Гармонические колебания
теория по физике 🧲 колебания и волны
Гармоническими законами называют законы синуса и косинуса. Следовательно, гармоническими колебаниями называют те колебания, при которых координата тела изменяется синусоидально или косинусоидально.
Гармонические колебания — колебания, при которых координата тела изменяется с течением времени по гармоническому закону.
Ниже представлен график косинусоидальной функции. Обратите внимание, что косинус при возрастании аргумента от нуля сначала меняется медленно, а потом он все быстрее и быстрее приближается к нулю. Пройдя через него, его модуль снова быстро возрастает. Но по мере приближения к максимальному значению он снова замедляется. Точно так же меняются координаты свободно колеблющегося тела.
Важно! Гармоническими можно считать только те колебания, что совершаются грузом, закрепленном на пружине, или математическим маятником, отклоняемым на малый угол, при котором ускорение тела пропорционально его смещению.
Уравнение движения гармонических колебаний
Известно, что ускорение колеблющегося на пружине груза пропорционально его смещению от положения равновесия:
Также известно, что ускорение есть вторая производная координаты. Следовательно, при свободных колебаниях координата изменяется со временем так, что вторая производная координаты по времени прямо пропорциональна самой координате и противоположна ей по знаку.
Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.
x″ = − x m a x cos . t = − x
Видно, что в этом случае теряется величина k m . . , служащая постоянной для каждой колебательной системы. Чтобы получить ее во второй производной, нужно усложнить функцию до следующего вида:
x = x m a x cos . √ k m . . t
Тогда первая производная примет
Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.
x′ = − √ k m . . x m a x sin . √ k m . . t
Вторая производная примет вид:
x″ = − k m . . x m a x cos . √ k m . . t = − k m . . x
Так как мы получили ровно такое же выражение, то описать свободные колебания можно уравнениями следующего вида:
x = x m a x sin . √ k m . . t
x = x m a x cos . √ k m . . t
Обозначим постоянную величину √ k m . . , зависящую от свойств системы, за ω0:
x = x m a x sin . ω 0 t
x = x m a x cos . ω 0 t
Само уравнение движения, описывающего свободные колебания, примет вид:
Период и частота гармонических колебаний
Минимальный промежуток времени T, через который движение тела полностью повторяется, называют периодом колебания. Зная его, можно вычислить частоту колебаний, равную числу колебаний в единицу времени. Эти величины связаны между собой выражением:
Через промежуток времени, равный периоду T и соответствующий изменению аргумента косинуса на ω 0 T , движение тела повторяется, и косинус принимает прежнее значение. Но из математики известно, что наименьший период косинуса равен 2π. Следовательно:
ω 0 = 2 π T . . = 2 π ν
Таким образом, величина ω 0 представляет собой число колебаний тела, но не за 1 секунду, а за 2 π секунд. Эта величина называется циклической (круговой) частотой. А частоту свободных колебаний называют собственной частотой колебательной системы.
Зависимость частоты и периода свободных колебаний от свойств системы
Изначально за величину ω 0 мы принимали постоянную, характеризующую свойства системы:
Теперь мы выяснили, что циклическая частота связана с периодом и частотой колебаний. Следовательно, период и частота колебаний также зависят от свойств системы:
ω 0 = √ k m . . = 2 π T . . = 2 π ν
Отсюда период и частота колебаний соответственно равны:
T = 2 π ω 0 . . = 2 π √ m k . .
ν = 1 2 π . . √ k m . .
Вспомним, что свойства колебательной системы математического маятника определяются постоянной величиной g l . . . Следовательно, циклическая частота для него равна:
Отсюда период и частота колебаний математического маятника соответственно равны:
T = 2 π ω 0 . . = 2 π √ l g . .
ν = 1 2 π . . √ g l . .
Эта формула была впервые получена и проверена на опыте голландским ученым Г. Гюйгенсом, современником И. Ньютона.
Период колебания возрастает с увеличением длины маятника. От массы маятника он не зависит. Это легко проверить на опыте с различными маятниками. Зависимость периода от ускорения свободного падения также легко прослеживается. Чем меньше величина g, тем больше период колебания маятника, и, следовательно, тем медленнее идут часы с маятником. Так, часы с маятником в виде груза на стержне отстанут в сутки почти на 3 с, если их поднять из подвала на верхний этаж Московского университета, который находится на высоте 200 м. И это только за счет уменьшения ускорения свободного падения с высотой.
Зависимость периода колебаний маятника от значения g используется на практике. Измеряя период колебания, можно легко измерить g. Ускорение свободного падения меняется с географической широтой. Но и на данной широте оно неодинаково, так как плотность земной коры неоднородна. В районах, где залегают более плотные породы, ускорение свободного падения принимает большие значения.
Пример №1. Сколько колебаний совершает математический маятник длиной 4,9 м за время 5 минут?
Искомое число колебаний равно отношению времени к периоду колебаний:
Период колебаний для математического маятника определяется формулой:
N = t 2 π . . √ g l . . = 300 2 · 3 , 14 . . √ 9 , 8 4 , 9 . . ≈ 68
Фаза колебаний
При заданной амплитуде гармонических колебаний координата колеблющегося тела в любой момент времени однозначно определяется аргументом косинуса или синуса, который равен ω 0 t . Обозначим его за ϕ и получим:
Величину ϕ, стоящую под знаком косинуса или синуса, называют фазой колебаний, описываемой этой функцией. Выражается фаза в угловых единицах — радианах (рад).
Фаза определяет значение не только координаты, но и других физических величин (к примеру, скорости и ускорения, которые также изменяются по гармоническому закону). Отсюда можно сделать вывод, что фаза определяет при заданной амплитуде состояния колебательной системы в любой момент времени.
Колебания с одинаковыми частотами и амплитудами могут отличаться друг от друга фазами. Так как ω 0 = 2 π T . . , фаза определяется формулой:
ϕ = ω 0 t = 2 π t T . .
t T . . — отношение, которое указывает, какая часть периода прошла от момента начала колебаний. Любому моменту времени, выраженному в долях периода, соответствует значение фазы, выраженное в радианах. К примеру:
| Время, t (с) | 0 |
| Фаза, ϕ (рад) | 0 |
Фаза колебаний — это физическая величина, которая показывает отклонение точки от положения равновесия. Посмотрите на рисунок, на нем изображены одинаковые фазы:
Например, в тех же самых часах с кукушкой маятник совершает колебания. Он качается слева направо и приходит в самую правую точку. В той же фазе он будет находиться, когда придет в ту же точку, идя справа налево. Если мы возьмем точку на сантиметр левее самой правой, то идя в нее не слева направо, а справа налево, мы получим уже другую фазу.
На рисунке ниже показаны положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.
Если изменить период, начальную фазу или амплитуду колебания, графики тоже изменятся.
На рисунке ниже во всех трех случаях для синих кривых начальная фаза равна нулю, а в последнем (с) — красная кривая имеет меньшую начальную фазу.
В первом случае (а) красная кривая описывает колебание, у которого амплитуда больше колебания, описанного синей линией.
Во втором случае (b) красная кривая отличается от синей только значением периода — у красной период в два раза меньше.
Математический маятник
Математический маятник — отличный пример гармонических колебаний. Если мы подвесим шарик на нити, то это еще не будет математическим маятником — пока он только физический.
Математическим этот маятник станет, если размеры шарика много меньше длины нити (тогда этими размерами можно пренебречь и рассматривать шарик как материальную точку), растяжение нити очень мало, а масса нити во много раз меньше массы шарика.
Математическим маятником называется система, которая состоит из материальной точки массой m и невесомой нерастяжимой нити длиной l, на которой материальная точка подвешена, и которая находится в поле силы тяжести (или других сил).
Период малых колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли определяется по формуле:
Формула периода колебания математического маятника
l — длина нити [м]
g — ускорение свободного падения [м/с 2 ]
На планете Земля g = 9,8 м/с 2
Пружинный маятник
Пружинный маятник — это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь.
В пружинном маятнике колебания совершаются под действием силы упругости.
Пока пружина не деформирована, сила упругости на тело не действует.
Формула периода колебания пружинного маятника
m — масса маятника [кг]
k — жесткость пружины [Н/м]
Закон сохранения энергии для гармонических колебаний
Физика — такая клевая наука, в которой ничего не исчезает бесследно и не появляется из ниоткуда. Эту особенность описывает закон сохранения энергии.
Рассмотрим его на примере математического маятника.
- Когда маятник отклоняют на высоту h, его потенциальная энергия максимальна.
- Когда маятник опускается, потенциальная энергия переходит в кинетическую. Причем в нижней точке, где потенциальная энергия равна нулю, кинетическая энергия максимальна и равна потенциальной энергии в верхней точке. Скорость груза в этой точке максимальна.
Онлайн-курсы физики в Skysmart не менее увлекательны, чем наши статьи!
Свободные гармонические колебания
Вы будете перенаправлены на Автор24
В физике колебаниями считают не только повторяющиеся периодически процессы, но и другие изменения состояния, которые повторяются во времени.
Систему, совершающую колебания называют колебательной.
Колебательные процессы классифицируют в зависимости от разных признаков, например, по физической природе процесса или механизма его возникновения. Так деление колебаний происходит на:
- механические;
- электромагнитные;
- электромеханические (смешанные);
- иногда выделяют квантовые колебания.
Колебания считают периодическими, если значения всех изменяющихся физических параметров, при помощи которых описывают состояние системы, повторяются спустя равные промежутки времени.
Важным с точки зрения математического и физического описания является деление колебаний на:
Свободными называют колебания, происходящие в отсутствии внешних воздействий на систему, совершающую колебания. Они появляются в результате однократного (при $t=0$) действия на колебательную систему, которое выводит ее из состояния равновесия.
Вынужденными считают колебания, которые возникают в результате регулярного внешнего действия на колебательную систему.
Колебания какой-либо величины называют гармоническими, если ее изменение во времени описывают при помощи законов синуса или косинуса, например:
$l=A\cos (\omega t+\delta)(1)$,
где $A=const$ — амплитуда колебаний.
Гармонически изменяющаяся величина удовлетворяет дифференциальному уравнению вида:
которое называют дифференциальным уравнением гармонических колебаний.
Свободные механические гармонические колебания
Допустим, что материальная точка гармонически колеблется параллельно оси $OX$ рядом с положением равновесия (начало координат разместим в нем). В этом случае связь координаты и времени можно задать уравнением:
$x=A\sin (\omega t+\varphi_0)(3),$
где $\varphi_0$ — начальная фаза колебаний точки.
Скорость движения по оси $OX$ нашей точки получим дифференцированием функции $x(t)$ по времени:
Готовые работы на аналогичную тему
где $v_0=A\omega$ — является амплитудой скорости.
Ускорение материальной точки в рассматриваемом нами случае определим как:
где амплитуда ускорения точки равна $a_m=A\omega^2$.
Из закона Ньютона, учитывая выражение для ускорения (5) мы видим, что на материальную точку массы $m$ действует сила, равная:
$F_x=ma_x=-m a_m\sin (\omega t+\varphi_0)=-m \omega^2x(6).$
Уравнение (6) указывает на то, что сила, действующая на материальную точку, прямо пропорциональна ее смещению от положения равновесия и имеет направление в сторону равновесия:
$\vec F=-m\omega^2 x\vec i$,
где $\vec i$ орт оси $OX$.
Зависимость вида (6) для силы, свойственна для сил упругости. Силы, обладающие другой природой (не силы упругости), но подчиняющиеся зависимости (6) именуют квазиупругими.
Кинетическая энергия свободных гармонических прямолинейных колебаний равна:
$E_k=\frac<1><2>mv^2=\frac<1><2>m \omega^2 A^2\cos^2 (\omega t+\varphi_0)= \frac<1><4>m \omega^2 A^2(\cos (2\omega t+2\varphi_0)) (7).$
При свободных гармонических колебаниях изменение кинетической энергии материальной точки происходит периодически и минимальное ее значение равно нулю, а максимальное $E_k max=\frac<1><2>m \omega^2 A^2$.
Частота колебаний кинетической энергии равна $2\omega$.
Потенциальную энергию колебаний материальной точки под воздействием потенциальной силы найдем как:
$U=-\int_0^x F_x dx=\frac<1><2>m\omega^2 x^2=\frac<1><2>m \omega^2 A^2\sin (\omega t+\varphi_0)= \frac<1><4>m \omega^2 A^2(\cos (2\omega t+2\varphi_0+\pi)) (8).$
Согласно полученному уравнению (8) изменение потенциальной энергии по гармоническому закону происходит с частотой $2\omega$. При этом минимальная ее величина в состоянии равновесия равна нулю, максимальная составляет $\frac<1><2>m \omega^2 A^2$.
Колебания потенциальной и кинетической энергий идут в противофазе, то есть сдвиг между их колебаниями составляет $\pi$.
При свободных гармонических колебаниях полная механическая энергия материальной точки сохраняется:
$E=E_k+U=\frac<1><2>m \omega^2 A^2=const.$
Свободные электромагнитные колебания
Свободные электрические колебания можно реализовать в идеальном колебательном контуре, который состоит из:
- конденсатора, емкость которого равна $C$;
- катушки индуктивности ($L$).
Элементы в контуре соединены последовательно. Контур будем считать идеальным, поскольку его сопротивление равно нулю. Только в таком контуре можно создать незатухающие свободные колебания.
Конденсатор заряжают, после этого замыкают на катушку. При замыкании в контуре возникают свободные колебания заряда конденсатора и силы тока в катушке. Изменяющееся электромагнитное поле распространяется в пространстве (скорость распространения равна скорости света). Обычно контур считают малым, при этом в каждый момент времени сила тока во всех его частях одинакова. Данный ток считают квазистационарным.
Свободные электрические колебания в рассматриваемом контуре будут гармоническими только, если сопротивление контура можно считать равным нулю.
Дифференциальное уравнение свободных колебаний заряда можно представить:
Величина $\frac<1>
Решением уравнения (9) является функция $q(t)$, равная:
$q(t)=q_0\sin (\omega t \varphi_0)(10)$,
где $q_0$ — амплитуда заряда конденсатора; $\varphi_0$ — начальная фаза колебаний заряда на конденсаторе.
Принимая во внимание, что связь заряда и силы тока:
получим закон $I(t)$ при свободных гармонических колебаниях:
$I=I_0\cos (\omega t+\varphi_0) = I_0\sin (\omega t+\varphi_0+\frac<\pi><2>) (12),$
где $I_0=\omega q_0=\frac
Сравнение выражений (10) и (12) указывает на то, что ток в контуре опережает по фазе заряд на $\frac<\pi><2>$.
При свободных гармонических колебаниях в нашем контуре, в рамках одного периода колебаний, происходит переход энергии электрического поля конденсатора ($E_e$) в энергию магнитного поля катушки (E_m) и назад:
Закон сохранения в виде (13) указывает нам на то, что полная энергия электромагнитных колебаний в идеальном контуре постоянна во времени.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 22 05 2021
http://skysmart.ru/articles/physics/garmonicheskie-kolebaniya
http://spravochnick.ru/fizika/garmonicheskie_kolebaniya/svobodnye_garmonicheskie_kolebaniya/