Уравнение нелинейной регрессии
Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Уравнение множественной регрессии
Виды нелинейной регрессии
Вид | Класс нелинейных моделей |
| Нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам |
| Нелинейные по оцениваемым параметрам |
Здесь ε — случайная ошибка (отклонение, возмущение), отражающая влияние всех неучтенных факторов.
Уравнению регрессии первого порядка — это уравнение парной линейной регрессии.
Уравнение регрессии второго порядка это полиномальное уравнение регрессии второго порядка: y = a + bx + cx 2 .
Уравнение регрессии третьего порядка соответственно полиномальное уравнение регрессии третьего порядка: y = a + bx + cx 2 + dx 3 .
Чтобы привести нелинейные зависимости к линейной используют методы линеаризации (см. метод выравнивания):
- Замена переменных.
- Логарифмирование обеих частей уравнения.
- Комбинированный.
y = f(x) | Преобразование | Метод линеаризации |
y = b x a | Y = ln(y); X = ln(x) | Логарифмирование |
y = b e ax | Y = ln(y); X = x | Комбинированный |
y = 1/(ax+b) | Y = 1/y; X = x | Замена переменных |
y = x/(ax+b) | Y = x/y; X = x | Замена переменных. Пример |
y = aln(x)+b | Y = y; X = ln(x) | Комбинированный |
y = a + bx + cx 2 | x1 = x; x2 = x 2 | Замена переменных |
y = a + bx + cx 2 + dx 3 | x1 = x; x2 = x 2 ; x3 = x 3 | Замена переменных |
y = a + b/x | x1 = 1/x | Замена переменных |
y = a + sqrt(x)b | x1 = sqrt(x) | Замена переменных |
Пример . По данным, взятым из соответствующей таблицы, выполнить следующие действия:
- Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи.
- Рассчитать параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.
- Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
- Дать с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
- Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.
- Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выбрать лучшее уравнение регрессии и дать его обоснование.
- Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 15% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости α=0,05 .
- Оценить полученные результаты, выводы оформить в аналитической записке.
Год | Фактическое конечное потребление домашних хозяйств (в текущих ценах), млрд. руб. (1995 г. — трлн. руб.), y | Среднедушевые денежные доходы населения (в месяц), руб. (1995 г. — тыс. руб.), х |
1995 | 872 | 515,9 |
2000 | 3813 | 2281,1 |
2001 | 5014 | 3062 |
2002 | 6400 | 3947,2 |
2003 | 7708 | 5170,4 |
2004 | 9848 | 6410,3 |
2005 | 12455 | 8111,9 |
2006 | 15284 | 10196 |
2007 | 18928 | 12602,7 |
2008 | 23695 | 14940,6 |
2009 | 25151 | 16856,9 |
Решение. В калькуляторе последовательно выбираем виды нелинейной регрессии. Получим таблицу следующего вида.
Экспоненциальное уравнение регрессии имеет вид y = a e bx
После линеаризации получим: ln(y) = ln(a) + bx
Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.000162, a = 7.8132
Уравнение регрессии: y = e 7.81321500 e 0.000162x = 2473.06858e 0.000162x
Степенное уравнение регрессии имеет вид y = a x b
После линеаризации получим: ln(y) = ln(a) + b ln(x)
Эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.9626, a = 0.7714
Уравнение регрессии: y = e 0.77143204 x 0.9626 = 2.16286x 0.9626
Гиперболическое уравнение регрессии имеет вид y = b/x + a + ε
После линеаризации получим: y=bx + a
Эмпирические коэффициенты регрессии: b = 21089190.1984, a = 4585.5706
Эмпирическое уравнение регрессии: y = 21089190.1984 / x + 4585.5706
Логарифмическое уравнение регрессии имеет вид y = b ln(x) + a + ε
Эмпирические коэффициенты регрессии: b = 7142.4505, a = -49694.9535
Уравнение регрессии: y = 7142.4505 ln(x) — 49694.9535
Задача №1 Построение уравнения регрессии
Имеются следующие данные разных стран об индексе розничных цен на продукты питания (х) и об индексе промышленного производства (у).
Индекс розничных цен на продукты питания (х) | Индекс промышленного производства (у) | |
---|---|---|
1 | 100 | 70 |
2 | 105 | 79 |
3 | 108 | 85 |
4 | 113 | 84 |
5 | 118 | 85 |
6 | 118 | 85 |
7 | 110 | 96 |
8 | 115 | 99 |
9 | 119 | 100 |
10 | 118 | 98 |
11 | 120 | 99 |
12 | 124 | 102 |
13 | 129 | 105 |
14 | 132 | 112 |
Требуется:
1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:
В) равносторонней гиперболы.
2. Для каждой модели рассчитать показатели: тесноты связи и среднюю ошибку аппроксимации.
3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.
4. Выполнить прогноз значения индекса промышленного производства у при прогнозном значении индекса розничных цен на продукты питания х=138.
Решение:
1. Для расчёта параметров линейной регрессии
Решаем систему нормальных уравнений относительно a и b:
Построим таблицу расчётных данных, как показано в таблице 1.
Таблица 1 Расчетные данные для оценки линейной регрессии
№ п/п | х | у | ху | x 2 | y 2 | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 100 | 70 | 7000 | 10000 | 4900 | 74,26340 | 0,060906 |
2 | 105 | 79 | 8295 | 11025 | 6241 | 79,92527 | 0,011712 |
3 | 108 | 85 | 9180 | 11664 | 7225 | 83,32238 | 0,019737 |
4 | 113 | 84 | 9492 | 12769 | 7056 | 88,98425 | 0,059336 |
5 | 118 | 85 | 10030 | 13924 | 7225 | 94,64611 | 0,113484 |
6 | 118 | 85 | 10030 | 13924 | 7225 | 94,64611 | 0,113484 |
7 | 110 | 96 | 10560 | 12100 | 9216 | 85,58713 | 0,108467 |
8 | 115 | 99 | 11385 | 13225 | 9801 | 91,24900 | 0,078293 |
9 | 119 | 100 | 11900 | 14161 | 10000 | 95,77849 | 0,042215 |
10 | 118 | 98 | 11564 | 13924 | 9604 | 94,64611 | 0,034223 |
11 | 120 | 99 | 11880 | 14400 | 9801 | 96,91086 | 0,021102 |
12 | 124 | 102 | 12648 | 15376 | 10404 | 101,4404 | 0,005487 |
13 | 129 | 105 | 13545 | 16641 | 11025 | 107,1022 | 0,020021 |
14 | 132 | 112 | 14784 | 17424 | 12544 | 110,4993 | 0,013399 |
Итого: | 1629 | 1299 | 152293 | 190557 | 122267 | 1299,001 | 0,701866 |
Среднее значение: | 116,3571 | 92,78571 | 10878,07 | 13611,21 | 8733,357 | х | х |
8,4988 | 11,1431 | х | х | х | х | х | |
72,23 | 124,17 | х | х | х | х | х |
Среднее значение определим по формуле:
Cреднее квадратическое отклонение рассчитаем по формуле:
и занесём полученный результат в таблицу 1.
Возведя в квадрат полученное значение получим дисперсию:
Параметры уравнения можно определить также и по формулам:
Таким образом, уравнение регрессии:
Следовательно, с увеличением индекса розничных цен на продукты питания на 1, индекс промышленного производства увеличивается в среднем на 1,13.
Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:
Связь прямая, достаточно тесная.
Определим коэффициент детерминации:
Вариация результата на 74,59% объясняется вариацией фактора х.
Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчётные) значения .
,
следовательно, параметры уравнения определены правильно.
Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации – среднее отклонение расчётных значений от фактических:
В среднем расчётные значения отклоняются от фактических на 5,01%.
Оценку качества уравнения регрессии проведём с помощью F-теста.
F-тест состоит в проверке гипотезы Н0 о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического Fфакт и критического (табличного) Fтабл значений F-критерия Фишера.
Fфакт определяется по формуле:
где n – число единиц совокупности;
m – число параметров при переменных х.
Таким образом, Н0 – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признаётся их статистическая значимость и надёжность.
Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза.
Если прогнозное значение индекса розничных цен на продукты питания х = 138, тогда прогнозное значение индекса промышленного производства составит:
2. Степенная регрессия имеет вид:
Для определения параметров производят логарифмирование степенной функции:
Для определения параметров логарифмической функции строят систему нормальных уравнений по способу наименьших квадратов:
Построим таблицу расчётных данных, как показано в таблице 2.
Таблица 2 Расчетные данные для оценки степенной регрессии
№п/п | х | у | lg x | lg y | lg x*lg y | (lg x) 2 | (lg y) 2 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 100 | 70 | 2,000000 | 1,845098 | 3,690196 | 4,000000 | 3,404387 |
2 | 105 | 79 | 2,021189 | 1,897627 | 3,835464 | 4,085206 | 3,600989 |
3 | 108 | 85 | 2,033424 | 1,929419 | 3,923326 | 4,134812 | 3,722657 |
4 | 113 | 84 | 2,053078 | 1,924279 | 3,950696 | 4,215131 | 3,702851 |
5 | 118 | 85 | 2,071882 | 1,929419 | 3,997528 | 4,292695 | 3,722657 |
6 | 118 | 85 | 2,071882 | 1,929419 | 3,997528 | 4,292695 | 3,722657 |
7 | 110 | 96 | 2,041393 | 1,982271 | 4,046594 | 4,167284 | 3,929399 |
8 | 115 | 99 | 2,060698 | 1,995635 | 4,112401 | 4,246476 | 3,982560 |
9 | 119 | 100 | 2,075547 | 2,000000 | 4,151094 | 4,307895 | 4,000000 |
10 | 118 | 98 | 2,071882 | 1,991226 | 4,125585 | 4,292695 | 3,964981 |
11 | 120 | 99 | 2,079181 | 1,995635 | 4,149287 | 4,322995 | 3,982560 |
12 | 124 | 102 | 2,093422 | 2,008600 | 4,204847 | 4,382414 | 4,034475 |
13 | 129 | 105 | 2,110590 | 2,021189 | 4,265901 | 4,454589 | 4,085206 |
14 | 132 | 112 | 2,120574 | 2,049218 | 4,345518 | 4,496834 | 4,199295 |
Итого | 1629 | 1299 | 28,90474 | 27,49904 | 56,79597 | 59,69172 | 54,05467 |
Среднее значение | 116,3571 | 92,78571 | 2,064624 | 1,964217 | 4,056855 | 4,263694 | 3,861048 |
8,4988 | 11,1431 | 0,031945 | 0,053853 | х | х | х | |
72,23 | 124,17 | 0,001021 | 0,0029 | х | х | х |
Продолжение таблицы 2 Расчетные данные для оценки степенной регрессии
№п/п | х | у | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
1 | 100 | 70 | 74,16448 | 17,34292 | 0,059493 | 519,1886 |
2 | 105 | 79 | 79,62057 | 0,385112 | 0,007855 | 190,0458 |
3 | 108 | 85 | 82,95180 | 4,195133 | 0,024096 | 60,61728 |
4 | 113 | 84 | 88,59768 | 21,13866 | 0,054734 | 77,1887 |
5 | 118 | 85 | 94,35840 | 87,57961 | 0,110099 | 60,61728 |
6 | 118 | 85 | 94,35840 | 87,57961 | 0,110099 | 60,61728 |
7 | 110 | 96 | 85,19619 | 116,7223 | 0,11254 | 10,33166 |
8 | 115 | 99 | 90,88834 | 65,79901 | 0,081936 | 38,6174 |
9 | 119 | 100 | 95,52408 | 20,03384 | 0,044759 | 52,04598 |
10 | 118 | 98 | 94,35840 | 13,26127 | 0,037159 | 27,18882 |
11 | 120 | 99 | 96,69423 | 5,316563 | 0,023291 | 38,6174 |
12 | 124 | 102 | 101,4191 | 0,337467 | 0,005695 | 84,90314 |
13 | 129 | 105 | 107,4232 | 5,872099 | 0,023078 | 149,1889 |
14 | 132 | 112 | 111,0772 | 0,85163 | 0,00824 | 369,1889 |
Итого | 1629 | 1299 | 1296,632 | 446,4152 | 0,703074 | 1738,357 |
Среднее значение | 116,3571 | 92,78571 | х | х | х | х |
8,4988 | 11,1431 | х | х | х | х | |
72,23 | 124,17 | х | х | х | х |
Решая систему нормальных уравнений, определяем параметры логарифмической функции.
Получим линейное уравнение:
Выполнив его потенцирование, получим:
Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоретические значения результата . По ним рассчитаем показатели: тесноты связи – индекс корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.
Связь достаточно тесная.
В среднем расчётные значения отклоняются от фактических на 5,02%.
Таким образом, Н0 – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признаётся их статистическая значимость и надёжность.
Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение индекса розничных цен на продукты питания х = 138, тогда прогнозное значение индекса промышленного производства составит:
3. Уравнение равносторонней гиперболы
Для определения параметров этого уравнения используется система нормальных уравнений:
Произведем замену переменных
и получим следующую систему нормальных уравнений:
Решая систему нормальных уравнений, определяем параметры гиперболы.
Составим таблицу расчётных данных, как показано в таблице 3.
Таблица 3 Расчетные данные для оценки гиперболической зависимости
№п/п | х | у | z | yz | ||
---|---|---|---|---|---|---|
1 | 100 | 70 | 0,010000000 | 0,700000 | 0,0001000 | 4900 |
2 | 105 | 79 | 0,009523810 | 0,752381 | 0,0000907 | 6241 |
3 | 108 | 85 | 0,009259259 | 0,787037 | 0,0000857 | 7225 |
4 | 113 | 84 | 0,008849558 | 0,743363 | 0,0000783 | 7056 |
5 | 118 | 85 | 0,008474576 | 0,720339 | 0,0000718 | 7225 |
6 | 118 | 85 | 0,008474576 | 0,720339 | 0,0000718 | 7225 |
7 | 110 | 96 | 0,009090909 | 0,872727 | 0,0000826 | 9216 |
8 | 115 | 99 | 0,008695652 | 0,860870 | 0,0000756 | 9801 |
9 | 119 | 100 | 0,008403361 | 0,840336 | 0,0000706 | 10000 |
10 | 118 | 98 | 0,008474576 | 0,830508 | 0,0000718 | 9604 |
11 | 120 | 99 | 0,008333333 | 0,825000 | 0,0000694 | 9801 |
12 | 124 | 102 | 0,008064516 | 0,822581 | 0,0000650 | 10404 |
13 | 129 | 105 | 0,007751938 | 0,813953 | 0,0000601 | 11025 |
14 | 132 | 112 | 0,007575758 | 0,848485 | 0,0000574 | 12544 |
Итого: | 1629 | 1299 | 0,120971823 | 11,13792 | 0,0010510 | 122267 |
Среднее значение: | 116,3571 | 92,78571 | 0,008640844 | 0,795566 | 0,0000751 | 8733,357 |
8,4988 | 11,1431 | 0,000640820 | х | х | х | |
72,23 | 124,17 | 0,000000411 | х | х | х |
Продолжение таблицы 3 Расчетные данные для оценки гиперболической зависимости
№п/п | х | у | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
1 | 100 | 70 | 72,3262 | 0,033231 | 5,411206 | 519,1886 |
2 | 105 | 79 | 79,49405 | 0,006254 | 0,244083 | 190,0458 |
3 | 108 | 85 | 83,47619 | 0,017927 | 2,322012 | 60,61728 |
4 | 113 | 84 | 89,64321 | 0,067181 | 31,84585 | 77,1887 |
5 | 118 | 85 | 95,28761 | 0,121031 | 105,8349 | 60,61728 |
6 | 118 | 85 | 95,28761 | 0,121031 | 105,8349 | 60,61728 |
7 | 110 | 96 | 86,01027 | 0,10406 | 99,79465 | 10,33166 |
8 | 115 | 99 | 91,95987 | 0,071112 | 49,56344 | 38,6174 |
9 | 119 | 100 | 96,35957 | 0,036404 | 13,25272 | 52,04598 |
10 | 118 | 98 | 95,28761 | 0,027677 | 7,357059 | 27,18882 |
11 | 120 | 99 | 97,41367 | 0,016024 | 2,516453 | 38,6174 |
12 | 124 | 102 | 101,46 | 0,005294 | 0,291565 | 84,90314 |
13 | 129 | 105 | 106,1651 | 0,011096 | 1,357478 | 149,1889 |
14 | 132 | 112 | 108,8171 | 0,028419 | 10,1311 | 369,1889 |
Итого: | 1629 | 1299 | 1298,988 | 0,666742 | 435,7575 | 1738,357 |
Среднее значение: | 116,3571 | 92,78571 | х | х | х | х |
8,4988 | 11,1431 | х | х | х | х | |
72,23 | 124,17 | х | х | х | х |
Значения параметров регрессии a и b составили:
Связь достаточно тесная.
В среднем расчётные значения отклоняются от фактических на 4,76%.
Таким образом, Н0 – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признаётся их статистическая значимость и надёжность.
Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение индекса розничных цен на продукты питания х = 138, тогда прогнозное значение индекса промышленного производства составит:
По уравнению равносторонней гиперболы получена наибольшая оценка тесноты связи по сравнению с линейной и степенной регрессиями. Средняя ошибка аппроксимации остаётся на допустимом уровне.
Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессий
2. Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессий.
· Рассчитаем параметры уравнений линейной парной регрессии. Для расчета параметров a и b линейной регрессии y=a+b*x решаем систему нормальных уравнений относительно a и b:
По исходным данным рассчитываем ∑y, ∑x, ∑yx, ∑x 2 , ∑y 2 (табл. 2):
№ региона | X | Y | XY | X^2 | Y^2 | Y^cp | Y-Y^cp | Ai |
1 | 2,800 | 28,000 | 78,400 | 7,840 | 784,000 | 25,719 | 2,281 | 0,081 |
2 | 2,400 | 21,300 | 51,120 | 5,760 | 453,690 | 22,870 | -1,570 | 0,074 |
3 | 2,100 | 21,000 | 44,100 | 4,410 | 441,000 | 20,734 | 0,266 | 0,013 |
4 | 2,600 | 23,300 | 60,580 | 6,760 | 542,890 | 24,295 | -0,995 | 0,043 |
5 | 1,700 | 15,800 | 26,860 | 2,890 | 249,640 | 17,885 | -2,085 | 0,132 |
6 | 2,500 | 21,900 | 54,750 | 6,250 | 479,610 | 23,582 | -1,682 | 0,077 |
7 | 2,400 | 20,000 | 48,000 | 5,760 | 400,000 | 22,870 | -2,870 | 0,144 |
8 | 2,600 | 22,000 | 57,200 | 6,760 | 484,000 | 24,295 | -2,295 | 0,104 |
9 | 2,800 | 23,900 | 66,920 | 7,840 | 571,210 | 25,719 | -1,819 | 0,076 |
10 | 2,600 | 26,000 | 67,600 | 6,760 | 676,000 | 24,295 | 1,705 | 0,066 |
11 | 2,600 | 24,600 | 63,960 | 6,760 | 605,160 | 24,295 | 0,305 | 0,012 |
12 | 2,500 | 21,000 | 52,500 | 6,250 | 441,000 | 23,582 | -2,582 | 0,123 |
13 | 2,900 | 27,000 | 78,300 | 8,410 | 729,000 | 26,431 | 0,569 | 0,021 |
14 | 2,600 | 21,000 | 54,600 | 6,760 | 441,000 | 24,295 | -3,295 | 0,157 |
15 | 2,200 | 24,000 | 52,800 | 4,840 | 576,000 | 21,446 | 2,554 | 0,106 |
16 | 2,600 | 34,000 | 88,400 | 6,760 | 1156,000 | 24,295 | 9,705 | 0,285 |
17 | 3,300 | 31,900 | 105,270 | 10,890 | 1017,610 | 29,280 | 2,620 | 0,082 |
19 | 3,900 | 33,000 | 128,700 | 15,210 | 1089,000 | 33,553 | -0,553 | 0,017 |
20 | 4,600 | 35,400 | 162,840 | 21,160 | 1253,160 | 38,539 | -3,139 | 0,089 |
21 | 3,700 | 34,000 | 125,800 | 13,690 | 1156,000 | 32,129 | 1,871 | 0,055 |
22 | 3,400 | 31,000 | 105,400 | 11,560 | 961,000 | 29,992 | 1,008 | 0,033 |
Итого | 58,800 | 540,100 | 1574,100 | 173,320 | 14506,970 | 540,100 | 0,000 | |
сред значение | 2,800 | 25,719 | 74,957 | 8,253 | 690,808 | 0,085 | ||
станд. откл | 0,643 | 5,417 |
Система нормальных уравнений составит:
Ур-ие регрессии: = 5,777+7,122∙x. Данное уравнение показывает, что с увеличением среднедушевого денежного дохода в месяц на 1 тыс. руб. доля розничных продаж телевизоров повышается в среднем на 7,12%.
· Рассчитаем параметры уравнений степенной парной регрессии. Построению степенной модели предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:
где
Для расчетов используем данные табл. 3:
№ рег | X | Y | XY | X^2 | Y^2 | Yp^cp | y^cp |
1 | 1,030 | 3,332 | 3,431 | 1,060 | 11,104 | 3,245 | 25,67072 |
2 | 0,875 | 3,059 | 2,678 | 0,766 | 9,356 | 3,116 | 22,56102 |
3 | 0,742 | 3,045 | 2,259 | 0,550 | 9,269 | 3,004 | 20,17348 |
4 | 0,956 | 3,148 | 3,008 | 0,913 | 9,913 | 3,183 | 24,12559 |
5 | 0,531 | 2,760 | 1,465 | 0,282 | 7,618 | 2,827 | 16,90081 |
6 | 0,916 | 3,086 | 2,828 | 0,840 | 9,526 | 3,150 | 23,34585 |
7 | 0,875 | 2,996 | 2,623 | 0,766 | 8,974 | 3,116 | 22,56102 |
8 | 0,956 | 3,091 | 2,954 | 0,913 | 9,555 | 3,183 | 24,12559 |
9 | 1,030 | 3,174 | 3,268 | 1,060 | 10,074 | 3,245 | 25,67072 |
10 | 0,956 | 3,258 | 3,113 | 0,913 | 10,615 | 3,183 | 24,12559 |
11 | 0,956 | 3,203 | 3,060 | 0,913 | 10,258 | 3,183 | 24,12559 |
12 | 0,916 | 3,045 | 2,790 | 0,840 | 9,269 | 3,150 | 23,34585 |
13 | 1,065 | 3,296 | 3,509 | 1,134 | 10,863 | 3,275 | 26,4365 |
14 | 0,956 | 3,045 | 2,909 | 0,913 | 9,269 | 3,183 | 24,12559 |
15 | 0,788 | 3,178 | 2,506 | 0,622 | 10,100 | 3,043 | 20,97512 |
16 | 0,956 | 3,526 | 3,369 | 0,913 | 12,435 | 3,183 | 24,12559 |
17 | 1,194 | 3,463 | 4,134 | 1,425 | 11,990 | 3,383 | 29,4585 |
19 | 1,361 | 3,497 | 4,759 | 1,852 | 12,226 | 3,523 | 33,88317 |
20 | 1,526 | 3,567 | 5,443 | 2,329 | 12,721 | 3,661 | 38,90802 |
21 | 1,308 | 3,526 | 4,614 | 1,712 | 12,435 | 3,479 | 32,42145 |
22 | 1,224 | 3,434 | 4,202 | 1,498 | 11,792 | 3,408 | 30,20445 |
итого | 21,115 | 67,727 | 68,921 | 22,214 | 219,361 | 67,727 | 537,270 |
сред зн | 1,005 | 3,225 | 3,282 | 1,058 | 10,446 | 3,225 | |
стан откл | 0,216 | 0,211 |
Рассчитаем С и b:
Получим линейное уравнение: . Выполнив его потенцирование, получим:
Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоретические значения результата y.
· Рассчитаем параметры уравнений экспоненциальной парной регрессии. Построению экспоненциальной модели предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:
где
Для расчетов используем данные табл. 4:
№ региона | X | Y | XY | X^2 | Y^2 | Yp | y^cp |
1 | 2,800 | 3,332 | 9,330 | 7,840 | 11,104 | 3,225 | 25,156 |
2 | 2,400 | 3,059 | 7,341 | 5,760 | 9,356 | 3,116 | 22,552 |
3 | 2,100 | 3,045 | 6,393 | 4,410 | 9,269 | 3,034 | 20,777 |
4 | 2,600 | 3,148 | 8,186 | 6,760 | 9,913 | 3,170 | 23,818 |
5 | 1,700 | 2,760 | 4,692 | 2,890 | 7,618 | 2,925 | 18,625 |
6 | 2,500 | 3,086 | 7,716 | 6,250 | 9,526 | 3,143 | 23,176 |
7 | 2,400 | 2,996 | 7,190 | 5,760 | 8,974 | 3,116 | 22,552 |
8 | 2,600 | 3,091 | 8,037 | 6,760 | 9,555 | 3,170 | 23,818 |
9 | 2,800 | 3,174 | 8,887 | 7,840 | 10,074 | 3,225 | 25,156 |
10 | 2,600 | 3,258 | 8,471 | 6,760 | 10,615 | 3,170 | 23,818 |
11 | 2,600 | 3,203 | 8,327 | 6,760 | 10,258 | 3,170 | 23,818 |
12 | 2,500 | 3,045 | 7,611 | 6,250 | 9,269 | 3,143 | 23,176 |
13 | 2,900 | 3,296 | 9,558 | 8,410 | 10,863 | 3,252 | 25,853 |
14 | 2,600 | 3,045 | 7,916 | 6,760 | 9,269 | 3,170 | 23,818 |
15 | 2,200 | 3,178 | 6,992 | 4,840 | 10,100 | 3,061 | 21,352 |
16 | 2,600 | 3,526 | 9,169 | 6,760 | 12,435 | 3,170 | 23,818 |
17 | 3,300 | 3,463 | 11,427 | 10,890 | 11,990 | 3,362 | 28,839 |
19 | 3,900 | 3,497 | 13,636 | 15,210 | 12,226 | 3,526 | 33,978 |
20 | 4,600 | 3,567 | 16,407 | 21,160 | 12,721 | 3,717 | 41,140 |
21 | 3,700 | 3,526 | 13,048 | 13,690 | 12,435 | 3,471 | 32,170 |
22 | 3,400 | 3,434 | 11,676 | 11,560 | 11,792 | 3,389 | 29,638 |
Итого | 58,800 | 67,727 | 192,008 | 173,320 | 219,361 | 67,727 | 537,053 |
сред зн | 2,800 | 3,225 | 9,143 | 8,253 | 10,446 | ||
стан откл | 0,643 | 0,211 |
Рассчитаем С и b:
Получим линейное уравнение: . Выполнив его потенцирование, получим:
Для расчета теоретических значений y подставим в уравнение значения x.
· Рассчитаем параметры уравнений полулогарифмической парной регрессии. Построению полулогарифмической модели предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем замены:
где
Для расчетов используем данные табл. 5:
№ региона | X | Y | XY | X^2 | Y^2 | y^cp |
1 | 1,030 | 28,000 | 28,829 | 1,060 | 784,000 | 26,238 |
2 | 0,875 | 21,300 | 18,647 | 0,766 | 453,690 | 22,928 |
3 | 0,742 | 21,000 | 15,581 | 0,550 | 441,000 | 20,062 |
4 | 0,956 | 23,300 | 22,263 | 0,913 | 542,890 | 24,647 |
5 | 0,531 | 15,800 | 8,384 | 0,282 | 249,640 | 15,525 |
6 | 0,916 | 21,900 | 20,067 | 0,840 | 479,610 | 23,805 |
7 | 0,875 | 20,000 | 17,509 | 0,766 | 400,000 | 22,928 |
8 | 0,956 | 22,000 | 21,021 | 0,913 | 484,000 | 24,647 |
9 | 1,030 | 23,900 | 24,608 | 1,060 | 571,210 | 26,238 |
10 | 0,956 | 26,000 | 24,843 | 0,913 | 676,000 | 24,647 |
11 | 0,956 | 24,600 | 23,506 | 0,913 | 605,160 | 24,647 |
12 | 0,916 | 21,000 | 19,242 | 0,840 | 441,000 | 23,805 |
13 | 1,065 | 27,000 | 28,747 | 1,134 | 729,000 | 26,991 |
14 | 0,956 | 21,000 | 20,066 | 0,913 | 441,000 | 24,647 |
15 | 0,788 | 24,000 | 18,923 | 0,622 | 576,000 | 21,060 |
16 | 0,956 | 34,000 | 32,487 | 0,913 | 1156,000 | 24,647 |
17 | 1,194 | 31,900 | 38,086 | 1,425 | 1017,610 | 29,765 |
19 | 1,361 | 33,000 | 44,912 | 1,852 | 1089,000 | 33,351 |
20 | 1,526 | 35,400 | 54,022 | 2,329 | 1253,160 | 36,895 |
21 | 1,308 | 34,000 | 44,483 | 1,712 | 1156,000 | 32,221 |
22 | 1,224 | 31,000 | 37,937 | 1,498 | 961,000 | 30,406 |
Итого | 21,115 | 540,100 | 564,166 | 22,214 | 14506,970 | 540,100 |
сред зн | 1,005 | 25,719 | 26,865 | 1,058 | 690,808 | |
стан откл | 0,216 | 5,417 |
Рассчитаем a и b:
Получим линейное уравнение: .
· Рассчитаем параметры уравнений обратной парной регрессии. Для оценки параметров приведем обратную модель к линейному виду, заменив , тогда
Для расчетов используем данные табл. 6:
№ региона | X | Y | XY | X^2 | Y^2 | Y^cp |
1 | 2,800 | 0,036 | 0,100 | 7,840 | 0,001 | 24,605 |
2 | 2,400 | 0,047 | 0,113 | 5,760 | 0,002 | 22,230 |
3 | 2,100 | 0,048 | 0,100 | 4,410 | 0,002 | 20,729 |
4 | 2,600 | 0,043 | 0,112 | 6,760 | 0,002 | 23,357 |
5 | 1,700 | 0,063 | 0,108 | 2,890 | 0,004 | 19,017 |
6 | 2,500 | 0,046 | 0,114 | 6,250 | 0,002 | 22,780 |
7 | 2,400 | 0,050 | 0,120 | 5,760 | 0,003 | 22,230 |
8 | 2,600 | 0,045 | 0,118 | 6,760 | 0,002 | 23,357 |
9 | 2,800 | 0,042 | 0,117 | 7,840 | 0,002 | 24,605 |
10 | 2,600 | 0,038 | 0,100 | 6,760 | 0,001 | 23,357 |
11 | 2,600 | 0,041 | 0,106 | 6,760 | 0,002 | 23,357 |
12 | 2,500 | 0,048 | 0,119 | 6,250 | 0,002 | 22,780 |
13 | 2,900 | 0,037 | 0,107 | 8,410 | 0,001 | 25,280 |
14 | 2,600 | 0,048 | 0,124 | 6,760 | 0,002 | 23,357 |
15 | 2,200 | 0,042 | 0,092 | 4,840 | 0,002 | 21,206 |
16 | 2,600 | 0,029 | 0,076 | 6,760 | 0,001 | 23,357 |
17 | 3,300 | 0,031 | 0,103 | 10,890 | 0,001 | 28,398 |
19 | 3,900 | 0,030 | 0,118 | 15,210 | 0,001 | 34,844 |
20 | 4,600 | 0,028 | 0,130 | 21,160 | 0,001 | 47,393 |
21 | 3,700 | 0,029 | 0,109 | 13,690 | 0,001 | 32,393 |
22 | 3,400 | 0,032 | 0,110 | 11,560 | 0,001 | 29,301 |
Итого | 58,800 | 0,853 | 2,296 | 173,320 | 0,036 | 537,933 |
сред знач | 2,800 | 0,041 | 0,109 | 8,253 | 0,002 | |
стан отклон | 0,643 | 0,009 |
Рассчитаем a и b:
Получим линейное уравнение: . Выполнив его потенцирование, получим:
Для расчета теоретических значений y подставим в уравнение значения x.
· Рассчитаем параметры уравнений равносторонней гиперболы парной регрессии. Для оценки параметров приведем модель равносторонней гиперболы к линейному виду, заменив , тогда
Для расчетов используем данные табл. 7:
№ региона | X=1/z | Y | XY | X^2 | Y^2 | Y^cp |
1 | 0,357 | 28,000 | 10,000 | 0,128 | 784,000 | 26,715 |
2 | 0,417 | 21,300 | 8,875 | 0,174 | 453,690 | 23,259 |
3 | 0,476 | 21,000 | 10,000 | 0,227 | 441,000 | 19,804 |
4 | 0,385 | 23,300 | 8,962 | 0,148 | 542,890 | 25,120 |
5 | 0,588 | 15,800 | 9,294 | 0,346 | 249,640 | 13,298 |
6 | 0,400 | 21,900 | 8,760 | 0,160 | 479,610 | 24,227 |
7 | 0,417 | 20,000 | 8,333 | 0,174 | 400,000 | 23,259 |
8 | 0,385 | 22,000 | 8,462 | 0,148 | 484,000 | 25,120 |
9 | 0,357 | 23,900 | 8,536 | 0,128 | 571,210 | 26,715 |
10 | 0,385 | 26,000 | 10,000 | 0,148 | 676,000 | 25,120 |
11 | 0,385 | 24,600 | 9,462 | 0,148 | 605,160 | 25,120 |
12 | 0,400 | 21,000 | 8,400 | 0,160 | 441,000 | 24,227 |
13 | 0,345 | 27,000 | 9,310 | 0,119 | 729,000 | 27,430 |
14 | 0,385 | 21,000 | 8,077 | 0,148 | 441,000 | 25,120 |
15 | 0,455 | 24,000 | 10,909 | 0,207 | 576,000 | 21,060 |
16 | 0,385 | 34,000 | 13,077 | 0,148 | 1156,000 | 25,120 |
17 | 0,303 | 31,900 | 9,667 | 0,092 | 1017,610 | 29,857 |
19 | 0,256 | 33,000 | 8,462 | 0,066 | 1089,000 | 32,564 |
20 | 0,217 | 35,400 | 7,696 | 0,047 | 1253,160 | 34,829 |
21 | 0,270 | 34,000 | 9,189 | 0,073 | 1156,000 | 31,759 |
22 | 0,294 | 31,000 | 9,118 | 0,087 | 961,000 | 30,374 |
Итого | 7,860 | 540,100 | 194,587 | 3,073 | 14506,970 | 540,100 |
сред знач | 0,374 | 25,719 | 9,266 | 0,146 | 1318,815 | |
стан отклон | 0,079 | 25,639 |
Рассчитаем a и b:
Получим линейное уравнение: . Получим уравнение регрессии: .
3. Оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции и детерминации:
· Линейная модель. Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции. Был получен следующий коэффициент корреляции rxy=b=7,122*, что говорит о прямой сильной связи фактора и результата. Коэффициент детерминации r²xy=(0,845)²=0,715. Это означает, что 71,5% вариации результативного признака (розничная продажа телевизоров, у) объясняется вариацией фактора х – среднедушевой денежный доход в месяц.
· Степенная модель. Тесноту нелинейной связи оценит индекс корреляции. Был получен следующий индекс корреляции =, что говорит о очень сильной тесной связи, но немного больше чем в линейной модели. Коэффициент детерминации r²xy=0,7175. Это означает, что 71,75% вариации результативного признака (розничная продажа телевизоров, у) объясняется вариацией фактора х – среднедушевой денежный доход в месяц.
· Экспоненциальная модель. Был получен следующий индекс корреляции ρxy=0,8124, что говорит о том, что связь прямая и очень сильная, но немного слабее, чем в линейной и степенной моделях. Коэффициент детерминации r²xy=0,66. Это означает, что 66% вариации результативного признака (розничная продажа телевизоров, у) объясняется вариацией фактора х – среднедушевой денежный доход в месяц.
· Полулогарифмическая модель. Был получен следующий индекс корреляции ρxy=0,8578, что говорит о том, что связь прямая и очень сильная, но немного больше чем в предыдущих моделях. Коэффициент детерминации r²xy=0,7358. Это означает, что 73,58% вариации результативного признака (розничная продажа телевизоров, у) объясняется вариацией фактора х – среднедушевой денежный доход в месяц.
· Гиперболическая модель. Был получен следующий индекс корреляции ρxy=0,8448 и коэффициент корреляции rxy=-0,1784 что говорит о том, что связь обратная очень сильная. Коэффициент детерминации r²xy=0,7358. Это означает, что 73,5% вариации результативного признака (розничная продажа телевизоров, у) объясняется вариацией фактора х – среднедушевой денежный доход в месяц.
· Обратная модель. Был получен следующий индекс корреляции ρxy=0,8114 и коэффициент корреляции rxy=-0,8120, что говорит о том, что связь обратная очень сильная. Коэффициент детерминации r²xy=0,6584. Это означает, что 65,84% вариации результативного признака (розничная продажа телевизоров, у) объясняется вариацией фактора х – среднедушевой денежный доход в месяц.
Вывод: по полулогарифмическому уравнению получена наибольшая оценка тесноты связи: ρxy=0,8578 (по сравнению с линейной, степенной, экспоненциальной, гиперболической, обратной регрессиями).
http://ecson.ru/economics/econometrics/zadacha-1.postroenie-regressii-raschyot-korrelyatsii-oshibki-approximatsii-otsenka-znachimosti-i-prognoz.html
http://kazedu.com/referat/102126/1