Сумма и разность многочленов уравнения

Сумма и разность многочленов

Вы будете перенаправлены на Автор24

Сумма многочленов

Многочлены можно складывать друг с другом. Рассмотрим следующий пример.

Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как сумму:

Приведем подобные слагаемые, в результате получим:

Видим, что результатом суммы этих двух многочленов получили также многочлен.

Однако при сложении в некоторых случаях мы можем получить одночлен.

Запишем эти многочлены как сумму:

Приведем подобные слагаемые, в результате получим:

Разность многочленов

Многочлены можно вычитать друг из друга. Рассмотрим пример.

Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как разность:

Напомним, что если перед скобками стоит знак минус, то, при раскрытии скобок, знаки в скобках будут меняться на противоположные.

Приведем подобные слагаемые, в результате получим:

Видим, что результатом разности этих двух многочленов получили также многочлен.

Однако при вычитании одного многочлена из другого в некоторых случаях мы можем получить одночлен.

Вычтем из многочлена $<3ab>^5+\ <6b>^6+<13a>^5$ многочлен $<1<3a>^5-6b>^6+3^5$.

Запишем эти многочлены как разность:

Приведем подобные слагаемые, в результате получим:

Готовые работы на аналогичную тему

Примеры задач на сложение и вычитание многочленов

Упростить следующие выражения:

Решение:

Для начала раскроем скобки:

Теперь приведем подобные слагаемые, получим:

Приведем подобные слагаемые, получим:

Приведем подобные слагаемые, получим:

Приведем подобные слагаемые, получим:

Приведем подобные слагаемые, получим:

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 04 03 2021

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Сумма и разность многочленов

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Алгебраические выражения.
• Многочлен.
• Сумма и разность многочленов.
• Стандартный вид многочлена.
• Правила раскрытия скобок (заключения в скобки).

Числовое выражение – выражение, состоящее из чисел, знаков математических действий и скобок.

Значение числового выражения – результат выполненных арифметических действий в числовом выражении.

Одночлен – алгебраическое выражение, являющееся произведением букв и чисел

Множители одночлена – буквы и числа, входящие в состав одночлена.

Нулевой одночлен – одночлен, среди множителей которого есть число ноль.

Стандартным видом одночлена называют такой его вид, в котором он представлен произведением числового множителя и натуральных степеней разных переменных.

Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называется коэффициентом одночлена.

Подобные одночлены – одночлены, которые состоят из произведения одних и тех же степеней, но с разными или одинаковыми коэффициентами (числовыми множителями).

Многочлен – сумма одночленов.

Каждый одночлен, являющийся слагаемым многочлена, называют членом многочлена.

Многочлен стандартного вида – это многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, среди которых нет подобных членов.

Разность двух многочленов равна многочлену, членами которого являются: все члены уменьшаемого и, взятые с противоположными знаками, все члены вычитаемого. Сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены данных многочленов.

Основная литература:
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Перед нами следующее выражение 123+5 и 45-89. Можем ли между ними поставить знаки «+» или «–» и, соответственно, найти значение полученного выражения?

123 + 5 и 45 – 89

(123 + 5) + (45 – 89) = 84

(123 + 5) – (45 – 89) = 172

Оказывается, аналогичные арифметические операции можно выполнять и с многочленами, т.е. найти сумму и разность многочленов.

Посмотрим, как можно выполнить данные действия с многочленами.

Найдём многочлен равный сумме многочленов. Как это сделать?

Оказывается, сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены данных многочленов.

Например, сумма многочленов (а + с) и (k + х) равна многочлену (а + с) + (k + х) или а + с + k + х. Последний переход от левой части к правой называют раскрытием скобок.

Найдём многочлен равный разности многочленов. Как это сделать?

Оказывается, разность двух многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены уменьшаемого и, взятые с противоположными знаками, все члены вычитаемого.

Например, разность двух многочленов а + с и k + х равна многочлену (а + с) – (k + х) или а + с – k – х. Последний переход от левой части к правой, так же как и при нахождении суммы, называют раскрытием скобок.

Рассмотрим правила раскрытия скобок.

Если перед скобками стоит знак плюс, то скобки можно опустить, не меняя знаки слагаемых, заключённых в скобки.

(а + с) + (х – у) = а + с + х – у

Если перед скобками стоит знак минус, то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки, на противоположный.

(а + с) + (х – у) = а + с – х + у

Стоит обратить внимание, что если перед скобками нет никакого знака, то подразумевается, что стоит знак плюс.

(d + k) – (m + n) = d + k – m –n

Обратный переход от правой части к левой в похожих выражениях называют заключением в скобки.

Рассмотрим правило заключения в скобки:

Чтобы заключить многочлен в скобки со знаком плюс перед ними, надо записать в скобки все его члены с теми же знаками.

а – с – k – х = (а – с) + (-k – х)

А чтобы заключить многочлен в скобки со знаком минус перед ними, надо записать в скобки все его члены с противоположными знаками.

а – с – k – х = (а – с) – (k + х)

Рассмотрим, как использовать эти правила для преобразования многочлена в стандартный вид. Пример:

Преобразуем разность многочленов в многочлен стандартного вида

( 5а– 4х + 15) – (10а + 13х – 14) = 5а- 4х + 15 – 10а – 13х + 14 = -5а – 17х + 29

Для выполнения задания, сначала будем использовать правило раскрытия скобок при нахождении разности многочленов. А затем приведём полученный многочлен к стандартному виду.

Итак, сегодня мы получили представление о том, как найти сумму и разность многочленов и, используя правило раскрытия скобок, приводить многочлен к стандартному виду.

Задание на сумму и разность многочленов.

Выполним следующее задание по теме: «Сумма и разность многочленов».

Запишите такой многочлен, чтобы его сумма с многочленом 3х + 1 была равна 9х – 4.

Данное задание можно выполнить следующим образом.

Назовем неизвестный многочлен у, тогда можно составить следующее выражение, исходя из условия.

Найдём отсюда у

у = (9х – 4) – (3х + 1)

Раскроем скобки по правилу раскрытия скобок.

Приведём многочлен к стандартному виду.

Это и есть тот многочлен, который удовлетворяет условию задания.

Разбор заданий тренировочного модуля.

1. Приведите многочлен к стандартному виду (аt 2 – 5t 2 ) – (10хt – 4t 2 ) + (5хt + 11аtt).

Решение: Для решения задания, вспомним правила раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «+» или «–». Если знак «+», то скобки можно опустить, не меняя знак, а если перед скобкой знак «–», то скобки можно опустить, меняя знак каждого слагаемого в скобках. Далее приведём к стандартному виду полученный многочлен, выделив в нём подобные члены.

(аt 2 – 5t 2 ) – (10хt – 4t 2 ) + (5хt + 11аtt) = аt 2 – 5t 2 – 10хt + 4t 2 + 5хt +11аt 2 = 12аt 2 – t 2 – 5хt.

Ответ: 12аt 2 – t 2 – 5хt

2. Представьте выражение каким-либо способом в виде разности двучлена и трехчлена:

3x 4 – 12x 3 – 3x 2 + 5x – 14

1. (3x 4 – 12x 3 – 3x 2 ) + (5x – 14)
2. (3x 4 – 12x 3 ) – (3x 2 + 5x – 14)
3. (3x 4 – 12x 3 ) – (3x 2 – 5x + 14)

При выполнении задания можно сначала проанализировать ответы. По условию выражение должно быть составлено в виде разности двучлена и трехчлена. Поэтому первый ответ не подходит, т. к. в нём представлена сумма.

Ответы два и три очень похожи. Для нахождения верного ответа, заключим в скобки исходное выражение, как в ответах 2 и 3. Т. к. мы найдем разность, то по правилу заключения в скобки со знаком минус перед ними, надо записать в скобки все его члены с противоположными знаками. Поэтому правильный ответ №3.

3x 4 – 12x 3 – 3x 2 + 5x – 14 = (3x 4 – 12x 3 ) – (3x 2 – 5x + 14)

Сложение и вычитание многочленов: правило и примеры

Данная статья разбирает такие действия с многочленами как сложение и вычитание многочленов. Сформулируем правило и рассмотрим его применение в решении задач.

Правило сложения и вычитания многочленов

Формулировку правила мы зададим сразу, после чего запишем пояснения.

Для осуществления действия сложения или вычитания многочленов, необходимо:

• записать сумму или разность многочленов в зависимости от поставленной задачи;
• в записанном выражении произвести раскрытие скобок, результатом чего станет многочлен;
• привести полученный во втором шаге многочлен в стандартный вид.

Теперь дадим пояснения по каждому шагу озвученного алгоритма.

Чтобы записать сумму или разность многочленов, необходимо заданные многочлены заключить в скобки и между ними расположить знак плюс или минус соответственно. К примеру, сумма двух многочленов x 3 + 9 · x · y — 2 и 7 − 4 · x · y запишется как ( x 3 + 9 · x · y — 2 ) + ( 7 − 4 · x · y ) , а их разность имеет вид ( x 3 + 9 · x · y — 2 ) − ( 7 − 4 · x · y ) .

Далее, согласно правилу, необходимо раскрыть скобки в полученном выражении: данное действие совершаем, опираясь на правило раскрытия скобок, перед которыми расположен знак плюси правило раскрытия скобок, перед которыми расположен знак минус. В приведенных выше примерах сумма многочленов ( x 3 + 9 · x · y — 2 ) + ( 7 − 4 · x · y ) после раскрытия скобок получит вид x 3 + 9 · x · y — 2 + 7 − 4 · x · y , а разность ( x 3 + 9 · x · y — 2 ) − ( 7 − 4 · x · y ) станет выглядеть так: x 3 + 9 · x · y — 2 − 7 + 4 · x · y . Мы явно видим, что в итоге получены многочлены.

Последним шагом алгоритма приведем многочлен к стандартному виду. Продолжая рассматриваемые примеры, получим: x 3 + 9 · x · y — 2 + 7 − 4 · x · y = x 3 + 5 · x · y + 5 и x 3 + 9 · x · y — 2 − 7 + 4 · x · y = x 3 + 13 · x · y — 9 .

Мы рассмотрели все действия согласно сформулированному правилу и можем указать важный вывод, что итогом сложения или вычитания является многочлен.

Примеры сложения и вычитания

Разберем типичные задачи на сложение и вычитание многочленов.

Заданы многочлены x 2 + 5 · x + 2 и x 2 − 5 · x + 3 . Необходимо найти их сумму и разность.

Решение

Первым действием найдем сумму исходных многочленов. Запишем ее: ( x 2 + 5 · x + 2 ) + ( x 2 − 5 · x + 3 ) . Раскроем скобки и получим: x 2 + 5 · x + 2 + x 2 − 5 · x + 3 . Чтобы привести полученный многочлен к стандартному виду, совершим действие приведения подобных членов: 2 · x 2 + 5 .

Кратко решение оформляется так:

( x 2 + 5 · x + 2 ) + ( x 2 − 5 · x + 3 ) = x 2 + 5 · x + 2 + x 2 − 5 · x + 3 = = ( x 2 + x 2 ) + ( 5 · x − 5 · x ) + ( 2 + 3 ) = 2 · x 2 + 5

Произведем вычитание многочленов:

( x 2 + 5 · x + 2 ) − ( x 2 − 5 · x + 3 ) = x 2 + 5 · x + 2 − x 2 + 5 · x − 3 = = ( x 2 − x 2 ) + ( 5 · x + 5 · x ) + ( 2 − 3 ) = 10 · x − 1

Ответ: ( x 2 + 5 · x + 2 ) + ( x 2 − 5 · x + 3 ) = 2 · x 2 + 5 и ( x 2 + 5 · x + 2 ) − ( x 2 − 5 · x + 3 ) = 10 · x − 1 .

Одночлен – частный случай многочлена, поэтому правило сложения и вычитания, рассматриваемое в данной статье, применимо и для сложения и вычитания одночленов; для сложения и вычитания одночлена и многочлена и, наконец, для вычитания одночлена из многочлена и наоборот.

Необходимо вычесть из одночлена 17 · a · b 2 многочлен b 4 + b 3 + 11 · a · b 2 − 2 .

Решение

Сделаем запись разности ( 17 · a · b 2 ) − ( b 4 + b 3 + 11 · a · b 2 − 2 ) . Раскроем скобки и получим многочлен вида: 17 · a · b 2 − b 4 − b 3 − 11 · a · b 2 + 2 . Далее приводим многочлен к стандартному виду путем приведения подобных членов: 6 · a · b 2 − b 4 − b 3 + 2 , что и будет являться разностью исходных данных.

Ответ: ( 15 · a · b 2 ) − ( b 4 + b 3 + 11 · a · b 2 − 7 ) = 6 · a · b 2 − b 4 − b 3 + 2 .

Исходные многочлены могут быть представлены как в стандартном, так и в нестандартном виде: действия сложения и вычитания могут совершаться и в том, и в том состоянии данных, на результат вычисления это никоим образом не повлияет. Единственное, чем могут отличаться результаты, полученные от сложения или вычитания многочленов нестандартного вида и многочленов в стандартном виде – это порядок следования членов многочлена-результата сложения или вычитания.

Заданы многочлены 5 + 3 · a · 2 + 4 и a 2 − 2 · a + 2 · a 2 + 6 . Необходимо найти их сумму.

Решение

Решим задачу двумя способами.

1. Осуществим сложение многочленов в исходном виде: ( 5 + 3 · a · 2 + 4 ) + ( a 2 − 2 · a + 2 · a 2 + 6 ) = = 5 + 3 · a · 2 + 4 + a 2 − 2 · a + 2 · a 2 + 6 = 5 + 6 · a + 4 + a 2 − 2 · a + 2 · a 2 + 6 = = ( 5 + 4 + 6 ) + ( 6 · a − 2 · a ) + ( a 2 + 2 · a 2 ) = 15 + 4 · a + 3 · a 2
2. Первоначально запишем исходные многочлены в стандартном виде: 5 + 3 · a · 2 + 4 = 1 + 6 · a + 4 = ( 5 + 4 ) + 6 · a = 9 + 6 · a и a 2 − 2 · a + 2 · a 2 + 6 = ( a 2 + 2 · a 2 ) − 2 · a + 6 = 3 · a 2 − 2 · a + 6 .

Теперь произведём сложение:

( 9 + 6 · a ) + ( 3 · a 2 − 2 · a + 6 ) = 9 + 6 · a + 3 · a 2 − 2 · a + 6 = = ( 9 + 6 ) + ( 6 · a − 2 · a ) + 3 · a 2 = 15 + 4 · a + 3 · a 2

Явно видно, что оба способа дали один и тот же итог.

Ответ: ( 5 + 3 · a · 2 + 4 ) + ( a 2 − 2 · a + 2 · a 2 + 6 ) = 15 + 4 · a + 3 · a 2 .

По такой же схеме, как во всех указанных примерах, производится сложение или вычитание трех и более многочленов.

Заданы многочлены: 5 · a · b − a · b 2 , 3 · a · b 2 и 2 · a · b 2 − a · b + b . Необходимо выполнить их сложение.

Решение

Осуществляем действия сложения согласно сформулированному выше правилу. Составляем сумму, затем раскрываем скобки и преобразуем полученный многочлен в стандартный вид:

( 5 · a · b − a · b 2 ) + ( 3 · a · b 2 ) + ( 2 · a · b 2 − a · b + b ) = = 5 · a · b − a · b 2 + 3 · a · b 2 + 2 · a · b 2 − a · b + b = 4 · a · b + 4 · a · b 2 + b

Ответ: ( 5 · a · b − a · b 2 ) + ( 3 · a · b 2 ) + ( 2 · a · b 2 − a · b + b ) = 4 · a · b + 4 · a · b 2 + b .