Показательные неравенства
О чем эта статья:
10 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение показательных неравенств
Показательными считаются неравенства, которые включают в себя показательную функцию. Другими словами, это неравенства с переменной в показателе степени: a f(x) > a g(x) , a f(x) g(x) .
Из них показательно-степенными неравенствами являются те, в которых есть переменные и в показателе степени, и в основании.
Для изучения этой темы стоит повторить:
И, конечно, для решения тригонометрических и логарифмических показательных неравенств также придется вспомнить формулы соответствующих разделов алгебры.
Если все это еще свежо в памяти, давайте приступим. Как и к показательным уравнениям, к неравенствам стоит подходить, помня о свойствах показательной функции. Напомним, что она выглядит так: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. Два графика ниже дают представление о том, на что похожа такая функция, когда основание степени а больше и меньше единицы. Наверняка вы уже догадались, каково главное свойство этой функции. Да, она монотонна.
При этом заметьте — значения а всегда больше нуля. На практике в этом несложно убедиться, если возводить какое-либо число во всевозможные степени, включая отрицательные. Например: 2 -2 = 4, 2 -4 = 1/16 и т. д. Значение функции будет уменьшаться, но никогда не достигнет нуля.
Для любых а и х верно неравенство a x > 0, т. е. показательная функция не принимает отрицательных значений.
Запишем следствие монотонности показательной функции в виде формул:
- a f(x) > a g(x) f(x) > g (x), когда функция возрастает, т. е. а > 1;
- a f(x) > a g(x) f(x)
Как решать показательные неравенства
Как мы уже говорили, для успешного освоения этой темы нужно хорошенько повторить все, что касается показательных уравнений. Способы решения показательных неравенств выглядят примерно так же — мы будем пытаться упростить выражение, получить одинаковые степени или одинаковые основания, по возможности свести все к квадратному или рациональному уравнению. Но есть и свои тонкости.
Допустим, у нас есть простейшее показательное неравенство:
Если вы помните, как решались показательные уравнения, не придется долго думать, что делать с таким неравенством — приведем его к одинаковому основанию:
Казалось бы, все логично, но всегда ли можно смело вычеркивать одинаковые основания степеней? А что, если вместо 3 у нас основание степени будет 0,5? Посмотрим:
Проверим, верно ли в таком случае х > 2.
0,5 3 = 0, 125 и т. д.
Как видите, на самом деле в этом случае х
Деятельность учителя | Деятельность учащихся | |
Организационный этап. | ||
Здравствуйте, рада вас всех видеть! | Ответы учащихся: Здравствуйте! | |
Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению материала. | ||
Эпиграфом к уроку я выбрала слова датского математика и историка математики, жившего с 1839 по 1920 года, Иеромонима Георга Цейтена: “Правильному применению методов можно научиться только применяя их на разнообразных примерах”. |
При решении практически любой математической задачи приходится производить преобразование числовых, алгебраических или функциональных выражений. Но бывают случаи, когда стандартные преобразования не позволяют получить ответ. Тогда используют нестандартные методы, суть которых – реализовать “иной взгляд” на задачу, что существенно упрощает решение некоторых задач. Таким образом, тема сегодняшнего урока…
Но для начала — вопросы, ответы на которые вы должны были повторить дома.
“Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств”.
Что называется функцией?
Область значений (область изменения).Ограниченность функции.
Возрастание, убывание функции.
Четность, нечетность функции.
Периодичность функции.
Функцию называют ограниченной снизу (сверху), если существует такое число M, что для любого x из области определения верно неравенство , (). Функция называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу.
Все определения можно ещё раз увидеть в Приложении 1, которое лежит у вас на партах.
Слайды 4 – 7.
1 группа. Решить уравнение .
2 группа. Решить неравенство .
3 группа. Решить неравенство .
1группа. .
Решение: при решении используем ограниченность функций и квадратичной функций:
1. для любого х из R.
2. .
Таким образом мы видим, что области значений левой и правой части этого уравнения не имеют “точек соприкосновения”. Значит уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.
2 группа. .
Решение: при решении используем анализ ОДЗ неравенства.
ОДЗ: .
х=1 не является решением. Тогда при получим, что , а . Значит решением данного неравенства являются все числа из промежутка.
Ответ:
3 группа. .
Решение: при решении используем монотонность функций, входящих в неравенство.
Рассмотрим функции . Все они непрерывны и строго возрастают на R. значит и сумма этих функций тоже будет возрастающей функцией. Легко увидеть, что . А в силу её непрерывности и строгой монотонности получим, что при имеем, а при имеем. Значит решениями являются все .
Ответ:
- Какие неравенства мы сегодня рассматривали?
- Какими алгоритмами мы пользовались?
- Какие затруднения у вас вызвали эти методы? В чём они выражались?
- А чем понравились эти методы? Как вы думаете в чём их плюсы, а в чём — минусы?
2. Творческое задание.
Подумайте, какие “внешние” признаки могут содержать уравнения или неравенства, которые бы указывали на применение рассмотренных сегодня методов.
Всем спасибо! Слайд 11
Литература.
- П. В. Чулков Материалы курса “Уравнения и неравенства в школьном курсе математики” – М.:”Педагогический университет “Первое сентября”, 2010.
- Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. Учимся решать задачи. 10-11 классы: Учебно-методическое пособие. – М.: Дрофа. 2002 г.
- Математика. Тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами для подготовки к ЕГЭ и к другим формам выпускного и вступительного экзаменов / сост. Г.И. Ковалева, Т.И. Бузулина, О.Л. Безрукова, Ю.А. Розка – Волгоград: Учитель, 2005.
- Математика. Подготовка к ЕГЭ. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств: учебно-методическое пособие/ Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. – Ростов – на – Дону: Легион, 2013.
- В. К. Егерев, В. В. Зайцев, Б. А. Кордемский и др.; под ред. М. И. Сканави. Сборник задач по математике (с решениями) – М.: ООО”Издательский дом “ОНИКС 21 век”: ООО “Издательство “Мир и Образование”, 2005.
Замечание. По данной теме проводится ещё два урока: 2 урок – использование четности, периодичности, решение задач, 3 урок – самостоятельная работа.
«Применение свойств функции при решении уравнений и неравенств»
Работа носит одновременно и прикладной и исследовательский характер. Для полноты исследования были рассмотрены следующие вопросы:
– Как отражаются свойства функции при решении уравнений и неравенств?
– Какие уравнения и неравенства решаются через определение свойств области определения, множества значений, инвариантности?
– Каков алгоритм решения?
– Рассмотрены задания с параметром, предлагаемых в материалах КИМ при подготовке к ЕГЭ.
В работе Екатерина исследовала большой круг задач и систематизировал их по внешнему виду.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
nou_sv-v_funktsiy_05.04.pptx | 1.87 МБ |
nou_sv-v_funktsiy_05.04.pptx | 1.87 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Применение свойств функции при решении уравнений и неравенств Выполнила работу: Галаева Екатерина МБОУ СОШ №149 Московского района Ученицы 11 «А» класса Научный руководитель: Фадеева И. А. Учитель математики
Основные направления: Изучение свойств функции: монотонность, ограниченность, область определения и инвариантность Узнать основные утверждения, которые наиболее часто используются при решении уравнений, неравенств и систем Решение задач из материалов КИМ для подготовке к ЕГЭ
Монотонность Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. f(x 1 ) f(x 2 ) x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) x 1 x 2
Утверждение 1. Если функция у = f ( x ) монотонна, то уравнение f ( x ) = с имеет не более одного корня. x =2 f(x) = — монотонно убывающая, значит, других решений нет. Ответ: x =2
Утверждение 2. Если функция у = f ( x ) монотонно возрастает, а функция у = g ( x ) монотонно убывает, то уравнение f ( x ) = g ( x ) имеет не более одного корня. 2 — x = lg ( x +11) + 1 g ( x ) = 2 — x является монотонно убывающей, а функция f ( x ) = lg ( x + 11) + 1 монотонно возрастающей на области определения значит, уравнение f (х) = g ( x ) имеет не более одного корня. Подбором определяем, что х =-1 . Выше изложенное утверждение обосновывает единственность решения.
а ) f (х) ≤ g ( x ) в том и только в том случае, когда х ϵ (- ∞ ; x 0 ]; б) f (х) ≥ g ( x ) в том и только в том случае, когда х ϵ [х 0 ; +∞). Наглядный смысл этого утверждения очевиден Утверждение 3. Если функция у = f (х) монотонно возрастает на всей числовой прямой, функция у = g ( x ) монотонно убывает на всей числовой прямой и f (х 0 ) = g ( x 0 ), то справедливы следующие утверждения:
Решить неравенство Решение . Функция f (х) = монотонно возрастает на всей числовой прямой, а функция g ( x ) = монотонно убывает на всей области определения. Поэтому неравенство f (х) > g ( x ) выполняется, если х > 2. Добавим область определения неравенства. Таким образом , получим систему Ответ : (2; 5).
Утверждение 4. Если функция у = f (х) монотонно возрастает, то уравнения f (х)=х и f ( f (х))=х имеют одно и то же множество корней, независимо от количество вложений. Следствие. Если n — натуральное число, а функция у = f (х) монотонно возрастает, то уравнения f (х)=х и n раз имеют одно и то же множество корней.
Решить уравнение . Ответ: Решение. П ри x ≥1 правая часть уравнения не меньше 1, а левая часть меньше 1. Следовательно, если уравнение имеет корни, то любой из них меньше 1. При x ≤0 правая часть уравнения неположительная, а левая часть положительна, в силу того что . Таким образом, любой корень данного уравнения принадлежит интервалу (0; 1) Умножив обе части данного уравнения на х, и разделив на x числитель и знаменатель левой части, получим
Откуда = . Обозначив через t , где t 0, получим уравнение = t . Рассмотрим возрастающую на своей области определения функцию f ( t )= 1+ . Полученное уравнение можно записать в виде f ( f ( f ( f ( t ))))= t , и по следствию утверждения 4 оно имеет то же множество решений, что и уравнение f ( t )= t , т.е. уравнение 1 + = t , откуда . Единственным положительным корнем этого квадратного относительно уравнение является . Значит, , откуда , т.е. , или . Ответ:
Утверждение 1. Если max f ( x ) = с и min g ( x ) = с , то уравнение f ( x )= g ( x ) имеет то же множество решений, что и система Ограниченность Максимальное значение левой части равно 1 и минимальное значение правой части 1 , значит, решение уравнения сводиться к системе уравнений: , из второго уравнения находим возможный претендент x=0 , и убеждаемся, что он является решением и первого уравнения. Ответ: x=1 .
Решить уравнение Решение. Так как sin3x≤1 и cos4x≤1, левая часть данного уравнения не превосходит 7. Равной 7 она может быть в том и только том случае, если откуда где k , n ϵ Z . Остается установить, существуют ли такие целые k и n , при которых последняя система имеет решения. Ответ: Z
В задачах с неизвестными x и параметром a под областью определения понимают множество всех упорядоченных пар чисел ( x ; a ) , каждая из которых такова, что после подстановки соответствующих значений x и a во все входящие в задачу соотношения они будут определены. Пример 1. При каждом значение параметра a решите неравенство Решение. Найдем область определения этого неравенства. Из которых видно, что система Не имеет решений. Значит, область определения неравенства не содержит никаких пар чисел x и a , а поэтому неравенство не имеет решений. Область определения Ответ:
Инвариантность, т.е. неизменность уравнения или неравенства относительно замены переменной каким-либо алгебраическим выражением от этой переменной. Простейшим примером инвариантности является четность: если – четная функция, то уравнение инвариантно относительно замены x и – x , поскольку = 0. Инвариантность
Найти корни уравнения . Решение. Заметим, что пара инварианта относительно замене . Заменив в равенстве , получим . Умножив обе части данного равенства на 2 и вычтя из полученного равенства почленно равенство , находим 3 , откуда . Теперь осталось решить уравнение , откуда Корнями уравнения являются числа . Ответ: .
Найти все значения a , для каждого из которых уравнение имеет более трех различных решений. Решение задач с параметром Свойство монотонности
|x|= положительно X= |x|= Для существования двух корней числитель должен быть положителен. Поэтому При корни первого и второго уравнения совпадают, что не отвечает требованию условия: наличие более трех корней. Ответ : .
Найти все значения a , при каждом из которых уравнение имеет два корня. Преобразуем уравнение к виду И рассмотрим функцию f(x)= определенную и непрерывную на всей числовой прямой . График этой функции представляет собой ломаную, состоящую из отрезков прямых и лучей, каждое звено которой является частью прямой вида y= kt+l . f(x)= При любом раскрытие модуля первого выражения k не превосходит 8, поэтому возрастание и убывание функции f(x) будет зависеть от раскрытия второго модуля. При x f(x) будет убывать, а при x возрастать. То есть, при x=3 функция будет принимать наибольшее значение. Для того чтобы уравнение имело два корня, необходимо, чтобы f(3) Свойство монотонности
f(3)=12- |9-| 3+a || | 9-| 3+a || 9- | 3+a | — | 3+a | | 3+a | | 3+a | 3+a a Ответ: a
Найти все значения параметра а , при каждом из которых для любого действительного значения х выполнено неравенство Перепишем неравенство в виде , введем новую переменную t = и рассмотрим функцию f ( t ) = , определенную и непрерывную на всей числовой прямой. График этой функции представляет собой ломаную, состоящую из отрезков прямых и лучей, каждое звено которой является частью прямой вида , где к
Подписи к слайдам:
Применение свойств функции при решении уравнений и неравенств Выполнила работу: Галаева Екатерина МБОУ СОШ №149 Московского района Ученицы 11 «А» класса Научный руководитель: Фадеева И. А. Учитель математики
Основные направления: Изучение свойств функции: монотонность, ограниченность, область определения и инвариантность Узнать основные утверждения, которые наиболее часто используются при решении уравнений, неравенств и систем Решение задач из материалов КИМ для подготовке к ЕГЭ
Монотонность Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. f(x 1 ) f(x 2 ) x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) x 1 x 2
Утверждение 1. Если функция у = f ( x ) монотонна, то уравнение f ( x ) = с имеет не более одного корня. x =2 f(x) = — монотонно убывающая, значит, других решений нет. Ответ: x =2
Утверждение 2. Если функция у = f ( x ) монотонно возрастает, а функция у = g ( x ) монотонно убывает, то уравнение f ( x ) = g ( x ) имеет не более одного корня. 2 — x = lg ( x +11) + 1 g ( x ) = 2 — x является монотонно убывающей, а функция f ( x ) = lg ( x + 11) + 1 монотонно возрастающей на области определения значит, уравнение f (х) = g ( x ) имеет не более одного корня. Подбором определяем, что х =-1 . Выше изложенное утверждение обосновывает единственность решения.
а ) f (х) ≤ g ( x ) в том и только в том случае, когда х ϵ (- ∞ ; x 0 ]; б) f (х) ≥ g ( x ) в том и только в том случае, когда х ϵ [х 0 ; +∞). Наглядный смысл этого утверждения очевиден Утверждение 3. Если функция у = f (х) монотонно возрастает на всей числовой прямой, функция у = g ( x ) монотонно убывает на всей числовой прямой и f (х 0 ) = g ( x 0 ), то справедливы следующие утверждения:
Решить неравенство Решение . Функция f (х) = монотонно возрастает на всей числовой прямой, а функция g ( x ) = монотонно убывает на всей области определения. Поэтому неравенство f (х) > g ( x ) выполняется, если х > 2. Добавим область определения неравенства. Таким образом , получим систему Ответ : (2; 5).
Утверждение 4. Если функция у = f (х) монотонно возрастает, то уравнения f (х)=х и f ( f (х))=х имеют одно и то же множество корней, независимо от количество вложений. Следствие. Если n — натуральное число, а функция у = f (х) монотонно возрастает, то уравнения f (х)=х и n раз имеют одно и то же множество корней.
Решить уравнение . Ответ: Решение. П ри x ≥1 правая часть уравнения не меньше 1, а левая часть меньше 1. Следовательно, если уравнение имеет корни, то любой из них меньше 1. При x ≤0 правая часть уравнения неположительная, а левая часть положительна, в силу того что . Таким образом, любой корень данного уравнения принадлежит интервалу (0; 1) Умножив обе части данного уравнения на х, и разделив на x числитель и знаменатель левой части, получим
Откуда = . Обозначив через t , где t 0, получим уравнение = t . Рассмотрим возрастающую на своей области определения функцию f ( t )= 1+ . Полученное уравнение можно записать в виде f ( f ( f ( f ( t ))))= t , и по следствию утверждения 4 оно имеет то же множество решений, что и уравнение f ( t )= t , т.е. уравнение 1 + = t , откуда . Единственным положительным корнем этого квадратного относительно уравнение является . Значит, , откуда , т.е. , или . Ответ:
Утверждение 1. Если max f ( x ) = с и min g ( x ) = с , то уравнение f ( x )= g ( x ) имеет то же множество решений, что и система Ограниченность Максимальное значение левой части равно 1 и минимальное значение правой части 1 , значит, решение уравнения сводиться к системе уравнений: , из второго уравнения находим возможный претендент x=0 , и убеждаемся, что он является решением и первого уравнения. Ответ: x=1 .
Решить уравнение Решение. Так как sin3x≤1 и cos4x≤1, левая часть данного уравнения не превосходит 7. Равной 7 она может быть в том и только том случае, если откуда где k , n ϵ Z . Остается установить, существуют ли такие целые k и n , при которых последняя система имеет решения. Ответ: Z
В задачах с неизвестными x и параметром a под областью определения понимают множество всех упорядоченных пар чисел ( x ; a ) , каждая из которых такова, что после подстановки соответствующих значений x и a во все входящие в задачу соотношения они будут определены. Пример 1. При каждом значение параметра a решите неравенство Решение. Найдем область определения этого неравенства. Из которых видно, что система Не имеет решений. Значит, область определения неравенства не содержит никаких пар чисел x и a , а поэтому неравенство не имеет решений. Область определения Ответ:
Инвариантность, т.е. неизменность уравнения или неравенства относительно замены переменной каким-либо алгебраическим выражением от этой переменной. Простейшим примером инвариантности является четность: если – четная функция, то уравнение инвариантно относительно замены x и – x , поскольку = 0. Инвариантность
Найти корни уравнения . Решение. Заметим, что пара инварианта относительно замене . Заменив в равенстве , получим . Умножив обе части данного равенства на 2 и вычтя из полученного равенства почленно равенство , находим 3 , откуда . Теперь осталось решить уравнение , откуда Корнями уравнения являются числа . Ответ: .
Найти все значения a , для каждого из которых уравнение имеет более трех различных решений. Решение задач с параметром Свойство монотонности
|x|= положительно X= |x|= Для существования двух корней числитель должен быть положителен. Поэтому При корни первого и второго уравнения совпадают, что не отвечает требованию условия: наличие более трех корней. Ответ : .
Найти все значения a , при каждом из которых уравнение имеет два корня. Преобразуем уравнение к виду И рассмотрим функцию f(x)= определенную и непрерывную на всей числовой прямой . График этой функции представляет собой ломаную, состоящую из отрезков прямых и лучей, каждое звено которой является частью прямой вида y= kt+l . f(x)= При любом раскрытие модуля первого выражения k не превосходит 8, поэтому возрастание и убывание функции f(x) будет зависеть от раскрытия второго модуля. При x f(x) будет убывать, а при x возрастать. То есть, при x=3 функция будет принимать наибольшее значение. Для того чтобы уравнение имело два корня, необходимо, чтобы f(3) Свойство монотонности
f(3)=12- |9-| 3+a || | 9-| 3+a || 9- | 3+a | — | 3+a | | 3+a | | 3+a | 3+a a Ответ: a
Найти все значения параметра а , при каждом из которых для любого действительного значения х выполнено неравенство Перепишем неравенство в виде , введем новую переменную t = и рассмотрим функцию f ( t ) = , определенную и непрерывную на всей числовой прямой. График этой функции представляет собой ломаную, состоящую из отрезков прямых и лучей, каждое звено которой является частью прямой вида , где к < 0 (поскольку при любом варианте «раскрытия» модулей коэффициент при t будет отрицательным). Следовательно , функция y = f (х) убывает на (—∞; +∞).
Так как , то t ϵ [—1; 1]. В силу монотонного убывания функции у = f ( t ) достаточно проверить левый край данного отрезка. З . А истинным является Значит , , что возможно, только если числа и и v одного знака либо какое-нибудь из них равно нулю. , = ( ) ( ) 0. Разложив квадратные трехчлены на множители, получим неравенство ( , из которого находим, что а ϵ (—∞; —1] U <2>U [ 4; +∞ ). Ответ: (—∞; — 1] U <2>U [4; +∞).
Пример 2. Найти все значения параметра , при каждом из которых система уравнений Решение. Поскольку и sin x 1, из первого уравнения следует, что a 6. Поскольку из второго уравнения системы следует, что a 0. Таким образом, 0 .Третье уравнение системы, раскрывая скобки в левой его части и приводя подобные слагаемые, можно переписать так: . Поскольку , из последнего уравнения следует, что , откуда a . Учитывая все 3 неравенства 0 , получаем, что допустимыми значениями параметра a являются только 0 и 6 . Пусть a 0 . Тогда из второго уравнения данной системы получим y .Поэтому первое уравнение системы примет вид sin x , откуда x , n Z .При a , x , n Z , y третье уравнение системы, очевидно, выполнено. Пусть a . Тогда левая часть первого уравнения данной системы не меньше 6, а правая не больше 6. Равенство возможно, если y Тогда второе уравнение данной системы принимает вид , и, значит, z При a x , последнее уравнение данной системы принимает вид . Из двух значений z только z принимает вид . Ответ: ( , k , при a=6 Свойство ограниченности
Решение. Необходимо выполнение условия ,откуда . При x = уравнение примет вид . Получим уравнение откуда или . Корнями двух последних уравнений являются При этих значениях параметра число -7 является корнем уравнения. При уравнение примет вид . Корнями того уравнения являются числа Значит, при 5 уравнение имеет больше одного корня. При и уравнение принимает вид . Теперь раскрываем модуль При уравнение сводится к уравнению , откуда Последнее уравнение, квадратное относительно , не имеет корней в силу отрицательности дискриминанта. При уравнение принимает вид и имеет единственный корень При получаем уравнение , откуда . И оно тоже не имеет корней как и при . Следовательно, при данное уравнение имеет единственный корень. Ответ: <3;7 >. Пример 3 . Найти все значения параметра a ,при каждом из которых уравнение имеет единственный корень. Свойство инвариантности
Свойство инвариантности Пример 4. Найти все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение. Решение. Заметим, что если ( ) решение системы, то и ( ) Решение системы. Следовательно , для единственности решения необходимо, чтобы выполнялось условие . При y система имеет вид Если x Пусть a Тогда данная система имеет вид Поскольку Тогда Таким образом , 3 Следовательно, 3 , причём знак равенства возможен только в случае, когда 3 Получаем систему откуда Значит, при a данная система имеет единственное решение (-1;0). При a система имеет более одного корня. Ответ: a
Итоги моей работы В своей работе я изучила свойства функций: монотонность, ограниченность, область определения и инвариантность. Узнала очень много основных утверждений. Данные знания значительно упрощают задания с параметрами, которые имеют ужасающий вид. Систематизация задач по внешнему виду. Р ешение заданий типа 20. Цели , которые я поставила перед собой были достигнуты .
http://urok.1sept.ru/articles/661107
http://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2015/08/08/primenenie-svoystv-funktsii-pri-reshenii