Свободные затухающие электрические колебания дифференциальное уравнение

Затухающие колебания в контуре и их уравнение

Существуют колебания в системе без источника энергии, называемые затухающими. Рассмотрим реальный контур с сопротивлением не равным нулю. Для примера используют контур с включенным сопротивлением R , с емкостью конденсатора C , с катушкой индуктивности L , изображенный на рисунке 1 . Колебания, происходящие в нем, — затухающие.

Именно наличие сопротивления становится главной причиной их затухания. Данный процесс возможен посредствам потерь энергии на выделение джоулева тепла. Аналог сопротивления в механике – действие сил трения.

Характеристики затухающих колебаний

Затухающие колебания характеризуют коэффициентом затухания β . Применив второй закон Ньютона, получим:

m a = — k x — y v , d 2 x d t 2 + r m d x d t + k m x = 0 , ω 0 2 = k m , β = r 2 m .

Из записи видно, что β действительно является характеристикой контура. Реже вместо β применяют декремент затухания δ ,

Значение a ( t ) является амплитудой заряда, силы тока и так далее, δ равняется количеству колебаний, а N e — период времени уменьшения амплитуды в e раз.

Для R L C контура применима формула с ω частотой.

При небольшой δ ≪ 1 говорят, что β ≪ ω 0 ω 0 = 1 L C — собственная частота, отсюда ω ≈ ω 0 .

При рассмотрении затухающих колебаний последовательного контура колебательный контур характеризуется добротностью Q :

Q = 1 R L C = ω 0 L R , где R , L и C — сопротивление, индуктивность, емкость, а ω 0 — частота резонанса. Выражение L C называют характеристическим или волновым сопротивлением. Для параллельного контура формула примет вид:

Q = R L C = R ω 0 L .

R является входным сопротивлением параллельного контура.

Эквивалентное определение добротности применяется при слабых затуханиях. Его выражают через отношение энергий:

Q = ω 0 W P d = 2 π f 0 W P d , называемое общей формулой.

Уравнения затухающих колебаний

Рассмотрим рисунок 1 . Изменение заряда q на конденсаторе в таком контуре описывается дифференциальным уравнением:

q ( t ) = q 0 e ( — β t ) cos ω t + a ‘ 0 = q 0 e — β t cos ( ω t ) .

Если t = 0 , то заряд конденсатора становится равным q 0 , и ток в цепи отсутствует.

Если R > 2 L C изменения заряда не относят к колебаниям, разряд называют апериодическим.

Значение сопротивления, при котором колебания превращаются в апериодический разряд конденсатора, критическое R k .

Функция изображается аналогично рисунку 2 .

Записать закон убывания энергии, запасенной в контуре W ( t ) при W ( t = 0 ) = W 0 с затухающими колебаниями. Обозначить коэффициент затухания в контуре β , а собственную частоту — ω 0 .

Решение

Отправная точка решения – это применение формулы изменения заряда на конденсаторе в R L C — контуре:

q ( t ) = q 0 e ( — β t ) cos ω t + a ‘ 0 = q 0 e — β t cos ( ω t ) .

Предположим, что при t = 0 , a ‘ 0 = 0 . Тогда применим выражение

Для нахождения I ( t ) :

I ( t ) = — ω 0 q 0 e ( — 2 β t ) sin ( ω t + α ) , где t g α = β ω .

Очевидно, что электрическая энергия W q запишется как:

W q = q 2 2 C = q 0 2 2 C e ( — 2 β t ) cos 2 ( ω t ) = W 0 e ( — 2 β t ) cos 2 ( ω t ) .

Тогда значение магнитной энергии контура W m равняется:

W m = L 2 ω 0 2 q 0 2 e ( — 2 β t ) sin 2 ω t + a = W 0 e — 2 β t sin 2 ω t + a .

Запись полной энергии будет иметь вид:

W = W q + W m = W 0 e ( — 2 β t ) ( cos 2 ( ω t ) + sin 2 ( ω t + a ) ) = = W 0 e ( — 2 β t ) 1 + β ω 0 sin ( 2 ω t + α ) .

Где sin α = β ω 0 .

Ответ: W ( t ) = W 0 e ( — 2 β t ) 1 + β ω 0 sin ( 2 ω t + a ) .

Применив результат предыдущего примера, записать выражение для энергии, запасенной в контуре W ( t ) , при медленно затухающих колебаниях. Начертить график убывания энергии.

Решение

Если колебания в контуре затухают медленно, то:

Очевидно, выражение энергии, запасенной в контуре, вычислим из

W ( t ) = W 0 e ( — 2 β t ) 1 + β ω 0 sin ( 2 ω t + a ) , предварительно преобразовав до W ( t ) = W 0 e ( — 2 β t ) .

Такое упрощение возможно по причине выполнения условия β ω 0 ≪ 1 , sin ( 2 ω t + a ) ≤ 1 , что означает β ω 0 sin ( 2 ω t + a ) ≪ 1 .

Ответ: W ( t ) = W 0 e ( — 2 β t ) . Энергия в контуре убывает по экспоненте.

Электронная библиотека

Свободные затухающие колебания – колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшаются. Простейшим механизмом уменьшения энергии колебаний являются ее превращения в теплоту, омические потери и излучение электромагнитной энергии в электрических колебательных системах.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний заряда Q в контуре имеет вид:

Колебания заряда совершаются по закону:

где – коэффициент затухания; – циклическая частота.

Логарифмический декремент затухания определяется по формуле:

где d – коэффициент затухания; Т – период колебания; t – время релаксации; N_e – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды А в е раз (е = 2,7).

Добротность колебательного контура равна:

При увеличении коэффициента затухания (d) период затухающих колебаний растет и при d = w₀ обращается в бесконечность, т.е. движение перестает быть периодическим. В данном случае колеблющаяся величина асимптотически приближается к нулю, когда t ® ¥. Процесс не будет колебательным. Он называется апериодическим.

Особенно важны и широко применимы так называемые автоколебания – незатухающие колебания, поддерживаемые в диссипативной системе за счет постоянного внешнего источника энергии, причем свойства этих колебаний определяются самой системой.

Автоколебания принципиально отличаются от свободных незатухающих колебаний, происходящих без действия сил, а также от вынужденных колебаний, происходящих под действием периодической силы. Автоколебательная система сама управляет внешними воздействиями, обеспечивая согласованность поступления энергии определенными порциями в нужный момент времени (в такт с ее колебаниями).

Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00

Затухающие колебания

ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ — колебания с постоянно убывающей со временем амплитудой.

Свободные колебания реальных систем всегда затухают. Затухание обусловлено в основном трением (механические системы) и сопротивлением ( в электромагнитных колебательных контурах).

Колебательная система называется линейной, если её свойства не меняются при колебаниях, то есть такие параметры, как сила тяжести, упругость пружины, сопротивление, емкость, индуктивность не зависят ни от смещения, ни от скорости, ни от ускорения колеблющейся величины. В дальнейшем мы будем рассматривать только линейные системы.

Уравнения затухающих колебаний

Получим дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний на примере реального пружинного маятника, совершающего колебания в среде с сопротивлением (простейший случай — трение о воздух). Пусть масса маятника m, коэффициент упругости пружины k, сила сопротивления, действующая на маятник, F = — bv, v — скорость маятника, b — коэффициент сопротивления среды, в которой находится маятник. Так как мы рассматриваем только линейные системы, b = const, k = const. x — смещение маятника от положения равновесия.

Второй закон

1643 — 1727

в нашем случае запишется так:

Это уравнение и есть дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний пружинного маятника. Его, однако, принято записывать в следующем, так называемом каноническом виде:

— коэффициент затухания, — собственная частота свободных (незатухающих) колебаний пружинного маятника, то, что раньше мы обозначали просто w .

Уравнение затухающих колебаний в таком (каноническом) виде описывает затухающие колебания всех линейных систем; конкретная колебательная система отличается только выражениями для b и j₀ .