Структурная и приведенная форма системы одновременных уравнений

Структурная и приведённая формы системы одновременных уравнений. Идентификация модели

Структурными уравнениями называются уравнения, из которых состоит исходная система одновременных уравнений. В данном случае система имеет структурную форму.

Структурная форма системы одновременных уравнений непосредственно характеризует реальный экономический процесс.

Структурными коэффициентами или параметрами называются коэффициенты уравнений структурной формы системы одновременных уравнений.

Структурные уравнения могут быть представлены либо поведенческими уравнениями, либо уравнениями-тождествами.

Поведенческие уравнения характеризуют все типы взаимодействия между эндогенными и экзогенными переменными в структурной форме системы одновременных уравнений.

В поведенческих уравнениях значения параметров являются неизвестными и подлежат оцениванию.

Примером поведенческого уравнения являются уравнение спроса или уравнение предложения в модели спроса-предложения:

Тождествами называют равенства, которые выполняются во всех случаях.

Отличительной чертой тождеств является то, что их вид и значения параметров известны, и они не содержат случайной компоненты.

Примером уравнения-тождества является тождество равновесия в модели спроса-предложения:

Для того чтобы определить неизвестные структурные коэффициенты системы одновременных уравнений необходимо перейти к приведённой форме системы.

Приведённой формой системы одновременных уравнений называется система независимых уравнений, в которой все эндогенные переменные выражены только через экзогенные или предопределённые переменные и случайные компоненты, например:

Приведёнными коэффициентами или параметрам называются коэффициенты приведённой формы системы одновременных уравнений.

Оценки неизвестных приведённых коэффициентов можно рассчитать с помощью классического метода наименьших квадратов, а уже на их основе определить оценки структурных коэффициентов.

При переходе от структурной формы системы одновременных уравнений к приведённой форме может возникнуть проблема идентификации модели.

Проблема идентификации состоит в возможности численной оценки неизвестных коэффициентов структурных уравнений по МНК-оценкам коэффициентов приведённых уравнений.

Исходная система одновременных уравнений называется идентифицированной, если все её уравнения точно идентифицированы.

Уравнение называется точно идентифицированным, если по оценкам коэффициентов приведённой формы системы одновременных уравнений можно однозначно найти оценки коэффициентов структурной формы системы одновременных уравнений.

Признаком идентифицированности системы одновременных уравнений является равенство между количеством уравнений, определяющих структурные коэффициенты, и количеством этих коэффициентов, т. е. квадратная форма структурной системы уравнений.

Исходная система одновременных уравнений называется сверхидентифицированной, если среди уравнений модели есть хотя бы одно сверхидентифицированное.

Уравнение называется сверхидентифицированным, если по оценкам коэффициентов приведённой формы системы одновременных уравнений можно получить более одного значения для коэффициентов структурной формы системы одновременных уравнений.

Исходная система одновременных уравнений называется неидентифицированной, если среди уравнений системы есть хотя бы одно неидентифицированное.

Уравнение называется неидентифицированным, если по оценкам коэффициентов приведённой формы системы одновременных уравнений невозможно рассчитать оценки коэффициентов структурной формы системы одновременных уравнений.

Система одновременных эконометрических уравнений

Вы будете перенаправлены на Автор24

Общие сведения о системе одновременных эконометрических уравнений

Система одновременных экономических уравнений – это совокупность уравнений, которые позволяют исследователям установить наличие и степень связи (взаимозависимости) между эконометрическими переменными.

Выделяют две группы экономических переменных, из которых образуют эконометрические уравнения:

• эндогенные переменные, чьи значения определяют в результате функционирования изучаемой экономической системы (эндогенные переменные зависят как от экзогенных, так и от других эндогенных переменных);
• экзогенные переменные, чьи значения задаются извне (т.е. определяются вне эконометрической модели) и являются основой для определения значений эндогенных переменных (экзогенные переменные являются независимыми).

Функционирование сложных экономических систем может быть объяснено благодаря построению изолированных уравнений регрессии и измерению на их основе тесноты связи между переменными. Однако истинное влияние отдельных признаков на вариацию результирующей переменной не может быть описано одним отдельно взятым уравнением регрессии. В связи с этим в изучении экономических процессов важное значение приобрело структурирование связей между системой переменных.

В качестве примера системы одновременных эконометрических уравнений можно привести простейшую макроэкономическую (кейнсианскую) модель, которая состоит из двух уравнений:

В данной модели эндогенными переменными являются C (расходы на потребление) и Y (доход), а экзогенной переменной – I (инвестиции). b представляет собой коэффициент, который выражает предельную склонность к потреблению.

Характеристика структурной и приведенной форм системы уравнений

Данная система от всех других систем уравнения отличается наличием определенной структурной формы эконометрической модели. Это форма предполагает, что в правых и левых частях разных уравнений системы находятся одни и те же экономические переменные. Структурная форма системы одновременных эконометрических уравнений в случае переноса всех эндогенных переменных в левую часть может быть представлено в следующем матричном виде: YA = XB + E.

Готовые работы на аналогичную тему

Кроме структурной также выделяют приведенную (прогнозную) форму системы. По сути она есть представление системы, в котором эндогенные переменные выражены через экзогенные, то есть в каждом уравнении имеется только одна эндогенная переменная. Тогда она выглядит так: Y = XП + U.

Приведенную форму системы всегда можно получить, если задана структурная форма. Однако обратное действие не всегда возможно, а если оно и возможно, то не всегда получается однозначный результат.

Если через коэффициенты приведенной формы можно выразить коэффициенты структурного уравнения, то оно называется идентифицируемым (в противном случае оно – неидентифицируемое). Точная индентифицируемость свойственна ситуации, когда способ подобного выражения является единственным. Если же их несколько, то говорят о сверхидентифицируемости.

Чтобы имела место идентифицируемость, требуется выполнение такого необходимого условия, как непревышение количества переменных правой части уравнения над количеством всех экзогенных переменных системы. Формулировка этого условия может отличаться. Так, часто говорят: количество экзогенных переменных, которые исключены из данного уравнения, должно быть не меньше количества эндогенных переменных, которые включены в уравнение, за вычетом единицы.

Также выделяют условие, достаточное для признания идентифицируемости системы. Оно заключается в том, чтобы общее число эндогенных переменных системы за вычетом единицы не превышало ранг матрицы, который составлен из коэффициентов (в других уравнениях) при переменных, отсутствующих в данном уравнении.

Методы оценки систем одновременных эконометрических уравнений

Для того, чтобы оценить представленные в структурной форме уравнения системы, нецелесообразно непосредственно применять обычный метод наименьших квадратов. Это связано с тем, что подобное применение нарушит важнейшее условие регрессионного анализа — экзогенность (предопределенность, независимость) факторов. Тогда будут получены смещённые и несостоятельные оценки параметров.

Поэтому системы одновременных эконометрических уравнений оценивают посредством применения следующих методов:

• косвенный метод наименьших квадратов – подстановка в аналитическое выражение зависимости структурных коэффициентов от их приведённых оценок, которые получают в результате применения обычного метода наименьших квадратов;
• двухшаговый метод наименьших квадратов – оценивание сначала зависимости эндогенных переменных от всех экзогенных (первый шаг), а затем – структурной формы модели, в которой эндогенные переменные заменены на их оценки, полученные на первом шаге (второй шаг);
• трехшаговый метод наименьших квадратов – предыдущий метод дополняется третьим шагом, с помощью которого оценивают ковариационную матрицу вектора случайных ошибок системы уравнений;
• методы максимального правдоподобия – использование всей информации об ограничениях на приведённую форму эконометрической модели.

Системы эконометрических уравнений

Пример . Рассмотрим модель зависимости общей величины расходов на питание от располагаемого личного дохода (х) и цены продуктов питания (р):у = а₀ + а₁х + а₂р + ε. Определим класс модели и вид переменных модели: регрессионная модель с одним уравнением; эндогенная переменная — расходы на питание, экзогенные переменные — располагаемый личный доход и цена продуктов питания.

Принципиальные сложности применения систем эконометрических уравнений связаны с ошибками спецификации модели.

Система уравнений в эконометрических исследованиях может быть построена по-разному. Выделяют следующие 3 вида систем уравнений.

1. Система независимых уравнений, когда каждая зависимая переменная (y ) рассматривается как функция только от предопределенных переменных (х):
   
2. Система рекурсивных уравнений, когда в каждом последующем уравнении системы зависимая переменная представляет функцию от зависимых и предопределенных переменных предшествующих уравнений:

От структурной формы легко перейти к так называемой приведенной форме модели. Число уравнений в приведенной форме равно числу эндогенных переменных модели. В каждом уравнении приведенной формы эндогенная переменная выражается через все предопределенные переменные модели:

Так как правая часть каждого из уравнений приведенной формы содержит только предопределенные переменные и остатки, а левая часть только одну из эндогенных переменных, то такая система является системой независимых уравнений. Поэтому параметры каждого из уравнений системы в приведенной форме можно определить независимо обычным МНК.
Зная оценки этих приведенных коэффициентов можно определить параметры структурной формы модели. Но не всегда, а только если модель является идентифицируемой.

Проблема идентификации

Количество структурных и приведенных коэффициентов одинаково в модели идентифицируемой.

Правила идентификации

Ранг данной матрицы равен 1, что меньше К-1=2, следовательно, 1-ое уравнение модели неидентифицированно.
Составим матрицу А для 2-ого уравнения системы. Во 2-ом уравнении отсутствуют переменные y₃, x₂, х₃:
y₃ x ₂ x₃
b₁₃ a ₁₃ 0 — в 1-ом уравнении
1 a₃₂ a₃₃ — в 3-ем уравнении
Ранг данной матрицы равен 2, что равно К-1=2, следовательно, 2-ое уравнение модели точно идентифицированно.
Составим матрицу А для 3-его уравнения системы. В 3-ем уравнении отсутствуют переменные y₁, x₂:
y ₁ x ₂
1 a₁₂ — в 1-ом уравнении
b₂₁ 0 — во 2-ом уравнении
Ранг данной матрицы равен 1, что меньше К-1=2, следовательно, 3-е уравнение модели неидентифицированно.

Сделаем выводы: 1-ое и 3-е уравнения системы неидентифицированны (т.к. не выполняются достаточные условия идентификации, а в случае 1-ого уравнения и необходимое условие также). 2-ое уравнение системы сверхидентифицированно. Следовательно, система в целом является неидентифицируемой.
Для оценки параметров 2-ого уравнения можно применить двухшаговый МНК. Параметры 1-ого и 3-его уравнений определить по коэффициентам приведенной формы нельзя. Поэтому модель должна быть модифицирована.