Линейные, квадратные, кубические уравнения
Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, — правой частью уравнения.
Линейные уравнения
Линейным называется такое уравнение, в котором неизвестное $x$ находится в числителе уравнения и без показателей. Например: $2х – 5 = 3$
Линейные уравнения сводятся к виду $ax = b$, которое получается при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей уравнения на число, отличное от нуля.
$5 (5 + 3х) — 10х = 8$
$25 + 15х — 10х = 8$
Перенесем неизвестные слагаемые в левую часть уравнения, а известные в правую. При переносе из одной части в другую, у слагаемого меняется знак на противоположный.
$15х — 10х = 8 — 25$
Приведем подобные слагаемые.
$5х = -17$ — это конечный результат преобразований.
После преобразований к виду $ax = b$, где, a=0, корень уравнения находим по формуле $х = /$
Квадратные уравнения
Квадратное уравнение — уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b, c$ — некоторые числа a$≠0$, $x$ — неизвестное. Перед тем как решать уравнение, необходимо раскрыть скобки и собрать все слагаемые в левой части уравнения.
Числа $a, b, c$ называются коэффициентами квадратного уравнения.
- $a$ — старший коэффициент;
- $b$ — средний коэффициент;
- $c$ — свободный член.
Если в квадратном уравнении коэффициенты $b$ и $c$ не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение $2x^2 – 8x + 3 = 0$. Если один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например, $5x^2 – 2x = 0$.
Решение неполных квадратных уравнений
Неполное квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx = 0$, если $a$≠0$; $c$=0$. В левой части этого уравнения есть общий множитель $x$.
1. Вынесем общий множитель $x$ за скобки.
Мы получим $x (ax + b) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем $x = 0$ или $ax + b =0$. Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:
2. Решаем получившиеся уравнения каждое отдельно.
Вынесем х как общий множитель за скобки:
Приравняем каждый множитель к нулю и найдем корни уравнения.
$x = 0$ или $4х — 5 = 0$
$х_1 = 0 х_2 = 1,25$
Ответ: $х_1 = 0; х_2 = 1,25$
Неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0, a≠0, b=0$
Для решения данного неполного квадратного уравнения выразим $x^2$.
При решении последнего уравнения возможны два случая:
2. $D = 0$. В данном случае решение даёт два двукратных корня:
Извлечем кубический корень из обеих частей
Соберем известные слагаемые в правой части
Дробно рациональные уравнения
Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называется дробным.
Чтобы решить дробное уравнение, необходимо:
- найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
- умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
- решить получившееся целое уравнение;
- исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.
1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения
$4x · x + 1 · x — <3·x>/
3. решаем полученное уравнение
Решим вторым устным способом, т.к. $а + с = b$
Тогда $х_1 = — 1, х_2 = <3>/<4>$
4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.
Ответ: $х_1 = — 1, х_2 = <3>/<4>$
При решении уравнения с двумя дробями можно использовать основное свойство пропорции.
Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
Воспользуемся основным свойством пропорции
Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой части уравнения
Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к.
В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.
ru.mosg-portal.com
Различия между квадратичными и линейными уравнениями — Наука
Содержание:
Линейное уравнение с двумя переменными не включает в себя какую-либо степень выше единицы для любой переменной. Имеет общий вид секира + По + С = 0, где А, В а также С являются постоянными. Можно упростить это до Y = тх + б, где м = ( − / В) а также б это значение Y когда Икс = 0. Квадратичное уравнение, с другой стороны, включает в себя одну из переменных, возведенных во вторую степень. Имеет общий вид Y = топор 2 + Ьх + с, Помимо дополнительной сложности решения квадратного уравнения по сравнению с линейным, два уравнения создают графики различных типов.
TL; DR (слишком долго; не читал)
Линейные функции взаимно однозначны, а квадратичные — нет. Линейная функция создает прямую линию, а квадратичная функция — параболу. График линейной функции прост, а график квадратичной функции — более сложный, многоэтапный процесс.
Характеристики линейных и квадратичных уравнений
Линейное уравнение создает прямую линию при построении графика. Каждое значение Икс производит одно и только одно значение YТаким образом, отношения между ними называются взаимно-однозначными. Когда вы строите квадратное уравнение, вы создаете параболу, которая начинается в одной точке, называемой вершиной, и продолжается вверх или вниз в Y направление. Отношение между Икс а также Y не один к одному, потому что для любого данного значения Y кроме Yзначение вершины, есть два значения для Икс.
Решение и построение графиков линейных уравнений
Линейные уравнения в стандартном виде (секира + По + С = 0) легко конвертировать в форму пересечения склона (Y = тх +б), и в этой форме вы можете сразу определить наклон линии, которая ми точка, в которой линия пересекает Y-ось. Вы можете легко составить график уравнения, потому что все, что вам нужно, это две точки. Например, предположим, у вас есть линейное уравнение Y = 12_x_ + 5. Выберите два значения для Иксскажем 1 и 4, и вы сразу получите значения 17 и 53 для Y, Постройте две точки (1, 17) и (4, 53), проведите линию через них, и все готово.
Решение и построение графиков квадратичных уравнений
Вы не можете решить и построить квадратное уравнение так же просто. Вы можете определить несколько общих характеристик параболы, посмотрев на уравнение. Например, знак перед Икс 2 термин говорит вам, открывается ли парабола вверх (положительно) или вниз (отрицательно). Кроме того, коэффициент Икс 2 термин говорит вам, насколько широкая или узкая парабола — большие коэффициенты обозначают более широкие параболы.
Вы можете найти Икс-перехватывает параболу, решая уравнение для Y = 0 :
и используя квадратную формулу
Вы можете найти вершину квадратного уравнения в виде Y = топор 2 + Ьх + с используя формулу, полученную путем заполнения квадрата, чтобы преобразовать уравнение в другую форму. Эта формула —б/ 2_a_. Это дает вам Иксзначение перехвата, который вы можете вставить в уравнение, чтобы найти Y-стоимость.
Зная вершину, направление, в котором открывается парабола, и Икс— точки пересечения дают вам достаточно представления о внешнем виде параболы, чтобы нарисовать ее.
Линейные, квадратные и простейшие кубические уравнения. Примеры
Определение
Уравнение (с одной переменной) — это некоторое равенство двух выражений, содержащее неизвестную (переменную). \[f(x)=g(x) \qquad \qquad (1)\] Пусть для определенности все дальнейшие уравнения содержат переменную, обозначенную буквой \(x\) .
Замечание
Заметим, что \(x\) — это просто некоторое число, значение которого неизвестно.
Определение
Областью определения (или областью допустимых значений, сокращенно ОДЗ) любого уравнения вида \((1)\) будем называть множество значений переменной \(x\) , при которых определены (то есть не теряют смысла) функции \(f(x)\) и \(g(x)\) .
Пример
Уравнение \(\dfrac <10>
Определение
Корнем уравнения называется то числовое значение \(x\) , при котором уравнение обращается в верное равенство.
Иногда корни уравнения называют решением этого уравнения.
Например, корнем уравнения из предыдущего примера является число \(x=3\) , потому как тогда уравнение принимает вид \(\dfrac<10><3-1>=5\) или, что то же самое, \(5=5\) , что является верным равенством.
Замечание
1) Заметим, что уравнение может как иметь корни, так и не иметь корней. Например, уравнение \(\dfrac 1x=0\) ни при каких значениях \(x\) не может быть верным, потому что дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не теряет смысла. У нашей дроби числитель \(1\ne 0\) .
2) Фраза “решить уравнение” означает найти все корни данного уравнения или доказать, что корней нет.
Определение
Два уравнения равносильны (или эквивалентны), если они имеют одинаковые решения.
Например, уравнения \(x=3\) и \(3x=6+x\) эквивалентны, т.к. оба имеют единственное решение \(x=3\) .
Эквивалентность уравнений обозначается так: \(x=3 \quad \Leftrightarrow \quad 3x=6+x\) .
Свойства уравнений
1. В любом уравнении можно переносить слагаемые из одной части равенства в другую, при этом меняя их знак на противоположный. При этом полученное уравнение равносильно исходному.
Например, уравнение \(x+4=2x^2\) можно переписать в виде \(x+4-2x^2=0\) .
2. В любом уравнении можно правую и левую части умножать или делить на одно и то же число, не равное нулю. При этом полученное уравнение равносильно исходному.
Например, уравнение \(0,5x=-2\) равносильно уравнению \(x=-4\) , которое получено из исходного путем умножения обеих частей на \(2\) .
3. В любом уравнении можно к правой и левой частям прибавлять одно и то же число. При этом полученное уравнение равносильно исходному.
Например, уравнение \(x+2=5x^2\) после прибавления к обеим частям \(-2\) примет вид \(x=5x^2-2\) .
\[<\Large<\text<Линейные уравнения>>>\] Линейное уравнение – это уравнение вида \[ax + b = 0\qquad \qquad (2)\] где \(a\ne 0,b\) – числа, или уравнение, к нему сводящееся.
ОДЗ линейного уравнения \((2)\) — все \(x \in\mathbb
Линейное уравнение \(ax+b=0\) преобразуется в \(ax=-b\) и всегда имеет единственное решение \(x=-\dfrac ba\) .
Например, \(2x-4=0\) имеет корень \(x=2\) . Замечание: при переносе слагаемых из одной части равенства в другую знак слагаемого меняется на противоположный. Например, выражение \(x-5=8\) преобразуется в выражение \(x=8+5\) .
Знак, стоящий перед слагаемым – это и есть его знак, то есть в выражении \(x-5\) два слагаемых: \(x\) и \(-5\) . Если перед слагаемым не стоит никакого знака, то подразумевается, что перед ним стоит знак “ \(+\) ”.
\[<\Large<\text<Квадратные уравнения>>>\] Квадратное уравнение – это уравнение вида \[ax^2+bx+c=0 \qquad \qquad (3)\] где \(a, b, c\) – числа, причем \(a\ne 0\) , или уравнение, к нему сводящееся.
Число \(a\) называется старшим (первым) коэффициентом, число \(b\) – вторым коэффициентом, число \(c\) – свободным членом.
Замечание
1) Заметим, что если \(a=0\) , то уравнение \((3)\) становится линейным; именно поэтому в определении \(a\ne 0\) .
2) Выражение \(ax^2+bx+c\) называется квадратичным (квадратным) трехчленом.
ВАЖНО! Обращаем ваше внимание на то, что, например, в квадратном трехчлене \(7-x^2+2x\) коэффициент \(a=-1\) , \(b=2\) и \(c=7\) ! Так как \(7-x^2+2x=-x^2+2x+7\) , а по определению \(a\) – коэффициент перед \(x^2\) , \(b\) – коэффициент перед \(x\) , \(c\) – свободный член.
Определение
Дискриминантом квадратного уравнения \((3)\) называется выражение \(D=b^2-4ac\) .
Корни квадратного уравнения
1) Если дискриминант квадратного уравнения больше нуля ( \(D>0\) ), то оно имеет два различных корня \[x_1=\dfrac<-b-\sqrt D> <2a>\qquad \text <и>\qquad x_2=\dfrac<-b+\sqrt D><2a>\]
2) Если дискриминант квадратного уравнения равен нулю ( \(D=0\) ), то оно имеет два совпадающих корня (часто говорят, что оно имеет один корень) \[x=-\dfrac b<2a>\]
3) Если дискриминант квадратного уравнения меньше нуля ( \(D ), то оно не имеет корней.
Пример:
Решите уравнение \[3x^2 — 33x + 90 = 0.\]
Решение.
Найдём дискриминант данного уравнения: \[D = 33^2 — 4\cdot 3\cdot 90 = 9\] Следовательно, уравнение имеет два различных корня, равных \[x_1=\dfrac<33 + 3> <6>= 6 \qquad \text <и>\qquad x_2=\dfrac<33 - 3> <6>= 5\]
Теорема Виета
Пусть квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) , \(a\neq 0\) , имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\) (возможно, совпадающих), то есть \(D\geqslant 0\) . Тогда их сумма равна \[x_1+x_2=-\dfrac\] а их произведение равно \[x_1\cdot x_2=\dfrac
Доказательство
Определение
Квадратное уравнение называется приведенным, если старший коэффициент \(a=1\) .
Любое квадратное уравнение можно сделать приведенным: для этого необходимо разделить уравнение на \(a\) .
Следствие
Для приведенного квадратного уравнения \(x^2+px+q=0\) теорема Виета выглядит следующим образом: \[x_1+x_2=-p, \qquad \qquad x_1\cdot x_2=q\]
Теорема: разложение на множители квадратного трехчлена
Пусть уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) , \(a\neq 0\) , имеет два корня (возможно, совпадающих), то есть \(D\geqslant 0\) . Тогда при любом значении \(x\) выполнено \[ax^2 + bx + c = a(x — x_1)(x — x_2),\] где \(x_1\) и \(x_2\) – корни уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) (возможно, совпадающие).
Доказательство
Сделаем преобразования: \[\begin
Пример
Разложить на множители квадратный трехчлен \(3x^2-2x-1\) .
Решение.
Рассмотрим уравнение \(3x^2-2x-1=0\) и найдем его корни.
\(D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot (-1)=16\) , значит
Таким образом, \(3x^2-2x-1=3(x-1)(x+\frac13)=(x-1)(3x+1)\) .
\[<\Large<\text<Простейшие кубические уравнения>>>\] \(\bullet\) Кубический корень из числа \(a\) – это такое число \(b\) , которое при возведении в куб равно \(a\) : \[\sqrt[3] a=b\quad \text<то же самое, что >\quad a=b^3\] \(\bullet\) Таблица кубов чисел от 1 до 10: \[\begin
1) решением уравнения \(x^3=-8\) является \(x=\sqrt[3]<-8>=-2\) .
2) решением уравнения \(x^3=64\) является \(x=4\) .
Теория линейных и квадратных уравнений традиционно изучается школьниками Москвы и других городов в 8 классе. И хотя данная тема рассматривается в рамках образовательного курса достаточно подробно, и ей отводится немало времени, с заданиями из этого раздела выпускники не всегда справляются с легкостью. Именно поэтому, готовясь к сдаче ЕГЭ, учащимся непременно стоит освежить в памяти теорию и разобраться в решении задач с линейными и квадратными уравнениями.
Сделать это легко, оперативно и эффективно вам позволит образовательный портал «Школково». Всю необходимую теорию по теме «Квадратные и линейные уравнения» для подготовки к ЕГЭ вы можете найти в соответствующем разделе. Весь базовый материал составлен нашими специалистами на основе многолетнего опыта и представлен в максимально доступной форме. Изучив определения, формулы и основные свойства линейных и квадратных уравнений, учащиеся смогут не только вспомнить всею необходимую теорию, но и грамотно объяснить принцип решения задач ЕГЭ. Закрепить усвоенный материал вам помогут упражнения в разделе «Каталог». Здесь вы можете найти как простые, так и более сложные задачи по данной теме. Для каждого задания на сайте наши специалисты прописали подробный алгоритм решения и правильный ответ.
Изучить теорию по теме «Линейные и квадратные уравнения» и попрактиковаться в выполнении упражнений можно в режиме онлайн. При необходимости любое задание можно сохранить в «Избранное», чтобы в дальнейшем можно было к нему вернуться или обсудить с преподавателем.
http://ru.mosg-portal.com/differences-between-quadratic-linear-equations-5483849-4122
http://shkolkovo.net/theory/109