Свойства отношения равносильности для уравнений

Свойства отношения равносильности для уравнений

Ключевые слова: уравнение с одной переменной, равносильность уравнений, знак равносильности, правила преобразования

Уравнением с одной переменной x называется выражение f ( x ) = g ( x ), содержащее переменную величину x и знак равенства.

Число a называется корнем (или решением) уравнения f ( x ) = g ( x ), если при подстановке этого числа в уравнение получается верное числовое равенство.

Замечание. Важно понимать, что решение – это число, например, 15 или $$\sqrt<2>$$, поэтому ответ при решении уравнения должен содержать именно числа, а не выражения, уравнения и т. п. Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Уравнения f ( x ) = g ( x ) и f₁ ( x ) = g₁ ( x ) называются равносильными , если любой корень первого уравнения является корнем второго уравнения и наоборот, или если оба эти уравнения не имеют решений.

Проще говоря, уравнения равносильны, если они имеют одно и то же множество корней.

Ясно, что уравнение f₁ ( x ) = g₁ ( x ) может оказаться проще уравнения f ( x ) = g ( x ), а так как оно имеет те же корни, что и исходное уравнение f ( x ) = g ( x ), то его и нужно решать.

Правила преобразования уравнений.

Правило 1. Если выражение p( x ) определено при всех x , при которых определены выражения f ( x ) и g ( x ), то уравнения f ( x ) = g ( x ) и f ( x ) + p( x ) = g ( x ) + p( x ) равносильны.

В частности, f ( x ) = g ( x ) $$\Leftrightarrow$$ f ( x ) — g ( x ) = 0. Здесь p( x ) = – g ( x ). То есть любое слагаемое можно переносить из одной части неравенства в другую, не нарушая равносильности.

Правило 2. Если выражение p( x ) определено при всех x , при которых определены выражения f ( x ) и g ( x ), то любое решение уравнения f ( x ) = g ( x ) будет и решением урвнения f ( x ) · p( x ) = g ( x ) · p( x ).

Значит, что $$f(x)= g(x)\Leftrightarrow f(x) \cdot \phi(x) = g(x) \cdot \phi(x)$$ является решением уравнения

Замечание. Естественно, уравнение f ( x ) · p( x ) = g ( x ) · p( x) имеет больше корней, чем уравнение f ( x ) = g ( x ), например, его корнями будут ещё и корни уравнения p( x ) = 0.Таким образом, умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение может привести к появлению посторонних корней.Если же p( x ) таково, что p( x ) $$\ne$$ 0 для тех x , для которых определены функции f ( x ) и g ( x ), то $$f(x)= g(x)\Leftrightarrow f(x) \cdot \phi(x) = g(x) \cdot \phi(x)$$ . Это значит, что для сохранения равносильности умножать обе части уравнения можно лишь на отличное от нуля выражение.

Правило 4. Каждое решение уравнения f ( x ) · g ( x ) = 0 является решением, по крайней мере, одного из уравнений: f ( x ) = 0 или g ( x ) = 0.

Другими словами, из уравнения f ( x ) · g ( x ) = 0 следует, что либо f ( x ) = 0 , либо g ( x ) = 0: $$f(x) \cdot g(x) = 0 \Rightarrow
\left[ \begin<> f(x)=0 \\ g(x)=0 \end \right.$$
Обратное, вообще говоря, неверно.

Из этих четырех правил следует, что с помощью стандартных приемов и методов решения уравнений, а именно:

• преобразования (раскрытие скобок, освобождение от знаменателя, приведение подобных членов, возведение уравнения в нечетную натуральную степень и т. д.);
• разложения на множители (формально этот прием относится к преобразованиям, но, так как он довольно часто встречается самостоятельно, мы его выделяем особо);
• введения вспомогательных неизвестных;
• уравнение f ( x ) = g ( x ) может быть сведено к более простому и, самое главное, равносильному уравнению f₁ ( x ) = g₁( x ).

ГДЗ учебник по алгебрее 7 класс Макарычев. § 3. Контрольные вопросы и задания. Номер №3

Какие уравнения называются равносильными? Сформулируйте свойства уравнений. Приведите пример уравнения, равносильного уравнению:
5 x − 1 = 3 ;
0,2 x = 1,1 ;
3 x − 4 x + 6 = 0 .

Решение

Уравнения, имеющие одни и те же корни называют равносильными.
Свойства уравнений:
1 ) Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;
2 ) Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Равносильные уравнения:
5 x − 1 = 3 и 5 x = 4 ;
0,2 x = 1,1 и x = 1,1 : 0,2 ;
3 x − 4 x + 6 = 0 и 3 x − 4 x = − 6 .

Равносильные уравнения, преобразование уравнений

Некоторые преобразования позволяют нам перейти от решаемого уравнения к равносильным, а также к уравнениям-следствиям, благодаря чему упрощается решение первоначального уравнения. В данном материале мы расскажем, что из себя представляют эти уравнения, сформулируем основные определения, проиллюстрируем их наглядными примерами и поясним, как именно осуществляется вычисление корней исходного уравнения по корням уравнения-следствия или равносильного уравнения.

Понятие равносильных уравнений

Равносильными называются такие уравнения, имеющие одни и те же корни, или же те, в которых корней нет.

Определения такого типа часто встречаются в различных учебниках. Приведем несколько примеров.

Уравнение f ( x ) = g ( x ) считается равносильным уравнению r ( x ) = s ( x ) , если у них одинаковые корни или у них обоих нет корней.

Уравнения с одинаковыми корнями считаются равносильными. Также ими считаются два уравнения, одинаково не имеющие корней.

Если уравнение f ( x ) = g ( x ) имеет то же множество корней, что и уравнение p ( x ) = h ( x ) , то они считаются равносильными по отношению друг к другу.

Когда мы говорим о совпадающем множестве корней, то имеем в виду, что если определенное число будет корнем одного уравнения, то оно подойдет в качестве решения и другому уравнению. Ни одно из уравнений, являющихся равносильными, не может иметь такого корня, который не подходит для другого.

Приведем несколько примеров таких уравнений.

Например, равносильными будут 4 · x = 8 , 2 · x = 4 и x = 2 , поскольку каждое из них имеет только один корень – двойку. Также равносильными будут x · 0 = 0 и 2 + x = x + 2 , поскольку их корнями могут быть любые числа, то есть множества их решений совпадают. Также равносильными будут уравнения x = x + 5 и x 4 = − 1 , каждое из которых не имеет ни одного решения.

Для наглядности рассмотрим несколько примеров неравносильных уравнений.

К примеру, таковыми будут x = 2 и x 2 = 4 , поскольку их корни отличаются. То же относится и к уравнениям x x = 1 и x 2 + 5 x 2 + 5 , потому что во втором решением может быть любое число, а во втором корнем не может быть 0 .

Определения, данные выше, подойдут и для уравнений с несколькими переменными, однако в том случае, когда мы говорим о двух, трех и более корнях, более уместно выражение «решение уравнения». Таким образом, подытожим: равносильные уравнения – это те уравнения, у которых одни и те же решения или их совсем нет.

Возьмем примеры уравнений, которые содержат несколько переменных и являются равносильными друг другу. Так, x 2 + y 2 + z 2 = 0 и 5 · x 2 + x 2 · y 4 · z 8 = 0 включают в себя по три переменных и имеют только одно решение, равное 0 , во всех трех случаях. А пара уравнений x + y = 5 и x · y = 1 равносильной по отношению друг к другу не будет, поскольку, например, значения 5 и 3 подойдут для первого, но не будут решением второго: при подстановке их в первое уравнение мы получим верное равенство, а во второе – неверное.

Понятие уравнений-следствий

Процитируем несколько примеров определений уравнений-следствий, взятых из учебных пособий.

Следствием уравнения f ( x ) = g ( x ) будет уравнение p ( x ) = h ( x ) при условии, что каждый корень первого уравнения будет в то же время корнем второго.