Уравнение нелинейной регрессии
Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Уравнение множественной регрессии
Виды нелинейной регрессии
Вид | Класс нелинейных моделей |
| Нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам |
| Нелинейные по оцениваемым параметрам |
Здесь ε — случайная ошибка (отклонение, возмущение), отражающая влияние всех неучтенных факторов.
Уравнению регрессии первого порядка — это уравнение парной линейной регрессии.
Уравнение регрессии второго порядка это полиномальное уравнение регрессии второго порядка: y = a + bx + cx 2 .
Уравнение регрессии третьего порядка соответственно полиномальное уравнение регрессии третьего порядка: y = a + bx + cx 2 + dx 3 .
Чтобы привести нелинейные зависимости к линейной используют методы линеаризации (см. метод выравнивания):
- Замена переменных.
- Логарифмирование обеих частей уравнения.
- Комбинированный.
y = f(x) | Преобразование | Метод линеаризации |
y = b x a | Y = ln(y); X = ln(x) | Логарифмирование |
y = b e ax | Y = ln(y); X = x | Комбинированный |
y = 1/(ax+b) | Y = 1/y; X = x | Замена переменных |
y = x/(ax+b) | Y = x/y; X = x | Замена переменных. Пример |
y = aln(x)+b | Y = y; X = ln(x) | Комбинированный |
y = a + bx + cx 2 | x1 = x; x2 = x 2 | Замена переменных |
y = a + bx + cx 2 + dx 3 | x1 = x; x2 = x 2 ; x3 = x 3 | Замена переменных |
y = a + b/x | x1 = 1/x | Замена переменных |
y = a + sqrt(x)b | x1 = sqrt(x) | Замена переменных |
Пример . По данным, взятым из соответствующей таблицы, выполнить следующие действия:
- Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи.
- Рассчитать параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.
- Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
- Дать с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
- Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.
- Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выбрать лучшее уравнение регрессии и дать его обоснование.
- Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 15% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости α=0,05 .
- Оценить полученные результаты, выводы оформить в аналитической записке.
Год | Фактическое конечное потребление домашних хозяйств (в текущих ценах), млрд. руб. (1995 г. — трлн. руб.), y | Среднедушевые денежные доходы населения (в месяц), руб. (1995 г. — тыс. руб.), х |
1995 | 872 | 515,9 |
2000 | 3813 | 2281,1 |
2001 | 5014 | 3062 |
2002 | 6400 | 3947,2 |
2003 | 7708 | 5170,4 |
2004 | 9848 | 6410,3 |
2005 | 12455 | 8111,9 |
2006 | 15284 | 10196 |
2007 | 18928 | 12602,7 |
2008 | 23695 | 14940,6 |
2009 | 25151 | 16856,9 |
Решение. В калькуляторе последовательно выбираем виды нелинейной регрессии. Получим таблицу следующего вида.
Экспоненциальное уравнение регрессии имеет вид y = a e bx
После линеаризации получим: ln(y) = ln(a) + bx
Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.000162, a = 7.8132
Уравнение регрессии: y = e 7.81321500 e 0.000162x = 2473.06858e 0.000162x
Степенное уравнение регрессии имеет вид y = a x b
После линеаризации получим: ln(y) = ln(a) + b ln(x)
Эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.9626, a = 0.7714
Уравнение регрессии: y = e 0.77143204 x 0.9626 = 2.16286x 0.9626
Гиперболическое уравнение регрессии имеет вид y = b/x + a + ε
После линеаризации получим: y=bx + a
Эмпирические коэффициенты регрессии: b = 21089190.1984, a = 4585.5706
Эмпирическое уравнение регрессии: y = 21089190.1984 / x + 4585.5706
Логарифмическое уравнение регрессии имеет вид y = b ln(x) + a + ε
Эмпирические коэффициенты регрессии: b = 7142.4505, a = -49694.9535
Уравнение регрессии: y = 7142.4505 ln(x) — 49694.9535
Экспоненциальная и степенная однофакторная регрессии.
Экспоненциальная модель линеаризуется аналогично (4.1):
Переходя к новым переменным получаем линейную регрессионную модель:
Экспоненциальнаяоднофакторная регрессия имеет вид
степенная однофакторная регрессия имеет вид
Для нахождения коэффициентов а и b предварительно проводят процедуру линеаризации выражений (4.8) и (4.9):
а затем уже строят линейную регрессию между lnŷ и х для экспоненциальной регрессии, и между lnŷ и lnх для степенной регрессии.
Наибольшее распространение степенной функции в эконометрике связано с тем, что параметра имеет четкое экономическое истолкование, – он является коэффициентом эластичности. Это значит, что коэффициент b показывает, на сколько % в среднем изменится результат, если фактор изменится на 1%.
Формирование нелинейных однофакторных регрессионных моделей на компьютере с помощью ППП Excel
Для вычисления параметров экспоненциальной регрессии (4.8) на компьютере (в Excel) используется встроенная статистическая функция ЛГРФПРИБЛ. Порядок вычисления аналогичен применению функции ЛИНЕЙН.
Для вычисления параметров степенной регрессии после преобразования исходных данных в соответствие с (4.11), можно воспользоваться функцией ЛИНЕЙН.
Для получения графиков однофакторных регрессий можно применить Мастер диаграмм, строя предварительно точечный график исходных данных (диаграмму рассеяния), а затем использовать режимДобавить линию тренда(дляэтого установите курсор на любую точку точечной диаграммы и щелкните правой кнопкой мышки), причем в этом режиме Excelпредоставляет возможность выбора шести функций – линейной, логарифмической, полиномиальной, степенной, экспоненциальной и скользящей средней. После выбора функции в режиме Параметры задайте флажокПоказывать уравнение на диаграмме и Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации(R^2).
4.6. Практический блок
Пример
Задача 1. По некоторым территориям районов края известны значения среднего суточного душевого дохода в у.е. (фактор X) и процент от общего дохода, расходуемого на покупку продовольственных товаров (фактор Y) (табл. 4.1).
Требуется для характеристики зависимости У от X рассчитать параметры линейной, степенной, показательной функции и выбрать оптимальную модель (провести оценку моделей через среднюю ошибку аппроксимации (А) и F-критерий Фишера.
Район | у | х | ||||
Пожарский (1) | 68,8 | 45,1 | 61,277 | 7,5231 | 11,4989 | 56,5970 |
Кавалеровский (2) | 61,2 | 59,0 | 56,4689 | 4,7311 | 2,00817 | 22,3833 |
Дальнегорский (3) | 59,9 | 57,2 | 57,0915 | 2,8085 | 0,63123 | 7,88767 |
Хасанский (4) | 56,7 | 61,8 | 55,5004 | 1,1996 | 5,69109 | 1,43904 |
Лесозаводский (5) | 55,0 | 58,8 | 56,5381 | 1,5381 | 1,81683 | 2,36575 |
Хорольский (6) | 54,3 | 47,2 | 60,5505 | 6,2505 | 7,09956 | 39,0687 |
Анучинский (7) | 49,3 | 55,2 | 57,7833 | 8,4833 | 0,01055 | 71,9664 |
итого | 405,2 | 32,534 | 28,7563 | 201,708 | ||
среднее | 57,886 | 4,6477 |
1а. Для расчета параметров а и b линейной регрессии у=аx+ b решаем систему нормальных уравнений относительно а и b (или используем EXCEL).
Получаем уравнение регрессии: у = 76,88 – 0,35x.
С увеличением среднедневной заработной платы на 1 руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 0,35 %-ных пункта.
Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции: r= -0,35326.
Связь умеренная, обратная.
Определим коэффициент детерминации:
Вариация результата на 12,5% объясняется вариацией фактора х. Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчетные) значения (см.табл. 4.1).
Найдем величину средней ошибки аппроксимации А:
В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 8,03%.
Fтабл = 6,6 >Fфакт, при γ = 0,05.
Полученное значение указывает на необходимость принять гипотезу Н0 о случайной природе выявленной зависимости и статистической незначимости параметров уравнения и показателя тесноты связи.
1б. Построению степенной модели у=bx а предшествует процедура линеаризации переменных. Линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:
Для расчетов используем формулы для линейной регрессии(или используем EXCEL).
Получим уравнение: у = 190,03х -0,2984 . R 2 =0,1157.
Характеристики степенной модели указывают, что она несколько хуже линейной функции описывает взаимосвязь.
1в. Построению уравнения показательной кривой у=bа х предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения:
lgy = lgb + хlgа , или Y = С + хlgа, и опять же можно использовать формулы для линейной регрессии(или EXCEL).
Получим уравнение: у = 77,24е -0,0053х . R 2 =0,1026.
Показательная функция еще хуже, чем степенная, описывает изучаемую зависимость.
1г. Уравнение равносторонней гиперболы у=а/x+ b линеаризуется при замене: x = 1/z .
Тогда у=аz+b. Для расчетов используем формулы для линейной регрессии(или используем EXCEL).
Получено уравнение: у = 38,435 + 1054.7/x. R 2 =0.1539.
По уравнению равносторонней гиперболы получена наибольшая оценка тесноты связи (по сравнению с линейной, степенной и показательной регрессиями). A остается на допустимом уровне: 8,1%.
Следовательно, принимается гипотеза Н0 о статистически незначимых параметрах этого уравнения. Этот результат можно объяснить сравнительно невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числом наблюдений.
Контрольные вопросы
1. Какие методы применяются для выбора вида модели регрессии?
2. Какие функции чаще всего используются для построения уравнения парной регрессии?
3. Какой вид имеет система нормальных уравнений метода наименьших квадратов в случае гиперболической, показательной регрессии?
4. В каких случаях осуществляется построение нелинейных спецификаций уравнения регрессии с последующей их линеаризацией?
5. Приведите примеры нелинейных моделей регрессии и их линеаризацию.
6. Какие проблемы спецификации ошибок возникают при линеаризации уравнения регрессии?
Задания и задачи
1.Определите вид и параметры тренда в динамическом ряде: – реальный обменный курс, х – время.
год | y | х |
2,5 | ||
2,3 | ||
1,7 | ||
3,5 | ||
3,3 | ||
2,8 | ||
2,4 | ||
2,2 | ||
2,1 |
2.Определите вид и параметры тренда в динамическом ряде выплавки стали.
Год 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000
Выплавка 65,3 70,8 76,3 80,2 85,0 91,0 96,9 102,2 106,5 110,3 115,9
3. Известен объем предложения акций на фондовом рынке в зависимости от цены. Определить лучшую регрессионную модель.
x, цена, $ |
y, объем, тыс.шт. |
Тесты
1. Как интерпретируется в линейной модели коэффициент регрессии?
a) коэффициент эластичности,
б) коэффициент относительного роста,
в) коэффициент абсолютного роста.
2. Как в показательной модели интерпретируется коэффициент регрессии?
a) коэффициент эластичности,
б) коэффициент относительного роста,
в) коэффициент абсолютного роста.
3. Как в степенной модели интерпретируется коэффициент регрессии?
a) коэффициент эластичности,
б) коэффициент относительного роста,
в) коэффициент абсолютного роста.
4. Применим ли метод наименьших квадратов для расчёта параметров нелинейных моделей?
в) применим после её специального приведения к линейному виду.
5.Применим ли метод наименьших квадратов для расчёта параметров показательной зависимости?
в) применим после её приведения к линейному виду путём логарифмирования.
6.Применим ли метод наименьших квадратов для расчёта параметров степенной зависимости?
в) применим после её приведения к линейному виду путём логарифмирования.
7.Что показывает коэффициент абсолютного роста?
a) на сколько единиц изменится y, если x изменился на единицу,
б) на сколько процентов изменится y, если x изменился на один процент,
в) относительную величину изменения y при изменении x на единицу.
8. Что показывает коэффициент регрессии показательной модели?
a) на сколько единиц изменится y, если x изменился на единицу,
б) на сколько процентов изменится y, если x изменился на один процент,
в) относительную величину изменения y при изменении x на единицу.
9. Что показывает коэффициент регрессии степенной модели?
a) на сколько единиц изменится y, если x изменился на единицу,
б) на сколько процентов изменится y, если x изменился на один процент,
в) относительную величину изменения y при изменении x на единицу.
10. Какую модель следует выбрать, если есть основания считать, что в изучаемом периоде коэффициент абсолютного роста не изменяется?
11. Какую модель следует выбрать, если есть основания считать, что в изучаемом периоде коэффициент относительного роста не изменяется?
12.Какую модель следует выбрать, если есть основания считать, что в изучаемом периоде коэффициент эластичности не изменяется?
13. При анализе издержек Y от объемов выпуска X целесообразно использовать следующую модель:
14. Параметры α и β в производственной функции Кобба – Дугласа называют:
а) коэффициентами эластичности;
б) коэффициентами корреляции;
в) коэффициентами автокорреляции.
15. В модели lnY = β0 + βX+ ε коэффициент β имеет смысл:
а) абсолютного прироста;
в) темпа прироста.
4.7. Самостоятельная работа студентов
Литература для самостоятельной работы
1. Гладилин, А. В. Эконометрика: Учеб. пособие для вузов / А. В. Гладилин, А. Н. Герасимов, Е. И. Громов. -М.: КноРус , 2006. -226с.
2. Салманов, О. Н. Эконометрика: учеб. пособие для вузов / О. Н. Салманов -М.: Экономистъ , 2006. -317с.
3. Эконометрика: учебник / К. В. Балдин, В. Н. Башлыков, Н. А. Брызгалов и др.; под ред. В. Б. Уткина. -М.: Дашков и К, 2008. -304 с.
5. Оценка качества эконометрических регрессионных моделей и прогнозирование на их основе.
5.1. Доверительные интервалы для коэффициентов: реальные статистические данные 62
5.2. Проверка статистических гипотез о значениях коэффициентов 68
5.3. Проверка значимости параметров линейной регрессии и подбор
модели с использованием f-критериев 74
5.4. Проверка значимости и подбор модели с использованием коэффициентов детерминации. Информационные критерии 81
5.5. Линейные регрессионные модели с гетероскедастичными и
автокоррелированными остатками 88
5.6. Обобщенный метод наименьших квадратов. Метод Главных
5.7. Прогнозирование. Доверительный интервал прогноза 96
5.8. ПРАКТИЧЕСКИЙ БЛОК 97
5.9. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ 111
Задача №1 Построение уравнения регрессии
Имеются следующие данные разных стран об индексе розничных цен на продукты питания (х) и об индексе промышленного производства (у).
Индекс розничных цен на продукты питания (х) | Индекс промышленного производства (у) | |
---|---|---|
1 | 100 | 70 |
2 | 105 | 79 |
3 | 108 | 85 |
4 | 113 | 84 |
5 | 118 | 85 |
6 | 118 | 85 |
7 | 110 | 96 |
8 | 115 | 99 |
9 | 119 | 100 |
10 | 118 | 98 |
11 | 120 | 99 |
12 | 124 | 102 |
13 | 129 | 105 |
14 | 132 | 112 |
Требуется:
1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:
В) равносторонней гиперболы.
2. Для каждой модели рассчитать показатели: тесноты связи и среднюю ошибку аппроксимации.
3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.
4. Выполнить прогноз значения индекса промышленного производства у при прогнозном значении индекса розничных цен на продукты питания х=138.
Решение:
1. Для расчёта параметров линейной регрессии
Решаем систему нормальных уравнений относительно a и b:
Построим таблицу расчётных данных, как показано в таблице 1.
Таблица 1 Расчетные данные для оценки линейной регрессии
№ п/п | х | у | ху | x 2 | y 2 | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 100 | 70 | 7000 | 10000 | 4900 | 74,26340 | 0,060906 |
2 | 105 | 79 | 8295 | 11025 | 6241 | 79,92527 | 0,011712 |
3 | 108 | 85 | 9180 | 11664 | 7225 | 83,32238 | 0,019737 |
4 | 113 | 84 | 9492 | 12769 | 7056 | 88,98425 | 0,059336 |
5 | 118 | 85 | 10030 | 13924 | 7225 | 94,64611 | 0,113484 |
6 | 118 | 85 | 10030 | 13924 | 7225 | 94,64611 | 0,113484 |
7 | 110 | 96 | 10560 | 12100 | 9216 | 85,58713 | 0,108467 |
8 | 115 | 99 | 11385 | 13225 | 9801 | 91,24900 | 0,078293 |
9 | 119 | 100 | 11900 | 14161 | 10000 | 95,77849 | 0,042215 |
10 | 118 | 98 | 11564 | 13924 | 9604 | 94,64611 | 0,034223 |
11 | 120 | 99 | 11880 | 14400 | 9801 | 96,91086 | 0,021102 |
12 | 124 | 102 | 12648 | 15376 | 10404 | 101,4404 | 0,005487 |
13 | 129 | 105 | 13545 | 16641 | 11025 | 107,1022 | 0,020021 |
14 | 132 | 112 | 14784 | 17424 | 12544 | 110,4993 | 0,013399 |
Итого: | 1629 | 1299 | 152293 | 190557 | 122267 | 1299,001 | 0,701866 |
Среднее значение: | 116,3571 | 92,78571 | 10878,07 | 13611,21 | 8733,357 | х | х |
8,4988 | 11,1431 | х | х | х | х | х | |
72,23 | 124,17 | х | х | х | х | х |
Среднее значение определим по формуле:
Cреднее квадратическое отклонение рассчитаем по формуле:
и занесём полученный результат в таблицу 1.
Возведя в квадрат полученное значение получим дисперсию:
Параметры уравнения можно определить также и по формулам:
Таким образом, уравнение регрессии:
Следовательно, с увеличением индекса розничных цен на продукты питания на 1, индекс промышленного производства увеличивается в среднем на 1,13.
Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:
Связь прямая, достаточно тесная.
Определим коэффициент детерминации:
Вариация результата на 74,59% объясняется вариацией фактора х.
Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчётные) значения .
,
следовательно, параметры уравнения определены правильно.
Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации – среднее отклонение расчётных значений от фактических:
В среднем расчётные значения отклоняются от фактических на 5,01%.
Оценку качества уравнения регрессии проведём с помощью F-теста.
F-тест состоит в проверке гипотезы Н0 о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического Fфакт и критического (табличного) Fтабл значений F-критерия Фишера.
Fфакт определяется по формуле:
где n – число единиц совокупности;
m – число параметров при переменных х.
Таким образом, Н0 – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признаётся их статистическая значимость и надёжность.
Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза.
Если прогнозное значение индекса розничных цен на продукты питания х = 138, тогда прогнозное значение индекса промышленного производства составит:
2. Степенная регрессия имеет вид:
Для определения параметров производят логарифмирование степенной функции:
Для определения параметров логарифмической функции строят систему нормальных уравнений по способу наименьших квадратов:
Построим таблицу расчётных данных, как показано в таблице 2.
Таблица 2 Расчетные данные для оценки степенной регрессии
№п/п | х | у | lg x | lg y | lg x*lg y | (lg x) 2 | (lg y) 2 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 100 | 70 | 2,000000 | 1,845098 | 3,690196 | 4,000000 | 3,404387 |
2 | 105 | 79 | 2,021189 | 1,897627 | 3,835464 | 4,085206 | 3,600989 |
3 | 108 | 85 | 2,033424 | 1,929419 | 3,923326 | 4,134812 | 3,722657 |
4 | 113 | 84 | 2,053078 | 1,924279 | 3,950696 | 4,215131 | 3,702851 |
5 | 118 | 85 | 2,071882 | 1,929419 | 3,997528 | 4,292695 | 3,722657 |
6 | 118 | 85 | 2,071882 | 1,929419 | 3,997528 | 4,292695 | 3,722657 |
7 | 110 | 96 | 2,041393 | 1,982271 | 4,046594 | 4,167284 | 3,929399 |
8 | 115 | 99 | 2,060698 | 1,995635 | 4,112401 | 4,246476 | 3,982560 |
9 | 119 | 100 | 2,075547 | 2,000000 | 4,151094 | 4,307895 | 4,000000 |
10 | 118 | 98 | 2,071882 | 1,991226 | 4,125585 | 4,292695 | 3,964981 |
11 | 120 | 99 | 2,079181 | 1,995635 | 4,149287 | 4,322995 | 3,982560 |
12 | 124 | 102 | 2,093422 | 2,008600 | 4,204847 | 4,382414 | 4,034475 |
13 | 129 | 105 | 2,110590 | 2,021189 | 4,265901 | 4,454589 | 4,085206 |
14 | 132 | 112 | 2,120574 | 2,049218 | 4,345518 | 4,496834 | 4,199295 |
Итого | 1629 | 1299 | 28,90474 | 27,49904 | 56,79597 | 59,69172 | 54,05467 |
Среднее значение | 116,3571 | 92,78571 | 2,064624 | 1,964217 | 4,056855 | 4,263694 | 3,861048 |
8,4988 | 11,1431 | 0,031945 | 0,053853 | х | х | х | |
72,23 | 124,17 | 0,001021 | 0,0029 | х | х | х |
Продолжение таблицы 2 Расчетные данные для оценки степенной регрессии
№п/п | х | у | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
1 | 100 | 70 | 74,16448 | 17,34292 | 0,059493 | 519,1886 |
2 | 105 | 79 | 79,62057 | 0,385112 | 0,007855 | 190,0458 |
3 | 108 | 85 | 82,95180 | 4,195133 | 0,024096 | 60,61728 |
4 | 113 | 84 | 88,59768 | 21,13866 | 0,054734 | 77,1887 |
5 | 118 | 85 | 94,35840 | 87,57961 | 0,110099 | 60,61728 |
6 | 118 | 85 | 94,35840 | 87,57961 | 0,110099 | 60,61728 |
7 | 110 | 96 | 85,19619 | 116,7223 | 0,11254 | 10,33166 |
8 | 115 | 99 | 90,88834 | 65,79901 | 0,081936 | 38,6174 |
9 | 119 | 100 | 95,52408 | 20,03384 | 0,044759 | 52,04598 |
10 | 118 | 98 | 94,35840 | 13,26127 | 0,037159 | 27,18882 |
11 | 120 | 99 | 96,69423 | 5,316563 | 0,023291 | 38,6174 |
12 | 124 | 102 | 101,4191 | 0,337467 | 0,005695 | 84,90314 |
13 | 129 | 105 | 107,4232 | 5,872099 | 0,023078 | 149,1889 |
14 | 132 | 112 | 111,0772 | 0,85163 | 0,00824 | 369,1889 |
Итого | 1629 | 1299 | 1296,632 | 446,4152 | 0,703074 | 1738,357 |
Среднее значение | 116,3571 | 92,78571 | х | х | х | х |
8,4988 | 11,1431 | х | х | х | х | |
72,23 | 124,17 | х | х | х | х |
Решая систему нормальных уравнений, определяем параметры логарифмической функции.
Получим линейное уравнение:
Выполнив его потенцирование, получим:
Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоретические значения результата . По ним рассчитаем показатели: тесноты связи – индекс корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.
Связь достаточно тесная.
В среднем расчётные значения отклоняются от фактических на 5,02%.
Таким образом, Н0 – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признаётся их статистическая значимость и надёжность.
Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение индекса розничных цен на продукты питания х = 138, тогда прогнозное значение индекса промышленного производства составит:
3. Уравнение равносторонней гиперболы
Для определения параметров этого уравнения используется система нормальных уравнений:
Произведем замену переменных
и получим следующую систему нормальных уравнений:
Решая систему нормальных уравнений, определяем параметры гиперболы.
Составим таблицу расчётных данных, как показано в таблице 3.
Таблица 3 Расчетные данные для оценки гиперболической зависимости
№п/п | х | у | z | yz | ||
---|---|---|---|---|---|---|
1 | 100 | 70 | 0,010000000 | 0,700000 | 0,0001000 | 4900 |
2 | 105 | 79 | 0,009523810 | 0,752381 | 0,0000907 | 6241 |
3 | 108 | 85 | 0,009259259 | 0,787037 | 0,0000857 | 7225 |
4 | 113 | 84 | 0,008849558 | 0,743363 | 0,0000783 | 7056 |
5 | 118 | 85 | 0,008474576 | 0,720339 | 0,0000718 | 7225 |
6 | 118 | 85 | 0,008474576 | 0,720339 | 0,0000718 | 7225 |
7 | 110 | 96 | 0,009090909 | 0,872727 | 0,0000826 | 9216 |
8 | 115 | 99 | 0,008695652 | 0,860870 | 0,0000756 | 9801 |
9 | 119 | 100 | 0,008403361 | 0,840336 | 0,0000706 | 10000 |
10 | 118 | 98 | 0,008474576 | 0,830508 | 0,0000718 | 9604 |
11 | 120 | 99 | 0,008333333 | 0,825000 | 0,0000694 | 9801 |
12 | 124 | 102 | 0,008064516 | 0,822581 | 0,0000650 | 10404 |
13 | 129 | 105 | 0,007751938 | 0,813953 | 0,0000601 | 11025 |
14 | 132 | 112 | 0,007575758 | 0,848485 | 0,0000574 | 12544 |
Итого: | 1629 | 1299 | 0,120971823 | 11,13792 | 0,0010510 | 122267 |
Среднее значение: | 116,3571 | 92,78571 | 0,008640844 | 0,795566 | 0,0000751 | 8733,357 |
8,4988 | 11,1431 | 0,000640820 | х | х | х | |
72,23 | 124,17 | 0,000000411 | х | х | х |
Продолжение таблицы 3 Расчетные данные для оценки гиперболической зависимости
№п/п | х | у | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
1 | 100 | 70 | 72,3262 | 0,033231 | 5,411206 | 519,1886 |
2 | 105 | 79 | 79,49405 | 0,006254 | 0,244083 | 190,0458 |
3 | 108 | 85 | 83,47619 | 0,017927 | 2,322012 | 60,61728 |
4 | 113 | 84 | 89,64321 | 0,067181 | 31,84585 | 77,1887 |
5 | 118 | 85 | 95,28761 | 0,121031 | 105,8349 | 60,61728 |
6 | 118 | 85 | 95,28761 | 0,121031 | 105,8349 | 60,61728 |
7 | 110 | 96 | 86,01027 | 0,10406 | 99,79465 | 10,33166 |
8 | 115 | 99 | 91,95987 | 0,071112 | 49,56344 | 38,6174 |
9 | 119 | 100 | 96,35957 | 0,036404 | 13,25272 | 52,04598 |
10 | 118 | 98 | 95,28761 | 0,027677 | 7,357059 | 27,18882 |
11 | 120 | 99 | 97,41367 | 0,016024 | 2,516453 | 38,6174 |
12 | 124 | 102 | 101,46 | 0,005294 | 0,291565 | 84,90314 |
13 | 129 | 105 | 106,1651 | 0,011096 | 1,357478 | 149,1889 |
14 | 132 | 112 | 108,8171 | 0,028419 | 10,1311 | 369,1889 |
Итого: | 1629 | 1299 | 1298,988 | 0,666742 | 435,7575 | 1738,357 |
Среднее значение: | 116,3571 | 92,78571 | х | х | х | х |
8,4988 | 11,1431 | х | х | х | х | |
72,23 | 124,17 | х | х | х | х |
Значения параметров регрессии a и b составили:
Связь достаточно тесная.
В среднем расчётные значения отклоняются от фактических на 4,76%.
Таким образом, Н0 – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признаётся их статистическая значимость и надёжность.
Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение индекса розничных цен на продукты питания х = 138, тогда прогнозное значение индекса промышленного производства составит:
По уравнению равносторонней гиперболы получена наибольшая оценка тесноты связи по сравнению с линейной и степенной регрессиями. Средняя ошибка аппроксимации остаётся на допустимом уровне.
http://poisk-ru.ru/s50480t1.html
http://ecson.ru/economics/econometrics/zadacha-1.postroenie-regressii-raschyot-korrelyatsii-oshibki-approximatsii-otsenka-znachimosti-i-prognoz.html