Стационарное уравнение теплопроводности численная схема решения

Глава III. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ СТАЦИОНАРНОЙ

ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

В энергетике, в практике центрального отопления, водоснабжения и т.п. часто встречаются стационарные режимы теплопроводности. В этом случае все функции в уравнении теплопроводности и в граничных условиях не зависят от времени τ. Уравнение теплопроводности переходит тогда в уравнение Пуассона и принимает вид

Рассмотрим далее некоторые часто встречающиеся в энергетике, химической и металлургической промышленности, строительной теплотехнике и т.д. задачи стационарной теплопроводности.

1.Стационарная теплопроводность в плоской однослойной однородной бесконечной пластине[3] без внутренних источников тепла при однородных граничных условиях I рода на противоположных плоскостях

В этом случае дифференциальное уравнение теплопроводности представляет собой уравнение Лапласа (в декартовых координатах)

Граничные условия в данной задаче выглядят следующим образом

Используя самые общие соображения симметрии задачи – однородность по отношению к выбору начала координат (точка 0) и параллельному переносу оси (0,x) а также изотропность, т.е. инвариантность задачи по от-ношению к поворотам на любой угол вокруг выбранной оси (0,x), можно однозначно заключить, что изотермические поверхности в данной задаче будут представлять собой плоскости, перпенди-кулярные оси x, т.е. искомая функция температуры будет зависеть только от одной пространственной переменной, а именно, только от x. В этом случае дифференциальное уравнение теплопроводности преобразуется в простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка

общее решение которого представляется линейной функцией

Произвольные постоянные находятся из граничных условий , после чего стационарное распределение температур в плоской пластине без внутренних источников теплоты представляется линейной зависимостью

Плотность теплового потока через стенку вычисляется на основании закона Био-Фурье . В одномерном случае имеем

2.Стационарная теплопроводность в плоской однослойной однородной бесконечной пластине без внутренних источников тепла при однородных граничных условиях III рода на противоположных плоскостях

В этом случае дифференциальное уравнение теплопроводности остаётся тем же, что и в предыдущем примере, т.е. с тем же общим решением в виде линейной зависимости , однако поиск произвольных постоянных C₁ и C₂ должен осуществляться с использованием граничных условий III рода , которые в данном случае принимают вид

Используя общее решение , получаем систему алгебраических уравнений для нахождения C₁ и C₂ (обозначения см. на рис. 3)

Находя отсюда C₁ и C₂ и подставляя в находим распределение температур в однослойной плоской стенке

– плотность теплового потока

– температуры граничных плоскостей пластины

носит название коэффициента теплопередачи через плоскую стенку. С учётом этого определения

Отступление. Электротепловая аналогия (ЭТА)

По определению, аналогичныминазываются различные физические явления, описываемые одинаковыми дифференциальными уравнениями с одинаковыми условиями однозначности (с возможными различными обозначениями).

В качестве примера аналогичных явлений можно привести математические записи закона тяготения Ньютона и закона Кулона для случая взаимодействия двух противоположно заряженных электрических зарядов.

Идея электротепловой аналогии (ЭТА) состоит в том, что дифференциальное уравнение Дж. К. Максвелла для электрического потенциала в сплошной электропроводящей среде

и уравнение теплопроводности по виду совпадают друг с другом с точностью до обозначений для стационарных задач

Стационарное уравнение для электрического потенциала φ базируется на известном законе Ома

Совершенно аналогичным образом стационарное уравнение теплопроводности базируется на аналогичном линейном законе Био-Фурье , которое в линейных одномерных задачах для однородных сред имеет вид (см. )

Выражение также имеет вид закона Ома для трёх последовательно соединённых электрических сопротивлений

Здесь носит название термического сопротивления теплопроводности, а – термического сопротивления теплоотдачи.

По аналогии с теорией постоянного электрического тока термическое сопротивление теплопроводности может рассматриваться как электрическое сопротивление проводника, а термическое сопротивление теплоотдачи как контактное электрическое сопротивление.

Таким образом, в соответствии с ЭТА, задача стационарной теплопроводности через плоскую однослойную стенку при граничных условиях III рода (см. рис. 3) сводится к эквивалентной задаче расчёта электрической цепи, составленной из трех последовательно соединённых электрических сопротивлений.

3.Стационарная теплопроводность в плоской многослойной бесконечной пластине без внутренних источников тепла при однородных граничных условиях III рода на противоположных плоскостях

Электротепловая аналогия (ЭТА) позволяет легко осуществить обобщение предыдущей задачи на многослойную плоскую стенку при граничных условиях III рода. На рис. III.2 представлена эквивалентная электрическая схема данной задачи.

Используя законы постоянного электрического тока, в частности, правило вычисления полного сопротивления как суммы последовательно соединённых сопротивлений и одинаковость постоянного электрического тока во всех сопротивлениях, получаем

Вспомнив, что в теории постоянного электрического тока падение напряжения на сопротивлении равно произведению тока и сопротивления, в тепловой задаче аналогичным образом имеем

Естественно, что возможны также другие (многочисленные) комбинации связи температур в различных точках эквивалентной схемы. В любом случае температуры в точках i и j связаны между собой соотношением

Замечание

Из записи закона Био-Фурье и гипотезы Ньютона-Рихмана для одномерного случая с учётом геометрического смысла первой производной

следует, что при заданной плотности теплового потока тангенс угла наклона температурной прямой в координатах обратно пропорционален теплопроводности материала пластины, а скачок температуры на границах стенки обратно пропорционален коэффициентам теплоотдачи. Это обстоятельство позволяет корректным образом изобразить качественную картину одномерного стационарного распределения температур в плоской многослойной стенке без внутренних источников теплоты. На рис. III.3 показан пример трёхслойной стенки с заданным соотношением коэффициентов теплопроводности материала слоёв и коэффициентов теплоотдачи .

4.Стационарная теплопроводность в бесконечной однослойной цилиндрической стенке без внутренних источников тепла при однородных граничных условиях I рода на противоположных поверхностях

В предположении аксиальной и угловой симметрии задачи её математическая постановка выглядит следующим образом

Решение этой задачи с учётом граничных условий есть

т.е. стационарное радиальное распределение температур в цилиндрической стенке представляется не линейной, а логарифмической зависимостью.

Тогда плотность теплового потока в соответствии с определением радиальной составляющей градиента температур будет по определению равна

Здесь следует отметить, что в случае цилиндрической стенки плотность теплового потока уже не является постоянной величиной. Это объясняется тем, что при возрастании текущего радиуса цилиндрической поверхности общий (полный) тепловой поток уже приходится на большую площадь, вычисляемую по формуле . В практических задачах теплообмен, теплопотери, теплоснабжение обычно относят к единице длины трубы. В этом случае тепловой поток через цилиндрическую стенку (трубу) длиной 1 м определится как

Величина с размерностью имеет смысл теплового потока, приходящегося на единицу длины цилиндрической стенки (трубы). Эту величину обычно называют линейной плотностью теплового потока. В соответствии с этим определением тепловой поток через боковую поверхность цилиндрической стенки (трубы длиной l) определится произведением

На рис. III.4 приведено графическое представление решаемой задачи.

5.Стационарная теплопроводность в бесконечной однослойной цилиндрической стенке без внутренних источников тепла при однородных граничных условиях III рода на противоположных поверхностях

Используя граничные условия III рода в расчёте на единицу длины трубы, имеем систему алгебраических уравнений

Воспользовавшись ЭТА, легко находим

есть по определению коэффициент теплопередачи для цилиндрической стенки.

Обобщение на многослойную цилиндрическую стенку в соответствии с ЭТА осуществляется стандартным образом и даёт следующее выражение для коэффициента теплопередачи

Графическое представление задачи стационарной теплопроводности через многослойную цилиндрическую стенку с соответствующими обозначениями приведено на рис. III.5.

Заметим, что в случае тонкой цилиндрической стенки, т.е. если

в линейном приближении

т.е. цилиндрическая задача переходит в плоскую .

6.Критический диаметр изоляции

Рассмотрим задачу стационарной теплопроводности через многослойную цилиндрическую стенку , , предположив возможность изменения толщины (диаметра) внешнего слоя, контактирующего с внешней текучей средой. Здесь подразумевается технология теплоизоляции цилиндрических труб с целью уменьшения теплопотерь.

Выделив явным образом внешний слой в , для линейного теплового потока имеем

Предполагая здесь постоянными все величины, кроме , запишем линейный тепловой поток в виде

где использованы общепринятые обозначения для диаметра изоляции, теплопроводности материала изоляции и коэффициента теплоотдачи с наружной поверхности.

Легко видеть, что изменение диаметра изоляции двояким образом влияет на теплопотери: логарифмическое слагаемое в знаменателе возрастает с увеличением диаметра изоляции, приводя к уменьшению теплопотерь, в то время как третье слагаемое в знаменателе уменьшается, вызывая тенденцию к увеличению теплосъёма. Это объясняется тем, что увеличение толщины изоляции приводит к увеличению термического сопротивления теплопроводности, но это же ведёт к увеличению наружной поверхности теплосъёма. Очевидно, что эти два противоборствующих фактора должны привести к наличию экстремума функции . Следуя стандартной процедуре поиска координаты экстремума функции одной независимой переменной, имеем

Это алгебраическое уравнение имеет два корня

Тип экстремальной точки (максимум или минимум) определяется знаком второй производной, которая с учётом равна

Подставив сюда , получим

т. е. при линейная плотность теплового потока максимальна.

На рис. III.6 изображена зависимость для двух различных случаев , откуда следует, что в случае I нанесение теплоизоляции сначала приводит к увеличению теплопотерь, и лишь при тепловой поток начинает уменьшаться.

Эффект увеличения теплопотерь при нанесении теплоизоляции в определённых пределах толщин изоляционных слоёв является, конечно, вредным, однако этот эффект проявляется весьма редко в строительной и энергетической практике, где диаметры цилиндрических поверхностей (труб) в большинстве случаев значительны. В случае же цилиндрических поверхностей малого диаметра (капиллярные трубки, электрические провода) критический диаметр изоляции зачастую превышает диаметр изолируемой поверхности, и эффект этот может быть использован и используется для увеличения теплосъёма, в частности, в обмотках электрических агрегатов большой мощности (электродвигатели, электрогенераторы).

7.Стационарное температурное поле в бесконечном однородном сплошном цилиндре с внутренними источниками тепла с цилиндрической симметрией при однородных граничных условиях III рода на наружной поверхности

В данном случае математическая постановка задачи (см. ) выглядит следующим образом (схема задачи представлена на рис. III.7)

В качестве второго граничного условия в силу симметрии может быть выбрано либо неравенство бесконечности температуры на оси цилиндра, либо отсутствие теплового потока на оси цилиндра, т.е.

Общее решение дифференциального уравнения есть

Граничное условие на оси цилиндра даёт C₁ = 0, а граничное условие на поверхности цилиндра записывается в виде

откуда находится C₂ , которая, будучи подставленной в , даёт температурное поле для решаемой задачи

При однородном тепловыделении, т.е. когда , последовательное интегрирование в даёт параболическое радиальное распределение температур в сплошном цилиндре с внутренними источниками теплоты

есть так называемый критерий (число) Био для цилиндра.

Температуры на оси цилиндра и на его поверхности равны соответственно

Для корректного изображения радиального распределения температур составим отношение

из которого следует, что при малых значениях критерия Био (большая теплопроводность материала стержня и/или малый коэффициент теплоотдачи) температура в стержне в радиальном направлении меняется незначительно по сравнению с перепадом температур в пограничном слое вблизи поверхности стержня. И напротив, при больших значениях критерия Био перепад температур в стержне велик по сравнению с перепадом температур в пограничном слое. Эти два варианта представлены на рис. III.7.

8.Стационарная теплопроводность вдоль прямого стержня конечной длины в одномерном приближении при однородных граничных условиях III рода на наружной поверхности

Задача вычисления теплового потока вдоль стержня (определение стержня дано в сноске 3 на стр. 15) представляет практический интерес в проблеме охлаждения теплонапряжённых поверхностей с применением оребрения, охлаждения радиоэлектронного оборудования и т. п.

Пусть прямой стержень конечной длины и переменного поперечного сечения (см. рис. III.8) находится в условиях, когда один из его торцов (на рисунке левый) поддерживается при постоянной по сечению «заделки» температуре , а боковая поверхность и другой его торец (правый) охлаждаются путём конвективного теплообмена жидкостью с температурой при постоянных по длине стержня и на его торце коэффициентах теплоотдачи , значения которых в данной задаче будем считать заданными.

Дифференциальное уравнение теплопроводности в данном случае записывается в виде

с граничными условиями, которые в общем виде представляются в данной задаче в виде

Ясно, что точное решение этой задачи, даже если это возможно, не представляет большого практического интереса, так как обычно интересуются распределением температуры вдоль стержня, а не в его поперечных сечениях. Тем более можно с достаточной степенью точности пренебречь неравномерностью температурного поля в поперечных сечениях, если теплопроводность материала стержня достаточно велика (см. рис. III.7). Тогда температуру можно считать зависящей только от одной координаты x, направленной вдоль продольной оси стержня. Второе граничное условие в при этом становится неопределённым

Эта неопределённость снимается перепостановкой задачи – . Для этого выделим элемент длины стержня (см. рис. 10) и запишем для него баланс теплоты, который для стационарного режима принимает вид

Используя определение плотности теплового потока и гипотезу Ньютона-Рихмана, последнее выражение записывается в развёрнутом виде

Здесь – соответственно площадь и периметр поперечного сечения стержня, функции которых считаются заданными, Разделив обе части на и переходя к пределу , получаем

Далее, используя закон Био-Фурье для одномерного случая, приходим к дифференциальному уравнению теплопроводности при перечисленных выше допущениях

В качестве граничных условий для этого обыкновенного квазилинейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка положим

где l – длина стержня; – коэффициент теплоотдачи на торцевой плоскости стержня.

Введя относительную температуру согласно определению

задачу – запишем в более компактной форме (аргумент x опускаем)

В качестве приложений рассмотрим некоторые одномерные задачи стационарной теплопроводности вдоль стержней и рёбер.

А. Теплопроводность вдоль стержня постоянного поперечного сечения и формы, т. е. . Задача принимает тогда вид

Общее решение дифференциального уравнения есть

Граничные условия в приводят к системе двух линейных алгебраических уравнений для вычисления произвольных постоянных , а именно

Решение этой системы даёт следующее распределение температур по длине стержня

С использованием определения гиперболических функций

решение записывается в более компактном виде

В большинстве практических случаев комплекс , что позволяет пренебречь в слагаемыми с гиперболическими синусами. В этом приближении точное решение записывается в более упрощённой форме, которая наиболее часто применяется в практических расчётах,

Этот случай предполагает отсутствие теплового потока с торцевой поверхности стержня – второе условие в . Заметим, что уравнение носит название цепной линии.

Качественная зависимость вдоль стержня представлена на рис. III.9.

Температура на свободном конце стержня

Полный стационарный тепловой поток через стержень может быть вычислен двумя способами: либо с использованием закона Био-Фурье (дифференцированием аксиального распределения температур ), либо интегрированием линейной плотности теплового потока с боковой поверхности, т. е.

Параллельные вычисления приводят к следующему результату

Из этого выражения следует, что тепловой поток через стержень пропорционален, кроме прочих величин, коэффициенту теплопроводности материала стержня . Вычислим предел

носит название эффективности работы ребра (стержня).

Вычислим далее тепловой поток, который бы снимался с пятна контакта стержня с поверхностью заделки в отсутствие стержня

Разделив на с учётом , получим

где носит название коэффициента оребрения. С учётом того, что в практических приложениях , оребрение охлаждаемой поверхности всегда приводит к увеличению теплосъёма. При этом следует иметь в виду, что прибегать к оребрению необходимо с той стороны стенки, где коэффициент теплоотдачи меньше. В самом деле, записав полный дифференциал коэффициента теплопередачи по коэффициентам теплоотдачи и переходя к конечным изменениям, имеем

откуда легко видеть, что повышение меньшего коэффициента теплоотдачи оказывает большее влияние на повышение коэффициента теплопередачи, нежели повышение коэффициента теплоотдачи .

Таким образом, оребрение поверхности видоизменяет выражение для коэффициента теплоотдачи

Б. Теплопроводность вдоль стержня в форме прямого круглого усечённого конуса

В этом случае (см. рис. III.10)

Имеем

Задача принимает тогда вид

Введя безразмерную независимую переменную и безразмерную температуру соотношениями

запишем задачу теплопроводности в безразмерном виде

где введены обозначения

Заменой независимой переменной

задача приводится к виду

Общее решение дифференциального уравнения в выражается через функции Бесселя (цилиндрические функции) первого и второго рода первого порядка от мнимого аргумента (см. справочники: 1)Рыжик, Градштейн; 2) Камке)

Используя формулы дифференцирования и рекуррентные соотношения для функций Бесселя (см. справочник Бронштейн, Семендяев), находим

Используя эти результаты и граничные условия в , получаем алгебраическую систему уравнений для нахождения произвольных постоянных

где .

Здесь использованы рекуррентные соотношения для бесселевых функций мнимого аргумента (см. справочник Бронштейн, Семендяев)

В частном случае, когда можно пренебречь тепловым потоком с торца конического стержня ( ), комплекс , и система уравнений упрощается, таким образом что

откуда для данного случая находим распределение температур по длине стержня конечной длины конической конфигурации

В предельных случаях неусечённого конуса и прямого цилиндра формула приводит к неопределённостям вида соответственно. Используя асимптотические разложения функций Бесселя при больших значениях аргумента (см. Бронштейн, Семендяев)

и применяя правило Лопиталя, после громоздких вычислений получаем

Заметим, что второе выражение в полностью совпадает с полученным ранее выражением для стержня с постоянным сечением.

Тепловой поток через стержень вычисляется согласно , при этом для сечения имеем

или с заменой переменной с учётом и

Используя и , находим производную и затем тепловой поток через стержень конической конфигурации

В предельных случаях имеем соответственно

В. Теплопроводность вдоль круглого ребра постоянной толщины

Оребрение поверхностей для увеличения теплосъёма с теплонапряжённых поверхностей весьма распространено в автомобильной промышленности, в химической технологии, в энергетике и т. д. И чаще всего охлаждающие рёбра имеют форму плоских дисков (см. рис. III.11).

В этом случае площадь поперечного сечения , периметр поперечного сечения . Здесь – толщина диска. Задача стационарной теплопроводности вдоль круглого ребра постоянной толщины в пренебрежении теплопотерь с торцевой поверхности ребра принимает вид

Решение этого уравнения, удовлетворяющее граничным условиям, есть

Относительная температура внешнего среза ребра будет тогда

Тепловой поток через цилиндрическое ребро постоянной толщины

Г. Теплопроводность вдоль круглого ребра постоянной площади кольцевого поперечного сечения

В случае круглого ребра постоянной площади кольцевого поперечного сечения (см. рис. 14) площадь кольцевого сечения равна , а периметр кольцевого сечения . Тогда задача стационарной теплопроводности вдоль кольцевого ребра в пренебрежении теплопотерь с торцевой поверхности принимает вид

Общее решение этого уравнения представляется комбинацией модифицированных функций Бесселя мнимого аргумента порядка , т.е.

Используя известные рекуррентные формулы и формулы дифференцирования модифицированных бесселевых функций

и граничные условия в постановке задачи , после несложных, но трудоёмких алгебраических преобразований получаем

Из этих соотношений находим относительную температуру на наружном радиусе ребра

и тепловой поток вдоль ребра

В заключение приведём полезные для численного счёта представления в виде рядов модифицированных функций Бесселя нецелого порядка

Дата добавления: 2015-12-17 ; просмотров: 6230 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Теплопроводность при стационарном режиме

Теплопроводность при стационарном режиме

• В установившемся состоянии температурное поле T (x, yₜr, t) не зависит от времени. То есть,^ = 0.Дифференциальное уравнение теплопроводности (II-55)^ = aV2T (IV-I) DX is (П-56 И Р-57) Eh2du * Ldz2(IV-2)для решения конкретной задачи в Формулу (IV-2) необходимо добавить соответствующее граничное условие. Рассмотрим несколько простых случаев Определение стационарного температурного поля для объектов различной формы. § 1.

To рассмотрим теплопроводность тела плоская стенка неограниченная плоская стенка с подходящим температурным полем Его толщина равна 6, его поверхность параллельна плоскостям Y, z декартовой системы координат и находится при x = 0 и x = 6(рис. IV-1).Давайте поддержим его этими поверхностями Соответственно, задаются температуры 7 \и Т₂, то есть граничные условия типа 1(Глава 2,§ 5).

Выражение (IV-3) немедленно интегрируется. Людмила Фирмаль

Если Γ и T₂ не зависят от координат y и z, то, очевидно, искомое температурное поле Уравнение (IV-2), которое зависит от этих координат и определяет температуру T (x), принимает вид

= 0 (IV-3) dx2V ’при граничном условии. Г= 7 \ при x-0 (IV-4) T-X Tn-6.Общая форма решения T (x)=C₁X4-C₂,(1V-5).Где C. И C₂-произвольная константа, определяемая из граничного условия. (IV-4).фактически, если вы установите x = 0 в(IV-5)и используете первую формулу (IV-4), вы получите 2-е условие (IV-4) и (на основе) Л=С₂, (IV-6), x = 6. (IV-6) есть фига IV -!.

Теплопроводность плоской стенки т = С.6+С₂ = С.6+ 7 ′., (IV-7) где C = ^, 16 наконец, решение уравнения (IV-3) при граничном условии(1V-4) видно из (IV-8)(1V-8 T(x)линейно зависит от x, и эта зависимость T (x)= f (x)показана на рисунке вдоль толщины стенки. IV-1.Тепловой поток q можно определить по закону Фурье (1-3): q = — XgradГ, или В нашем случае, дифференцируя распределение температуры по толщине стенки (IV-8), мы видим, что dxowhence (IV-9) получается из Формулы (IV-9), которая равна 7′. > Flux тепловой поток положительный, то есть он направлен вдоль положительного направления оси X. В 7 \7 ′ 2 он направлен в противоположную сторону.

Этот результат является результатом второго закона термодинамики. В частности, тепло передается от нагретого тела к неотапливаемому. Количество тепла, проходящего через стенку за единицу времени, легко вычисляется с помощью (IV-9), q = ^ = X (T₁ — ^ 7′) 4 -/⁷. (1V-10) перепишите уравнение Фурье (P-54) в цилиндрической системе координат с цилиндрическим wall. To сделайте это, декартовы координаты и Цилиндрические координаты (рис. IV-2), x = r cos B, y = r sin B, z = R.

После проведения изменения этой переменной форма уравнения цилиндрической системы координат (P-54) равна dT / dTT- = а-э \ ДГ * \ _ ДТ Р ДГ \ &т р * ДВ. Рассмотрим 1D процесс стационарной теплопроводности на бесконечной цилиндрической стенке (рис. IV-3).Если на рисунке IV-2.Соотношение Прямоугольные и цилиндрические координаты T рис. 1в-3.Теплопроводность цилиндрической стенки, внутренней (r = r) и внешней (r-RJ) поверхности стенки.

Они не зависят от угла Вига, искомое температурное поле не зависит от этих переменных, и если оно стационарно, то уравнение (IV-11) имеет вид (FT (g) 1 dT ® Q dr-r dr (IV-12) при заданном граничном условии типа 1 R = r₁T =Г= = ₂ ₂t =t 決定 определяет распределение температуры по всей толщине стенки. Формула (IV-12) Переписывание (IV-13) (IV-14) Теперь 1 раз integration. As в результате после 2-го интеграла получаем общее решение уравнения. (IV-14): T(g)= CJn g 4-C₂. (IV-15) постоянная интеграция C! И С₂ должно быть определено из граничного условия(IV-13).Р= rxT₁=С₁1пг₁+С₂]и (IV-16)⁼ГГ2Т2⁷ ⁷1ПГ₂4″ С₂.

Если вы решите для (IV-16) относительно Ca, вы найдете первую интегральную константу Ca≥1n-и вторую константу Ca₂C = Tj-Cjlnr ^-br ^ linr ^ 1гг-ЛПП. ’1′ 1 замена Найдя значения Cb и C₂ в Формуле (IV-15), получим искомое распределение температуры по всей толщине цилиндрической стенки In-T ® =Tₗ+(T,-T₁) — I. (IV-17) ’ I следовательно T(g） Логарифмически зависит от радиусной координаты r. плотность теплового потока q определяется по закону Фурье. Основываясь на (IV-17), существует проходящее количество тепла.

Цилиндрическую стенку, которая указывает на единицу длины трубы, можно определить по формуле: Q-qF-q-2nr = inK (T1-T.). (IV-19) — — — в ri Q естественно не зависит от R. Тепло не будет накапливаться anywhere. By по аналогии с многослойной цилиндрической стенкой(1-6) принимается тепловое сопротивление многослойной цилиндрической стенки (рис. IV-4). Равна сумме тепловых сопротивлений отдельных слоев. На основе этого утверждения можно использовать формулу (IV-19) для создания формулы, определяющей количество тепла, которое проходит через нее.

Q-присваивается единице длины стены. Преобразуйте уравнение сферической стенки (P-54) в сферическую систему координат. Используйте его для этого Следующая зависимость между Декартовыми координатами и сферическими координатами (рис. IV-5): x = r sinccosф, y = r sin 8 sinФ, z = r cos 8.Проводимость многослойной цилиндрической стенки В В сферической системе координат форма уравнения (P-54) равна dTha2?Как туда добраться, 2 at, 1 d F. dT \ₜdtL3r3g dr’g2sinea\ ae /1_g2sin26dF2] (IV-2I) рассмотрим стационарный процесс Теплопроводность внутренней поверхности (r = rx) и наружной поверхности (r =r₂) сферической стенки (оболочки) (рис. IV-6) соответственно.

Т₂. Семь Т₂ является постоянным. То есть она не зависит от направления, которое определяется углом 8 и cp. Поэтому требуемое температурное поле сферической стенки не зависит от этих переменных、 Функция радиальной переменной r. вид дифференциального уравнения (1V-2I) в этом случае равен IV-5.Корреляция декартовых и сферических координат IV-6. Для решения задачи теплопроводности граничного значения сферической конформации (IV-22, IV-23) необходимо определить распределение температуры по всей толщине сферической стенки. Переписывание Формулы (IV-22） (Ив-24) \ m2dr доктор! сначала в результате первого интеграла получается dr r* второй .

Интеграл дает Г ® =Г (IV-25).Общее использование граничных условий (IV-23) Решите уравнение (1V-25) для определения любых констант Ci и C2:r — — — rx m \ — — ^ + c2, T \ A = — — — ^ + C2. для r = r2 G # Если вы решите эти уравнения относительно C и C₂, вы получите 1 _ _ _ _ _ 1_ Заменяет \ G «-G1 G1 gg и G₂-G1 Cx и C₂ общим решением (IV-25).Упрощенный, наконец m = r = +(T₁-t₁) r \ yr от Gg-gx (IV-26) (IV-26), температура T (g） Она изменяется по толщине сферической стенки вдоль гиперболы. Определите тепловой поток из раствора (IV-26) — CL-L) ’ 1 ’» количество тепла, передаваемого через сферу 1 yy-yy.

В единицу времени, 2 =₉Г=₉.4лг2 = 4ях (л-Г₂) -!он равен а^ -. (IV-27) / ■ » — ’ 1 не зависит от r по тем же причинам, что и для цилиндрических стенок.§ 2.Теплопроводность тела с Внутренние источники тепла процессы теплопроводности в твердых телах обусловлены внешними условиями, то есть распределением температуры и теплового потока Подвод (отвод) тепла от поверхности тела и образующейся в результате внешней среды.

Математически это выражалось в выделении определенных граничных условий на поверхности тела. Рассмотрим процесс теплопередачи, когда помимо такого внешнего источника тепла существует еще и внутренний источник (сток), который распределяется определенным образом. Объем тела. Вы можете привести много примеров таких processes. It ограничивается упоминанием о том, что тепло образуется, когда электрический ток протекает через проводник.

Тепло Количество тепловыделяющих элементов выделяется и в замедлителях реактора. Когда в рассматриваемом объеме тела происходит определенная химическая реакция, он высвобождается(поглощается） В таком вопросе теплопроводности желательным обычно является распределение температуры внутри тела субъекта, а мощность внутреннего источника тепла (стока) принимается во внимание Это было дано. Мощность источника (стока) — это количество тепла, которое выделяется (поглощается) единицей объема тела за единицу времени.

Эта сумма показана в qᵥ、 Килоджоули / кубический метр / сек (kA s /l13-sec).В зависимости от характера процессов, происходящих в рассматриваемом теле, источник тепла (Сток) может выбираться по-разному. Или концентрируйтесь на определенной части или точке объема тела в течение определенного времени, или равномерно распределяйтесь по всему объему, в зависимости от температуры. Уравнения Теплопроводность при наличии внутреннего источника тепла описывается в виде cp% — = Ky’t +qᵥ. (IV-28) изменение теплоты на единицу объема за 01 единицу времени、 .

Здесь имеет место не только процесс теплопроводности, который является первым членом в правой части формулы (IV-28), но и выделение (поглощение) тепла в единице объема qv, которое мы рассмотрим ниже. Рассматривается задача о постоянном во времени и равномерно распределенном по всему источнику тепла. Теплопроводность бесконечной стенки с внутренним источником тепла плоскость YY и неограниченная стенка (рисунок IV-7) очищаются с обеих сторон при постоянной температуре жидкости Tf. Коэффициент теплопередачи .

A и выход равномерно распределены Объем qᵥ стенки источника тепла равен given. It необходимо найти распределение температуры по всей толщине стенки. Состояние поверхности стенки x = — I n x = I является постоянным, то есть, В зависимости от координат y и z температура будет функцией только от x, а уравнение (IV-28) будет иметь вид xs_ ⁼vv IV IV’2⁾.Однако, — 1 — = а(Тх ₌ / — г.) (IV-30) dx x = 1 * последний и В других случаях источник тепла может зависеть не только от координат, но и от температуры. Для аналогичных условий симметрия на поверхности x—I .

Температурное поле для плоскости x = 0 может быть заменено условием dx x-o (IV-31).От температуры очищающего раствора вводят Счетную температуру (IV-32)и затем кромку Задача (IV-29 напишите qydx2X dx x> = Q. интегрируйте уравнение (IV-33).d / \ _ _ _ _ _ Chu ’dx \ dx j X и IV-31) re — (IV-33) (IV) B 7 1 Tf X g *’ / 1 1 x рисунок IV-7.Теплопроводность плоской стенки с источником тепла после первого уплотнения приобретает вид (IV-35), а после второго уплотнения общий раствор (IV-33) получается в виде x 4-Cj. х 4-Cₜ. Граничное условие (IV-36) (IV-34) используется для определения констант /

Cx и C₂. Из (IV-35) и 2-го граничного условия (IV-34), C,= 0. dx (IV-37) в начале условия, где x = I (IV-34), получаем 2A. то есть, подставляя значение константы произведения С₂ в (IV-37), получаем решение вида (IV-38). Решение квадратично зависит от x (параболически).С другой стороны, если не было внутреннего источника, зависимость была линейной[ссылка(Iv-8)].Представьте себе решение(IV-38) Обобщенная координата. Если вы выбираете как раздел/2Liv, то все термины (IV-38), количество с размером температуры, и половина своей толщины / характерного размера стены.

• Левая сторона (IV-39) (IV-39) является безразмерной температурой поиска. А правая сторона содержит независимые переменные в виде безразмерных координат-y и комплексных параметров Виде био-стандартом. Следовательно, (IV-39)-это (P1-13a) * q.. l2(характеристическая температура Oo = — ^ y — |является специфической функцией вида, которая получается на основе анализа） Решите уравнение (IV-33) с граничным условием (IV-34).Теплопроводность цилиндрической стенки с источником тепла делают цилиндрическую стенку (рис. IV-8) однородной.

Распределенный по всей его толщине источник тепла охлаждается снаружи жидкостью с температурой Tf \коэффициентом теплопередачи a и прочностью источника тепла qᵥ.It требуется Найти распределение температуры= = T-Tf по толщине стенки. •В этом случае вводить параметрические критерии не требуется. Если полый цилиндр в вопросе можно рассматривать Для d (g) используется уравнение dr2g, поскольку если температура окружающей среды.

Есть рисунок 1В-8.Теплопроводность цилиндрической стенки с источником тепла chu g, Cx dr X 2. Людмила Фирмаль

Tf постоянна, то желаемое распределение температуры зависит только от радиальных координат. на внешней поверхности цилиндрической стенки dr X (IV-40) r = r, предполагая, что теплообмен происходит по закону Ньютона,=: ab |(IV-41)dr r =rₜ (Ив-42) рублей. df> dr тогда dr \ dr J X если записать формулу (IV-40) в виде интеграла, то получится 1 2. ′ g (IV-44) итерационно интегрируют и получают общее решение уравнения (IV-43) 0 =—+Cilⁿr+ C»- Используйте (IV-45) A 4 граничных условия (IV-41) и (IV-42) для определения любых констант Cx и C₂.

Из условия (IV-42), M, C, ₀dr r ^rₜ2X q», то есть из условия (IV-41) определим С₂ отсюда (IV-45) и подставив значение и С₂ получим конкретное решение формулы(IV-40). Представьте себе решение (IV-46) с цилиндрической стенкой (IV-46) с обобщенными координатами(1V-46).Разделите все члены (IV-46) и выберите внешний (охлаждающий) радиус в качестве характерного размера С поверхности r2 цилиндрической стенки получаем O 4X. левая сторона (IV-47) является безразмерной искомой температурой, как и в(1V-39), а независимая переменная переходит в правую сторону. Джи! составной параметр в виде ссылки Biot, в виде g₂.

Как и в случае (IV-39), Формула (IV-47)является специфической функцией вида(1P-13a).Для цилиндрических стержень (r,= 0)обобщенная зависимость (IV-47) принимает вид (IV-48)§ 3. Теплопроводность тела с 2-мерным температурным полем 2-мерное температурное поле T-f (x, y) Получение аналитических решений, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям и граничным условиям, рекомендуется для объектов простой формы. Для тела сложной формы решением является.

Громоздкие, в некоторых случаях недоступные. Тогда для фактического расчета аналитическое решение либо упрощается одним из численных методов аппроксимации, либо ставится задача Решайте численно в электронных вычислительных машинах и тому подобное. Мы найдем аналитическое решение дифференциального уравнения для некоторых граничных условий, которые будут представлены ниже.

Для двумерного Формат температурного поля уравнения T = T (x, y) (P-54) имеет вид^ 4-^ = 0. в качестве решения dhadu1 (IV-49)мы применяем метод разделения переменных. Найти решение уравнения в виде Произведение 2 функций, то есть T = f(x, y)= X (x)Y (y), (IV-50), где X (x) — функция только переменной x. Y (y) является функцией только переменной y. Формула т из(IV-50) (1V-49), после деления на X и Y,\ _dtY__________ 1 вы получите d * XY dy * XX1 (IV-51).Поскольку левая сторона (IV-51) не зависит от x и равна значению (правая сторона), это если вы не зависите от y, общие (оба) значения не зависят от x или y. таким образом, общее значение (для обеих частей) уменьшается до постоянного значения. Это полезно для принятия формы k2.

Как и в (IV-56), напишите общее решение (IV-53) X = Cxeⁱkx+C₂e〜ⁱkx, (IV-59).Здесь (\и С₂-произвольные константы. Однако формулы e1x и е-1 actually на самом деле фактические значения х, кроме Х = 0.Используя Эйлера официальный e±ТТХ₌потому что£Х±З Син х (ИЖ-60) (ИЖ-59)* х — сов / экс-ЖБ грех КХ. (ИЖ-61） Можно написать общее решение Формулы (IV-59) на основе (IV-60) в виде T = x XU =(AcosЛх4-Bsin KX) (SEC>〜J-de-K>) (IV-62).

Применяйте его для решения конкретных задач. Теплопроводность плоских стенок с 2-мерным температурным полем рассмотрим конкретную задачу теплопроводности плоских стенок (рис. IV-9).Пусть T-форма температурного поля на стене = /(х,//), температуры в направлении оси Z во всех точках (вдоль стены толщина) X = СЈ е ’ * — r4C₂e -и KX = Ки(coskx + я грешу опций)-| −4- СГ (потому что / с GX-мне грех КХ)=(СЈ-Ф-C₂) потому что с KX + я (Cₜ-C₂） грех КХ — = а потому что КХ ^ — ПБ грех КХ -, (а = с ^ СГ, 5 = ^ −0.).

Тот же смысл. Избыточная температура(гл. Уравнение Лапласа (P-56) для этой задачи в 111,§ 2) имеет вид dx2du2. Граничное условие типа 1 O = T-Ta = 0 задается для x = 0 и x = L. где 0-искомая избыточная температура стенки. Ta-поддерживается температура боковой стенки Постоянный. (IV-63) (IV-64) 0 — > 0 как y — > — oo. (IV-66) (рисунок 1V-9) рисунок IV-9. Теплопроводность в 2D температурном поле, Т= / (*•У) где 7 \ — температура на нижнем конце (см. Рисунок). 1В-9) стены поддерживаются постоянными.

Решением уравнения (IV-63) будет уравнение (1V-62). в последнем случае абсолютная переменная температуры T заменяется избыточной переменной F. Используя граничные условия (IV-64 и IV-66), определите постоянные коэффициенты A, B, C, D. Из первого условия(1V-64) выполните x-0 и A-0. x = 0 должен быть равен нулю, но cosx |z₌ ₀ = coso = 1, то есть если он не равен пуле, то коэффициент a должен быть равен нулю. Поскольку нас интересуют нетривиальные решения, а именно, они не равны нулю Аналогично коэффициент B равен нулю, поэтому если x = L, то требуется sinkL 0.Значение нетривиального решения, удовлетворяющего границе уравнения (IV-63) .

Условие (IV-64) называется собственным значением, а нетривиальное решение этой задачи называется собственной функцией, соответствующей заданному eigenvalue. So кл- ПЛ, вот н= 0、1、2、3、…в результате k>/ / L, k₂-2n / L,…kₙ= !! Си.,…Из условия (IV-66) следует, что коэффициент C = 0 (y — * oo, если e * y неограничен） Рост.) При A = 0, C-0 решение(1V-62) не может принимать вид^-BDe sin ^-^-x ^ =£e sin ^ — ^ ^ x ^ (IV-67) решение (IV-67) удовлетворяет дифференциальному уравнению (1V-63). любое натуральное значение n. из полученного решения (IV-67) видно, что для 7 -Ta 0 условие (IV-65) не выполняется для выбора E-En. 0 после этого .

Единственным решением проблемы является тривиальное решение 0 = 0.С другой стороны, сумма любых 2 (и, следовательно, любого конечного числа) решений линейных однородных производных Уравнение также является решением. Если мы суммируем число решений типа (IV-67) до бесконечности, то увидим, что мы можем выбрать E = En так, чтобы условие (IV-65) было выполнено(или、 Условие (IV-66)] и бесконечная сумма d = 2£e_T «sin (- ^x’) (IV-68) сходятся, а краевые задачи (IV-63), (IV-64), (IV-65) и (IV-66) сходятся.

Как найти Ep Используйте граничное условие (IV-68) (IV-65). если y = 0, то форма выражения (IV-68) равна (IV-69). чтобы понять формулу (IV-69), вспомним следующее положение из математики. Функция является F (x)с периодом 2n дифференцируема или, по крайней мере, кусочно дифференцируема и может быть расширена рядом Фурье следующих форм: где a0, an и bn Величина, которая называется коэффициентом ряда Фурье и определяется по формуле: lnp-j /(x) cosnxJx (l = 1,2 t 3,…(IV-71) — — — l l°0 = ’ T (IV-713) — — — l l 6n = — J — (F (x) sin nxdx(n = l, 2, 3. ). л.(ИЖ-72) с / — — — Л. Если F (х) нечетная функция (χχ) потому что NX-это странно. Помнишь? В случае нечетной функции выполняется равенство f (- x)= — f (x).

Тогда об этом л§f (x) dx = 0-и, следовательно, в случае (IV-71) an = jf (x) cos nx dx = 0(n = 1, 2, 3,…). — Я имею в виду… Вид ряда Фурье нечетных функций (IV-70) имеет вид f(x)= S b sin px. Чтобы определить bn из (IV-73) n = I (IV-72), для четной функции используйте равенство f (- X) 0), то, изменив переменную, можно переписать Формулы (IV-73) и (IV-75) в виде ZW = BS&». грех (- ПХ） (IV-76) и L sino теперь возвращаются к Формуле (IV-69).

Положим Dx)=в этом случае Формулы (IV-69)и(IV-76) идентичны. Таким образом, выражение (IV-69) представляет собой ряд Фурье следующих констант: Интервал 10, ZJ(Z7 > 0).Константа En равна Ln и по формуле (IV-77) y-x)/ x, где n = 1,2,3……….(IV-77) 0 n = 1, 3, 5, cos pl—1 = n = 2, 4, 6, cos pl-4-1 и En = 0.Конкретные решения (IV-68) могут быть записаны в окончательном виде (IV-78).Здесь мы используем следующие результаты: если функция Dx) с периодом разлагается равномерно В случае сходящегося ряда последний должен быть ближе к Фурье. (Серия (IV-78) четко сходится равномерно.

Отметим, что согласно (IV-78), температура стенки в любой точке не зависит. Теплопроводность в случае учета отсутствия теплового потока на стене. Из полученного решения также ясно, что если = 0, то решение 0 = 0.§ 4. При передаче тепла от жидкости (а.) до падения теплопроводности в ребрах определенных пересечений через сплошную стенку к газу (А₂), общее тепловое сопротивление!K определяется. 4 -= по формуле (1-12)-+ 4-± ИЖ — ⁷⁹ > к-Аль — Xa₂ последний срок 1 /a₂ вносит наибольший вклад в общее тепловое сопротивление, 1, а в некоторых случаях и 2-х значное число больше, чем первых 2-х значное число членов 1 / aP обычно, a₂ не может быть увеличен.

Кроме того, для усиления теплопередачи поверхность стенки со стороны газа увеличена ребрами. Рассмотрим теплопроводность некоторой кромки Раздел 1112).Упростите фактический процесс и предположите следующее: 1)температура ребра T изменяется только вдоль оси Z. 2) тепло передается только в окружающую среду Верхняя (Lb) и нижняя (Lb) поверхности ребра. 3) коэффициент передачи тепла от края нервюры к окружающей среде a постоянн значение, и поток тепла Формула = a (T-T.), (IV-80), где Tf-температура окружающей среды.

Выведем дифференциальное уравнение теплопроводности для ribs. To для этого создадим уравнение теплового равновесия выделенного объема qz2hb-qz + bz2hb-a (2b & z) (T-Tj)= ребро в виде 0 (рисунок IV-10).Разделите все члены полученного уравнения на 2 hb и найдите ограничение Az O (IV-81) dz h. подставьте (IV-81) вместо q. Значение из уравнения закона Фурье (1-Za). в результате получаем искомое дифференциальное уравнение теплопроводности для рассматриваемого ребра dza.

Дополнительные граничные условия: 1) t = Tda (IV-83) решение z = O, z-L обозначается обобщенной переменной (III-13a).Введение температурных безразмерных параметров (IV-84） ’W-координата 2 tf= -^ -. (IV-85) (IV-82) эталонный Bi = — y и параметрический эталонный P = — (для характерных размеров ребер、 Его длина L и половина толщины L). в этом случае наиболее удобное для решения сочетание критериев Bi и P принимает вид: условие задачи обобщенной переменной описывается следующим образом:.

Дифференциальные уравнения (IV-82) (IV-86) дополнительные граничные условия (IV-87) и решение системы br = o = 1 (IV-88) (IV-86, IV-87, IV-88) получены с помощью гиперболической функции в виде Или позвольте мне ввести характеристики эффективности реберной кости 8-NZ-(THN) sh NZ (IV-89) chN (l-Z) ch N (IV-90).Используйте отношение тепло которое на самом деле в качестве его меры Тепло, рассеиваемое поверхностью ребра, рассеивается, если температура всей поверхности ребра равна Tw. As в рассматриваемом случае и эффективность ребер Формула fOdZ-т — — — — — — — — — — — 5-L «1-г > I» (IV-91) о (IV-92) может быть определена.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Аналитический и численный методы решения уравнения теплопроводности Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Карпович Дмитрий Семенович, Суша Оксана Николаевна, Коровкина Наталья Павловна, Кобринец Виктор Павлович

В данной статье приводится сравнение методов решения уравнения теплопроводности. Подробно рассмотрено решение аналитическим методом. Заданы условия однозначности, а также начальные и граничные условия и приведены способы их задания с учетом физических особенностей моделирования теплопроводности режущего инструмента. Составлено и решено уравнение методом разделения переменных , в виде произведения двух функций, и разложено в ряд Фурье с заданными параметрами, определяемыми характеристическим уравнением. Получено окончательное выражение распределения температуры в инструменте. Также приведен пример решения численным методом тепловых балансов, выведено уравнение в конечно-разностной форме для расчета распределения температурного поля и получено приближенное решение для температур в узловых точках. Проанализированы характерные особенности каждого метода решения одномерной нестационарной задачи теплопроводности. Представлены графики распределения температуры в инструменте для интервала времени с разным количеством элементов ряда. Сделан вывод о точности и вычислительной сложности при решении каждой рассмотренной задачи. В заключение раскрываются достоинства и недостатки аналитического и численного методов и приводится обоснование использования модифицированного численного метода в одномерной нестационарной задаче теплопроводности.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Карпович Дмитрий Семенович, Суша Оксана Николаевна, Коровкина Наталья Павловна, Кобринец Виктор Павлович

Текст научной работы на тему «Аналитический и численный методы решения уравнения теплопроводности»

ИНФОРМАТИКА И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ И УПРАВЛЕНИЕ В ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Д. С. Карпович, О. Н. Суша, Н. П. Коровкина, В. П. Кобринец

Белорусский государственный технологический университет

АНАЛИТИЧЕСКИЙ И ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

В данной статье приводится сравнение методов решения уравнения теплопроводности. Подробно рассмотрено решение аналитическим методом. Заданы условия однозначности, а также начальные и граничные условия и приведены способы их задания с учетом физических особенностей моделирования теплопроводности режущего инструмента. Составлено и решено уравнение методом разделения переменных, в виде произведения двух функций, и разложено в ряд Фурье с заданными параметрами, определяемыми характеристическим уравнением. Получено окончательное выражение распределения температуры в инструменте. Также приведен пример решения численным методом тепловых балансов, выведено уравнение в конечно-разностной форме для расчета распределения температурного поля и получено приближенное решение для температур в узловых точках. Проанализированы характерные особенности каждого метода решения одномерной нестационарной задачи теплопроводности. Представлены графики распределения температуры в инструменте для интервала времени с разным количеством элементов ряда. Сделан вывод о точности и вычислительной сложности при решении каждой рассмотренной задачи.

В заключение раскрываются достоинства и недостатки аналитического и численного методов и приводится обоснование использования модифицированного численного метода в одномерной нестационарной задаче теплопроводности.

Ключевые слова: метод разделения переменных, дифференциальное уравнение, метод конечных разностей, закон Фурье, температурное поле, граничные условия.

D. S. Karpovich, O. N. Susha, N. P. Korovkina, V. P. Kobrinets

Belarusian State Technological University

THE ANALYTICAL AND NUMERICAL METHODS

OF SOLVING THE THERMAL CONDUCTIVITY EQUATION

In this article we present a comparison of the methods of solving the thermal conductivity equation. An analytical method of solving is considered in details. The conditions of unambiguity are specified, as well as the initial and boundary conditions and ways of their definition in consideration with physical features of modelling the thermal conductivity of the cutting tool. The equation is constituted and solved by the method of division of variables, as the product of two functions, and it is separated in Fourier series with the specified parameters defined by the characteristic equation. The final expression of temperature division in the tool is obtained as well. The example of solving by a numerical method of thermal balances is given too, the equation is deduced into finite-difference form to calculate

the distribution of the temperature field and the approximate solution for temperatures in central points is obtained as well. There are analyzed characteristic features of each method of solving of one-dimensional non-stationary problem of thermal conductivity. Diagrams of the temperature distibution in the tool are presented for a time interval with a different quantity of elements of series row. We made a conclusion on accuracy and computing complexity while solving each considered problem.

In conclusion we revealed the advantages and disadvantages of analytical and numerical methods and we give proof of using the modified numerical method in solving one-dimensional non-stationary problem of thermal conductivity.

Key words: the method of division of variables, the differential equation, the method of ultimate differences, Fourier’ law, a temperature field, boundary conditions.

Введение. Существует несколько методов решения задач теплопроводности: аналитический, аналоговый, численный, графический и экспериментальный. Четыре из них исходят непосредственно из различных форм уравнений. Экспериментальным методом пользуются, когда остальные методы не дают результатов. Его применяют для определения теплофизических свойств, таких как теплопроводность и удельная теплоемкость.

Для решения задач теплопроводности в твердых телах сложной формы используются аналитические и численные методы. Решения возможны при известных краевых условиях, включающих начальное распределение температур в теле и граничные условия на поверхности тела, которые могут быть заданы одним из трех способов: температурой поверхности, тепловым потоком и коэффициентом теплоотдачи [1].

Аналитическое решение задач нестационарной теплопроводности методом разделения переменных Фурье предпочтительнее других методов при неравномерном начальном распределении температуры в теле и в тех случаях, когда нет необходимости в расчетах для очень малых времен от начала процесса.

Из численных методов решения задач теплопроводности в настоящее время наиболее ценным и широко используемым является метод конечных разностей.

Основная часть. Дифференциальное уравнение теплопроводности при отсутствии внутренних источников теплоты имеет вид

Данное уравнение известно как закон (или постулат) Фурье.

Условия однозначности задаются в виде: физических параметров X, с, р; формы и геометрических размеров объекта 10, А, /2, . 4; температуры тела в начальный момент времени т = 0:

Граничные условия могут быть заданы в следующем виде:

t (Х = Хнач ) = ^ t (Х = Хкон ) = t2 *

Решить задачу теплопроводности — значит установить зависимость между температурой t, временем т и координатами тела x, y, z.

Рассмотрим режущий инструмент толщиной 25. Если толщина инструмента мала по сравнению с длиной и шириной, то такую полоску обычно считают неограниченной.

При заданных граничных условиях коэффициент теплоотдачи а одинаков для всех точек поверхности инструмента. Изменение температуры происходит только в одном направлении x, в двух других направлениях температура не изменяется, следовательно, в пространстве задача является одномерной. Начальное распределение температуры задано некоторой функцией t(x, 0) = fx). Охлаждение происходит в среде с постоянной температурой tw = const. Отсчет температуры инструмента для любого момента времени будем вести от температуры окружающей среды. Поскольку задача в пространстве одномерная, то дифференциальное уравнение (1) принимает вид

Начальные условия: при т = 0

3 = -Эо = / (х) -*ж = Р (х). (3)

Решение дифференциального уравнения (2) ищем в виде произведения двух функций, из которых одна является функцией только т, а другая — только х (метод разделения переменных):

После подстановки последнего выражения в дифференциальное уравнение (2) имеем:

Левая часть уравнения (5) есть функция только т, а правая — функция только х.

Решая уравнение (5), находим частное решение:

Подчинив частное решение граничному условию, после простейших преобразований получим значения корней характеристического уравнения:

31 = Л1 С08| ц — I е

32 = Л.2С08|Ц28|е 2 82 ;

3п = Л Н Цп 8| е ^82

Полученные частные решения будут удовлетворять дифференциальному уравнению при любых значениях постоянных, но ни одно из этих решений не будет соответствовать действительному распределению температуры в начальный момент времени [3]. Однако путем наложения бесконечного числа таких распределений при соответствующем выборе величин Ап можно воспроизвести любую действительную температурную зависимость в начальный момент времени.

На основании сказанного общее решение можно представить суммой бесконечного ряда:

ч 2 ат X Ч ЦП «Г

Известно, что если отдельные распределения (7) удовлетворяют дифференциальному уравнению (2) и граничным условиям, то и сумма их также удовлетворяет тем же условиям. Постоянная Ап в уравнении найдется из начальных условий.

Окончательное выражение для случая равномерного распределения температуры в инструменте в начальный момент времени:

| Цп7 |е 81И Цп С08 Цп I 8

Следует отметить, что если получение точного аналитического решения связано с трудностью удовлетворения граничных условий, которые не всегда осуществимы, то при помощи численного метода всегда возможно, по крайней мере приближенно, удовлетворить граничным условиям конкретной задачи.

Получим расчетную формулу для численного интегрирования одномерной нестацио-

нарной задачи методом тепловых балансов. Пусть в этом случае процесс теплопроводности описывается уравнением

Рассмотрим применение метода к расчету температурного поля в режущем инструменте (уравнение (10)).

Разбиваем на элементарные объемы. Полагаем, что удельная теплоемкость с и коэффициент теплопроводности X в пределах элементарного участка постоянны. Очевидно, количество теплоты, подводимое стержнем к узловой точке, определится по закону Фурье. Если расстояние 5 достаточно мало, то можно выразить q через конечные:

Изменение внутренней энергии в рассматриваемой узловой точке за время Дт:

и = ерУА!’ = ерУ(!’ — t),

где с — удельная теплоемкость; р — плотность вещества; У — элементарный объем; ! — температура в данной узловой точке в момент времени т; !’ — температура в момент времени т + Дт.

С учетом сказанного уравнение теплового баланса для узловой точки будет иметь вид

Решая последнее уравнение относительно неизвестной температуры получаем:

Если учесть, что X / ср = а — коэффициент температуропроводности вещества, У = 52 и Дта / 82 = F0 — число Фурье, то уравнение (13) принимает вид

Уравнение (14) является основой численного метода расчета нестационарной теплопроводности.

Используем полученные формулы для преобразования дифференциального уравнения к конечно-разностной форме. Преобразование проведем на примере одномерной нестацио-

нарной задачи теплопроводности безграничной стенки (уравнение (10)).

Поскольку температура ¿(х, т) является функцией двух переменных, удобно выбрать прямоугольную сетку. Весь интервал изменения х от 0 до 1 по оси абсцисс разобьем на одинаковые интервалы 5х, а отрезок времени от т = 0 до т = & разделим на равномерные интервалы 5т (рис. 1).

х = 5х х = 25х х = т5х х = I х

Рис. 1. Сетка для составления уравнений

Восстановленные перпендикуляры к координатным осям в точках деления при пересечении образуют расчетные узловые точки. Тогда температура для узловой точки 1 с координатами х = тЪх и т = к5т запишется так:

Для точки 2 с координатами х = тЪх и т + 5т = (к + 1)5т имеем:

¿2 = ¿2(т5 х (к + 1)5Т) = 1п

для точки 3 с координатами х + 5х = (т + 1)5х и т + 5т = (к + 1)5т получим:

¿3 = ¿з[( т +1) 5 х,(к +1) 5Т) = г,

Заменим в точке 1 (т5х, £5т) частные производные в уравнении теплопроводности разностными отношениями:

= ТТ(^+1,к — 2(т,к + ¿т-1,к ) + 8 2, (16)

В этих выражениях е1 и е2 — остаточные члены, учитывающие переход от производных функций к разностным отношениям. Можно показать, что эти члены стремятся к нулю при стремлении к нулю интегралов разбиения 5х и 5т. Дифференциальное уравнение в конечно-разностной форме запишется следующим образом:

Решая уравнение (17) относительно будущей температуры ¿тк+1 в рассматриваемой точке, получим:

Очевидно, остаточный член в уравнении (18) будет стремиться к нулю при стремлении к нулю 5т. Следовательно, чем более мелкие интервалы выбраны для сетки узловых точек, тем меньше ошибка перехода от дифференциального уравнения к уравнению в конечных разностях. Ошибки в1 и е2 можно оценить, воспользовавшись разложением функции t в ряд Тейлора.

Отбрасывая остаточный член в уравнении (18) и обозначая приближенное значение величины ¿тк через Ттк, получим приближенное решение для будущей температуры в узловой точке (т5х, к5т):

Проанализируем формулы (9) и (19). И одна, и вторая формулы являются окончательными формулами для расчетов распределения теплового поля [3]. В данной программе мы производим вычисление температуры в ста точках инструмента для пятидесяти моментов времени. Для каждой из этих точек нахождение температуры требует вычисления суммы нескольких элементов. На рис. 2 показано поле распределения температуры при количестве элементов ряда п = 10.

1401 120 -10080 -6040 20 60

Рис. 2. Поле распределения температур при п = 10

Как видно из графика, при таком значении п решение по оси х имеет колебательные свойства. Это объясняется тем, что в формуле (9) присутствует тригонометрические функции синуса и косинуса.

При увеличении числа п данные колебательные свойства будут проявляться слабее. Действительно, на рис. 3 можно наблюдать то же поле распределения температур, но при величине п = 100.

103! 102 101! 100 99 98

Рис. 3. Поле распределения температур при п = 100

Сравнивая эти графики, можно прийти к выводу о том, что для получения распределения температуры в инструменте приемлемой точности необходимо выбирать достаточно большие значения п. Однако при этом вычислительная сложность задачи многократно возрастает. Для случая п = 100 компьютеру необходимо провести расчет 50^100^100 раз. Вычисление формулы (9) в количестве 500 000 раз является весьма длительным процессом даже на современных специализированных быстродействующих ЭВМ. Это объясняется также тем, что, кроме большого числа вычислений формулы, необходимо каждый раз рассчитывать значения синусов и косинусов. Для вычисления синуса или косинуса ЭВМ раскладывает

его в достаточно большой ряд, что еще более усиливает сложность расчетов.

В случае же реализации формулы (19) для такого же количества точек по осям времени t и длины х вычислительная сложность задачи значительно уменьшается (рис. 4).

Рис. 4. График решения уравнения теплопроводности численным методом

Действительно, для нахождения значения температур в ста точках инструмента при пятидесяти различных моментах времени необходимо будет вычислить 5000 раз формулу (19), что в сто раз меньше по сравнению с расчетом формулы (9). Кроме того, при вычислении формулы (19) отсутствует необходимость рассчитывать значения синусов и косинусов или любых других сложных математических функций.

Заключение. Проанализировав аналитическое решение уравнения теплопроводности, можно сделать вывод, что решение удается получить только для простейших условий, для тел простой формы, при этом отмечается высокая вычислительная сложность. При помощи численного метода всегда возможно удовлетворить граничным условиям задачи и решать сложные задачи, недоступные для аналитических методов. Вычислительная сложность задачи значительно меньше.

1. Суша О. Н., Карпович Д. С. Моделирование температурного поля в дереворежущем инструменте с использованием программы ANSYS // Энерго- и ресурсосберегающие технологии и оборудование, экологически безопасные технологии. Минск, 2014. С. 44-48.

2. Кудинов В. А., Кудинов И. В. Методы решения уравнений теплопроводности. Самара, 2012. 280 с.

3. Карпович Д. С. Моделирование и численное решение уравнения теплопроводности // Энерго-и ресурсосберегающие технологии и оборудование, экологически безопасные технологии. Минск, 2014. С. 311-313.

1. Susha O. N., Karpovich D. S. Simulation of temperature field in the wood-cutting tools with the ANSYS. Energo- i resursosberegayushchiye tekhnologii i oborudovanie, ekologicheski bezopasnyye

tekhnologii [Energy-saving technologies and equipment, environmentally friendly technologies], Minsk, 2014, pp. 44-48 (In Russian).

2. Kudinov V. A., Kudinov I. V. Metody reshenija uravnenij teploprovodnosti [Methods for solving the heat equation], Samara, 2012. 280 p.

3. Karpovich D. S. Modeling and numerical solution of the heat equation. Energo- i resurso-sberegayushchiye tekhnologii i oborudovanie, ekologicheski bezopasnyye tekhnologii [Energy-saving technologies and equipment, environmentally friendly technologies], Minsk, 2014, pp. 311-313 (In Russian).