Стохастические дифференциальные уравнения в экономике
Стохастическое дифференциальное уравнение
Сигнал, спектральная плотность которого — дробно-рациональная функция частоты, можно представить как реакцию линейной системы на белый шум. Другими словами, такой сигнал может быть получен как решение линейного стохастического дифференциального уравнения, возмущаемого белым шумом. Случайный процесс — решение соответствующих стохастических дифференциальных уравнений — представляет собой марковский процесс или проекцию марковского процесса. Статистические характеристики марковских процессов — переходные вероятности — удовлетворяют известным дифференциальным уравнениям в частных производных А. Н. Колмогорова. Для вычисления условного математического ожидания М[т (0] гауссовского марковского процесса можно получить обыкновенное дифференциальное уравнение. Таким образом, выражение (4.8) для решения задачи (4.1) позволяет свести вычисление характеристик оптимальной в смысле задачи (4.1) фильтра- [c.315]
Теорема 8.2. При выполнении условий (а) — (в) существует единственная точка x -Rr, для которой (х )=х, и существует единственное решение x(t) стохастического дифференциального уравнения [c.378]
Так, броуновское движение выступает в роли «базисного» в конструкции диффузионных марковских процессов X = (-Xt)t o как решений стохастических дифференциальных уравнений [c.289]
Ряд других интересных процессов, управляемых стохастическими дифференциальными уравнениями, приводится в разделе 4 в связи с построением моделей для описания динамики рыночной цены P(t, Т) облигаций (см. 1Ь,гл. I). [c.293]
Из формулы Ито ( 3d) непосредственно следует, что Xt = ( B)t удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению [c.298]
Это соотношение можно рассматривать как стохастическое дифференциальное уравнение (см. За и, далее, Зе), решение которого задается формулой (19). [c.317]
Можно, однако, изменить точку зрения, а именно, рассматривать (4), (6) и (8) как стохастические дифференциальные уравнения относительно неизвестных процессов S = (Sj), Y = (Yj), Z = (Z ) и попытаться установить, что найденные их решения (3), (5) и (7) являются (в определенном смысле) единственными решениями этих уравнений. [c.321]
Естественно, надо придать точный смысл самому понятию «стохастическое дифференциальное уравнение» определить, что есть его «решение» в каком смысле следует понимать «единственность» решения. [c.321]
Тогда стохастическое дифференциальное уравнение (9) имеет, и притом единственное (с точностью до стохастической неразличимости), непрерывное решение X = (Xt, t), являющееся марковским процессом. [c.322]
Это обстоятельство может рассматриваться как объяснение целесообразности вводимой ниже концепции слабых решений стохастических дифференциальных уравнений, суть которых раскрывает следующее [c.324]
Рассмотрим вопрос о существовании слабого решения одномерного стохастического дифференциального уравнения [c.327]
Этот замысел был реализован им конструированием соответствующих процессов как решений стохастических дифференциальных уравнений [c.330]
Перейдем теперь к изложению ряда хорошо известных результатов о том, как с помощью броуновского движения и решений стохастических дифференциальных уравнений можно дать вероятностное представление решений параболических уравнений (15) для ряда классических задач теории дифференциальных уравнений с частными производными. [c.332]
Рассмотренные выше модели динамики процентных ставок г = (r(t))f Q основывались на стохастических дифференциальных уравнениях с некоторым базисным винеровским процессом. [c.341]
Соответствующим примером может служить гауссовский стационарный процесс с рациональной спектральной плотностью, который можно рассматривать как компоненту многомерного марковского процесса, удовлетворяющего линейной системе стохастических дифференциальных уравнений. (См., подробнее, теорему 15.4 и систему уравнений (15.64) в [303].) [c.349]
Суть предложенного в [219] подхода состоит в том, чтобы искать стоимости P(t,T) как решения стохастических дифференциальных уравнений (ср. с (4) в 4Ь) [c.354]
Веретенников А. Ю. О сильных решениях стохастических дифференциальных уравнений // Теория вероятностей и ее применения. 1979. Т. 24. №2. С- 348-360. [c.480]
Стохастическое дифференциальное уравнение с частными производными 880, 921 [c.486]
Другое априорное предположение для описываемого метода состоит в том, что функция Y(t, x) считается функцией класса С1 2. Это предположение дает возможность применить к Y(t, St) формулу Ито, что приводит к следующему стохастическому дифференциальному уравнению с частными производными (для простоты записи аргументы у функций опускаются) [c.390]
В 4с, гл. III, были рассмотрены некоторые модели временной структуры стоимостей семейств облигаций. В частности, там отмечалось, что при описании динамики стоимостей P(t, Т) облигаций имеются два основных подхода — опосредованный (когда в качестве «базисного» процесса берется некоторый процесс «процентной ставки» г = (r(t))t o и считается, что P(t,T) = F(t,r(t),T)), и прямой (когда P(t,Т) задаются непосредственно как решения стохастических дифференциальных уравнений). [c.396]
В случае опосредованного подхода будем считать, что (неотрицательный) процесс процентной ставки г = (r(t))f o является решением стохастического дифференциального уравнения (ср. с (5) в 4с, гл. III) [c.396]
В отличие от прямого подхода в описании динамики цен (стоимостей) облигаций P(t, Т) с помощью стохастических дифференциальных уравнений (см. 5а), в опосредованном подходе предполагается, что стоимости P(t,T) имеют вид [c.411]
Следует сразу подчеркнуть, что этот метод «работает» лишь в предположении, что процесс процентной ставки г = (r(t))t o является марковским процессом, удовлетворяющим некоторому стохастическому дифференциальному уравнению [c.411]
Оператор L(s, r) является обратным оператором диффузионного марковского процесса г = (r(t))t 0i удовлетворяющего стохастическому дифференциальному уравнению [c.413]
В [212] построен непрерывный многомерный аналог процедуры стохастической аппроксимации Кифера — Вольфовица для вычисления экстремума функции регрессии. При этом предполагается, что ошибка наблюдения в момент времени t скалярной функции f(x) равна 1, по определению, есть процесс X = (Xt)f Q, управляемый (нелинейным) стохастическим дифференциальным уравнением [c.293]
Приведем из различного рода обобщений лишь один, несколько неожиданный, результат А. К. Звонкина, [485], утверждающий, что для существования сильного решения стохастического дифференциального уравнения [c.322]
Говорят, что стохастическое дифференциальное уравнение (9) с начальным условием XQ таким, что Law(Xo) = м, имеет слабое решение, если найдется фильтрованное вероятностное пространство (П, , ( t)t 0i P)i найдутся броуновское движение В = (В , t)t o на нем и непрерьтный случайный процесс X = (Xt, t)t o такие, что Law(Jf0 Р) = А и для каждого t > О (Р-п.н.) выполнено равенство (12). [c.325]
Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев Наукова думка, 1968. [c.465]
Смотреть страницы где упоминается термин Стохастическое дифференциальное уравнение
Основы стохастической финансовой математики Т.2 (1998) — [ c.320 ]
«Одобрено Президиумом НМС ГУУ В. И. СОЛОВЬЁВ СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ Учебное пособие для студентов специальности Математические методы в . »
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ
Президиумом НМС ГУУ
СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ
И ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ
Учебное пособие для студентов специальности «Математические методы в экономике» – 061800 МОСКВА – 2001 ББК 22.171+65.9(2)26 УДК 519.21(075.8) 6Н1 С 60 Соловьёв В. И. Стохастические модели математической экономики и финансовой математики: Учебное пособие / ГУУ. – М., 2001. – 92 с.
Посвящено современным стохастическим методам и их применению в экономике, финансах и страховании. Рассматривается теория марковских случайных процессов, включая элементы стохастического анализа. С помощью стохастических методов исследуются вероятностные характеристики ряда финансовоматематических и экономико-математических моделей, в частности, модели портфельного инвестирования Тобина, модели ценообразования опционов Блэка – Шоулза – Мертона, модели стабилизации государственного долга, односекторной стохастической динамической модели экономики, стохастической модели обменных курсов, моделей страхования и социально-экономической структуры общества и др. Приводится ряд оригинальных результатов. Бльшая часть материала излагается впервые в учебной литературе для студентов экономических специальностей.
Для студентов специальности «Математические методы в экономике». Может быть полезно студентам других специальностей, аспирантам, преподавателям, научным сотрудникам, специалистам-практикам, интересующимся применением современных математических методов в экономике.
Библиогр. 99 назв. Табл. 2. Ил. 9.
Ответственный редактор заведующий кафедрой прикладной математики ГУУ, доктор экономических наук, профессор В. А. КОЛЕМАЕВ Рецензенты директор института статистики и эконометрики МЭСИ, доктор экономических наук, профессор В. С. Мхитарян заведующий кафедрой высшей математики ГУЗ, доктор физико-математических наук, профессор Н. В. Кислов В. И. Соловьёв, Государственный университет управления, ISBN 5-215-01247-
ВВЕДЕНИЕ
Мы должны стремиться отходить от привычных концепций и учиться смотреть на мир по-новому: только в этом случае возможны творческий рост личности и совершенствование самого процесса познания.
Р. Акофф В детерминированной математике рассматриваются лишь такие модели, в которых состояние X (t ) некоторой системы в момент времени t однозначно определяется её состоянием в любой предшествующий момент t0 : X (t ) = f (t0, t ), где f — некоторая (однозначная) функция. Этими моделями описываются процессы, рассматриваемые в классической механике (движение материальной точки), классической финансовой математике (времення стоимость денег), классической математической экономике (динамика валовго внутреннего продукта).
Однако при изучении различных объектов мы часто сталкиваемся с процессами, течение которых однозначно предсказать невозможно. Например, колебания высоты полёта самолёта около того значения, которое он должен выдерживать, колебания обменных курсов валют, колебания валовго внутреннего продукта.
Греческое слово (стохос) означает предположение, догадка. Слово (стохастика) переводится как искусство предсказания. В теории случайных процессов (или стохастической математике) рассматриваются именно такие модели, когда состояние X (t ) некоторой системы в момент времени t является случайной величиной: X (t ) = f (t0, t, w), где f — некоторая случайная функция. При этом для оценки ожидаемого состояния системы используется математическое ожидание этой случайной функции, а в качестве меры риска как возможного разброса будущих значений вокруг ожидаемых прогнозов — дисперсия (или среднее квадратичное отклонение).
Как отмечают А. А. Петров, И. Г. Поспелов и А. А. Шананин, «в любой экономической системе у людей достаточно свободы, чтобы действия их всех вместе выглядели хаотическими» [57, с. 34]. Экономика серьёзно подвержена влиянию случайных факторов — многие события, влияющие на макроэкономическую динамику, являются случайными: экономическая конъюнктура, производственная неопределённость, сбор большого или малого урожая, появление научных открытий и гениальных произведений искусства и др. Поэтому стохастические математические модели являются наиболее адекватным отражением экономической реальности. Особенно подвержена влиянию случайных факторов финансово-кредитная подсистема экономики.
Финансовые рынки представляют собой пример системы с высокой степенью неопределённости, на такие системы действует множество случайных факторов, и для успешной работы на финансовых рынках необходимо эти случайности учитывать.
Начало теории случайных процессов относят к работам Л. Башелье [2] (1900 г.) и А. Эйнштейна [99] (1905 г.). Л. Башелье предложил рассматривать эволюцию стоимостей акций на парижском рынке как случайный процесс. А. Эйнштейн точно таким же случайным процессом описал броуновское движение взвешенных частиц в жидкости. Систематическому обобщению теория впервые подверглась в статье А. Н. Колмогорова [38] (1931 г.).
Хотя истоки теории лежали в области экономики, после Л. Башелье очень долгое время большинство её методов использовалось, в основном, при исследованиях в области теоретической физики, главным образом, в молекулярной физике и радиофизике. Лишь в начале 50-х гг. XX в. стохастическая математика вновь стала применяться в финансовых вычислениях. За последние полвека в области применения стохастических методов в финансовой инженерии были получены значительные результаты, высоко оцененные научным сообществом: Нобелевской премии в области экономики за работы, связанные со стохастическим моделированием в финансах, были удостоены П. Самуэльсон (1970 г.), Дж. Тобин (1981 г.), Г. Марковиц и У. Шарп (1990 г., совместно с М. Миллером), Р. Мертон и М. Шоулз (1997 г.).
Одним из основных постулатов современной политической экономии и математической экономики является общая теория экономического равновесия, основанная на утверждении Ж.-Б. Сэя (XIX в.) о том, что рыночные отношения автоматически приводят к состоянию равновесия, т. е. равновесие является глобально устойчивым. Реальная экономическая система никогда не находится ни в состоянии статического равновесия, ни в состоянии сбалансированного роста, о чём свидетельствуют экономические кризисы, регулярно возникающие в последнее время в различных странах мира.
В современном мире решения об управлении экономикой страны должны приниматься на основе тщательного анализа имеющейся информации, с учётом оценок возможных последствий и рисков. Даже если модель построена точно, практические предсказания и управление соответствующей экономической системой могут оказаться невозможными, как из-за влияния экзогенных случайных факторов, так и вследствие неустранимых ошибок измерений.
Использование стохастических моделей с непрерывным временем при анализе макроэкономических процессов актуально, так как аналитическое исследование таких моделей технически проще, чем исследование аналогичных систем с дискретным временем (в силу так называемого «проклятия размерности», впервые отмеченного Р. Беллманом).
Несмотря на актуальность применения стохастических методов в финансово-экономических исследованиях, учебная литература по этой теме на русском языке практически отсутствует — за исключением учебных пособий А. В. Мельникова [51], [53] и Т. Дж. Уотшема и К. Паррамоу [86]. Монографии А. Н. Ширяева [96] и А. В. Мельникова [52] служат настольными книгами специалистам, применяющим стохастические методы в финансовой инженерии, но ввиду большого объёма излагаемого материала сложны для освоения студентами экономических специальностей в рамках семестрового или годового курса. Работы, посвящённые стохастическому моделированию национальной экономики, представлены лишь статьями в журналах «Теория вероятностей и её применения», «Обозрение прикладной и промышленной математики», «Экономика и математические методы», «Вестник университета (ГУУ)», «Экономический журнал ВШЭ», небольшой главой в учебном пособии А. Д. Смирнова [67], посвящённой вопросам стабилизации государственного долга, а также проблемной лекцией автора [68].
Данное учебное пособие посвящено современным стохастическим моделям макроэкономических и финансовых систем. Оно представляет собой расширенный вариант проблемной лекции [68] и состоит из введения, пяти глав и заключения.
В первой главе проводится краткий обзор стохастических моделей в различных областях экономики, финансов и социальных наук: модели ценообразования акций, страхования, социально-экономической структуры общества; также приводится классическая задача о разделе ставки. Изложение в первой главе намеренно ведётся на уровне «физической строгости», т. е. условия всех теорем предполагаются выполненными. В дальнейшем (в четвёртой и пятой главах) все рассмотренные в первой главе модели рассматриваются более строго. Во второй главе излагаются основные понятия современной теории марковских случайных процессов с непрерывным временем. В третьей главе вводятся необходимые сведения из стохастического анализа, которые используются в последующем изложении. Четвёртая глава посвящена применению стохастических методов в финансовой инженерии — наиболее традиционном разделе стохастической финансовой математики, рассматриваются также современные результаты в области математики страхования и стохастического моделирования макроэкономических процессов: государственного долга и валютных кризисов. В пятой главе рассматриваются недавние результаты, полученные автором в области моделирования национальной экономики с помощью стохастического обобщения модели Солоу, обсуждается также хаотическое поведение экономических систем, описываемых полностью детерминированными математическими моделями. В конце учебного пособия приводится набор контрольных вопросов и задач, предназначенных для более полного усвоения материала.
Материал пособия опробован автором в практике преподавания теории вероятностей и математической статистики студентам различных специальностей Государственного университета управления, а также в деятельности студенческого научного кружка «Стохастические модели в финансовой математике и математической экономике», работающего под руководством автора при кафедре прикладной математики ГУУ. Первая, четвёртая и пятая главы основаны на работах автора [68]-[77] и могут быть использованы при курсовом и дипломном проектировании в области экономико-математического моделирования.
Данная работа может представлять интерес не только для студентов специальности «Математические методы в экономике» – 061800, но и для студентов, аспирантов, преподавателей, научных и практических работников других экономических и математических специальностей.
Для освоения материала пособия необходимо владеть основами фундаментальной математики, теории вероятностей и экономической теории. При первом чтении пособия можно пропустить текст, набранный петитом, а также материал второй и третьей глав.
Автор с благодарностью примет советы и пожелания по поводу пособия, которые просит направлять по электронной почте VSoloviev@hotmail.com или по адресу:
Россия, 109542, Москва, Рязанский проспект, 99, Государственный университет управления, кафедра прикладной математики, В. И. Соловьёву.
ГЛАВА 1. ПРИМЕРЫ СТОХАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
В ФИНАНСАХ И СТРАХОВАНИИ: КРАТКИЙ ОБЗОР
§1.1. БАЗОВЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ФИНАНСАХ
В данной главе мы намеренно забудем о математической строгости (на время) и сосредоточимся на сути современных стохастических моделей, используемых в финансах, страховании и других общественных науках.
Рынок финансовых инструментов представляет собой систему (организованную или неформальную) торговли финансовыми инструментами на основе чётких правил. Рынок — это не обязательно какое-то место типа фондовой биржи, где встречаются покупатели и продавцы, в качестве рынка могут выступать (и активно выступают) телекоммуникационные и компьютерные сети.
Финансовые инструменты принято разделять на основные (банковский счёт и ценные бумаги) и производные (сложные финансовые инструменты, построенные на базе основных).
Издавна в качестве средства оплаты товаров и услуг выступают деньги. Ещё в середине третьего тысячелетия до н. э. они появились у шумеров в виде кусочков и слитков серебра. В VII в. до н. э. в Лидии были изобретены монеты, т. е. металлические предметы, на которых были отчеканены масса и качество металла.
Деньги являются самым важным практическим примером отношения эквивалентности, поскольку посредством денег можно обменять любые товары. Это отношение эквивалентности заложило основы рынка ещё в Нововавилонском царстве более 2 500 лет тому назад. Вместе с деньгами у шумеров появилась и арифметика.
Каждое государство в качестве непременного атрибута выпускает свои собственные деньги, деньги других государств называют валютой. Основным институтом, обслуживающим рынки финансовых инструментов, являются банки. Одной из основных банковских операций является обслуживание банковских счетов: в определённые моменты времени банк обязуется добавлять к денежной сумме, лежащей на банковском счёте, некоторый процент. Проценты могут быть простыми или сложными и начисляться m раз в год либо непрерывно. Если в начальный момент времени на банковском счёте лежит сумма B0, проценты начисляются m раз в год, а годовая процентная ставка по банковскому счёту составляет rm, то в случае проr стых процентов через t лет1 на счёте будет лежать сумма Bt = B0 1 + [mt ] m, а ном начислении говорят только в случае сложных процентов, при этом можно считать, что количество m выплат в году стремится к бесконечности. Как известно, (1 + x1 ) = e = 2.718281828. поэтому при непрерывном начислении проlim центов сумма, лежащая на счёте в момент времени t, составит Если сумма Bt, лежащая на банковском счёте в момент времени t, отрицательна (при этом говорят, что на счёте образовалась короткая позиция), подразумевается, что банк кредитует вкладчика на сумму |Bt |, взимая за это тот же самый процент r, который начисляется на счета с положительной суммой (с длинной позицией). Очевидно, модель (1.1.1) описывает и случай короткой, и случай длинной позиции на банковском счёте.
Функция Bt = B0ert (1.1.1) является решением задачи Коши для обыкновенноdBt го дифференциального уравнения с начальным условием — известной суммой B0, лежащей на счёте в начальный момент времени.
Действительно, изменение суммы Bt за бесконечно малый промежуток времени dt пропорционально процентной ставке r, размеру суммы Bt и длине промежутка времени dt.
С целью привлечения денежных средств различные организации могут выпускать свои ценные бумаги — облигации и акции. Облигации представляют собой долговые обязательства — владелец облигации номинальной стоимостью P (T,T ), Число t может быть как целым, так и дробным. Обозначим квадратными скобками [x ] целую часть числа x — наименьшее целое число, не превосходящее x, а фигурными скобками — дробную часть x :
выпущенной на срок T лет, покупая её по некоторой начальной цене P (0,T ), получает от эмитента (организации, выпустившей эту облигацию) подтверждение задолженности в размере номинальной стоимости, которую эмитент обязуется ликвидировать в момент погашения T. При этом номинальная стоимость обычно превышает начальную и, более того, эмитент обязуется периодически (как правило, раз в полгода или раз в квартал) выплачивать владельцу так называемый купонный доход — определённый процент от номинальной стоимости. Банковский счёт также может рассматриваться как облигация с непрерывно выплачиваемым купонным доходом. Акции — это долевые обязательства: их обладатель получает право долевого участия в управлении акционерной компанией1, выпустившей эти акции, в активах и прибылях (дивидендах) этой компании. Акции и облигации образуют два основных вида ценных бумаг. Существуют и другие их виды, ценная бумага понимается в общем как законодательно признанное свидетельство права на получение ожидаемых в будущем доходов при конкретных условиях.
Как правило, крупных инвесторов покупка ценных бумаг привлекает не только и не столько выплатой дивидендов или купонов, а возможностью спекуляции (увеличения вложенного капитала путём покупки ценных бумаг в надежде дождаться повышения их стоимости и продать их по более высокой цене, и наоборот, путём продажи ценных бумаг в надежде дождаться падения их стоимости и купить их по более низкой цене) и арбитража (одновременной покупки и продажи одной и той же ценной бумаги в разных местах по разным ценам).
На Нью-Йоркской фондовой бирже в 1987 г. в день продавалось в среднем 190 000 000 акций. В 1995 г. эта цифра возросла до 340 000 000 (при этом в торгах были представлены акции 2 600 компаний). При таких огромных объёмах заключённых контрактов динамика стоимостей ценных бумаг неминуемо становится стохастической, т. е. носящей случайный характер, связанный с большим количеством участников рынка, различием их интересов, различной реакцией на изменение цен, различной интерпретацией получаемой информации и т. п. Необходимость учёта влияния случайных факторов на стоимости ценных бумаг привела к появлению стохастических моделей финансовых рынков и финансовых инструментов.
Спекулятивная операция, состоящая в том, что в момент времени (n — 1) инвестор покупает некоторую акцию по цене Sn -1, а в момент n продаёт её по цене Sn, обеспечивает доходность которая может быть гораздо выше процентной ставки r = банковского счёта. Так, в России за 1996 г. цены на акции выросли в среднем в четыре раза, т. е.
Каждой акции соответствует определённое число голосов на ежегодном общем собрании акционеров — высшем органе управления акционерной компанией.
средняя доходность была выше 300% годовых, что намного выше доходности по вложениям в банки или облигации1.
Стохастическое моделирование рынка ценных бумаг основано на теории эффективного рынка, которая предполагает, что рынок эффективно реагирует на обновление информации. На эффективном рынке мгновенно происходит коррекция цен, которые становятся справедливыми, не оставляя места участникам рынка для арбитражных возможностей, а участники такого рынка однородны в своих установках и однородно интерпретируют поступающую информацию, мгновенно корректируя свои решения при поступлении новой информации.
Предположим, что доходности rn (1.1.3) в различные моменты времени n = 1,2, 3. представляют собой независимые одинаково распределённые случайные величины с математическим ожиданием (ожидаемой доходностью) mn и средним квадратичным отклонением (изменчивостью доходности или волатльностью) sn. Пусть в начальный момент акция стоила S 0 ден. ед., тогда в момент n её стоимость составит Преобразуем эту формулу:
где hi = ln(1 + ri ), i = 1, n.
Разобьём отрезок [0; t ] на n частей и устремим n к бесконечности. Тогда, согласно центральной предельной теореме2 (см., например, [31]), сумма будет распределена по нормальному закону. Можно показать, что параметры этого закона равны соответственно MHt = (m — s2 / 2)t и sH = s t (где m= lim mn, s = lim sn ).
Средний рост стоимостей акций в четыре раза не означает, конечно, что все акции подорожали в четыре раза: цены некоторых акций росли очень быстро, другие акции дорожали менее заметно, а какие-то акции даже упали в цене. При этом заранее невозможно точное детерминированное предсказание будущей доходности. Поэтому акции являются наиболее рискованными ценными бумагами (вложения на банковский счёт — наименее рискованная операция, банковский счёт предполагает начисление заранее оговорённых процентов, поэтому в финансовой математике его ещё называют безрисковой ценной бумагой, хотя, конечно, и здесь присутствует риск, что мы все наблюдали на примере кризиса 1998 г.).
А точнее, её вольной формулировке, поскольку условия теоремы мы не проверяем, считая лишь, что все hi — независимые одинаково распределённые случайные величины, каждая из которых достаточно мала.
Такие объекты, которые в каждый момент времени представляют собой случайные величины, называется случайными процессами. Наиболее полно изученным случайным процессом является процесс Wt, который выходит из точки W0 = 0 и в каждый момент времени распределён по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и средним квадратичным отклонением sW = t. Этот случайный процесс Wt носит название стандартного броуновского движения.
Очевидно, случайный процесс Ht (который называют обобщённым броуновским движением) связан с Wt формулой и стоимость акции в момент t равна Рис. 1.1.2. Три траектории геометрического бродвижения [63].
уновского движения случайного процесса Xt называется функция от времени X (t, w), равная в каждый момент времени t конкретной реализации соответствующей случайной величины Отсюда и пошло название этого процесса.
На рис. 1.1.1 представлены три траектории броуновского движения Wt, выходящие из одной точки. На рис. 1.1.2 представлены три траектории геометрического броуновского движения St. Их поведение действительно очень напоминает поведение стоимостей реальных акций Переходя в определении доходности акции (1.1.3) к пределу при Sn Sn -1, получим формулу в которой слагаемое mdt описывает детерминированный рост стоимости акции и пропорционально длине временнго интервала (коэффициент пропорциональности m называется при этом мгновенной доходностью акции), а слагаемое sdWt описывает случайные изменения доходности, которые могут произойти в этом интервале (как и раньше, s — изменчивость доходности акции).
Перепишем уравнение (1.1.6) в виде Такие уравнения называются стохастическими дифференциальными уравнениями, в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, которыми описываются полностью детерминированные (безрисковые) процессы, например, динамика банковского счёта (уравнение (1.1.2)). В последующих главах стохастические дифференциальные уравнения и их приложения в экономике и финансах будут подробно рассмотрены.
§1.2. БАЗОВЫЕ СТОХАСТИЧЕСИЕ МОДЕЛИ В СТРАХОВАНИИ
Страхование, согласно А. Н. Ширяеву [96, с. 87], — это «социальный механизм, позволяющий индивидуумам и организациям компенсировать экономические потери, вызванные теми или иными неблагоприятными обстоятельствами».
Довольно давно стало ясно, что самый эффективный способ уменьшения потерь от неопределённостей — это объединение отдельных людей и организаций в страховые сообщества, поскольку трудно предсказать время, место и характер событий, способных повлиять на экономическое состояние индивидуумов, вместе с тем, по закону больших чисел (см., например, [31]), средние или суммарные потери большой группы индивидуумов предсказать можно. В страховых сообществах каждый индивидуум вносит сумму, намного меньшую его возможного ущерба, и в случае наступления ущерба убытки возмещаются из средств, собранных всеми членами сообщества, в случае же, когда ущерб не наступает, первоначально выплаченная данным индивидуумом сумма распределяется между теми членами страхового сообщества, которые понесли убытки.
Иными словами, страхование заменяет неопределённость будущих возможных потерь вполне определёнными (относительно небольшими) разовыми выплатами в определённые моменты.
Первые формы страхования представляли собой страхование морских грузов и датируются примерно четвёртым тысячелетием до н. э., зарождение страхования жизни относится примерно к 600 г. до н. э.
Довольно быстро страховые сообщества трансформировались в страховые компании, извлекающие прибыль из страхования. В 1689 г. торговцы, судовладельцы и морские страховщики стали собираться в кофейном магазине британца Э. Ллойда для заключения страховых сделок по морским перевозкам. В 1774 г. Корпорация «Ллойдс» была официально утверждена Королевским указом, а в 1871 г. — зарегистрирована Актом Парламента. В настоящее время «Ллойдс» является крупнейшей страховой корпорацией, оперируя почти со всеми видами рисков. Сегодня компании типа «Ллойдс» страхуют (кроме обычных видов рисков) ноги балерин, пальцы пианистов, зубы фотомоделей, приёмы для гостей на открытом воздухе от потерь в ненастье и т. п.
В России первая страховая компания, «Страховое акционерное общество от огня», была организована в Сибири в 1827 г. В 1835 г. появилось «Российское общество страхования капиталов и доходов», которое занималось страхованием жизни и финансовых операций.
Слово actuarius (актуарий) в Древнем Риме относилось к тем, кто вёл записи актов в Сенате, и к офицерам, которые оперировали с военными счетами и вели контроль военных поставок. В своей английской версии (actuary) это слово претерпевало различные изменения, пока не стало обозначать эксперта по математике страхования (или актуарной математике), которая, образуя теоретическую основу страхового дела, изучает различные вероятностные характеристики возможного ущерба и методы страхования от этого ущерба.
Первая математическая модель страхования была построена, по-видимому, Т. Барруа в 1834 г., современные актуарные модели восходят к Ф. Лундбергу, который в 1903 г.1 опубликовал диссертацию «Approximerad framsrllning av sannolikhetsfunctionen. Atersfrskring av kollektivrisker», заложив основы актуарной теории риска, использующей так называемый процесс Пуассона2, который, наряду с броуновским движением3, лежит в основе общей теории случайных процессов.
Почти одновременно с появлением модели ценообразования акций Л. Башелье!
По договору страхования (или страховому полису) одна сторона (страхователь) платит другой стороне (страховщик) определённую денежную сумму (страховую премию), и за это страховщик гарантирует возмещение возможных убытков страхователя (в случае их возникновения). Смысл страхового полиса состоит в том, что страхователь подвержен определённому риску (который заключается в возможном наступлении некоторого страхового случая) и стремится от этого риска защититься, а задачей страховщика является предоставление такой защиты. В качестве страхового случая может выступать болезнь, смерть, автомобильная авария, потеря имущества при пожаре, потеря финансовых средств при неблагоприятно складывающейся рыночной ситуации, а также отмеченные выше переломы ног у балерин, пальцев у пианистов, зубов у фотомоделей и т. п. В страховом полисе указываются срок его действия, условия и способ возмещения ущерба. Например, в полисе на страхование гражданской ответственности водителя транспортного средства обычно указывается, что если в момент наступления страхового случая (при аварии) водитель находился в состоянии алкогольного опьянения, то страховщик ответственности по полису не несёт. Если в указанный в полисе срок страховой случай не наступил, страхователь теряет уплаченную премию.
Наибольшее развитие получило страхование жизни. Математические модели такого страхования мы и рассмотрим ниже более подробно. Договор страхования жизни может быть обязательным (в силу действия определённого закона) или добровольным (по взаимному волеизъявлению страховщика и страхователя), краткосрочным (как правило, на один год) или долгосрочным.
Основным источником случайности в страховании жизни является неопределённость момента смерти отдельного человека. Однако в случае, когда одновременно у одного и того же страховщика страхуется большая однородная (по возрасту, полу, типу профессии, месту проживания и т. п.) группа страхователей, в силу закона больших чисел можно говорить об устойчивости относительных частот (см., например, [31]) и рассматривать продолжительность жизни как неотрицательную случайную величину X с функцией распределения F (x ) = P
Пусть T (x ) = X — x — остаточное время жизни человека в возрасте x лет.
Символом обозначается вероятность того, что человек в возрасте x лет проживёт ещё не менее t лет.
По определению условной вероятности В таблицах продолжительности жизни рассматривается группа новорождённых одного пола, проживающих в одинаковой местности, в количестве l0 чел. Пусть Xi — продолжительность жизни i -го человека из данной группы ( i = 1; l0 ). Количество доживших до возраста x обозначим L(x ), и в таблицах продолжительности жизни приводится математическое ожидание случайной величины L(x ) :
Фрагмент такой таблицы продолжительности жизни для городского населения Российской Федерации в 1993 г. приведён в табл. 1.2.1.
Фрагмент таблицы продолжительности жизни городского населения РФ в 1993 г.
Простейший вид краткосрочного страхования жизни заключается в следующем.
Страхователь (некоторый человек) платит страховщику (страховой компании) страховую премию в сумме c ден. ед., а страховщик соглашается выплатить наследникам страхователя страховую выплату (или страховое пособие) в сумме b ден. ед. в случае его смерти в течение года, и не платит ничего в противном случае. Величина страховой выплаты, конечно, должна быть много больше страховой премии.
Одной из важнейших задач актуарной математики является вычисление соотношений между страховой выплатой b и страховой премией c.
ТЕ О Р Е М А 1. 2. 1. Пусть страховщик продал страхователям одного пола, одного возраста ( x лет), проживающим в одинаковой местности, N полисов, согласно которым в случае смерти страхователя в течение ближайшего года его наследникам выплачивается страховая выплата b ден. ед. Стоимость одного полиса равна c ден. ед.
Тогда при Npx 10 вероятность того, что к концу года доход U страховой компании окажется не менее u ден. ед., равна ходится по соответствующей таблице продолжительности жизни.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Страховщик получит доход, не меньший u, если разность U между суммарной страховой премией и суммарными страховыми выплатами за год окажется не менее u.
Суммарная страховая премия, которую получит страховщик от всех N страхователей, равна, очевидно, C = Nc ден. ед. Пусть за год наступит k страховых случаев (умрёт k человек из N страхователей). Тогда суммарные страховые выплаты составят B = kb ден. ед. Поэтому искомая вероятность P < u >= P
При этом страховые случаи не зависят друг от друга, и можно рассмотреть биномиальную случайную величину K Bi(N ; px ) — количество смертей в группе из N страхователей. Поскольку по условию Npx 10, можно воспользоваться интегральной теоремой требовалось доказать.
одного пола, одного возраста ( x лет), проживающим в одинаковой местности, согласно которым в случае смерти страхователя в течение ближайшего года его наследникам выплачивается страховая выплата b ден. ед. Стоимость одного полиса равна c ден. ед.
Тогда при Npx 10 для того, чтобы с вероятностью (надёжностью) g обеспечить доход, не меньший u ден. ед., страховщик должен обеспечить соотношение между страховой выплатой b и страховой премией c на один полис, где x a — квантиль1 нормального распределения уровня a = g — F ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По условию P = g, и по теореме 1.2.1 g = P = Npx, а x — квантиль нормального распределения уровня a. Тогда последa = g — F
СТРУКТУРЫ ОБЩЕСТВА
Доходы — это средства в денежной или натуральной форме, получаемые экономическими объектами (отдельными лицами, семьями, фирмами, государствами и т. д.) в результате их экономической деятельности.
Пусть z — доля членов общества (например, государства, фирмы и т. п.), которая владеет долей d (z ) всего общественного богатства. График функции d (z ) называется кривой Лоренца. На рис. 1.3.1 изображён пример кривой Лоренца.
Если на всех членов общества приходятся равные доли общественного богатства, т. е. 10% общества владеют 10% дохода, 20% общества владеют 20% дохода То есть такое число x a, что F(x a ) = a, где F(x ) = e dz — функция норp мального распределения (см., например, [31]).
и т. д., то кривая Лоренца превращается в биссектрису первого квадранта координатной плоскости, также показанную на рис. 1.3.1.
Отношение площади между кривой Лоренца и кривой абсолютного равенства (заштрихованной области на рис. 1.3.1) к площади под линией абсолютного равенства (равной, очевидно, 0,5), называется коэффициентом Джини. Очевидно, коРис. 1.3.1. Пример эффициент Джини имеет максимальное значение, равное едикривой Лоренца нице (означающее абсолютное неравенство в обществе) и минимальное значение, равное нулю (абсолютное равенство). Чем меньше коэффициент Джини, тем равномернее распределено богатство в обществе.
Исходя из содержательного смысла функции d (z ), можно показать, что эта функция и первые её две производные положительны на отрезке [0; 1].
Зная функцию d (z ), можно найти функцию долю w(t ) всего богатства общества, которой владеет доля t самых богатых людей: w(t ) = 1 — d (1 — t ).
Функция s(x ) = d + x — d — x, определённая на отрезке 0;, показывает, какой долей владеет средняя часть общества — богаче, чем часть x самых бедных, но беднее, чем x самых богатых.
Отметим, что функции d (z ), w(t ), s(x ) дают представления не об абсолютном богатстве общества, а лишь о распределении богатства внутри него.
Пусть F (x ) есть доля лиц, получающих месячный доход, меньший x ден. ед., по отношению ко всем, имеющим ненулевой денежный доход (всех таких членов общества назовем налогоплательщиками). Функцию F (x ) имеет смысл считать функцией распределения случайной величины X — месячного дохода случайно выбранного налогоплательщика.
Случайная величина, имеющая плотность распределения называется распределённой по закону Парето.
Распределение Парето во многих случаях очень удачно описывает доходы налогоплательщиков. Рассмотрим конкретный П Р И М Е Р 1. 3. 1. Годовой доход случайно выбранного налогоплательщика опиx 1, сывается случайной величиной X с плотностью распределения f (x ) = a, x 1.
Найдём значение параметра a, функцию распределения годового дохода, средний годовой доход и среднее квадратичное отклонение годового дохода. Определим также границу x min, не ниже которой с вероятностью 0,5 окажется годовой доход случайно выбранного налогоплательщика.
Параметр a найдём из условия, что f (x )dx =1 :
откуда a = 2, 5. Таким образом, f (x )= 2, Найдём функцию распределения:
По условию P
1- 2,5 =0,5 или x1 = 2, поэтому ln x min = »
Подробнее математическая теория распределения богатства в обществе рассматривается в книгах [46], [47].
Теория вероятностей зародилась из количественного исследования азартных игр.
В связи с этим интересно рассмотреть один из классических парадоксов теории вероятностей, которому придадим следующую формулировку.
П Р И М Е Р 1. 4. 1. Петя и Маша часто играют в бильярд друг с другом, причём Петя выигрывает в два раза чаще, чем Маша, исходя из этого, они оценили свои вероятности на победу, как для Пети и для Маши, и начали турнир на следующих условиях: каждый выигрыш приносит одно очко, Петя для победы должен набрать 12 очков, а Маша — 6. После того, как Петя набрал 8 очков, а Маша 4, игру пришлось прекратить, так как погас свет. Определим, как Пете и Маше разделить приз — 100 ден. ед.
Очевидно, максимальное количество партий, которое осталось сыграть Пете и Маше, равно пять (либо Петя выиграет три раза, а Маша два раза, либо Маша выиграет один раз, а Петя — четыре раза). Поэтому событие, заключающееся в выигрыше Пети (а значит, проигрыше Маши) состоит в том, что Маша из пяти партий не выиграет ни одной или выиграет всего одну. Поэтому вероятность выигрыша Пети равна вероятности того, что в 5 испытаниях Бернулли, в каждом из которых успех интерпретируется как выигрыш Машей очередной партии (т. е. вероятность успеха в каждом испытании составляет p = ) наступит 0 или P<выигрыш Пети>= P <0 или 1 выигрыш Маши из 5 партий>= P5 (0) + P5 (1) = успех:
— P <выигрыш Пети>= 1- =. Поэтому в данном случае премию 100 ден. ед. необходимо разделить в следующей пропорции: Пете отдать 100 » 46, 09 ден. ед., а Маше — Эта задача была впервые опубликована в обзоре Ф. Л. Пачоли «Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita» (1494 г.)1. Недавно была обнаружена рукопись, датированная 1380 г., в которой также упоминается этот парадокс. Многое указывает на то, что в Италию данная задача попала вместе с арабским учением.
Как бы то ни было, для поиска верного решения потребовалось очень много времени. Так, гениальный Н. Тарталья, который в математической дуэли за одну ночь открыл формулу корней кубического уравнения, дал неверное решение этой задачи.
Лишь в 1654 г. после нескольких неудачных попыток Б. Паскаль и П. Ферма независимо друг от друга нашли верное решение. Открытие было настолько важным, что многие считают именно этот год моментом рождения теории вероятностей.
Много других интересных задач из области экономики, финансов и страхования, для решения которых требуется применение теоретико-вероятностных и математико-статистических методов, рассматривается в работах [31], [37], [82].
В этой книге впервые использовалось слово «миллион» и объяснялась двойная бухгалтерия.
ГЛАВА 2. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ
§2.1. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ИХ ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Случайной функцией называется семейство случайных величин X (t, w), заданных на одном и том же вероятностном пространстве (W,, P), зависящих от параметра t, принимающего значения из некоторого множества T, называемого областью определения случайной функции X (t, w). Если область определения представляет собой некоторое подмножество действительной прямой, а параметр t считается неотрицательным числом ( t T = [0; +) ) и интерпретируется как время, то случайная функция называется случайным процессом. Часто случайные процессы называют также стохастическими или вероятностными. Если область определения T случайного процесса X (t, w) непрерывна, то он называется процессом с непрерывным временем. Мы будем рассматривать случайные процессы с непрерывным временем, областью определения которых является полупрямая T = [0; +), а сами они принимают числовые значения: X (t, w).
Зафиксируем некоторый момент времени t = t * T. Сечением случайного процесса X (t, w) в момент t * называется случайная величина X (t *, w). Зафиксировав же некоторое элементарное событие w = w* W, получим (уже неслучайную) функцию X (t, w* ), называемую траекторией случайного процесса X (t, w).
Математическим ожиданием случайного процесса X (t, w) называется функция a : T, равная в каждый момент t математическому ожиданию случайной величины из семейства
Дисперсией случайного процесса X (t, w) называется функция s2 : T, равная в каждый момент t дисперсии случайной величины из семейства
Два случайных процесса X (t, w) и Y (t, w) называются стохастически неразличимыми, если для любого t Систематическое изучение случайных процессов началось с работ Е. Е. Слуцкого [65] (1928 г.) и А. Н. Колмогорова [38] (1931 г.). Важнейшее с точки зрения определения случайного процесса понятие стохастической эквивалентности было введено Е. Е. Слуцким в статье [66] и развито позже Дж. Дубом [16]. Дж. Дуб также получил существенные результаты в области аксиоматического определения случайных процессов [16].
Наиболее простым стохастическим процессом является процесс с независимыми значениями, в котором значение X (t, w) в момент времени t не зависит от значений X (s, w) в другие (предыдущие либо последующие) моменты s. При этом (в предположении дискретности времени) Если предположить ещё, что значения X (t, w) не зависят от времени, т. е. сечения процесса в каждый момент времени распределены одинаково, то придём к схеx ме испытаний Бернулли: P
Всюду в дальнейшем будем опускать аргумент w, подразумевая его по умолчанию, а аргумент t будем писать не в скобках, а в виде индекса: вместо X (t, w) будем писать Xt X (t, w). Впервые такие процессы рассмотрел А. А. Марков в статье [48] (1906 г.), впоследствии эти процессы были названы его именем.
УРАВНЕНИЕ КОЛМОГОРОВА – ЧЕПМЕНА
Упорядочим моменты времени t1, t2. tn, tn +1 по возрастанию: t1 t tn tn +1 и рассмотрим некоторые события A1, A2. An, An +1. Тогда марковское свойство запишется следующим образом:
Случайный процесс, обладающий марковским свойством (2.2.1), называется марковским процессом. Данное определение впервые было дано А. Н. Колмогоровым в его статье [38] (1931 г.). Позже определение марковского процесса анализировалось Дж. Дубом [16] и Е. Б. Дынкиным [17].
Пусть 0 s t, x, A. Переходной вероятностью марковского процесса называется условная вероятность Самым фундаментальным уравнением теории марковских процессов, лежащим в основе всех последующих построений, является уравнение Колмогорова – Чепмена, выражающее марковское свойство в интегральной форме. Впервые на него указал С. Чепмен в работе [93] (1928 г.), а строго обосновал и поставил его в основу теории марковских процессов А. Н. Колмогоров [38] (1931 г.).
ТЕ О Р Е М А 2. 2.1 ( У РА В Н Е Н И Е КОЛ М О Г О Р О ВА – Ч Е П М Е Н А ). Для любого марковского процесса Xt справедливо (при 0 s u t, x, A ) уравнение Колмогорова – Чепмена на (n + 1) полуинтервал A0 = (-; x1), A1 = x1; x 2 ), A2 = [x 2; x 3 ). An -1 = [x n -1; xn ), An = [x n ; +). Тогда события
Учитывая, что рассматриваемый случайный процесс обладает марковским свойством (2.2.1), опустим в условных вероятностях P
Если существует такая неотрицательная функция p : 4 [0; +), что для то она называется плотностью переходной вероятности марковского процесса Xt с переходной вероятностью P
В частности, если у переходной вероятности P
Для плотности переходной вероятности марковского процесса справедлив аналог уравнения Колмогорова – Чепмена, формулирующийся в следующей теореме.
ность p(s, x ; t, y ) переходной вероятности, то для неё справедлив (при 0 s u t, x, A ) аналог уравнения Колмогорова – Чепмена:
Преобразуем правую часть формулы (2.2.7), изменив порядок интегрирования:
v * dy = [y; y + dy ], поэтому, учитывая бесконечную малость промежутка dy, можно запиp(s, x ; u, v)dv = p(s, x ; u, y)dy.
или для любого события A, откуда и следует уравнение (2.2.6).
На основе уравнения Колмогорова – Чепмена (2.2.3) А. Н. Колмогоров вывел дифференциальные уравнения для исследования вероятностных свойств марковских процессов с непрерывным временем [38].
переходной вероятности марковского процесса Xt, удовлетворяющая следующим условиям:
1) для любых e 0 имеет место равномерная по x, z : | x — z | e и t сходимость причём предельная функция W (x | t,z ) не зависит от e ;
2) имеет место равномерная по z, e и t сходимость 3) имеет место равномерная по z, e и t сходимость подчиняется при 0 s t, y,z прямому дифференциальному уравнению Колмогорова ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем справедливость прямого уравнения Колмогорова (2.3.4).
Рассмотрим временню эволюцию математического ожидания некоторой функции f :, дважды непрерывно дифференцируемой в ( f C2 [ ] ):
Подставляя в (2.3.6) вместо плотности p(s, y; t + Dt, x ) переходной вероятности её выражение p(s, y; t + Dt, x ) = p(s, y; t, z )p(t, z ; t + Dt, x )dz из аналога уравнения КолмогороваЧепмена (2.2.6), получим:
Здесь использовано определение главного значения интеграла:
Разобьём интегрирование по x на две области: | x — z | e и | x — z | e. Так как функция f C2[ ], можно записать её разложение в ряд Тейлора в e -окрестности точки z :
где lim R(x,z ) = 0.
Подставляя разложение (2.3.8) в выражение (2.3.7), получаем:
Здесь в последнем интеграле мы воспользовались определением (2.2.5) плотности переходной вероятности:
Рассмотрим подробнее каждый из этих пределов.
В силу второго и третьего условий теоремы (2.3.2)-(2.3.3) в выражении lim можно перейти к пределу под знаком интеграла:
можно утверждать, что И, наконец, в силу первого условия теоремы (2.3.1) можно записать, переходя к пределу под знаком интеграла:
Подставляем выражения (2.3.11)-(2.3.13) в (2.3.10):
Поскольку левая часть последней формулы не зависит от e, перейдём в ней к пределу Теперь интегрируем по частям:
Так как формула (2.3.14) справедлива для любой функции f C2[ ], из неё непосредственно следует прямое уравнение Колмогорова (2.3.4).
Доказательство справедливости обратного уравнения Колмогорова (2.3.5) проводится аналогично.
Впервые уравнения (2.3.4) и (2.3.5) исследовались в 1900 г. Л. Башелье [2], который рассмотрел случай, когда коэффициенты a(t ) и b(t ) зависят лишь от времени.
Затем уравнение (2.3.5) исследовалось в 1914 г. А. Фоккером и в 1917 г. М. Планком в их статьях по теории диффузии [89], [58], поэтому в физических работах это уравнение называют уравнением Колмогорова – Фоккера – Планка. Универсальность этого уравнения, его глобальность, применимость не только к диффузионным, но и к любым другим процессам, обладающим марковским свойством, была осознана лишь в 1931 г.
А. Н. Колмогоровым в работе [38]. Впоследствии исследованием уравнений (2.3.4) и (2.3.5) занимались В. Феллер [87], [88], Е. Б. Дынкин [17] и др.
Очевидно, уравнения (2.3.4) и (2.3.5) эквивалентны, так как они описывают поведение одних и тех же величин. Основное различие между ними состоит в том, что в уравнении (2.3.4) фиксируются значения переменных s и y, и решение существует при t s, а в уравнении (2.3.5) фиксируются значения t и x, и ищется решение при s t. Именно поэтому уравнение (2.3.4) носит название прямого, а уравнение (2.3.5) — обратного.
Прямое уравнение используется обычно для предсказания значений измеряемых величин по известным прошедшим значениям, а обратное уравнение — для поиска среднего времени выхода за какие-либо границы [8], [9].
Можно показать [13], что если задать определённые начальные и граничные условия, то в случае неотрицательности функций b(t,z ) и W (x | t,z ) существуют и единственны решения прямого (2.3.4) и обратного (2.3.5) уравнений Колмогорова, причём эти решения удовлетворяют всем аксиомам теории вероятностей и, естественно, совпадают друг с другом почти всюду1. Неотрицательность функции b(t,z ) следует из её определения (2.3.3).
В 1926 г. П. Дирак при помощи формального соотношения всех чисел a, ввёл самую употребительную на сегодняшний день обобщённую функцию — дельта-функцию d(x ) [15]. Всюду, кроме точки x = 0, функция d(x ) обращается в нуль, между тем d(x )dx = 1, поэтому можно определить дельтафункцию конструктивно как предел функциональной последовательности при n. Нестрогим образом дельта-функции является функция, которая в точке x = 0 «обращается в бесконечность», во всех же остальных точках равна нулю.
Подробнее с теорией обобщённых функций и её применением для решения дифференциальных уравнений в частных производных можно познакомиться по книге [7], нам же дельта-функция (2.4.1) будет полезна для задания начальных условий для прямого уравнения Колмогорова (2.3.4) и «конечных» условий То есть, возможно, за исключением конечного либо счётного числа точек.
для обратного уравнения Колмогорова (2.3.5) в случае, когда известно состояние процесса в соответствующий (начальный или конечный) момент времени: Xt = y или Xt = x1.
Очевидность этих условий следует из того, что если в данный момент t некоторая точка занимает положение y, то вероятность обнаружить её в каком-либо другом месте z y, равна нулю, между тем P
Если же положение точки в начальный (конечный) момент времени неизвестно, то оно должно рассматриваться как случайная величина с некоторой плотностью распределения f (z ), и тогда начальное и «конечное» условия для уравнений Колмогорова примут, соответственно, вид Граничные условия для уравнений Колмогорова исследованы ещё не полностью, на практике используют, в основном, условие отражающей границы, условие поглощающей границы, а также их комбинации. Формулировки этих граничных условий приведены в табл. 2.4.1.
Отражающая граница G Поглощающая граница G Подробнее о граничных условиях для уравнений Колмогорова можно узнать в книге [9].
И ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Марковский процесс Xt называется непрерывным, если для любых e 0 имеет место предел равномерно по x и t. Тогда можно доказать [12], что траектория Xt этого процесса является непрерывной функцией времени почти наверное.
Условие (2.5.1) называется условием Линдеберга.
Рассмотрим случай, когда в условиях (2.3.2)-(2.3.3) a(t, z ) 0, b(t, z ) 0. Тогда прямое уравнение Колмогорова принимает вид (2.5.2), представляет собой отрезки прямых Xt = const, чередующиеся с разрывными скачками [9], поэтому такие процессы, для которых в условиях (2.3.2)-(2.3.3) a(t, z ) 0, b(t, z ) 0, называются скачкообразными, а уравнение (2.5.2) называется управляющим уравнением скачкообразного процесса или уравнением Колмогорова – Феллера. Траектории скачкообразных процессов терпят разрывы в дискретном множестве точек.
Если в условии (2.3.1) W (x | t,z ) 0, то обратное уравнение Колмогорова принимает вид Процессы, описываемые уравнениями вида (2.5.3) носят название диффузионных, а само уравнение (2.5.3) часто называют уравнением Колмогорова – Фоккера – Планка. Функция a(t,z ) называется коэффициентом сноса, а функция b(t, z ) — коэффициентом диффузии. Ясно, что когда W (x | t,z ) 0, условие непрерывности (2.5.1) выполняется, поэтому диффузионные процессы непрерывны, хотя, как мы увидим в §3.1, могут не быть дифференцируемыми ни в одной точке.
Если же в условиях (2.3.1)-(2.3.3) b(t, z ) 0, W (x | t,z ) 0, то прямое уравнение Колмогорова принимает вид уравнения Лиувилля которое в случае известного начального значения описывает полностью детерминированные процессы1. Это — тривиальный тип марковских процессов: в каждый момент времени известны с вероятностью единица все будущие состояния. Именно Действительно, если x (t ) является решением обыкновенного дифференциального уравнения dx / dt = a(t, x (t )) с начальным условием x (0) = x 0, то решением уравнения (2.5.4) с начальным условием p(t0,y 0 ; t0,z ) = d(y 0 — z ) будет функция p(t0,y 0 ; t,z ) = d(z — x (t ), откуда следует, что Zt совпадает с x (t ) почти всюду.
такие процессы рассматриваются в классической (детерминированной) математике. В общем случае ни один из коэффициентов a(t,z ), b(t,z ), W (x | t,z ) не Рис. 2.5.1. Траектория процесса общего вида Предметом нашего дальнейшего рассмотрения являются диффузионные процессы и их применение в экономико-математическом и финансово-математическом моделировании.
ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Рассмотрим одномерный диффузионный процесс Wt, подчиняющийся уравнению Колмогорова, в котором коэффициент сноса равен нулю, а коэффициент диффузии — единице:
Начальное условие (2.4.2) примет вид Система (3.1.1)-(3.1.2) представляет собой задачу Коши для уравнения теплопроводности, решением которой, согласно [83], является функция представляющая собой плотность нормального распределения (a, s ) с математическим ожиданием a = w 0 и средним квадратичным отклонением s = t — t0.
Первоначально острый пик расплывается со временем, как изображено на рис. 3.1.1.
Случайный процесс Wt, плотность переходной вероятности которого подчиняется формуле (3.1.3), называется броуновским движением.
Отметим некоторые свойства броуновского движения. Во-первых, хотя математическое ожидание броуновского движения конечно, его среднее квадратичное отклонение стремится к бесконечности при t. Это говорит о нерегулярности, переменчивости траекторий.
Во-вторых, траектории броуновского движения непрерывны, так как оно представляет собой диффузионный процесс. Между тем, они не яв- Рис. 3.1.1. Расплывание начального ляются дифференцируемыми ни в одной точке.
В пределе при Dt 0 эта вероятность обращается в единицу при любом конечном значении k. Таким образом, сколь большое число k мы не выберем, модуль производной траектории броуновского движения будет наверняка больше этого числа, т. е. бесконечен. Из этого следует, что броуновское движение не является дифференцируемым ни в одной точке почти наверное.
Три траектории броуновского движения мы видели на рис. 1.1.1.
Броуновское движение как объект было введено в 1900 г. Л. Башелье [2], затем в 1905 г. исследовалось А. Эйнштейном [99]. Строгая математическая теория броуновского движения была построена в 1923 г. Н. Винером [6], в честь которого этот процесс называется также винеровским процессом.
Броуновское движение, выходящее в нулевой момент времени из точки W0 = 0, называется стандартным броуновским движением1. Очевидно (по свойствам нормально распределённых случайных величин), математическое ожидание стандартного броуновского движения тождественно равно нулю, а его дисперсия равна DWt = t.
С этим случайным процессом мы уже сталкивались в §1.1.
Пусть Wt — стандартное броуновское движение. Рассмотрим конструкцию [0;t ) f (s,w)dWs, называемую стохастическим интегралом от случайной функции 0 = s 0 s1 s2 sn = t. Если существует такое число It ( f ), что независимо от разбиения промежутка [0; t ) на части, то оно называется стохастическим интегралом Ито [0;t ) f (s,w)dWs от случайной функции f (s, w) по промежутку [0; t ) 1.
Приведём без доказательства теорему существования и единственности стохастического интеграла Ито2.
Ч Е С К О Г О И Н Т Е Г РА Л А
f (s, w) статистически независима от (Wt -Ws ) для всех t s ) и непрерывной, то стохастический интеграл Ито [0;t ) f (s,w)dWs от случайной функции f (s, w) по промежутку [0; t ) существует и определяется однозначно.
Первым, кто ввёл понятие стохастического интеграла, был Н. Винер, который в 1923 г., воспользовавшись идеей интегрирования по частям, определил в работе [6] понятие стохастического интеграла от неслучайной функции (см. пример 3.5.2). Затем Г. Крамер в 1940 г. в работе [39] предложил первую общую теорию стохастических интегралов. Впоследствии теорией стохастического интегрирования занимались К. Ито [28], [26] (1944 г., 1951 г.), Р. Л. Стратонович [80] (1961 г.), С. Ватанабэ, К. Долеан-Дейд, Дж. Дуб, Ф. Курреж, Х. Куните, П.-A. Мейер и др. Наиболее распространённым способом определения стохастического интеграла является способ К. Ито, рассмотренный в данном параграфе.
Здесь под l.i.m. понимается предел в среднем квадратичном: l.i.m. Xn = X, если lim M (Xn -X )2 = 0.
Доказательство теоремы 3.2.1 и всех теорем §3.3 приводятся в книгах [8], [61].
§3.3. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Используя введённое понятие стохастического интеграла Ито, можно дать определение стохастического дифференциального уравнения.
Пусть a(t, x ) и c(t, x ) — неупреждающие функции, тогда случайный процесс Xt называется решением стохастического дифференциального уравнения Ито если для всех t 0 выполняются равенства Сформулируем условия существования и единственности решения стохастического дифференциального уравнения.
Говорят, что коэффициенты a(t, x ) и c(t, x ) удовлетворяют локальному условию Липшица по переменной x, если для любого n найдётся такая константа K (n ), что для всех t 0 и | x | n, | y | n выполняется неравенство
ТЕ О Р Е М А 3.3.1 ( СУ Щ Е С Т В О ВА Н И Е И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ
И Т О ). Если коС Т ОХ АС Т И Ч Е С К О Г О Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н О Г О У РА В Н Е Н И Я
эффициенты a(t, x ) и c(t, x ) стохастического дифференциального уравнения Ито (3.3.1) удовлетворяют локальному условию Липшица по переменной x (3.3.5) и условию линейного роста то стохастическое дифференциальное уравнение (3.3.1) имеет, и притом единственное (с точностью до стохастической неразличимости (3.3.3)), непрерывное решение Xt, являющееся марковским процессом.
ной вероятности диффузионного случайного процесса Xt, удовлетворяющая условиям (3.3.2)-(3.3.3), описывается уравнениями Колмогорова тогда и только тогда, когда случайный процесс Xt является решением стохастического дифференциального уравнения (2.3.1), в котором (c(t, x ))2 b(t, x ) 1.
Теорема 3.3.2 доказывает эквивалентность двух методов исследования случайных процессов — уравнений Колмогорова и стохастических дифференциальных уравнений. Иногда к желаемым результатам проще прийти с помощью уравнений Колмогорова, иногда — используя стохастические дифференциальные уравнения.
В дальнейших приложениях будет полезна также где Wt — броуновское движение.
Впервые стохастические дифференциальные уравнения были предложены в 1908 г. П. Ланжевеном [41] для описания броуновского движения, однако до введения Г. Крамером в 1940 г. [39] и К. Ито в 1942 г. [28] понятия стохастического интеграла строгие методы исследования этих уравнений отсутствовали. Теория стохастических дифференциальных уравнений развивалась в работах С. Н. Бернштейна [3] (1934 г.), К. Ито [24]-[26] (1942-1951 гг.), И. И. Гихмана [10]-[13] (1950 г.), Р. Л. Стратоновича [80] (1961 г.), С. Варадана, С. Ватанабэ, Л. И. Гальчука, К. Долеан-Дейд, Ж. Жакода, А. К. Звонкина, М. Каца, Е. Конвея, Т. Комацу, Н. В. Крылова, В. А. Лебедева, Р. Ш. Липцера, Г. Маруямы, А. В. Мельникова, Ж. Мемена, М. Нисио, А. В. Скорохода, Д. Струка, А. Н. Ширяева, Т. Ямады и др.
СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Стохастическое дифференциальное и интегральное исчисление имеет некоторые отличия от классического, в частности, в приложениях весьма важно отличие дифференцирования сложной функции.
Как уже отмечалось в §1.4, неотрицательность коэффициента диффузии b(t, x ) следует из его определения (2.3.3).
ТЕ О Р Е М А 3.4. 1 ( Ф О Р М УЛ А И Т О ). Если непрерывная функция F (t, x ) имеF F 2F шением стохастического дифференциального уравнения (3.3.1), то случайный процесс Ft = F (t, Xt ) является решением стохастического дифференциального уравнения ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выпишем разложение функции F (t, x ) в ряд Тейлора:
Подставляя теперь в выражение (3.4.2) Xt вместо x, получим Учтём, что процесс Xt подчиняется стохастическому дифференциальному уравнению (3.3.1):
Теперь воспользуемся теоремой 3.3.3 и подставим в последнее выражение dt вместо (dWt )2 и (dt )3 / 2 вместо dWtdt :
Отбрасывая все члены, содержащие dt в более высокой степени, чем первая, получаем формулу Ито (3.4.1).
Впервые теорема 3.4.1 была сформулирована и доказана К. Ито в 1951 г. в работе [23]. С тех пор с помощью формулы Ито получены многие ставшие уже классическими результаты стохастической финансовой математики, включая знаменитую формулу Блэка – Шоулза для оценки рациональной стоимости опционов, рассматриваемую в §4.4.
Для решения линейных стохастических дифференциальных уравнений вида как и для их детерминированных аналогов вида dXt = (a 0 + a(t )Xt )dt, существуют явные формулы (подробнее см. [60, с. 637]), однако реальные стохастические дифференциальные уравнения, возникающие в практике экономико-математического моделирования, как мы увидим ниже, являются принципиально нелинейными, поэтому их решение проводится либо подбором при помощи формулы Ито (3.4.1), либо путём применения численных методов (см. [40], [60, с. 565-581]).
Рассмотрим несколько примеров случайных процессов, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями.
П Р И М Е Р 3.5.1 ( С Т ОХ АС Т И Ч Е С К А Я Э К С П О Н Е Н ТА ). Рассмотрим стохастический дифференциал процесса E( )t, определяемого формулой Согласно формуле Ито (3.4.1), где Xt = Wt, F (t, x ) = e 2, можно записать:
Таким образом, Случайный процесс ( )t называют стохастической экспонентой по аналогии с обычной экспонентой et, являющейся решением обыкновенного дифференциального уравнения d (et ) = et, которое можно переписать в виде d (et ) = etdt. Соотношение (3.5.2) можно расdt сматривать как стохастическое дифференциальное уравнение, а функцию ( )t, задаваемую формулой (3.5.1) — как решение этого уравнения.
Пусть в формуле Ито (3.4.1) Xt = Wt, F (t, x ) = f (t )x, тогда a(x, t ) 0, c(x, t ) 1, и формула принимает вид или, в интегральной форме, f (t ) t = f (s ) sds + [0;t ) f (s )dWs.
Последнюю формулу можно переписать в виде Именно так Н. Винер в 1923 г. предложил вычислять стохастические интегралы от неслучайных функций [6].
П Р И М Е Р 3.5. 3 ( О Б О Б Щ Ё Н Н О Е Б Р ОУ Н О В С К О Е Д В И Ж Е Н И Е ). Рассмотрим случайный процесс, подчиняющийся стохастическому дифференциальному уравнению С помощью непосредственной подстановки значений Xt = Wt, F (t, x ) = B0 + mt + sx, a(x, t ) 0, c(x, t ) 1 в формулу Ито (3.4.1) легко проверить, что решение уравнения (3.5.3) описывается формулой Этот процесс называется обобщённым броуновским движением.
смотрим случайный процесс, подчиняющийся стохастическому дифференциальному уравнению (1.1.7) Легко проверить, что его решение описывается формулой (1.1.5) Действительно, согласно формуле Ито (3.4.1), где Xt = Wt, F (t, x ) = S 0e(m-s / 2)t + sx, dSt = m — s2/2 S 0e(m -s / 2)te sx + s2S 0e(m -s / 2)te sx dt + sS 0e(m -s / 2)te sx dWt = Этот процесс называется геометрическим или экономическим броуновским движением.
В первой главе мы уже встречались с процессом геометрического броуновского движения: формулой (1.1.5) описывалась зависимость стоимости акции от времени.
Внешний вид траекторий геометрического броуновского движения (рис. 1.1.2), действительно, очень напоминает процесс изменения многих финансовых и экономических показателей (например, стоимостей реальных акций, представленных на рис. 1.1.3), поэтому геометрическое броуновское движение легло в основу ряда финансово-математических и экономико-математических моделей. В следующих главах мы увидим, какие результаты получаются при исследовании этих моделей.
ГЛАВА 4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ФИНАНСАХ
§4.1. СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭВОЛЮЦИИ СТОИМОСТИ АКЦИЙ
Если предположить, что процентная ставка может меняться со временем, то модель (1.1.2) преобразуется в самую распространённую модель банковского счёта.
Как правило, её записывают в виде Процентная ставка r (t ) может описываться при этом либо детерминированной функцией времени, либо случайным процессом. Стохастические модели эволюции процентных ставок, предложенные Ф. Блэком, О. Васичеком, Е. Дерманом, Л. Дотханом, К. Зандманом, Д. Зондерманом, Дж. Ингерсоллом, П. Карасинским, Дж. Коксом, С. Ли, Р. Мертоном, С. Россом, У. Тоем, А. Уайтом, Дж. Халлом, Т. Хо, Л. Ченом, А. Н. Ширяевым, У. Шмидтом, подробно рассматриваются в книге [96].
Многочисленные попытки детерминированного описания динамики стоимостей ценных бумаг успехом не увенчались. Как писал М. Кендалл в статье [34] (1953 г.), поведение этих стоимостей наводит на мысли о «Демоне Случая, случайным образом извлекающем число и добавляющем его к текущему значению стоимости для определения стоимости в следующий момент». Первым, кто предпринял попытку стохастического описания эволюции стоимостей акций St, был Л. Башелье, который в 1900 г. в своей диссертации [2] предложил рассматривать St как обобщённое броуновское движение (3.5.4):
Очевидный (и очень серьёзный) недостаток модели (3.5.4) заключается в том, что в её рамках цена акции St может принимать отрицательные значения, что не соответствует реальности. Несмотря на это, нельзя не оценить вклада работы [2] в становление стохастической математики. Именно в ней за пять лет до А. Эйнштейна [99] был впервые введён математический объект (3.1.3), позже получивший название броуновского движения, именно в ней была предпринята первая попытка стохастического описания рынка ценных бумаг.
Революционная пионерская работа Л. Башелье сильно опередила своё время. В начале XX в. она фактически была проигнорирована и забыта. Теория случайных процессов была позже переоткрыта А. Эйнштейном и начала развиваться, а её применение в моделировании стоимостей ценных бумаг остановилось до начала 50-х гг.
Следующий крупный шаг в применении стохастических методов к анализу стоимостей акций сделал в 1965 г. П. Самуэльсон [63]. В развитие работы М. Осборна [55] (1959 г.), в которой отмечалось, что не стоимости ценных бумаг, как в модели (3.2.1), предложенной Л. Башелье, а логарифмы этих стоимостей в каждый момент времени распределены по нормальному закону, П. Самуэльсон ввёл в рассмотрение геометрическое (или, в его терминологии, экономическое) броуновское движение St :
или Формула, выражающая зависимость St от времени, очевидно, имеет вид (1.1.5) Как было показано в примере 3.5.4, стоимости St акций удовлетворяют при этом стохастическому дифференциальному уравнению (1.1.7) ТЕ О Р Е М А 4.1.1 ( Ч И С Л О В Ы Е ОЦЕНКИ СТОИМОСТИ АКЦИЙ). Математическое ожидание и дисперсия стоимости акции, динамика которой описывается законом (1.1.7), таковы:
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как Wt — стандартное броуновское движение, значит, плотность Рассмотрим математическое ожидание стоимости акции Справедливость формулы (4.1.2) доказывается аналогично.
Различные усовершенствования стандартной диффузионной модели (1.1.5) были предложены Дж. Виггинсом, Б. Дюпири, Д. Нельсоном, Л. Скоттом, А. Уайтом, Дж. Халлом и другими специалистами. Подробнее эти усовершенствования обсуждаются в книге [96].
Предположим, что инвестор имеет возможность размещать средства на банковском счёте и брать с него в долг;
покупать и продавать ценные бумаги.
Тогда для этого инвестора на рынке существует один безрисковый актив (банковский счёт) B и n рсковых активов (ценных бумаг) S (1), S (2),, S (n ).
Будем считать, что проценты на банковский счёт начисляются непрерывно с постоянной ставкой r (t ) r = const, так что Здесь Bt — сумма на счёте в момент времени t.
Предположим, что на рынке обращаются n ценных бумаг, и стоимость i -й ценi ) ной бумаги в момент времени t составляет S t, i = 1; n и описывается стохастическим дифференциальным уравнением Будем предполагать, что операционные издержки, связанные с переводом средств между активами, отсутствуют, а также что активы являются безгранично делимыми, т. е. можно купить и продать любую часть ценной бумаги, положить на счёт и снять с него любую его часть.
Функционирующий по таким правилам рынок будем называть (B, S ) -рынком.
В момент времени t инвестор может часть своих средств b оставить на банковском счёте, а другую часть g потратить на приобретение ценных бумаг.
Портфелем ценных бумаг на (B, S ) -рынке назовём вектор Если инвестор в момент времени t обладает портфелем то это означает, что доля bt его средств вложена в безрисковый актив, а доли g t, i = 1; n могут быть как положительными, так и отрицательными, в последнем случае инвестор берёт средства в долг с банковского счёта либо совершает короткую продажу акций1 (конечно, эти числа могут быть и нулевыми).
Короткой продажей называется продажа ценных бумаг, которых нет в наличии, например, в надежде на снижение цен. Бумаги для короткой продажи берутся взаймы (см. §1.1).
Капиталом портфеля ценных бумаг pt в момент времени t называется стоимость всех активов инвестора в этот момент, т. е. число Очевидно, капитал портфеля ценных бумаг образует случайный процесс.
Ожидаемым капиталом ценной бумаги (портфеля ценных бумаг) называется математическое ожидание её (его) капитала, а риском ценной бумаги (портфеля ценных бумаг) — среднее квадратичное отклонение её (его) капитала.
Возникает задача оптимизации портфеля с целью получения максимального капитала при минимальном риске. К сожалению, одновременно этого достичь невозможно, поэтому инвестор, оптимизирующий свой портфель, должен выбрать один из критериев: либо максимизировать ожидаемый капитал портфеля MXtp, либо минимизировать риск портфеля Математическая формулировка задачи минимизации риска портфеля ценных бумаг при заданном минимальном допустимом капитале X p выглядит так:
Во-первых, опустим везде индекс времени t, поскольку задача статическая, т. е. рассматривается в конкретный фиксированный момент времени.
Возведём положительную целевую функцию в квадрат, введём обозначения g (0) b, m(i ) = MS (i ), m(0) = r, s(i, j ) = cov (S (i ), S ( j ) ), i, j = 1; n, раскроем знаки математических ожиданий и дисперсий и учтём, что DB = 0. Тогда задача (4.2.6) примет вид С помощью функции Лагранжа сведём задачу на условный экстремум к задаче на безусловный экстремум Приравнивая нулю производные функции Лагранжа по g(i ), получаем Пусть V = s(i, j ) = cov(S (i ), S ( j ) — ковариационная матрица эффективностей, (звёздочкой обозначаем оптимальное решение), тогда в этих обозначениях система уравнений (4.2.7) примет вид Последнее уравнение можно выразить относительно G* :
Подставив эти выражения в условия получим или Разделив первое уравнение на второе, получим откуда После приведения подобных слагаемых получаем в выражении для 1 — g откуда с учётом того, что 1 (I TV -1M — m(0)I TV -1I ) = 1 — g, находим и из (4.2.8) где мы учли, что произведение [M — m(0)I ]T V -1[M — m(0)I ] представляет собой число, которое выносится за знак транспонирования, а ковариационная матрица является симметричной, т. е. V T = V. Таким образом, доказана Появление матриц в знаменателе не должно смущать читателя, поскольку произведение M — m(0)I T V -1 M — m(0)I 11, т. е. представляет собой число.
ТЕ О Р Е М А 4.2.1. Оптимальное решение задачи (4.2.6) описывается формулой (4.2.9). При этом дисперсия такого оптимального портфеля подчиняется формуле (4.2.10).
Задача максимизации капитала портфеля при заданном максимальном допустимом риске rp такова:
Решение задачи (4.2.11) можно получить аналогично решению задачи (4.2.6).
Задачи (4.2.6) и (4.2.11) были поставлены и успешно решены Г. Марковицем в 1952 г. для случая отсутствия безрискового актива ( bt 0 ) [49], [50] и обобщены Дж. Тобином в 1958 г. на случай возможности безрисковых вложений и заимствований ( bt ) [84], [85]. Результаты решения этих задач говорят о том, что в оптимальный портфель минимального риска должны входить все ценные бумаги с весами, пропорциональными их доле на рынке. Дж. Тобин и Г. Марковиц стали лауреатами Нобелевской премии в области экономики в 1981 г. и в 1990 г. соответственно.
Можно ставить и другие оптимизационные задачи. Подробнее с теорией оптимизации портфеля ценных бумаг можно познакомиться, например, по книге [32].
§4.3. ПРОИЗВОДНЫЕ ФИНАНСОВЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ
Теория Г. Марковица и Дж. Тобина предлагает подход к редуцированию инвестиционного риска путём диверсификации (инвестирования в различные активы пропорционально их доле на рынке). При этом составленный таким образом портфель ценных бумаг может оказаться менее рискованным, чем каждый из входящих в него рисковых активов, однако, как правило, полностью избавиться от риска не удаётся.
В 60-е гг. XX в. мировые финансовые рынки отличались высокой стабильностью, процентные ставки были очень устойчивыми, а обменные курсы валют — вообще фиксированными, начиная с Бреттон-Вудской конференции 1944 г. В 70-е гг.
XX в. произошли события, в результате которых ситуация на финансовых рынках кардинально изменилась: всемирный нефтяной кризис, вызванный политикой ОПЕК1 — законодателя цен на нефть, повлёк за собой мировой валютноОПЕК (OPEC) — Организация стран-экспортёров нефти (Organization of the Petroleum Exporting Countries), созданная в 1960 г. для координации нефтяной политики членов этой организации. В настоящее время в неё входят Алжир, Венесуэла, Индонезия, Ирак, Иран, Катар, Кувейт, Ливия, Нигерия, Объединённые Арабские Эмираты, Саудовская Аравия.
финансовый кризис, и в 1973 г. Бреттон-Вудскую систему фиксированных обменных курсов сменили современные плавающие курсы. В 1971 г. Государственное казначейство США окончательно отменило практику покупки и продажи золота по фиксированной цене 35 долларов за унцию золота, в результате чего доллар сильно обесценился — нынешняя цена золота составляет 300-400 долларов за унцию. В этих условиях стандартные методы регрессионного анализа, которые применялись в то время к оценке активов, перестали давать адекватные результаты. Торговля обычными финансовыми инструментами стала чрезвычайно рискованной. Естественно, всё это привело инвесторов к необходимости использовать другие методы минимизации риска, обусловленного неопределённостью будущих значений цен.
Среди таких методов уменьшения риска особого внимания заслуживает хеджирование, которое состоит в том, что на определённое время из некоторого актива и некоторого количества производных финансовых инструментов составляется портфель ценных бумаг, причём производный инструмент подбирается таким образом, что одновременно с изменением стоимости базового актива в противоположную сторону меняется стоимость производного инструмента. Наиболее распространены два типа таких производных инструментов, используемых для хеджирования, — фьючерсы и опционы. Фьючерс — это ценная бумага, представляющая собой соглашение о приобретении или продаже в определённый момент времени в будущем определённой ценности по фиксированной цене, определяемой в момент заключения контракта. Опцион — это ценная бумага, представляющая собой соглашение, по которому одна из сторон (продавец) продаёт опцион за определённую премию, а другая (покупатель или владелец) получает право в течение срока, оговорённого в условиях опциона, либо купить определённую ценность по фиксированной цене, определяемой в момент заключения контракта (такой опцион называется опциономколл), либо продать (такой опцион называется опционом-пут). По срокам исполнения опционы делятся на европейские и американские. Американский опцион может быть предъявлен к исполнению в любое время до истечения срока опциона, европейский опцион может быть использован только в день истечения его срока.
Основным отличием фьючерсов и опционов является то, что первый представляет собой обязательство покупки или продажи актива по фиксированной цене, а второй — право.
Фьючерсы и опционы используются в качестве финансовых инструментов очень давно, организованная же торговля опционами началась в 1973 г. на Чикагской опционной бирже. В день её открытия 26 апреля 1973 г. было заключено 911 контрактов на опционы-колл, через год в день продавалось более 20 000 контрактов, в 1987 г. дневной оборот составил около 700 000 опционных контрактов.
Широко распространены и другие производные финансовые инструменты, в частности, инструменты, производные от производных, например, опцион на фьючерс.
Первая математическая модель опциона была предложена в 1900 г. Л. Башелье в его знаменитой диссертации [2], современная же математическая теория опционов, рассматриваемая в следующем параграфе, является наиболее продвинутой областью стохастической финансовой математики и получила начало в работах Ф. Блэка и М. Шоулза [5] и С. Мертона [54] в том же 1973 г., что и организованная торговля этими финансовыми инструментами.
Предположим, что на (B, S ) -рынке обращается ценная бумага (для определённости, акция) и производный от неё инструмент, стоимость акции изменяется со временем в соответствии со стохастическим дифференциальным уравнением а банковский счёт эволюционирует по закону Рациональной считается такая стоимость финансового инструмента, которая исключает возможность арбитража1 без риска, иными словами, доходность безрискового финансового инструмента, имеющего рациональную стоимость, должна совпадать с доходностью банковского счёта.
В 1973 г. американские экономисты Ф. Блэк и М. Шоулз в работе [5] и независимо от них С. Мертон в работе [54] на основании модели (B, S ) -рынка (4.4.1)-(4.4.2) получили следующее фундаментальное уравнение для рациональной стоимости производных финансовых инструментов.
ТЕ О Р Е М А 4.4.1 ( ФУ Н Д А М Е Н ТА Л Ь Н О Е У РА В Н Е Н И Е БЛ Э К А – ШОУЛ М Е Р Т О Н А ). Рациональная стоимость f (t, St ) производного инструмента на (B, S ) -рынке удовлетворяет фундаментальному уравнению Блэка – Шоулза – Мертона ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть f (t, St ) — стоимость производного инструмента в момент времени t, когда стоимость акции составляет St. По формуле Ито (3.4.1), где Xt = St, Рассмотрим портфель p = (0, D, -1), состоящий из D акций в длинной позиции и одного производного инструмента в короткой позиции. Капитал этого портфеля составит Арбитраж — одновременная покупка некоторого финансового инструмента по низкой цене и его продажа в другом месте по более высокой цене (см. §1.1).
Очевидно, dXtp = -df + DdSt. Подставляя в это уравнение выражение dSt из (4.4.1) и выражение df из (4.4.4), получаем Рациональность стоимости производной ценной бумаги означает, что доходность безрискового портфеля, составленного из акций и данных производных инструментов, должна совпадать с доходностью банковского счёта (чтобы исключить возможность арбитража без риска):
Подставив в формулу (4.4.7) выражение для Xtp из (4.4.5) и выражение для dXtp из (4.4.6), получим откуда или что и требовалось доказать.
«Институт управления, бизнеса и технологий Среднерусский научный центр Санкт-Петербургского отделения Международной академии наук высшей школы Крутиков В.К., Зайцев Ю.В., Костина О.И. Методология и методика в экономических исследованиях Учебно-методическое пособие КАЛУГА — 2012 ББК 65 К -84 Рецензенты: И.В. Захаров, доктор экономических наук, профессор Н.К. Фигуровская, доктор экономических наук, профессор К 84 Крутиков В.К., Зайцев Ю.В., Костина О.И. Методология и методика в экономических. »
«ЦЕНТРОСОЮЗ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОЙ КООПЕРАЦИИ КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ Соловых Н.Н. ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭКОНОМИКА ИСТОРИЯ ЭКОНОМИКИ ТЕМАТИКА РЕФЕРАТОВ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ИХ ВЫПОЛНЕНИЮ Москва 2003 Соловых Н.Н. Экономическая теория. Экономика. История экономики. Тематика рефератов и методические указания по их выполнению. – М.: Московский университет потребительской кооперации, 2003. — 21 с. Тематика рефератов и. »
«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Оренбургский государственный университет Кафедра Математических методов и моделей в экономике Г.Г. АРАЛБАЕВА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Рекомендовано к изданию Редакционно – издательским советом Оренбургского государственного университета Оренбург 2002 ББК 22.17я7 А 79 УДК519.676(07) Введение Настоящие методические указания предназначены для студентов заочной формы обучения. »
«Костюнина Г.М. Ассоциация стран Юго-Восточной Азии (АСЕАН) // Международная экономическая интеграция: учебное пособие / Под ред. Н.Н.Ливенцева. – М.: Экономистъ, 2006. – С. 226-261. Костюнина Г.М. Ассоциация стран Юго-Восточной Азии (АСЕАН) 1. Цели и направления создания АСЕАН. Результаты интеграционных тенденций в 1960-80-е гг. Ассоциация стран Юго-Восточной Азии — АСЕАН (Association of South East Asian Nations — ASEAN) создана в 1967 г. в составе пяти государств Сингапура, Таиланда, Филиппин. »
«ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ В MS EXCEL Хабаровск 2012 3 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное учреждение высшего профессионального образования Тихоокеанский государственный университет ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ В MS EXCEL Методические указания к выполнению лабораторных работ для студентов дневной формы обучения Хабаровск Издательство ТОГУ 2012 4 УДК 519.862.6:004.67(076) Обработка экспериментальных данных в MS Excel . »
«МИНИСТЕРСТВО ОБР АЗОВ АНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕР АЦИИ ФЕДЕР АЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБР АЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕ ЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛ ЬНОГО ОБР АЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДА РСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕ Т ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ КАФЕДР А КОММЕРЦИИ И ЛОГИСТИКИ Т.Т. ЦЕНИНА, Е.В. ЦЕНИНА ОРГАНИЗАЦИЯ И РЕГУЛИРОВАНИЕ ВНЕШНЕТОРГОВОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУД АРСТВЕННОГО УНИВЕРСИ ТЕТА ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ ББК 67.401. Ц Ценина Т.Т. Ц 37 Организация и. »
«База нормативной документации: www.complexdoc.ru СВЕРДЛОВСКОЕ ОБЛАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ УПРАВЛЕНИЕ АВТОМОБИЛЬНЫХ ДОРОГ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Т.В. Кошкарова, В.М. Самуилов, Е.В. Кошкаров МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОБОСНОВАНИЮ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИННОВАЦИЙ НА ТРАНСПОРТЕ Екатеринбург 2002 Введение Методические рекомендации содержат основные положения проведения экономической оценки эффективности инноваций в дорожном хозяйстве и на транспорте. Методические. »
«Министерство образования и науки Российской Федерации Владивостокский государственный университет экономики и сервиса _ Н.И. ВИНТОНИВА ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ УПРАВЛЕНИЯ ПЕРСОНАЛОМ Учебное пособие Владивосток Издательство ВГУЭС 2010 ББК 65.290.6-21с51 В 48 Рецензенты: В.И. Кондратьева, канд. экон. наук, доцент, зав. каф. ИСЭ ДВГТУ; О.А. Волгина, канд. экон. наук, доцент каф. математики и моделирования Винтонива, Н.И. В 48 ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ УПРАВЛЕНИЯ ПЕРСОНАЛОМ : учебное пособие. –. »
«Конституционное право государств Европы: Учеб. пособие для студентов юрид. вузов и фак. (отв. ред. Д.А. Ковачев). — М.: Волтерс Клувер, 2005. Книга посвящена сравнительно-правовому исследованию конституций государств Европы. Рассматриваются такие институты конституционного права, как собственность, государственное планирование в условиях рыночной экономики, финансы государства, экологическая охрана общества, политические права граждан, национальные меньшинства, референдум, монарх, президент. »
«МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, МЕНЕДЖМЕНТА И ПРАВА Кафедра менеджмента и маркетинга МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ по выполнению дипломного проекта по специальности 061100 (080507) Менеджмент организации Москва 2008 Составители: канд.филос.наук, доцент А.В.Аверин; канд. пед. наук, доцент О.А. Орчаков; канд. экон. наук, доцент Д.В.Петухов. Методические рекомендации по выполнению дипломного проекта по специальности 061100 (080507) Менеджмент организации /Сост.: Аверин А.В., О.А. Орчаков, Д.В.Петухов,–. »
«Министерство образования Украины’ Донецкий государственный университет Усачев НА., Окушко Я. Г., Черниченко Г. А, Черноиванова Е.Н. Рекомендовано Министерством образования Украины в качестве учебного пособия для студентов экономических специальностей высших учебных заведений Издательство ИСТОКИ Донецк — 1999 ББК65.049(4УКР)613Я7З У 74 Усачев НА., Окушко Я.Г.Черниченко ГА., Черноиванова Е.Н. У 74 Размещение производительных сил Донбасса: Учебное пособие, 2-е изд., псрераб., доп. — Донецк;. »
«НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САМАРСКИЙ ИНСТИТУТ – ВЫСШАЯ ШКОЛА ПРИВАТИЗАЦИИ И ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА КАФЕДРА ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ КАНДИДАТСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ПОДГОТОВКЕ, ОФОРМЛЕНИЮ И ЗАЩИТЕ Утверждены редакционно-издательским советом института _ 20_ г. Самара 2011 1 Составители: Н.В.Овчинникова, Н.Р.Руденко УДК 378.245.2/3 ББК 72.6(2)243 К 19 Кандидатская диссертация: методические указания по подготовке, оформлению и. »
«РОССИЙСКАЯ ЭКОНОМИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ им. Г.В. ПЛЕХАНОВА В.А. БАРИНОВ АНТИКРИЗИСНОЕ УПРАВЛЕНИЕ Рекомендовано УМО в качестве УЧЕБНОГО ПОСОБИЯ для студентов, обучающихся по специальности 060700 Национальная экономика и по другим экономическим специальностям Москва ИД ФБК-ПРЕСС 2002 УДК 338.24 ББК 65.050.2 Б24 Автор: В.А. Баринов — д-р экон. наук, профессор кафедры государственного управления и менеджмента Российской экономической академии им. Г.В. Плеханова, член-корр. Международной академии наук. »
«МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (РГГУ) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ДИПЛОМНОМУ ПРОЕКТИРОВАНИЮ И ВЫПОЛНЕНИЮ ВЫПУСКНЫХ КВАЛИФИКАЦИОННЫХ РАБОТ для студентов всех форм обучения по направлению Менеджмент (бакалавриат) Москва 2013 Методические указания по дипломному проектированию и выполнению выпускных квалификационных работ для студентов всех форм обучения по. »
«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГЕОЭКОЛОГИЯ И ПРИРОДОПОЛЬЗОВАНИЕ Составитель: Ляпунов М.Ю., аспирант Факультет Инженерно-физический Кафедра Геологии и природопользования 2012 г. Печатается по разрешению редакционно-издательского совета инженерно-физического факультета Амурского. »
«Пояснительная записка Программа составлена на основе федерального компонента государственного стандарта среднего (полного) общего образования на базовом уровне. Исходными документами для составления рабочей программы учебного курса являются: федеральный компонент государственного образовательного стандарта, утвержденный Приказом Минобразования РФ от 05 03 2004 года № 1089; Примерная программа среднего (полного) общего образования по географии (базовый уровень) География мира (X – XI классы). »
«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ КАФЕДРА ИНФОРМАТИКИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ИНФОРМАТИКА ПО ТЕМЕ: ТЕХНОЛОГИЯ СОЗДАНИЯ ОТЧЕТОВ в СУБД Microsoft Access для студентов всех форм обучения Издательство Санкт-Петербургского государственного университета экономики и Финансов Рекомендовано. »
«1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ КАФЕДРА КОММЕРЦИИ И ЛОГИСТИКИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ КОММЕРЧЕСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ В НЕПРОИЗВОДСТВЕННОЙ СФЕРЕ Специальность 080300 Коммерция, 4 курс, дневная и вечерняя формы обучения ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА. »
«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИСТОРИИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ ИСТОРИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ УЧЕНИЙ для студентов заочного обучения Направление подготовки – 080100 – Экономика Квалификация – бакалавр ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
«Т. П. Тихомирова Е. И. Чучкалова ОРГАНИЗАЦИЯ, НОРМИРОВАНИЕ И ОПЛАТА ТРУДА НА ПРЕДПРИЯТИИ Екатеринбург 2008 Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО Российский государственный профессиональнопедагогический университет Уральское отделение Российской академии образования Т. П. Тихомирова Е. И. Чучкалова ОРГАНИЗАЦИЯ, НОРМИРОВАНИЕ И ОПЛАТА ТРУДА НА ПРЕДПРИЯТИИ Учебное пособие Допущено Учебно-методическим объединением по профессионально-педагогическому образованию в качестве учебного пособия для. »
© 2013 www.diss.seluk.ru — «Бесплатная электронная библиотека — Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»
Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.
http://diss.seluk.ru/m-ekonomika/30009083-1-odobreno-prezidiumom-nms-guu-solovev-stohasticheskie-modeli-matematicheskoy-ekonomiki-finansovoy-matematiki-uchebnoe-posobie-dlya.php