Стороны ав и вс параллелограмма заданы уравнениями

Помогите, пожалуйста, решить задачу по геометрии.

1. Даны две противоположные вершины квадрата А (1;3) и С (-1;1). Найти коорди-наты В и D.

2.Две стороны параллелограмма заданы уравнениями у = х — 2 и 5у = х + 6. Его диа-гонали пересекаются в начале координат. Написать уравнения диагоналей.

1) Уравнение диагонали АС:
(у-ус) /(уА-уС) = (х-хС) /(хА-хС)
(у-1)/2 = (х+1)/2
у = х+2
Диагональ BD перпендикулярна АС (угловой коэффициент равен -1) и проходит через середину АС, т. е. через точку О (0;2).
Уравнение диагонали BD
y = 2 — х
Искомые координаты вершин могут быть найдены, например, из условий
АO=OВ и AO=OD
(1-0)^2 + (3-2)^2 = x^2 + (2-x-2)^2
2 = 2*x^2
x = 1; y = 2-1=1 — координаты т. В
x = -1; y = 2+1 = 3 — координаты т. D
2) Одна из вершин параллелограмма — точка пересечения данных прямых. Решение системы линейных уравнений
у = х — 2
х = 5*у — 6
даст точку вершины с координатами А (4; 2).
Начало координат — точка пересечения диагоналей, поэтому противоположная вершина С (-4; -2) — центрально симметрична точке А относительно начала координат.
Собственно, сразу можно было найти уравнение диагонали АС (то же, что и прямой АО) :
у = 2*х/4 = х/2
Для нахождения второй диагонали достаточно найти третью вершину параллелограмма, например, как точку пересечения стороны, задаваемой уравнением
х = 5*у — 6
и стороны, параллельной прямой
у = х — 2
и проходящей через точку С.
уравнение этой стороны будет иметь вид:
у = -2 + х + 4
у = х + 2
Координаты вершины В найдем из решения системы:
х = 5*у — 6
у = х + 2
Вершина В (-1; 1)
Уравнение диагонали BD (то же, что и прямой ОВ)
у = -х

4.1.8. Примеры решения задач по теме «Уравнение прямой на плоскости»

Даны уравнения двух сторон параллелограмма: 2Х + У + 3 = 0 и 2Х – 5У + 9 = 0 и уравнение одной из его диагоналей: 2Х – у — 3 = 0. Найти координаты вершин этого параллелограмма.

Выясните, уравнения каких сторон даны в условии задачи: параллельных или

Смежных, и как расположена данная диагональ по отношению к данным сторонам.

Выясним, уравнения каких сторон даны в условии задачи: параллельных или

Следовательно, прямые пересекаются, то есть даны уравнения смежных сторон параллелограмма.

Условие параллельности прямых

.

Пусть даны уравнения сторон АВ и AD. Тогда координаты точки А будут решением системы уравнений:

Теперь определим, уравнение какой диагонали: АС или BD – нам известно. Если это диагональ АС, то на ней лежит точка А, следовательно, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению диагонали. Проверим:

Значит, точка А не лежит на данной прямой, то есть дано уравнение диагонали BD.

Тогда вершина В лежит на прямых АВ и BD, значит, ее координаты найдем из системы:

Система уравнений для определения координат точки D составлена из уравнений прямых AD И BD:

Остается найти координаты точки С. Составим уравнения прямых ВС и DC.

Поскольку ВС параллельна AD, их угловые коэффициенты равны. Найдем угловой коэффициент прямой AD:

Тогда ВС можно задать уравнением

Найдем координаты точки С, решив систему из двух полученных уравнений:

Найти точку, симметричную точке А(2; 1) относительно прямой, проходящей через точки В(-1; 7) и С(1; 8).

Представьте себе, что вам нужно Построить искомую точку на плоскости. Последовательность действий при этом можно задать так:

1) провести прямую ВС;

2) провести через точку А прямую, перпендикулярную ВС;

3) найти точку О пересечения этих прямых и отложить на прямой АО по другую сторону прямой ВС отрезок ОА1 = АО.

Представим себе, что нам нужно Построить искомую точку на плоскости. Последовательность действий при этом можно задать так:

4) провести прямую ВС;

5) провести через точку А прямую, перпендикулярную ВС;

6) найти точку О пересечения этих прямых и отложить на прямой АО по другую сторону прямой ВС отрезок ОА1 = АО.

Тогда точка А1 будет симметричной точке А относительно прямой ВС.

Теперь заменим каждое из действий составлением уравнений и вычислением координат точек.

1) Найдем уравнение прямой ВС в виде:

2) Найдем угловой коэффициент прямой ВС:

Прямая АО Перпендикулярна прямой ВС, поэтому

Составим уравнение прямой АО:

3) Найдем координаты точки О как решение системы:

4) Точка О – середина отрезка АА1, поэтому

Найти угол между прямыми L1: 3Х – у + 5 = 0 и L2: 2Х + У – 7 = 0.

Если J – угол между прямыми L1 и L2, то J = A2 — A1, где A2 и A1 – углы, образованные прямыми L1 и L2 с положительной полуосью Ох. Тогда

Где K1 и K2 – угловые коэффициенты прямых L1 и L2.

Если J – угол между прямыми L1 и L2, то J = A2 — A1, где A2 и A1 – углы, образованные прямыми L1 и L2 с положительной полуосью Ох. Тогда

Где K1 и K2 – угловые коэффициенты прямых L1 и L2. Найдем K1 и K2: для L1

Y = 3X + 5, K1 = 3; для второй: Y = -2X + 7, K2 = -2. Следовательно,

Для прямых А1х + В1У + С1 = 0 И А2Х + В2У + С2 = 0

.

Определить, лежит ли точка М(2; 3) внутри или вне треугольника, стороны которого заданы уравнениями 4Х – у – 7 = 0, Х + 3У – 31 = 0, Х + 5У – 7 = 0.

Если точка М расположена внутри треугольника АВС, то ее отклонение δ от каждой стороны треугольника имеет тот же знак, что и для вершины, не лежащей на этой стороне, а если точка М лежит вне треугольника, то по крайней мере с одной из вершин она окажется в разных полуплоскостях относительно стороны треугольника.

Пусть первое уравнение задает сторону АВ, второе – ВС, третье – АС. Найдем координаты точек А, В и С:

Для ответа на вопрос задачи отметим, что:

1) если точка М расположена внутри треугольника АВС, то ее отклонение δ от каждой стороны треугольника имеет тот же знак, что и для вершины, не лежащей на этой стороне (т. е. точка М расположена относительно каждой стороны треугольника в одной полуплоскости с третьей вершиной);

2) если точка М лежит вне треугольника, то по крайней мере с одной из вершин она окажется в разных полуплоскостях относительно стороны треугольника (на рисунке: точки М1 и В расположены по разные стороны от прямой АС).

Составим нормальные уравнения сторон треугольника АВС:

Вычислим соответствующие отклонения:

1) для точек М и А относительно прямой ВС:

2) для точек М и В относительно прямой АС:

3) для точек М и С относительно прямой АВ:

Итак, точки М И С лежат по разные стороны от прямой АВ. Следовательно, точка М расположена вне треугольника АВС.

Ответ: Точка М расположена вне треугольника АВС.

Для треугольника АВС с вершинами А(-3; -1), В(1; 5), С(7; 3) составить уравнения медианы и высоты, выходящих из вершины В.

Составьте уравнение медианы как прямой, проходящей через точки В и М – середину стороны АС, а высоты – как прямой, проходящей через точку В и перпендикулярной стороне АС.

1) Медиана ВМ проходит через точку В и точку М – середину отрезка АС. Найдем координаты точки М:

Тогда уравнение медианы можно записать в виде:

2) Высота ВН перпендикулярна стороне АС. Составим уравнение АС:

Ответ: медиана ВМ: 4Х + У – 9 = 0; высота ВН: 5Х + 2У – 15 = 0.

Определить, при каком значении А прямая

Параллельна оси ординат. Написать уравнение прямой.

Если прямая параллельна оси ординат, то в уравнении Ах + Ву + С = 0

Если прямая параллельна оси ординат, то в уравнении Ах + Ву + С = 0

В = 0, С ≠ 0. Из условия В = 0 получаем: А2 – 1 = 0, А = ± 1.

При А = 1 С = 2 + 7 – 9 = 0 – второе условие не выполняется (получившаяся при этом прямая -4Х = 0 не параллельна оси Оу, а совпадает с ней).

При А = -1 получим: -6Х – 14 = 0, 3Х + 7 = 0.

Составить уравнения всех прямых, проходящих через точку М(2; 3) и отсекающих от координатного угла треугольник площадью 12.

Составьте уравнение искомой прямой «в отрезках»:

Где |A| и |B| — длины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях. Тогда

Откуда |Ab| = 24. Кроме того, координаты точки М(2; 3) должны удовлетворять уравнению «в отрезках».

Составим уравнение искомой прямой «в отрезках»:

Где |A| и |B| — длины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях. Тогда

Откуда |Ab| = 24. Кроме того, координаты точки М(2; 3) должны удовлетворять уравнению «в отрезках». Таким образом, для А и B можно составить систему уравнений:

Следовательно, условию задачи удовлетворяют три прямые:

Контрольная работа: Решение линейной системы уравнений с тремя неизвестными

Решить систему линейных уравнений двумя способами: по формулам Крамера и методом Гаусса

1) решим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Ах = В методом Крамера

Определитель системы D не равен нулю. Найдем вспомогательные определители D₁ , D₂ , D₃ , если они не равны нулю, то решений нет, если равны, то решений бесконечное множество

Система 3 линейных уравнений с 3 неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда совместна и имеет единственное решение, вычисляемое по формулам:

Ответ: получили решение:

2) решим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Ах = В методом Гаусса

Составим расширенную матрицу системы

Примем первую строку за направляющую, а элемент а₁₁ = 1 – за направляющий. С помощью направляющей строки получим нули в первом столбце.

Матрице соответствует множество решений системы линейных уравнений

Ответ: получили решение:

Даны координаты вершин треугольника АВС

1) длину стороны АВ;

2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;

3) внутренний угол при вершине В в радианах с точностью до 0,01

4) уравнение медианы АЕ;

5) уравнение и длину высоты CD;

6) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ и точку М ее пересечения с высотой CD;

7) уравнение окружности с центром в точке Е, проходящей через вершину В

Построить заданный треугольник и все линии в системе координат.

1) Расстояние между точками А(х₁ ; у₁ ) и В(х₂ ; у₂ ) определяется по формуле

воспользовавшись которой находим длину стороны АВ;

2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости А(х₁ ; у₁ ) и В(х₂ ; у₂ ) имеет вид

Подставляя в (2) координаты точек А и В, получаем уравнение стороны АВ:

Угловой коэффициент k_АВ прямой АВ найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом у = kx — b .

У нас , то есть откуда

Аналогично получим уравнение прямой ВС и найдем ее угловой коэффициент.

Подставляя в (2) координаты точек В и С, получаем уравнение стороны ВС:

Угловой коэффициент k_ВС прямой ВС найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом у = kx — b .

У нас , то есть

3) внутренний угол при вершине В в радианах с точностью до 0,01

Для нахождения внутреннего угла нашего треугольника воспользуемся формулой:

Отметим, что порядок вычисления разности угловых коэффициентов, стоящих в числителе этой дроби, зависит от взаимного расположения прямых АВ и ВС.

Подставив ранее вычисленные значения k_ВС и k_АВ в (3), находим:

Теперь, воспользовавшись таблицами инженерным микрокалькулятором, получаем В » 1,11 рад.

4) уравнение медианы АЕ;

Для составления уравнения медианы АЕ найдем сначала координаты точки Е, которая лежит на середине отрезка ВС

Подставив в уравнение (2) координаты точек А и Е, получаем уравнение медианы:

5) уравнение и длину высоты CD;

Для составления уравнения высоты CD воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку М(х₀ ; у₀ )с заданным угловым коэффициентом k , которое имеет вид

и условием перпендикулярности прямых АВ и CD, которое выражается соотношением k_AB k_CD = -1, откуда k_CD = -1/k_AB = — 3/4

Подставив в (4) вместо k значение k_{С D} = -3/4, а вместо x ₀ , y ₀ ответствующие координаты точки С, получим уравнение высоты CD

Для вычисления длины высоты СD воспользуемся формулой отыскания расстояния d от заданной точки М(х₀ ; у₀ ) до заданной прямой с уравнением Ax+ By + С = 0 , которая имеет вид:

Подставив в (5) вместо х₀ ; у₀ координаты точки С, а вместо А, В, С коэффициенты уравнения прямой АВ, получаем

6) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ и точку М ее пересечения с высотой CD;

Так как искомая прямая EF параллельна прямой АВ, то k_EF = k_AB = 4/3. Подставив в уравнение (4) вместо х₀ ; у₀ координаты точки Е, а вместо k значение k_EF получаем уравнение прямой EF’.

Для отыскания координат точки М решаем совместно уравнения прямых EF и CD.

Таким образом, М(5,48; 0,64).

7) уравнение окружности с центром в точке Е, проходящей через вершину В

Поскольку окружность имеет центр в точке Е(4,5; 2) и проходит через вершину В(4; 3), то ее радиус

Каноническое уравнение окружности радиуса R с центром в точке М₀ (х₀ ; у₀ ) имеет вид

Имеем

Треугольник АВС, высота СD, медиана AE, прямая EF , точка M и окружность построенная в системе координат x0у на рис.1.

Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки А (2; 5) равно расстоянию до прямой у = 1. Полученную кривую построить в системе координат

Решение

Пусть М (x , у ) — текущая точка искомой кривой. Опустим из точки М перпендикуляр MB на прямую у = 1 (рис.2). Тогда В(х; 1). Так как МА = MB , то

Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке С(5; -1,5) и ветвями, направленными вверх (см. рис 2).

Найти указанные пределы:

а)

Ответ:

б)

Ответ:

Найти производные dy / dx , пользуясь правилами и формулами дифференцирования

а)

Ответ:

б)

Ответ:

в)

Ответ:

Задача 6

Исследовать заданные функции методами дифференциального исчисления, начертить их графики.

а) ; б)

Решение

а)

1) Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента х, то есть D(y) = <х: хÎ(-¥,+¥)>, а это значит, что функция непрерывна на всей числовой прямой и ее график не имеет вертикальных асимптот.

2) Исследуем функцию на экстремумы и интервалы монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем к нулю:

Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки первого рода х₁ = 1, х₂ = 2.

Разбиваем область определения этими точками на части и по изменению в них знака производной функции выявляем промежутки ее монотонности и наличие экстремумов:

х	(-¥; 1)	1	(1; 2)	2	(2; ¥)
f ’(x)	+	0	—	0	+
f(x)		max		min

3) Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную заданной функции и приравняем ее к нулю:

Итак, функция имеет одну критическую точку второго рода х = -1,5. Разобьем область определения полученной точкой на части, в каждой из которых установим знак второй производной:

Значение х = 1,5 является абсциссой точки перегиба графика функции, а ордината этой точки:

4) Выясним наличие у графика заданной функции асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты y = kx – b воспользуемся формулами

Таким образом, у графика заданной функции наклонных асимптот нет.

5) построим график функции

б)

1) Областью определения данной функции являются значения аргумента х

2) Исследование на непрерывность и классификация точек разрыва

Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки х = 0. Вычислим ее односторонние пределы в этой точке:

Итак точка х = 0 – точка разрыва второго рода, а прямая х = 0 – вертикальная асимптота.

3) Исследуем функцию на экстремумы и интервалы монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем к нулю:

Следовательно, функция не имеет критических точек первого рода.