Линейные уравнения с двумя переменными и их системы
Вы будете перенаправлены на Автор24
Линейные уравнения с двумя переменными
Уравнение вида $ax+by=c$, где $x\ и\ y$ — неизвестные переменные, а $a,\ b\ и\ c$ — некоторые числа, причем $a\ и\ b$ отличны от нуля, называется линейным уравнением с двумя переменными.
$4x+2y=4$ — линейное уравнение с двумя переменными.
Пара чисел называется решением линейного уравнения с двумя переменными, если при их подстановке в уравнение получается верное равенство.
Пара чисел $(1,\ \ 2)$ является решением линейного уравнения $2x+y=4$.
Свойства линейных уравнений с двумя переменными:
К уравнению можно прибавлять с обоих сторон и вычитать из обоих сторон одно и тоже число.
Уравнение можно умножать и делить с обоих сторон на одно и тоже, отличное от нуля, число.
График линейного уравнения с двумя переменными
Графиком линейного уравнения с двумя переменными является множество всех точек, которые является решением данного линейного уравнения.
Построим график линейного уравнения $2x-y=-3$
Для этого сначала выразим переменную $y$ через $x$:
Видим, что мы получили уравнение линейной функции.
Найдем две точки, принадлежащие данной функции. Пусть $x=1$, тогда $y=5$. Пусть $x=-1$, тогда $y=1$. Проведем прямую через точки $\left(-1,1\right)\ и\ (1,\ 5)$. Получим
Готовые работы на аналогичную тему
Системы линейных уравнений с двумя переменными
Системой линейных уравнений с двумя переменными называется такая система уравнений, которая в своем составе имеет два и более линейных уравнений с двумя переменными.
Решением системы линейных уравнений называется такая пара чисел, которая является решением всех уравнений, входящих в данную систему.
В дальнейшем будем рассматривать системы из двух линейных уравнений с двумя переменными.
Как мы уже знаем, график каждого из данных уравнений является линейной функцией, а решение любой системы уравнений — пересечение графиков функции каждого из уравнений. Поэтому система двух линейных уравнений с двумя переменными может иметь либо одно решение (в случае, когда прямые пересекутся (рис. 3)) и не иметь решений совсем (если прямые параллельны друг другу(рис. 4))
Рисунок 3. Система имеет 1 решение
Рисунок 4. Система решений не имеет
Пример решения задачи с использованием понятия линейных уравнений с двумя переменными
Решение:
Вначале выразим переменную $y$ через $x$:
Видим, что мы получили уравнение линейной функции.
Найдем две точки, принадлежащие данной функции. Пусть $x=1$, тогда $y=0$. Пусть $x=0$, тогда $y=-1$. Проведем прямую через точки $\left(1,0\right)\ и\ (0,\ -1)$. Получим
Это и есть графический вид решения системы с двумя переменными.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 04 03 2021
Уравнение с двумя переменными
Уравнение с двумя переменными и его решение
Уравнение вида ax+by = c , где a,b,c — данные числа, называется линейным уравнением с двумя переменными x и y.
Например: 2x+5y = 6; -x+1,5y = 0; $\frac<1><2>$ x-8y = 7
Уравнение с двумя переменными может быть не только линейным, т.е. содержать не только первые степени переменных x и y.
Например: $2x^2+y^2 = 3, x-5y^2 = 1, 7x^3+y = 7$
Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара значений переменных (x,y), обращающая это уравнение в тождество.
О тождествах – см. §3 данного справочника
Например: для уравнения 2x+5y=6 решениями являются пары
x = -2, y = 2; x = -1,y = 1,6; x = -3,y = 2,4 и т.д.
Уравнение имеет бесконечное множество решений.
Свойства уравнения с двумя переменными
Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Уравнения с двумя переменными, не имеющие решений, также считают равносильными.
Уравнения с двумя переменными имеют такие же свойства, как и уравнения с одной переменной:
- если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую и изменить его знак, получится уравнение, равносильное данному;
- если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Например: $2x+5y = 6 ⟺5y = -2x+6 \iff y = -0,4x+1,2$
Примеры
Пример 1. Из данного линейного уравнения выразите y через x и x через y:
Алгоритм: рассмотрим 3x+4y=10
1) оставим слагаемое с выражаемой переменной с одной стороны, остальные слагаемые перенесем в другую сторону: 4y=-3x+10
2) разделим полученное уравнение слева и справа на коэффициент при выражаемой переменной: y=-0,75x+2,5 — искомое выражение y(x).
Аналогично для x(y): $3x+4y = 10 \iff 3x = -4y+10 \iff x = -1 \frac<1> <3>y+3 \frac<1><3>$
Линейные уравнения с двумя переменными
Линейные уравнения с двумя переменными
Определение: Линейные уравнения с двумя переменными – это уравнение вида ax+by+c=0, где x, y — переменные, a, b,c – некоторые числа.
Например: 5х + 2у = 10; -7х+у = 5; х – у =2
Определение: Решение уравнения с двумя переменными – это пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
Если х=4, у=1,5 , то 2 ∙ 4 – 3 ∙ 1,5 = 10
т. е. пара чисел (4; 1,5) не является решением уравнения.
Определение: Равносильные уравнения – это уравнения, имеющие одни и те же решения или не имеющие их.
1. В уравнении можно перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак.
2. Обе части уравнения можно множить или разделить на одно и то же отличное от нуля число.
Выразить одну переменную через другую:
1) 2х +у = 5 2) 3)
График линейного уравнения с двумя переменными
Определение: График уравнения с двумя переменными – это множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.
1. Пример: 3х + 2у = 6, где а=3, b=2, c=6
План 1) Выразить переменную у
у =
у = -1,5х +3 линейная функция вида y = kx + b,
2) Составить таблицу значений х и у
3) Построить график
2. Частные случаи построения графика ax + by = c
у =
x =
х = 2
Графика не существует
График – вся координатная плоскость
Решение систем уравнений с двумя переменными. Графический способ.
Определение: Система уравнений – это несколько уравнений, для которых находят общее решение.
Определение: Решение системы уравнений с двумя переменными – это пара значений переменных, обращающая каждое уравнение в верное равенство.
Если х=7, у=5, то , , верно,
т. е. (7; 5) – решение системы уравнений.
Определение: Решить систему – это значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.
План решения системы уравнений графическим способом
1. Выразить переменную у в первом уравнении.
2. Выразить переменную у во втором уравнении.
3. В одной системе построить графики данных функций.
4. Координаты точки пересечения графиков и является решением системы уравнений.
Пример:
1) х +у = 6 → у = 6-х линейная функция, график вида у = kx + b, k = -1, b = 6
http://reshator.com/sprav/algebra/7-klass/uravnenie-s-dvumya-peremennymi/
http://pandia.ru/text/78/230/76832.php