Степень свободы системы линейных уравнений

iSopromat.ru

Степенью свободы системы твердых тел называется число независимых геометрических параметров полностью определяющих положение системы, например.

W=3×3 – 3×1 – 2×1 – 4 =0

Рис. 1.26 – Определение степени свободы

W − количество степеней свободы,

D − количество простейших дисков,

Ш − количество простых шарниров,

П − количество простых припаек,

С − количество опорных стержней.

Перейдем к классификации систем по величинам их степеней свободы.

1) W > 0 − система изменяема (механизм).

Непосредственно ее использование возможно лишь после добавления W связей.

Рис. 1.27 – Система, являющаяся механизмом

2) W = 0 − система при разумной расстановке связей может быть неизменяемой. Необходим дополнительно структурный анализ.

Рис. 1.28 – Геометрически неизменяемая система

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Степени свободы и статическая определимость системы

Все системы в механике можно разделить на два класса: неизменяемые системы (НС) и изменяемые системы (ИС).

Определение 1.1. Неизменяемыми, или неподвижными будем называть системы, элементы которых не могут перемещаться относительно друг друга или относительно земли, если они являются абсолютно твердыми, то есть недеформируемыми.

Изменяемыми, или подвижными будем называть системы, элементы которых могут перемещаться относительно друг друга или относительно земли, оставаясь абсолютно твердыми.

НС могут воспринимать любую нагрузку, ИС – только определенные виды нагрузок.

Например, рама на рис. 1.10, а является НС и может воспринимать как горизонтальную, так и вертикальную нагрузку, оставаясь в положении равновесия. А раму на рис. 1.10, б можно загрузить вертикальной нагрузкой, но она не способна воспринимать горизонтальную нагрузку, под действием которой она придет в движение – подобно незакрепленному на рельсах монтажному крану под действием ветра.

Нетрудно догадаться, что в строительстве в основном применяют неизменяемые системы – изменяемые здесь используют сравнительно редко и с большой осторожностью (в отличие от машиностроения, где наоборот — интерес представляют изменяемые или подвижные системы).

Все неизменяемые системы делятся на статически определимые (СОС) и статически неопределимые системы (СНС).

Напомним, что СОС – это системы, для которых число неизвестных реакций внешних и внутренних связей не превышает максимально допустимого числа уравнений статики, которые можно составить для их определения.

Если число неизвестных больше максимально допустимого числа уравнений, система называется СНС. При этом разность между числом неизвестных и числом уравнений называется степенью статической неопределимости системы.

Чтобы описать изменяемые системы введем следующее определение.

Определение 1.2. Под степенью свободы системы W будем понимать минимальное число параметров, определяющих ее положение в пространстве.

Очевидно, что для неподвижных систем W = 0, а для подвижных W ³ 1. Для точки на плоскости W = 2, и в качестве параметров можно выбрать ее декартовы координаты. Чтобы однозначно определить положение твердого тела (диска) на этой плоскости нужно задать уже три параметра. Например, координаты фиксированной точки A этого диска — x_A , y_A и угол наклона j принадлежащего ему отрезка AB (рис. 1.6). Таким образом, для диска W = 3, а система N дисков на плоскости будет иметь 3N степеней свободы.

Если два свободных диска на плоскости (W = 6) соединить одной линейной связью C₁C₂, получим систему с пятью степенями свободы (рис. 1.7), поскольку к трем параметрам для первого диска добавятся углы j₁ и j₂, определяющие положение стержня C₁C₂ относительно диска Д₁ и диска Д₂ относительно точки C₂. Аналогично, система двух дисков, соединенных двумя линейными связями (или шарниром) будет иметь 4 степени свободы.

Естественно предположить, что всякое наложение дополнительной связи уменьшает степень свободы системы на единицу, поэтому дляпроизвольной плоской системы ее можно найти по формуле:

где W* – предполагаемая или условная степень свободысистемы;

Д – число дисков;

Ш – число простых шарниров, соединяющих диски друг с другом;

С_О – число опорных связей.

Как видим, при рассмотрении любой системы возможны три варианта:

1) W* > 0 – система заведомо подвижна;

2) W* = 0 – система имеет минимальное число связей, необходимых для ее неизменяемости;

2) По формуле (1.2):

Л = 6 + 2×1 – 3×2 = 2. ·

Для плоских ферм применять формулы (1.1) и (1.2) неудобно: если С – число стержней фермы, а У – число ее узлов, то во-первых будет слишком много дисков Д = С, а во-вторых почти все шарниры будут кратными.

Гораздо проще найти степень ее свободы из следующих соображений: каждый узел имеет две степени свободы, а каждый стержень как линейная связь, уменьшает общее число степеней свободы на единицу, откуда получим:

Пример 1.2. Определить степени свободы ферм (рис. 1.9).

Решение. По формуле (1.3) находим:

– для схемы а): W* = 2×6 – 8 – 4 = 0;

– для схемы б): W* = 2×6 – 9 – 3 = 0.

Таким образом, необходимое условие неизменяемости выполняется для каждой из ферм, но только первая из них будет неподвижной. Система на рис. 1.9, б является изменяемой, и не может воспринимать показанную нагрузку, оставаясь в состоянии равновесия. ·

Примечания

1. Мы выяснили, что степень свободы зависит не только от того, какие элементы образуют систему, но и как они соединяются друг с другом. При неправильном образовании в одной части системы связи дублируют друг друга, а в другой – их недостаточно и система в целом оказывается изменяемой, как в примере на рис. 1.9, б. Вопрос о том, какие системы будут неподвижными, остается открытым.

2. Полезно рассмотреть еще одно определение.

Определение 1.3. Степень свободы системы W равна минимальному числу дополнительно введенных связей, превращающих ее в неизменяемую систему.

1.2.3.Изменяемыесистемы

Ограничимся в дальнейшем рассмотрением систем, у которых условная степень свободы W* = 0.

Мы выяснили, что такие системы могут быть как изменяемыми, так и неизменяемыми, причем в последнем случае они будут статически определимыми. Для таких систем справедливо следующее определение.

Определение 1.4. Изменяемыми называются системы, которые получаются из неизменяемых систем при определенных критических значениях параметров.

Например, НС на рис. 1.10, а при a = 0 переходит в ИС на рис. 1.10, б. Это сопровождается превращением статически определимой системы (СОС) в СНС, поскольку число линейно-независимых уравнений для определения опорных реакций уменьшается на единицу. При этом ранг матрицы этих уравнений становится равным двум, а ее определитель – равным нулю:

Изменяемые системы (W > 0, W* = 0) подразделяются на:

– геометрически изменяемые системы (ГИС);

– мгновенно изменяемые системы (МИС).

Мгновенно изменяемые отличаются от ГИС тем, что допускают не конечные – как рама на рис. 1.10, б, – а только бесконечно малые перемещения. При этом значения параметров, о которых идет речь в определении 1.4, у ГИС остаются постоянными, а у МИС – изменяются при перемещении.

Кроме того, переход неподвижных статически определимых систем в МИС может сопровождаться появлением бесконечно больших опорных реакций.

Рассмотрим, например, НС на рис. 1.11, а. Для определения опорной реакции R_B составим уравнение равновесия: SМ_А = 0, откуда найдем: R_B = Pa/D.

Эта рама переходит в МИС на рис. 1.11, б при критическом значении параметра D = 0. Нетрудно видеть, что предел R_B при D ® 0 равен бесконечности.

Это может привести к разрушению реальной конструкции, поэтому такие МИС не применяют в строительстве.

Термин «мгновенно изменяемая система», подчеркивает, что под действием приложенной нагрузки реальная деформируемая система может занять новую конфигурацию, для которой значение параметра станет отличным от критического. При этом в рассматриваемом примере (рис. 1.11, б) точка В сместится вниз и реакция R_B примет конечное значение.

Итак, мы выяснили, что принадлежность системы к классу МИС крайне нежелательна. Поэтому перечислим некоторыепризнаки МИС:

1) два диска, соединенные шарниром, связаны с остальной частью системы или с землей при помощи двух других шарниров, лежащих на одной прямой с первым (рис. 1.12);

2) диск, прикреплен к системе или к земле при помощи трех линейных связей, у которых линии действия реакций параллельны (рис. 1.13) или пересекаются в одной точке (рис. 1.14).

Рис. 1.13 Рис. 1.14

Примечания

1. МИС на рис. 1.11, б соответствует первому из приведенных признаков, роль второго диска выполняет подвижная опора В. Диск Д₁ на рис. 1.14 выполняет роль третьей линейной связи по отношению к диску Д₂.

2. Приведенные признаки МИС не являются исчерпывающими, и если исследуемая модель не отвечает им, то это не означает, что она не будет принадлежать к этому классу. Самым общим является аналитический метод исследования систем, основанный на рассмотрении уравнений равновесия для определения их опорных реакций.

3. Поскольку кинематический анализ связан с рассмотрением системы абсолютно твердых тел, он мог бы изучаться в курсе теоретической, а не как традиционно – строительной механики. Кстати, в [7] на с. 26–28 можно найти две МИС, ошибочно включенных в задание, где требуется определить опорные реакции составной конструкции.

Определение степени свободы и геометрической неизменяемости плоских систем

В строительной механике при решений задач расчета реальных сооружений на прочность, жесткость и устойчивость вместо самого сооружения рассматривается его упрощенное изображение, свободное от второстепенных, не играющих существенной роли в работе сооружения факторов, называемое расчетной схемой. В дальнейшем для краткости расчетную схему будем называть сооружением и ограничимся рассмотрением лишь сооружений в виде плоских систем, составленных из отдельных элементов, связанных между собой. Такие системы могут воспринимать нагрузку лишь в том случае, если они сохраняют заданную им при возведении внутреннюю структуру, т. е. геометрическую форму и положение. Изменяемые системы не в состоянии уравновесить внешние силы и под их действием приходят в движение, меняют свою форму. Естественно, что такие системы нельзя использовать в качестве сооружений. Другими словами, сооружение должно быть структурно, или геометрически неизменяемым (т.е.изменение его формы возможно лишь за счет деформации элементов) и неподвижным относительно основания. Для выяснения того, обладает ли данная система этой способностью, какими условиями она обеспечена, а также для уяснения роли, которую играют отдельные элементы в работе сооружения, служит кинематический анализ, который должен предшествовать расчету.

Изменяемость внутренней структуры и подвижность сооружения относительно основания характеризуются его степенью свободы – числом независимых геометрических параметров, определяющих положение всех элементов сооружения. Поэтому кинематический анализ сооружения начинается с определения его степени свободы.

Каждый структурно (геометрически) неизменяемый элемент соору­жения, называемый диском, имеет на плоскости три степени свободы, так как он может перемещаться поступательно в двух направлениях и поворачиваться вокруг любой точки. Простейшим диском является стержень. Для обеспечения неизменяемости структуры и неподвижности сооружения диски соединяют различными устройствами, ограничивающими степень свободы. Всякое устройство, отнимающее у тела одну степень свободы, называется кинематической связью. В качестве связей используют шарниры и опоры. Шарниры бывают простыми (рис.1.1,а) и кратными (рис.1.1,б). Простой шарнир соединяет два диска, кратный — более двух и эквивалентен (п — 1) простым шарнирам, где п — число соединяемых дисков. Каждый простой шарнир экви­валентен двум связям, так как препятствует любым двум взаимным ли­нейным смещениям двух дисков, оставляя возможность взаимного их поворота. Различают следующие типы расчетных схем опор (рис. 1.2): а — цилиндрическая подвижная, или шарнирно подвижная, б — цилиндрическая неподвижная, или шарнирно неподвижная,

в — защемляющая неподвижная, или жесткая заделка, г — защемляющая подвижная, или скользящая заделка, эквивалентные соответственно одному, двум, трем и двум опорным стержням, в каждом из которых действует опорная реакция. На рис. 1.3 показаны шарнирно-стержневые эквиваленты жесткой и скользящей заделок. Здесь расстояние l₀ назы­вается глубиной заделки, а произведение V₂l₀= М — опорным мо­ментом или моментом в заделке. Каждый опорный стержень эквитвалентен одной связи, так как препятствует перемещению диска в направлении стержня.

Из сказанного выше следует, что степень свободы W сооружения, состоящего из Д дисков, соединенных Ш простыми шарнирами и име­ющего С₀ опорных стержней, может быть определена по формуле П.Л.Чебышева:

Для определения числа Д необходимо предварительно отбросить все шарниры и опоры, а для определения числа Ш — все опоры.

Для шарнирно-стержневых систем (ферм), т. е. систем, состоящих из стержней, соединенных между собой по концам шарнирами (причем каждый стержень прикрепляется к соседним только двумя шарнирами), степень свободы может быть определена по более простой формуле:

где У — число узлов фермы; С — число внутренних стержней фермы; С_о — число опорных стержней. Эта формула получена исходя из того, что каждый узел, как точка, имеет на плоскости две степени свободы, а каждый стержень, соединяющий два узла, или опорный эквивалентны одной связи, так как налагает на координаты этих точек единственное условие — постоянство расстояния.

Степень свободы системы, не имеющей опорных стержней, скла­дывается из двух частей: степени изменяемости внутренней структуры системы и степени подвижности ее относительно основания, которая равна трем. Обозначая степень изменяемости структуры системы через И, можно записать

И = W – 3 = 3Д – 2Ш – 3 (1.3)

или для шарнирно-стержневых систем

Для системы, имеющей опорные стержни, не делают различия между степенью свободы и степенью изменяемости, рассматривая основание в качестве диска, связанного с сооружением опорными стержнями.

При определении степени свободы или степени изменяемости системы возможны следующие три качественно различных результата:

1. W > 0 или И > 0 — система структурно изменяемая, так как не имеет достаточного количества связей. Система, для которой W = 1 или И = 1, называется механизмом.

2. W = 0 или И = 0 — система обладает необходимым минимумом связей, чтобы быть неподвижной и неизменяемой.

Дата добавления: 2014-12-08 ; просмотров: 11254 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ