Существование и единственность решения систем дифференциальных уравнений

3. Существование и единственность решений дифференциального уравнения

1. Автономные уравнения на прямой

Неособая точка. Если точка $x_0$ является неособой, то есть $f(x_0)≠0$, решение находится по формуле Барроу, которую мы обсуждали в предыдущей главе:

Если вы не доверяете теореме об обратной функции, можно рассуждать так. Известно, что $f(x_0)≠0$; допустим для определённости (как говорят «без ограничения общности»), что $f(x_0)>0$ (обратный случай рассматривается полностью аналогично). Поскольку функция $f$ непрерывна вблизи точки $x_0$, существует её окрестность $U$, на которой функция $f$ принимает только положительные значения. Таким же свойством обладает и функция $\frac<1>$, являющаяся подынтегральным выражением в (3) . Следовательно, функция $F$ монотонно возрастает на $U$. Следовательно, у неё существует обратная функция.

Рассмотрим теперь второй возможный случай.

Особая точка. Если $f(x_0)=0$, очевидно, решением является константа $x=x_0$: в точке $x_0$ уравнение требует, чтобы производная решения была нулевой, то есть решение в этой точке не растёт и не убывает, а значит остаётся постоянным. ∎

Вот такое доказательство. Убедительно?

Тут нужно сделать театральную паузу. А потом рассмотреть пример.

Как так может быть? Мы доказали неверную теорему? Математика — сплошной обман?

А вот и нет. У нас просто ошибка в доказательстве: разбирая второй случай, мы сказали, что существует решение $x=x_0$, но мы не доказали на самом деле, что других решений с таким начальным условием нет. Рассуждение о том, что решение с нулевой производной в некоторой точке «в этой точке не растёт и не убывает, а значит остаётся постоянным» легко опровергается: функция $x=t^3$ имеет нулевую производную в нуле, но при этом не является константой вблизи нуля.

Значит ли это, что теорема неверна? Снова нет. Теорема верна. Если вы внимательно посмотрите на её формулировку, то увидите, что уравнение, рассмотренное в примере, не удовлетворяет условию теоремы: правая часть $f(x)=x^<2/3>$ не является гладкой функцией в точке $x=0$: её производная там стремится к бесконечности.

Этот пример показывает, что требование $C^1$-гладкости правой части в формулировке теоремы 1 является важным: если его выбросить, теорема оказывается неверной. (Впрочем, его можно ослабить: вместо гладкости требовать липшицевости правой части.) Если же это требование выполняется, теорема верна. Докажем это.

Пусть $f(x_0)=0$. Функция $x(t)=x_0$ в этом случае всегда будет решением уравнения $\dot x=f(x)$. Нам необходимо показать, что других решений не будет, то есть исключить ситуацию, когда решение принимает значение $x_0$ (быть может, на некотором отрезке по оси $y$), а затем «убегает» из этой точки. Мы докажем, что если $f\in C^1$, то «побег» запрещен.

Доказываем от противного: пусть удалось убежать из точки $x_0$ в какую-то точку $x_2$, то есть существует решение $x=x(t)$, принимающее значение $x_0$ при $t=t_0$ и значение $x_2$ при каком-то другом $t=t_2$. Возьмём какую-то точку $x_1$ между $x_0$ и $x_2$. Поскольку решение непрерывно, должен существовать момент времени $t_1\in (t_0, t_2)$, в который мы окажемся в точке $x_1$ (то есть $x(t_1)=x_1$). Посчитаем время $t_2-t_1$, которое потребуется, чтобы от $x_1$ добраться до $x_2$, см. рис. 1 .

Если мы это докажем, то придём к противоречию с предположением, что нам удалось убежать за конечное время из $x_0$ в какую-то другую точку: понятно, что $t_2 — t_0 > t_2 — t_1$ и если вторая величина может быть сколь угодно большой, то первая не может быть конечным числом.

Смысл. Переводя на русский язык, можно сказать, что гладкая функция вблизи своего нуля растёт не быстрее, чем некоторая линейная функция. В это легко поверить. Предположим для простоты, что $x_0=0$. Возьмём функцию $f(x)$, такую, что $f(0)=0$. Вблизи нуля она хорошо приближается касательной $y=f'(0)x$, хотя и может проходить чуть выше или чуть ниже касательной. Если построить прямую, наклон которой будет несколько больше, чем наклон касательной, то график функции окажется запертым между этой прямой и её отражением относительно горизонтальной оси. (См. рис 2 .)

2. Общий случай

Существует такая окрестность $U\ni t_0$, что на $U$ существует и единственно решение $x\colon U\to \mathbb R^n$ задачи (6) .

3. Метод разделения переменных: магия продолжается

Обоснование. Чтобы магия не казалось такой загадочной, приведём обоснование этого метода. Это не самое лучшее с моей точки зрения обоснование: в нём слишком много формул и слишком мало картинок. Чуть позже мы обсудим более геометрическое доказательство, но оно потребует дополительных построений.

Итак, пусть $x=x(t)$ — функция, удовлетворяющая соотношению (8) . Продифференцируем почленно это соотношение по переменной $t$.

Теорема существования и единственности решения системы дифференциальных уравнений

Здесь мы рассматриваем теорему существования и единственности решения системы дифференциальных уравнений с неизвестными функциями от переменной :
(1.1) ;
(1.2) ;
.
(1.n) .

Формулировка и доказательство этой теоремы является непосредственным обобщением теоремы для уравнения первого порядка, которое рассмотрено на странице “Теорема существования и единственности решения ДУ первого порядка”.

Векторная форма записи

Поскольку уравнения (1.1) – (1.n) однотипны, то мы применим векторную форму записи. Это позволит сократить объем выкладок и сделает доказательство более ясным.

Совокупность неизвестных функций мы будем обозначать одним вектором . Совокупность функций от независимой переменной и от зависимых функций мы обозначим как
.

То есть совокупность из величин мы будем обозначать вектором . Равенство

будет обозначать систему из уравнений:
,
где .

Под нормой вектора мы будем понимать сумму модулей его компонент:
.

Формулировка теоремы

Пусть дана система дифференциальных уравнений:
(1)
с начальными условиями
(1.0) .
Пусть – непрерывных функций от переменных в замкнутой области :

и, следовательно, ограничены некоторым положительным значением :
(2) .
И пусть функции удовлетворяют в области условию Липшица:
(3) ,
где – положительное число.
Тогда существует единственное решение системы (1):
,
удовлетворяющее начальным условиям , определенное и непрерывное для значений в интервале:
,
где есть наименьшее из двух чисел и .

Условие Липшица

Условие Липшица имеет вид:
(3) .
или в развернутом виде:
(3.1) ,
где – положительное число;
, и – любые значения из области .

Если условие Липшица выполняется и в некоторой точке существует частная производная , то она ограничена по модулю значением .
Для доказательства положим в (3.1) для всех . Тогда (3.1) примет вид:
.
Перейдем к пределу :
.

Если в области функции имеют непрерывные частные производные , то в этой области выполняется условие Липшица (3).
Для доказательства заметим, что поскольку частные производные непрерывны в замкнутой области, то они ограничены:
.
По теореме Лагранжа о конечных приращениях, имеем:
,
где частные производные вычисляются в некоторой точке , в которой компоненты принадлежат интервалам между и :
.
Тогда:

Доказательство существования решения

Приведем исходную систему (1) с начальными условиями (1.0) к системе интегральных уравнений. Левая и правая части (1) являются функциями от . Заменим на :
.
Интегрируем каждое уравнение по от до :
;
Подставим начальные условия . В результате получим систему интегральных уравнений:
(4) .

Покажем, что система интегральных уравнений (4) эквивалентна дифференциальным уравнениям (1) с начальными условиями (1.0). Для этого нужно показать, что из (1) и (1.0) следует (4) и из (4) следует (1) и (1.0). То, что из (1) и (1.0) следует (4) мы уже показали. Осталось показать, что из (4) следует (1) и (1.0). Для этого подставим в (4) . Получим начальные условия (1.0). Продифференцировав обе части системы (4) по , получаем (1).

Далее мы пытаемся найти решение уравнений (4) с помощью последовательных приближений. Для этого определяем ряд векторов функций от переменной по формулам:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
.
(5.m) .
Функции непрерывны, потому что интеграл есть непрерывная функция от верхнего предела. Мы предполагаем, что при , стремится к решению системы (4):
(6) ,
где – решение системы (4). Если мы докажем это, то мы докажем существование решения.

Доказательство существования решения будем проводить в два этапа:
1> вначале докажем, что предел (6) существует;
2) затем докажем, что удовлетворяет системе (4):
.

1) Доказательство существования предела y (m) при m стремящемся к бесконечности

Сведем последовательные приближения (5.1) – (5.m) к суммам рядов. Для этого пишем:

.
Таким образом нам нужно доказать, что ряды
(7)
сходятся при .

Сначала покажем, что при , компоненты последовательных приближений принадлежат интервалу .
Действительно, при имеем:
.
Поскольку есть наименьшее из двух чисел и , то и
.

Далее, поскольку принадлежит интервалу , то . Тогда, аналогично предыдущему,
.
Отсюда
.

Далее, по индукции, поскольку принадлежит интервалу , то и
.
Отсюда
.

Итак, мы доказали, что последовательные приближения принадлежат интервалу
.
Теперь мы можем оценить члены ряда (7).

Для первого члена имеем:
;
(8.1) .
Для второго члена применяем условие Липшица и оценку (8.1):

;
(8.2) .

Далее применим метод индукции. Пусть
(8.m) .
Тогда

;
(8.m+1) .
Итак, поскольку (8.m) справедливо для и из (8.m) следует (8.m+1), то (8.m) выполняется для любых .

Запишем -й ряд (7) в виде:
(7.i) ,
где .
Применим (8.m) и заменим наибольшим допустимым значением :
.
Тогда каждый член ряда (7.i), кроме первого, ограничен по модулю членом ряда
(9) .
Исследуем ряд (9) на сходимость. Применим признак Даламбера:
.
Итак, ряд (9) сходится. Поскольку все члены ряда (7.i), начиная со второго, по абсолютной величине меньше членов сходящегося ряда (9), то, в силу критерия Вейерштрасса, ряд (7.i) сходится равномерно для всех , удовлетворяющих условию . Поскольку интеграл есть непрерывная функция от верхнего предела, то каждый член ряда (7.i) есть непрерывная функция от . Поэтому предел
(10)
существует и является непрерывной функцией от .

2) Доказательство того, что Y является решением (4)

Рассмотрим уравнение (5.m):
(5.m) .
Докажем, что при , это уравнение стремится к уравнению
(11) .

В силу (10) левая часть уравнения (5.m) стремится к .

Теперь покажем, что
.

Перепишем правую часть (5.m):
.
Далее заметим, что поскольку все принадлежат закрытому интервалу , то и принадлежит этому интервалу, . Поэтому мы можем применить условие Липшица.

Оценим абсолютную величину последнего члена:

.
Поскольку, при , стремится к равномерно, то для любого положительного числа можно указать такое натуральное число , что для всех ,
(12) .
Пусть есть наибольшее из чисел . Тогда (12) выполняется для всех и для всех .
Тогда
.
Поскольку произвольно, то

Поэтому
.
То есть при уравнение
(5.m) .
принимает вид
(11) .

Доказательство единственности решения

Предположим, что уравнение
(4)
имеет два решения и , различающиеся в некоторой точке , принадлежащей интервалу .
Рассмотрим функцию
.
Тогда .
Поскольку и непрерывны, то и непрерывная функция. Поэтому она отлична от нуля в некотором интервале, содержащем точку :
при .
Поскольку , то . То есть точка не принадлежит этому интервалу.

Если , то преобразуем (4) следующим образом:
,
где
.
Если переобозначить постоянные
,
то получим задачу (4), для которой
;
при ,
где – некоторое число, не превосходящее .

Если , то поступаем аналогично:
,
Переобозначим постоянные:
.
Получаем задачу (4), для которой
;
при ,
где – некоторое число, не меньшее .

Итак, мы имеем:
;
при ( или при ).
Далее возьмем произвольное положительное число ( или ) и рассмотрим закрытый интервал ( или ). Поскольку функция непрерывна, то она достигает наибольшего значения в одной из точек этого интервала:
( или ).

Сделаем оценку, применяя уравнение (4) и условие Липшица:

.
Итак, мы получили оценку:
.
Поскольку , то разделим на :
.
Возникает противоречие, поскольку при это неравенство не выполняется.

Следовательно, не может иметь отличных от нуля значений. Поэтому . Что и требовалось доказать.

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 20-06-2016

Системы дифференциальных уравнений с примерами решения и образцами выполнения

Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения, системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности. В частности, к ним относятся различного рода физические и химические процессы, процессы нефте- и газодобычи, геологии, экономики и т.д. Действительно, если некоторые физические величины (перемещение тела, пластовое давление жидкости в фиксированной точке с тремя координатами, концентрация веществ, объемы продаж продуктов) оказываются меняющимися со временем под воздействием тех или иных факторов, то, как правило, закон их изменения по времени описывается именно системой дифференциальных уравнений, т.е. системой, связывающей исходные переменные как функции времени и производные этих функций. Независимой переменной в системе дифференциальных уравнений может выступать не только время, но и другие физические величины: координата, цена продукта и т.д.

Решение систем дифференциальных уравнений

К системе дифференциальных уравнений приводит уже простейшая задача динамики точки: даны силы, действующие на материальную точку; найти закон движения, т. е. найти функции выражающие зависимость координат движущейся точки от времени. Система, которая при этом получается, в общем случае имеет вид

Здесь x, у, z — координаты движущейся точки, t — время, f, g, h — известные функции своих аргументов.

Система вида (1) называется канонической. Обращаясь к общему случаю системы т дифференциальных уравнений с т неизвестными функциями аргумента t, назовем канонической систему вида

разрешенную относительно старших производных. Система уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от искомых функций,

Если в (2) принять за новые вспомогательные функции, то общую каноническую систему (2) можно заменить эквивалентной ей нормальной системой, состоящей из уравнений. Поэтому достаточно рассматривать лишь нормальные системы.

Например, одно уравнение

является мастным случаем канонической системы. Положив в силу исходного уравнения будем иметь

В результате получаем нормальную систему уравнений

эквивалентную исходному уравнению.

Определение:

Решением нормальной системы (3) на интервале (а, Ь) изменения аргумента t называется всякая система n функций

дифференцируемых на интервале а

Теорема:

Существования и единственности решения задачи Коши. Пусть имеем нормальную систему дифференциальных уравнений

и пусть функции определены в некоторой (n + 1) — мерной области D изменения переменных Если существует окрестность точки в которой функции fi непрерывны по совокупности аргументов и имеют ограниченные частные производные по переменным то найдется интервал изменения t, на котором существует единственное решение нормальной системы (3), удовлетворяющее начальным условиям

Определение:

Система n функций

зависящих от t и n произвольных постоянных называется общим решением нормальной системы (3) в некоторой области существования и единственности решения задачи Коши, если

1) при любых допустимых значениях система функций (6) обращает уравнения (3) в тождества,

2) в области функции (6) решают любую задачу Коши.

Решения, получающиеся из общего при конкретных значениях постоянных называются частными решениями.

Обратимся для наглядности к нормальной системе двух уравнений,

Будем рассматривать систему значений t, x1, х2 как прямоугольные декартовы координаты точки трехмерного пространства, отнесенного к системе координат Решение

системы (7), принимающее при значения определяет в пространстве некоторую линию, проходящую через точку Эта линия называется интегральной кривой нормальной системы (7). Задача Коши для системы (7) получает следующую геометрическую формулировку: в пространстве переменных t, x1, х2 найти интегральную кривую, проходящую через данную точку (рис. 1). Теорема 1 устанавливает существование и единственность такой кривой.

Нормальной системе (7) и ее решению можно придать еще такое истолкование: будем независимую переменную t рассматривать как параметр, а решение

системы — как параметрические уравнения кривой на плоскости Эту плоскость переменных х1х2 называют фазовой плоскостью. В фазовой плоскости решение системы (7), принимающее при t = to начальные значения изображается кривой АВ, проходящей через точку (рис. 2). Эту кривую называют траекторией системы (фазовой траекторией). Траектория системы (7) есть проекция интегральной кривой на фазовую плоскость. По интегральной кривой фазовая траектория определяется однозначно, но не наоборот.

Методы интегрирования систем дифференциальных уравнений

Метод исключения

Один из методов интегрирования — метод исключения. Частным случаем канонической системы является одно уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной

Введя новые функции заменим это уравнение следующей нормальной системой n уравнений:

т. е. одно уравнение n-го порядка эквивалентно нормальной системе (1)

Можно утверждать и обратное, что, вообще говоря, нормальная система п уравнений первого порядка эквивалентна одному уравнению порядка n. На этом и основан метод исключения для интегрирования систем дифференциальных уравнений.

Делается это так. Пусть имеем нормальную систему

Продифференцируем первое из уравнений (2) по t. Имеем

Заменяя в правой части производные их выражениями получим

Уравнение (3) снова дифференцируем по t. Принимая во внимание систему (2), получим

Продолжая этот процесс, найдем

Предположим, что определитель

(якобиан системы функций отличен от нуля при рассматриваемых значениях

Тогда система уравнений, составленная из первого уравнения системы (2) и уравнений

будет разрешима относительно неизвестных При этом выразятся через

Внося найденные выражения в уравнение

получим одно уравнение n-го порядка

Из самого способа его построения следует, что если есть решения системы (2), то функция х1(t) будет решением уравнения (5).

Обратно, пусть Х1(t) — решение уравнения (5). Дифференцируя это решение по t, вычислим и подставим найденные значения как известные функции

от t в систему уравнений

По предположению эту систему можно разрешить относительно т. е найти как функции от t.

Можно показать, что так построенная система функций

составляет решение системы дифференциальных уравнений (2). Пример:

Требуется проинтегрировать систему

Дифференцируя первое уравнение системы, имеем

откуда, используя второе уравнение, получаем

— линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с одной неизвестной функцией. Его общее решение имеет вид

В силу первого уравнения системы находим функцию

Найденные функции x(t), y(t), как легко проверить, при любых значениях С1 и С2 удовлетворяют заданной системе.

Функции x(t), y(t) можно представить в виде

откуда видно, что интегральные кривые системы (6) — винтовые линии с шагом и с общей осью х = у = 0, которая также является интегральной кривой (рис. 3).

Исключая в формулах (7) параметр t, получаем уравнение

так что фазовые траектории данной системы суть окружности с центром в начале координат — проекции винтовых линий на плоскость хОу.

При А = 0 фазовая траектория состоит из одной точки х = 0, у = 0, называемой точкой покоя системы.

Замечание:

Может оказаться, что функции нельзя выразить через Тогда уравнения n-го порядка, эквивалентного исходной системе, мы не получим. Вот простой пример. Систему уравнений

нельзя заменить эквивалентным уравнением второго порядка относительно х1 или x2. Эта система составлена из пары уравнений 1-го порядка, каждое из которых интегрируется независимо, что дает

Метод интегрируемых комбинаций

Интегрирование нормальных систем дифференциальных уравнений

иногда осуществляется методом интегрируемых комбинаций.

Интегрируемой комбинацией называется дифференциальное уравнение, являющееся следствием уравнений (8), но уже легко интегрирующееся.

Пример:

Складывая почленно данные уравнения, находим одну интегрируемую комбинацию:

Вычитая почленно из первого уравнения системы второе, получаем вторую интегрируемую комбинацию:

Мы нашли два конечных уравнения

из которых легко определяется общее решение системы:

Одна интегрируемая комбинация дает возможность получить одно уравнение

связывающее независимую переменную t и неизвестные функции Такое конечное уравнение называется первым интегралом системы (8). Иначе: первым интегралом системы дифференциальных уравнений (8) называется дифференцируемая функция не равная тождественно постоянной, но сохраняющая постоянное значение на любой интегральной кривой этой системы.

Если найдено п первых интегралов системы (8) и все они независимы, т. е. якобиан системы функций отличен от нуля:

то задача интефирования системы (8) решена (так как из системы

определяются все неизвестные функции

Системы линейных дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно неизвестных функций и их производных, входящих в уравнение. Система n линейных уравнений первого порядка, записанная в нормальной форме, имеет вид

или, в матричной форме,

Теорема:

Если все функции непрерывны на отрезке то в достаточно малой окрестности каждой точки где выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши, следовательно, через каждую такую точку проходит единственная интегральная кривая системы (1).

Действительно, в таком случае правые части системы (1) непрерывны по совокупности аргументов t, и их частные производные по ограничены, так как эти производные равны непрерывным на отрезке [а,b] коэффициентам

Введем линейный оператор

Тогда система (2) запишется в виде

Если матрица F — нулевая, т. е. на интервале (а,b), то система (2) называется линейной однородной и имеет вид

Приведем некоторые теоремы, устанавливающие свойства решений линейных систем.

Теорема:

Если X(t) является решением линейной однородной системы

то cX(t), где с — произвольная постоянная, является решением той же системы.

Теорема:

двух решений однородной линейной системы уравнений является решением той же системы.

Следствие:

с произвольными постоянными коэффициентами сi решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений

является решением той же системы.

Теорема:

Если есть решение линейной неоднородной системы

a Xo(t) — решение соответствующей однородной системы

будет решением неоднородной системы

Действительно, по условию,

Пользуясь свойством аддитивности оператора получаем

Это означает, что сумма есть решение неоднородной системы уравнений

Определение:

называются линейно зависимыми на интервале a

при причем по крайней мере одно из чисел аi, не равно нулю. Если тождество (5) справедливо только при то векторы называются линейно независимыми на (а, b).

Заметим, что одно векторное тождество (5) эквивалентно n тождествам:

называется определителем Вронского системы векторов

Определение:

Пусть имеем линейную однородную систему

где матрица с элементами Система n решений

линейной однородной системы (6), линейно независимых на интервале а

с непрерывными на отрезке коэффициентами является линейная комбинация п линейно независимых на интервале а

() — произвольные постоянные числа).

Пример:

имеет, как нетрудно проверить, решения

Эти решения линейно независимы, так как определитель Вронского отличен от нуля:

Общее решение системы имеет вид

(с1, с2 — произвольные постоянные).

Фундаментальная матрица

Квадратная матрица

столбцами которой являются линейно независимые решения системы (6), называется фундаментальной матрицей этой системы. Нетрудно проверить, что фундаментальная матрица удовлетворяет матричному уравнению

Если Х(t) — фундаментальная матрица системы (6), то общее решение системы можно представить в виде

— постоянная матрица-столбец с произвольными элементами. Полагая в (7) t = t0, имеем

Матрица называется матрицей Коши. С ее помощью решение системы (6) можно представить так:

Теорема:

О структуре общего решения линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений. Общее решение в области линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений

с непрерывными на отрезке коэффициентами aij(t) и правыми частями fi(t) равно сумме общего решения

соответствующей однородной системы и какого-нибудь частного решения неоднородной системы (2):

Метод вариации постоянных

Если известно общее решение линейной однородной системы (6), то частное решение неоднородной системы можно находить методом вариации постоянных (метод Лагранжа).

есть общее решение однородной системы (6), тогда

причем решения Xk(t) линейно независимы.

Будем искать частное решение неоднородной системы

где неизвестные функции от t. Дифференцируя по t, имеем

Подставляя в (2), получаем

то для определения получаем систему

или, в развернутом виде,

Система (10) есть линейная алгебраическая система относительно определителем которой является определитель Вронского W(t) фундаментальной системы решений . Этот определитель отличен от нуля всюду на интервале a

где — известные непрерывные функции. Интегрируя последние соотношения, находим

Подставляя эти значения в (9), находим частное решение системы (2)

(здесь под символом понимается одна из первообразных для функции

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений

в которой все коэффициенты — постоянные. Чаще всего такая система интегрируется сведением ее к одному уравнению более высокого порядка, причем это уравнение будет также линейным с постоянными коэффициентами. Другой эффективный метод интегрирования систем с постоянными коэффициентами — метод преобразования Лапласа.

Мы рассмотрим еще метод Эйлера интегрирования линейных однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Он состоит в следующем.

Метод Эйлера

Будем искать решение системы

где — постоянные. Подставляя Xk в форме (2) в систему (1), сокращая на и перенося все члены в одну часть равенства, получаем систему

Для того, чтобы эта система (3) линейных однородных алгебраических уравнений с n неизвестными имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю:

Уравнение (4) называется характеристическим. В его левой части стоит многочлен относительно степени n. Из этого уравнения определяются те значения , при которых система (3) имеет нетривиальные решения . Если все корни характеристического уравнения (4) различны, то, подставляя их по очереди в систему (3), находим соответствующие им нетривиальные решения этой системы n, следовательно, находим п решений исходной системы дифференциальных уравнений (1) в виде

где второй индекс указывает номер решения, а первый — номер неизвестной функции. Построенные таким образом п частных решений линейной однородной системы (1)

образуют, как можно проверить, фундаментальную систему решений этой системы.

Следовательно, общее решение однородной системы дифференциальных уравнений (1) имеет вид

где произвольные постоянные.

Случай, когда характеристическое уравнение имеет кратные корни, мы рассматривать не будем.

Пример:

Ищем решение в виде

имеет корни

Система (3) для определения a1, а2 выглядит так:

Подставляя в (*) получаем

откуда а21 = а11. Следовательно,

Полагая в находим a22 = — a12, поэтому

Общее решение данной системы:

Матричный метод

Изложим еще матричный метод интегрирования однородной системы (1). Запишем систему (1) в виде

матрица с постоянными действительными элементами

Напомним некоторые понятия из линейной алгебры. Вектор называется собственным вектором матрицы А, если

Число называется собственным значением матрицы А, отвечающим собственному вектору g, и является корнем характеристического уравнения

где I — единичная матрица.

Будем предполагать, что все собственные значения матрицы А различны. В этом случае собственные векторы g1, g2, …gn линейно независимы и существует матрица Т, приводящая матрицу А к диагональному виду, т. е. такая, что

Столбцами матрицы Т являются координаты собственных векторов g1, g2 …, gn матрицы А.

Введем еще следующие понятия. Пусть В(t) — матрица, элементы которой суть функции аргумента t, определенные на множестве . Матрица В(t) называется непрерывной на , если непрерывны на все ее элементы . Матрица В(t) называется дифференцируемой на , если дифференцируемы на все элементы этой матрицы. При этом производной матрицы называется матрица, элементами которой являются производные у соответствующих элементов матрицы В(t).

Пусть B(t) — n х n-матрица,

— вектор-столбец. Учитывая правила алгебры матриц, непосредственной проверкой убеждаемся в справедливости формулы

В частности, если В — постоянная матрица, то

так как есть нуль-матрица.

Теорема:

Если собственные значения матрицы А различны, то общее решение системы (7) имеет вид

где g1, g2,…, gn — собственные векторы-столбцы матрицы А, произвольные постоянные числа.

Введем новый неизвестный вектор-столбец Y(t) по формуле

где Т — матрица, приводящая матрицу А к диагональному виду. Подставляя X(t) из (11) в (7), получим систему

Умножая обе части последнего соотношения слева на и учитывая, что придем к системе

Мы получили систему из n независимых уравнений, которая без труда интегрируется:

Здесь — произвольные постоянные числа.

Вводя единичные n-мерные векторы-столбцы

решение Y(t) можно представить в виде

В силу (11) Х(t) = TY(t). Так как столбцы матрицы Т есть собственные векторы матрицы собственный вектор матрицы А. Поэтому, подставляя (13) в (11), получим формулу (10):

Таким образом, если матрица А системы дифференциальных уравнений (7) имеет различные собственные значения, для получения общего решения этой системы:

1) находим собственные значения матрицы как корни алгебраического уравнения

2) находим все собственные векторы g1, g2,…, gn;

3) выписываем общее решение системы дифференциальных уравнений (7) по формуле (10).

Пример:

Матрица А системы имеет вид

1) Составляем характеристическое уравнение

Корни характеристического уравнения

2) Находим собственные векторы

Для = 4 получаем систему

откуда g11 = g12, так что

Аналогично для = 1 находим

3) Пользуясь формулой (10), получаем общее решение системы дифференциальных уравнений

Корни характеристического уравнения могут быть действительными и комплексными. Так как по предположению коэффициенты системы (7) действительные, то характеристическое уравнение

будет иметь действительные коэффициенты. Поэтому наряду с комплексным корнем оно будет иметь и корень *, комплексно сопряженный с . Нетрудно показать, что если g — собственный вектор, отвечающий собственному значению , то * — тоже собственное значение, которому отвечает собственный вектор g*, комплексно сопряженный с g.

При комплексном решение

системы (7) также будет комплексным. Действительная часть

этого решения являются решениями системы (7). Собственному значению * будет отвечать пара действительных решений X1 и -Х2, т. е. та же пара, что и для собственного значения . Таким образом, паре , * комплексно сопряженных собственных значений отвечает пара действительных решений системы (7) дифференциальных уравнений.

Пусть — действительные собственные значения, — комплексные собственные значения. Тогда всякое действительное решение системы (7) имеет вид