решением уравнений

2 Y_lm(θ,φ) = L 2 Y_lm(θ,φ) и _zY_lm(θ,φ) = L_zY_lm(θ,φ).

Они имеют следующие дискретные значения

L 2 = ћ 2 l(l + 1), где l = 0, 1, 2, 3, …,
L_z = ћm, где m = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…, ± l.

Для характеристики состояний с различными значениями орбитального момента l обычно используют следующие обозначения:

Спектроскопические названия орбитальных моментов l

Состоянию с l = 0 отвечает сферически симметричная волновая функция. В тех случаях, когда l ≠ 0 волновая функция не имеет сферической симметрии. Симметрия волновой функции определяется симметрией сферических функций Y_lm(θ,φ). Имеет место интересное квантовое явление, когда решение сферически симметричной задачи (потенциал описывает сферически симметричную систему) приводит к состояниям, не обладающим сферической симметрией. Таким образом, симметрия уравнений не обязательно должна отражаться в симметрии каждого отдельно взятого решения этих уравнений, а лишь во всей совокупности этих решений.
Для частицы, находящейся в сферически симметричном потенциале, величина орбитального момента количества движения L:

(4.18)

Обычно, для упрощения, когда говорят о величине орбитального момента количества движения, называют этой величиной квантовое число l, имея в виду, что между l и L имеется однозначная связь (4.18).

Рис. 4.4 Возможные ориентации вектора при квантовом числе l = 2.

Так как величина l может принимать только целочисленные значения 0, 1, 2, 3,…, то и орбитальный момент количества движения L квантуется. Например, для частицы с l = 2 момент количества движения

=
= 6.58·10 -22 √6 МэВ·сек ≈ 2.6·10 — 34 Дж·сек.

Пространственное квантование. Орбитальный момент количества движения является векторной величиной. Так как величина орбитального момента количества движения квантуется, то и направление по отношению к выделенному направлению z, например, к внешнему магнитному полю, также квантуется и принимает дискретные значения Lz = ћm, где m изменяется от +l до –l, т. е. имеет 2l + 1 значений. Например, при l = 2 величина m принимает значения +2, +1, 0, -1, -2 (см. рис. 4.4). Вместе с тем энергия системы не зависит от m, т. е. от направления вектора , что является очевидным следствием сферической симметрии системы.
Состояние частицы, находящейся в сферически симметричном поле, полностью описывается тремя квантовыми числами: n, l и m.
Появление квантовых чисел связано со свойствами симметрии системы. Характер этой симметрии определяет возможные значения квантовых чисел. Очевидно, что система, описываемая функцией e im φ , примет прежнее значение только тогда, когда азимутальный угол φ в результате поворота вокруг оси z примет прежнее значение φ. Этому условию функция e im φ удовлетворяет только в случае, когда величина mφ кратна 2π. Т.е. величина m должна иметь целые значения. Так как необходимо учитывать вращение в двух противоположных направлениях и отсутствие вращения, единственно возможными значениями оказываются m = 0, ±1, ±2, … .

4.6. Спин

Спин − собственный момент количества движения частицы. Между значением вектора спина и квантовым числом спина s выполняется такое же соотношение, как между величиной значением вектора орбитального момента и орбитальным квантовым числом l:

2 = ћ 2 s(s + 1)

(4.19)

В отличие от орбитального квантового числа l, которое может быть лишь целым числом или нулем, спиновое квантовое число s (в дальнейшем просто спин) может быть как целым (включая нуль), так и полуцелым, т. е. s = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, … , но при этом для каждой элементарной частицы спин может принимать единственное присущее этому типу частиц значение. Так, спины π-мезонов и К-мезонов равны 0. Спины электрона, протона, нейтрино, кварков и их античастиц равны 1/2. Спин фотона равен 1. Бозоны составляют класс частиц с целым значением спина, спин фермионов имеет полуцелое значение. Спин частицы невозможно изменить, также как её заряд или массу. Это её неизменная квантовая характеристика.
Как и в случае других квантовых векторов, проекция вектора спина на любое фиксированное направление в пространстве (например, на ось z) может принимать 2s + 1 значение:

s_zћ = ±sћ, ±(s − 1)ћ, ±(s − 2)ћ. ±1/2ћ или 0.

Число s_z − это квантовое число проекции спина. Максимальная величина s_z совпадает с s. Так как спин электрона равен 1/2, то проекция этого спина может принимать лишь два значения s_z = ±1/2. Если проекция +1/2, то говорят, что спин направлен вверх, если проекция -1/2, то говорят, что спин направлен вниз.

4.7. Полный момент количества движения

Полный момент количества движения частицы или системы частиц является векторной суммой орбитального и спинового моментов количества движения.

= + .

Квадрат полного момента имеет значение:

2 = ћ 2 j(j + 1).

Квантовое число полного момента j, соответствующее сумме двух векторов и , может принимать ряд дискретных значений, отличающихся на 1:

j = l + s, l + s −1. |l − s|

Проекция на выделенную ось J_z также принимает дискретные значения:

Число значений проекции J_z равно 2j + 1. Если для и определены единственные значения проекций на ось z l_z и s_z, то j_z также определена однозначно: j_z = l_z + s_z.

4.8. Квантовые числа

Квантовые числа – это целые или дробные числа, которые определяют все возможные значения физической величины, характеризующей различные квантовые системы – атомы, атомные ядра, кварки и другие частицы.

Таблица квантовых чисел

n	Радиальное квантовое число. Определяет число узлов волновой функции и энергию системы. n = 1, 2, …, ∞.
J, j	Полный угловой момент J и его квантовое число j. Последнее никогда не бывает отрицательным и может быть целым или полуцелым в зависимости от свойств рассматриваемой системы. 2 = ћ 2 j(j + 1).
L, l	Орбитальный угловой момент L и его квантовое число l. Интерпретация l такая же, как j, но l может принимать только целые значения, включая нуль: l = 0, 1, 2,…. L 2 = ћ 2 l(l + 1).
m	Магнитное квантовое число. Проекция полного или орбитального углового момента на выделенную ось (обычно ось z) равна mћ. Для полного момента m = ±j, ±(j-1), …, ±1/2 или 0. Для орбитального m = ± l, ± (l-1), …, ±1, 0.
S, s	Спиновый угловой момент S и его квантовое число s. Оно может быть либо положительным целым (включая нуль), либо полуцелым. s – неизменная характеристика частицы опреде­лен­ного типа. S 2 = ћ 2 s(s + 1).
sz	Квантовое число проекции спинового момента частицы на выделенную ось. Эта проекция может принимать значения szћ, где sz = ± s, ± (s -1), …, ±1/2 или 0.
P или π	Пространственная четность. Характеризует поведение системы при пространственной инверсии → — (зеркальном отражении). Полная четность частицы Р = π(-1) l , где π – её внутренняя четность, а (-1) l – её орбитальная четность. Внутренние четности кварков положительные, антикварков — отрицательные.
I	Изоспин. Характеризует свойство зарядовой инвариантности сильных взаимодействий

Для обозначения спинового момента часто используют букву J.

Все состояния, в которых может находиться квантовая система, описываются с помощью полного набора квантовых чисел. Так в случае протона в ядре состояние протона описывается с помощью четырех квантовых чисел, соответствующих четырем степеням свободы – трем пространственным координатам и спину. Это

• Радиальное квантовое число n ( 1, 2, …, ∞),
• Орбитальное квантовое число l (0, 1, 2, …),
• Проекция орбитального момента m (± l, ± (l-1), …, ±1, 0),
• Спин протона s =1/2.

Для описания сферически-симметричных систем в квантовой физике используются различные сферически симметричные потенциалы с различной радиальной зависимостью:

• Кулоновский потенциал U = Q/r,
• Прямоугольная потенциальная яма
• Потенциал типа гармонического осциллятора U = kr 2 ,
• Потенциал Вудса-Саксона (с его помощью описываются внутриядерные взаимодействия):

где U₀, а и R – положительные константы (R – радиус ядра). Во всех случаях сферически симметричные системы можно описать с помощью набора квантовых чисел n, l, j, j_z, однако, в зависимости от радиального вида потенциала энергетический спектр состояний системы будет различным.
Существование сохраняющихся во времени физических величин тесно связано со свойствами симметрии гамильтониана системы. Например, в случае, если квантовая система обладает центральной симметрией U = U(r), то этой системе соответствует сохранение орбитального момента количества движения l и одной из его проекций m. При этом из-за сферической симметрии задачи энергия состояний не будет зависеть от величины m, т. е. состояния будут вырожденными по m.
Наряду с пространственными симметриями, связанными с непрерывными преобразованиями, в квантовой физике существуют и другие симметрии – дискретные. Одной из них является зеркальная симметрия волновой функции относительно инверсии координат (→ —). Оператору инверсии соответствует квантовое число четность, которое может принимать два значения +1 и -1 в зависимости от того, сохраняется ли знак волновой функции при инверсии или меняется на противоположный.
Система тождественных частиц характеризуется еще одной симметрией – симметрией относительно перестановок тождественных частиц. Эта симметрия определяется свойствами частиц, образующих систему. Системы частиц с целым спином (бозонов) описываются симметричными волновыми функциями, системы частиц с полуцелым спином (фермионов) − антисимметричными волновыми функциями.

Задачи

4.1. Вычислите допустимые уровни энергии электрона, находящегося в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной 10 -8 см, протона, находящегося в потенциальной яме 5 Фм, и шарика массой 1 г, находящегося в потенциальной яме 1 см.

4.2. Рассчитать энергию перехода между состояниями 1s и 2s в атоме водорода.

4.3. Найти значение полного момента j для протона в d-состоянии. Каким будет результат измерения полного момента протона в состоянии 1d_5/2?

4.4. Найти полный момент (квантовое число j) системы двух нуклонов в s‑состоянии (l = 0).

4.5. Какие значения может иметь полный момент системы j, если
А. Нейтрон и протон находятся в состояниях с |l,s:j>_n = |1, 1 /₂: 3 /₂>, |l,s:j>_p = |1, 1 /₂: 3 /₂>?
Б. Два нейтрона находятся в состояниях с |l,s:j>₁ = |1, 1 /₂: 3 /₂> и |l,s:j>₂ = |1, 1 /₂: 3 /₂>?

4.6. А) Нейтрон находится в p-состоянии. Найти значения полного момента j и возможные значения проекции момента j_z. Каким будет результат измерения орбитального момента частицы в этом состоянии? Б) Рассмотрите задачу А) для протона в d-состоянии.
Ответ: А) j = 3/2, 1/2; j_z = ±3/2, ±1/2; L = ћ√ l(l +1) = √ 2 ћ;
Б) j = 5/2, 3/2; j_z = ±5/2, ±3/2, ±1/2; L = ћ√ l(l +1) = √ 6 ћ

4.7. А) Частица с собственным моментом s = 3/2 находится в состоянии с орбитальным моментом
l = 2. Найти полный момент частицы j.
Б) Частица с собственным моментом s = 1/2 находится в состоянии с орбитальным моментом
l = 3. Определите полный момент частицы j
Ответ: А) j = 7/2 ÷ 1/2; Б) j = 7/2, 5/2

4.8. Протон и нейтрон находятся в состоянии с относительным орбитальным моментом L = 1. Найти полный момент системы J.
Ответ: J = 0, 1, 2

4.9. На оболочке с квантовым числом n = 1, l = 2 находятся протон и нейтрон. Определить их суммарный полный момент J и его проекцию J_z. Изменится ли результат, если на оболочке n = 1,
l = 2 будут находиться два нейтрона?

4.10. Почему возникают вырожденные состояния?

4.11. Написать оператор Гамильтона электронов в атоме He.

4.12. Напишите стационарное уравнение Шредингера в сферической системе координат.

4.13. Какие квантовые числа характеризуют частицу в центрально-симметричной потенциальной яме?

4.14. Покажите, что волновые функции ψ = Aexp(kx −ωt) и ψ = Asin(kx −ωt) не удовлетворяют зависящему от времени уравнению Шредингера.

4.15. Покажите, что волновые функции ψ = Ae i(kx −ωt) и ψ = A(cos(kx −ωt) − sin(kx −ωt))удовлетворяют зависящему от времени уравнению Шредингера.

4.16. Частица находится в низшем состоянии n = 1 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L.
А) Рассчитайте вероятность обнаружить частицу в интервале Δx = 0.001L при x = 1 /₂L, x = 2 /₃L, x = L.
Б) Рассмотрите случай, когда частица находится в состоянии n = 2 при тех же значениях x.
Ответ: А) P(L/2) = 0.002; P(2L/3) = 0.0015; P(L) = 0; Б) P(L/2) = 0; P(2L/3) = 0.0015; P(L) = 0

4.17. Частица находится в состоянии n = 2 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L. Рассчитайте вероятность обнаружить частицу в интервале ( 1 /₃L, 2 /₃L).
Ответ: P(L/3, 2L/3) = 0.2

4.18. Электрон находится всостонии n = 5 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L. Рассчитайте вероятность обнаружить электрон в области x от 0.2L до 0.5L.
Ответ: P(0.2L, 0.5L) = 0.3

4.19. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Рассчитайте ширину потенциальной ямы, если энергия состояния n = 1 равна 0.1 эВ.
Ответ: L = 1.9 нм

4.20. Рассчитайте средние значения и 2 > для состояний n = 1, 2, 3 в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме.

4.21. Что общего и в чем различие в описании атома водорода в теории Шредингера и в модели Бора?

4.22. Почему энергии атома водорода в теории Шредингера не зависят от орбитального квантового числа l?

4.23. Угловой момент характеризуется квантовым числом l = 3. Какие значения могут принимать L_z и L 2 ?
Ответ: L_z = -3ћ, -2ћ. 3ћ; L 2 = 12ћ 2

4.24. Угловой момент характеризуется квантовым числом l = 3. Какие значения могут принимать L_z и L 2 ?

Стационарное уравнение Шредингера

Вы будете перенаправлены на Автор24

Основное уравнение квантовой механики было предложено Э. Шредингером в $1926$ г. Его значение в квантовой физике аналогично значению уравнению движения И. Ньютона. Уравнение Шредингера не выводится, оно постулируется. Его истинность доказывается тем, что полученные с его помощью результаты хорошо согласуются с экспериментами, проводимыми в рамках атомной и ядерной физики. Уравнение Шредингера можно представить в следующем виде:

где $\hbar =\frac<2>=1,05\cdot <10>^<-34>Дж\cdot с\ $- постоянная Планка, $m$ — масса частицы, $U\left(x,y,z,t\right)$- потенциальная энергия частицы в силовом поле в котором перемещается частица, $\triangle =\frac<\partial^2><\partial x^2>+\frac<\partial^2><\partial y^2>+\frac<\partial^2><\partial z^2>$ — оператор Лапласа, $\Psi=\Psi(x,y,z,t)$ — волновая функция частицы, $i=\sqrt<-1>$ — мнимая единица.

Уравнение (1) является справедливым для любой частицы, которая движется со скоростью много меньшей скорости света ($v\ll c,\ где\ c\ $— скорость света в вакууме). Уравнение Шредингера дополняют условиями, которые накладываются на волновую функцию $\Psi\ (x,y,z,t)$:

Данная функция должна быть конечной, непрерывной и однозначной.

Функция $<\left|\Psi\right|>^2$ должна быть интегрируемой, что означает, интеграл $\iiint\limits^<\infty >_<-\infty ><<\left|\Psi\right|>^2dxdydz>$ должен быть конечным. В самом простом случае данное условие сводится к условию нормировки вероятностей. Это условие связано с тем, что физическим смыслом обладает не сама волновая функция, а $<\left|\Psi\right|>^2$.

Значение вышеперечисленных условий в том, что с их помощью не решая уравнения Шредингера, только изучая возможные решения, можно делать ряд важных выводов об энергии и других параметрах рассматриваемой частицы.

Готовые работы на аналогичную тему

Уравнение (1) называют временн$\acute<ы>$м уравнением Шредингера, так как оно содержит производную от волновой функции по времени.

Стационарное уравнение Шредингера

Для большого числа явлений, которые происходят в микромире можно использовать стационарную волновую функцию (независящую от времени) и соответственно стационарное уравнение Шредингера. Такое уравнение имеет смысл для задач, в которых потенциальная энергия не зависит от времени ($U=U\left(x,y,z\right)$).

Решение уравнения (1) найдем в виде:

Подставим выражение (2) в уравнение Шредингера (1), получим:

Разделим обе части выражения (3) на произведение функций $\varphi \Psi$, имеем:

В уравнении (4) левая часть — функция только координат, правая — только времени. Равенство возможно только в случае, если обе части уравнения равны некоторой постоянной. Обозначим ее $-E$ и запишем:

Уравнение (6) называют стационарным уравнением Шредингера. Оно является важным уравнением в квантовой механике и играет основную роль в атомной физике. Функции $\Psi$, которые удовлетворяют уравнению Шредингера при известной U, называют собственными функциями. Величины $E$ при которых существуют решения уравнения Шредингера (6) называют собственными значениями.

Уравнение (5) можно проинтегрировать. Получим:

где $<\varphi >_0=\varphi_0\left(0\right)$- значение $\varphi (t)$ в начальный момент времени (t=0).

Для определения смысла величины $E$ в стационарном уравнении Шредингера уравнение (6) сравнивают с волновым уравнением:

где $v^2_$ — фазовая скорость волн в квадрате. Для синусоидальных волн ($S=A\left(r\right)e^<-i2\pi \nu (t-\frac>)>,\ \ где\ \nu \ —\ частота\ волны$):

уравнение (8) записывается как:

К волнам де Бройля, которые связаны с движущимися частицами, можно применять уравнение (9). Для длины волны де Бройля известно соотношение:

где $v_$- фазовая скорость волн де Бройля, $\nu $ — частота волн де Бройля. Подставим вместо $\frac<\nu >>$ в уравнение (10) в соответствии с (11) величину $\frac$, вместо $S$ волновую функцию, получим:

$\frac<2>=E-U$ — кинетическая энергия частицы, где $E$ — ее полная энергия. Выражение $\frac<4<\pi >^2m^2v^2>$ перепишем как:

Значит в уравнении (12) имеем:

Мы получили уравнение (14) тождественное со стационарным уравнением Шредингера. Рассуждения, приведенные выше, подчеркивают волновой характер уравнения Шредингера. Надо отметить, что представление полной энергии ($E$) как суммы потенциальной и кинетической энергии в квантовой механике имеет ограниченный характер.

Уравнение Шредингера находится в согласии с предположением о связи полной энергии ($E$) частицы с частотой волн де Бройля. Решение уравнения Шредингера можно записать в виде:

Так, состояние частицы в рассматриваемый момент времени можно описать периодической функцией времени, имеющей циклическую частоту ($\omega =\frac<\hbar >$), которая определена полной энергией частицы.

Задание: На пути электронного пучка, имеющего энергию $E$, расположен потенциальный барьер высоты $U$ ($U >E$) (рис.1). Какова относительная вероятность пребывания электрона в области $2$ на расстоянии x от границы областей $1$ и $2$ ($\epsilon$)?

Решение:

В задаче следует найти отношение плотности вероятности нахождения электрона в точке $x$ к плотности вероятности его нахождения на границе областей. В задаче имеется высокий потенциальный барьер бесконечной ширины. Все падающие на барьер электроны отражаются от него, но существует вероятность, что электрон попадет в область $2$. Для нахождения вероятности обнаружения электрона в области $2$ надо решить уравнение Шредингера вида:

Для одномерного случая, который мы имеем для нашей задачи уравнение (1.1) примет вид:

Решение данного уравнения функция:

где $C$ и $D$ постоянные. Однако, из (1.3) при $x\to \infty ,$ то$\ \Psi\to \infty $, что не допустимо, следовательно, $C=0$. Получаем:

Используя (1.4) найдем плотность вероятности нахождения частицы в точке x как:

Плотность вероятности, исходя из (1.5) на границе $^2=D^2$. Тогда относительная вероятность ($\epsilon$) равна:

Задание: Запишите уравнение Шредингера для электрона в водородоподобном атоме.

Решение:

Для написания необходимого уравнения следует вспомнить формулу, определяющую потенциальную энергию, которой обладает электрон в водородоподобном атоме, находящийся на орбите радиуса r:

Уравнение для электрона в водородоподобном атоме должно быть стационарным и его можно записать как:

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 06 05 2021

Стационарное уравнение шредингера

Глава 2 СТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

ОПИСАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ЭЛЕКТРОНА

В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

Б.1 Уравнение Шредингера

Для выполнения лабораторных работ 5 и 6 необходимо знакомство с основами квантовой механики. Остановимся на тех её положениях, которые непосредственно связаны с содержанием данных работ.

В них изучается поведение микрочастицы (электрона) в определенных внешних условиях. Это означает, что потенциальная энергия электрона U, обусловленная его взаимодействием с окружающими объектами, является известной функцией координат: . Требуется найти эволюцию состояния электрона во времени. В отличие от классической механики, состояние частицы в квантовой механике нельзя задавать, указывая её координаты и компоненты скорости (или импульса). Состоянию частицы в момент времени t0 в квантовой механике ставят в соответствие волновую функцию – функцию координат, вообще говоря, комплексную. Соответственно, эволюцию состояния описывает функция координат и времени . Волновую функцию можно найти, решая дифференциальное уравнение в частных производных

,

называемое временны́м уравнением Шредингера, где i – мнимая единица, ( h – постоянная Планка), Ñ2 – оператор Лапласа (имеющий в декартовых координатах вид ), т – масса частицы. Уравнение (Б.1) при заданном потенциале имеет бесконечное множество решений, соответствующих множеству возможных начальных состояний электрона. Если задано и начальное состояние электрона , его эволюция определяется уравнением (Б.1) однозначно.

Б.2 Уравнение Шредингера для стационарных состояний

Среди решений уравнения (Б.1) особый интерес представляют волновые функции вида

(Б.2)

описывающие состояния, называемые стационарными. Легко проверить, что волновая функция вида (Б.2) будет решением уравнения Шредингера (Б.1), если удовлетворяет уравнению

,

где . Постоянная E в (Б.3) имеет смысл полной энергии частицы. Таким образом, в стационарных состояниях Е = соnst, а зависимость волновой функции от времени описывается сомножителем , осциллирующим с частотой .

Уравнение (Б.3) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний, или стационарным уравнением Шредингера. Существенно, что стационарное уравнение Шредингера имеет физически приемлемые решения, вообще говоря, не для любых значений Е, а лишь для некоторого множества . Находя такие решения, мы одновременно получаем и набор возможных значений энергии стационарных состояний электрона при заданных внешних условиях. О нахождении множества говорят как об определении энергетического спектра, или уровней энергии, или как о квантовании энергии частицы. Физически приемлемыми в рассматриваемом круге задач считаются функции, однозначные и ограниченные во всей области их определения. Можно показать, что удовлетворяющие стационарному уравнению Шредингера (Б.3) однозначные ограниченные функции, будут непрерывными и гладкими (т. е. имеющими непрерывную первую производную) даже в тех точках, где претерпевает конечный разрыв (скачок).

Б.3 Волновая функция и заключенная в ней информация

Как уже говорилось, волновая функция описывает состояние частицы. Это означает, что в заключена информация о распределениях вероятностей для всех физических величин (координат, проекций импульса, момента импульса и т. д.), относящихся к частице, для любого момента времени. В частности, плотность вероятности (т. е. вероятность, отнесенная к единице объема) нахождения частицы вблизи точки с координатами х, у, z в момент времени t, пропорциональна квадрату модуля волновой функции

(звездочка обозначает комплексное сопряжение), а вектор

.

называемый вектором плотности потока вероятности, дает информацию о движении частицы, указывая направление и скорость наиболее быстрого перемещения этой вероятности. Смысл величин (Б.4) и (Б.5) раскрывается в эксперименте, когда производится N измерений над электроном в одном и том же состоянии. Тогда при больших значениях N должно выполняться: DN¢ / N

, DN¢¢ / N

j где DN¢ – число электронов, обнаруженных в единичном объеме вблизи точки (х, у, z), а DN¢¢ – результирующее число электронов, прошедших за единицу времени в направлении вектора сквозь перпендикулярную к нему единичную площадку.

В связи с приведенной интерпретацией выражений (Б.4) и (Б.5) волновую функцию называют также амплитудой вероятности.

Отметим, что для стационарных состояний выражения (Б.4) и (Б.5) не зависят от времени и что для вещественных векторравен нулю.

Б.4 Оптическая аналогия

Анализируя квантовомеханическую задачу, полезно сопоставлять ее, с одной стороны, с аналогичной задачей классической механики, а с другой – с некоторой оптической задачей. В классической механике аналогом, очевидно, будет задача о частице такой же массы, движущейся в силовом поле, характеризуемом той же потенциальной энергией , что и в исходной квантовой. Выяснив характер движения классической частицы, можно лучше понять особенности ее квантовомеханического поведения Оптическим аналогом для квантовомеханической задачи с E = const будет, как можно показать, задача о распространении монохроматической световой волны в неоднородной среде, для которой показатель преломления n изменяется по закону

.

Отметим, что длину волны при этом можно оценивать по соотношению де Бройля , где – импульс частицы, вычисленный согласно классической механике.

Аналогия с оптикой позволяет во многих случаях, не решая уравнение Шредингера, предвидеть и объяснить качественно поведение y-функции, а следовательно и частицы.

Б.5 Одномерные квантовомеханические задачи

Среди квантовомеханических задач выделяются своей простотой одномерные, т. е. такие, в которых U = U ( x ), а волновую функцию можно считать зависящей только от х и t. В этих задачах волновые функции стационарных состояний имеют вид

а стационарное уравнение Шредингера сводится к уравнению в обыкновенных производных

,

Уравнение (Б.8) решается особенно просто, когда ось x можно разбить на области, в каждой из которых потенциал U(x) принимает постоянные значения, а на границах соседних областей испытывает скачок. Такой потенциал называется прямоугольным из-за прямых углов на его графике. Строго говоря, такие потенциалы не реализуемы, поскольку им соответствуют бесконечные силы в точках скачков потенциальной энергии. Все же прямоугольные потенциалы дают грубое представление о многих реальных системах, позволяя получать полезные результаты крайне простыми математическими методами.

В области, где потенциал U постоянен, стационарное уравнение Шредингера (Б.8) сводится к уравнению

где , а его общее решение имеет вид

, (Б.9)

где А и В – произвольные постоянные.

При этом, в соответствии с (Б.9) и (Б.7), зависящая от времени

волновая функция , будет равна выражению

,

в котором первое слагаемое описывает волну, бегущую вправо, а второе – влево. При переходе от одной области к другой U изменяется и, следовательно, изменяется длина волны. Существенно, что на границе между областями, как уже отмечалось, y(х) и ее первая производная d y / d x должны быть непрерывны. Это приводит к двум уравнениям связи между амплитудными коэффициентами А и В для соседних областей.

Б.6 Движение электрона в области потенциальной ступеньки

Рассмотрим случай, когда потенциал испытывает только один скачок (потенциальная ступенька, рис. Б.1). Предположим, что электроны с некоторой энергией Е приходят слева. Согласно классической механике электроны должны беспрепятственно проходить

точку х = 0, поскольку в этой точке они испытывает действие силы, направленной в сторону своего движения (ускоряющей силы). Выясним теперь, что предсказывает квантовая теория для такой задачи.

Используем, прежде всего, оптическую аналогию. Согласно (Б.6) при x = 0 происходит скачкообразное изменение показателя преломления n , а при падении света на поверхность раздела двух сред с различными n часть волны отражается от неё, а часть проходит во вторую среду. Поэтому следует ожидать отражения в точке х = 0 и для y-волны, а следовательно, отличной от нуля вероятности отражения электрона при падении на скачок потенциала как справа, так и слева.

Подтвердим эти предположения строгим расчетом на основе стационарного уравнения Шредингера (Б.8). В области I, слева от скачка потенциала (т. е. при х 0) для случая, когда электроны падают только слева, решение содержит лишь одно слагаемое, соответствующее прошедшей волне

,

где ; . Постоянные А, В и С не могут быть заданы произвольно, поскольку их связывают условия непрерывности волновой функции и её первой производной в точке : и , где . Из этих условий легко найти, что коэффициенты В и С – амплитуды отраженной и прошедшей волн – связаны с амплитудой падающей волны А следующим образом:

, .

Поскольку k2 > k1 , амплитуды отраженной и падающей волн имеют противоположные знаки. Это означает, что для падающей слева волны её фаза при отражении от скачка потенциала изменяется на π – происходит «потеря» полуволны.

Плотность потока электронов Г может быть выражена через их концентрацию пе и скорость v : Г = ne v. Поскольку пе

, а v

k|ψ|2. Доля электронов, которые проходят вправо, т. е. коэффициент прохождения Dе,, равен отношению плотности прошедшего потока к плотности падающего:

.

Аналогично рассчитывается и коэффициент отражения:

.

Те же выражения получаются в результате подсчета коэффициентов и по формулам

, ,

вытекающим непосредственно из определения вектора плотности потока вероятности .

Легко проверить также, что и не изменятся, если электроны с энергией Е направить из области II в область I. Отметим, однако, что в этом случае отражение будет происходить без изменения фазы, поскольку в выражении (Б.10) для амплитуды отраженной волны В волновые числа k1 и k2 поменяются местами.

Следует подчеркнуть, что свойство отражения частиц от скачков потенциала является чисто квантовомеханическим эффектом. Оно вытекает из волновых свойств материи и не имеет места в классической физике.

В заключение сформулируем квантовомеханическую задачу, позволяющую на примере одномерной прямоугольной симметричной потенциальной ямы (Рис. Б.2) простыми методами рассмотреть квантование энергии электрона и дать качественное объяснение эффекта Рамзауэра.

В этой задаче потенциальная энергия электрона U (х) задается в виде:

U2 > U1.

Величина L = 2 а – ширина ямы, – её глубина.

В зависимости от полной энергии электрона E, возникают три случая: