Свойство решений линейного однородного уравнения порядка n

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Определения

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами – это уравнение, линейное относительно зависимой переменной y и ее производных:
(1) .
Член f ( x ) называется неоднородной частью уравнения.

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами – это уравнение вида (1), неоднородная часть которого равна нулю:
.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами – это уравнение вида (1) с отличной от нуля неоднородной частью:
.

Здесь все коэффициенты a _i – постоянные. n – порядок уравнения.

Свойства решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Однородные уравнения

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение:
(2) .
Общее решение такого уравнения можно записать в виде:
,
где – линейно независимые частные решения уравнения (2). Каждое из них удовлетворят уравнению (2):
.
В этом случае говорят, что функции образуют фундаментальную систему решений линейного однородного уравнения (2).

Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения (2) – это n линейно независимых функций , каждая из которых является решением этого уравнения.

Линейно независимые функции – это такие функции, для которых соотношение

может выполняться только если все постоянные равны нулю.

Линейно зависимые функции – это функции, между которыми имеет место линейная зависимость:
,
где – постоянные, из которых хотя бы одна отлична от нуля.

Неоднородные уравнения

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение:
(3) .
Пусть Y – частное решение этого уравнения. Тогда общее решение уравнения (3) равно сумме общего решения однородного уравнения плюс частное решение неоднородного:
.
Здесь – общее решение однородного уравнения:
;
Y – частное (любое) решение неоднородного уравнения:
.

Часто встречается случай, когда неоднородная часть может быть представлена в виде суммы функций:
.
Тогда частное решение Y также может быть представлено в виде суммы частных решений:
,
каждое из которых удовлетворяет уравнению с правой частью в виде одной из функций :
.
В некоторых случаях бывает легче решать отдельные частные решения от более простых неоднородных частей, а затем получать частное решение для всего уравнения, суммированием полученных частных решений.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 20-07-2013 Изменено: 13-12-2019

ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

N-ГО ПОРЯДКА

(1)

называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением n-го порядка, если коэффициенты являются действительными числами или функциями переменной : функция .

Если функция то уравнение (1) принимает вид:

. (2)

Уравнение (2) называют линейным однородным дифференциальным уравнением n-го порядка, соответствующим (отвечающим) неоднородному уравнению (1).

Свойства решений линейных однородных уравнений

1. Если решение линейного однородного уравнения (2) на интервале , то для любого числа функция также является решением этого уравнения (2) на .

2. Если решения уравнения (2) на интервале , то также является решением уравнения (2) на .

С л е д с т в и е. Если являются решениями уравнения (2) на интервале , то также является решением этого уравнения на при любых значениях произвольных постоянных .

В теории линейных дифференциальных уравнений важную роль играет понятие линейной независимости системы функций на интервале.

Функции называются линейно независимыми на интервале , если для любого линейная комбинация функций обращается в нуль тогда и только тогда, когда .

В противном случае эти функции называются линейно зависимым на .

Проверку линейной независимости системы решений однородного уравнения n-го порядка удобно выполнять при помощи следующей теоремы.

Теорема 1. Чтобы решения линейного однородного уравнения n-го порядка были линейно независимы на , необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского был отличен от нуля для :

. (3)

Фундаментальной системой решений линейного однородного уравненияn-го порядка на интервале называют набор n решений этого уравнения, линейно независимых на .

В теореме 1 сформулирован критерий фундаментальности набора (системы) n решений линейного однородного уравнения n-го порядка.

Теорема 2 (об общем решении линейного однородного уравнения). Если функции образуют фундаментальную систему решений линейного однородного уравнения n-го порядка (2) на интервале , то общее решение этого уравнения имеет вид:

, (4)

где произвольные постоянные.

Теорема 3 (об общем решении линейного неоднородного уравнения). Если функция является общим решением однородного уравнения (2), является частным решением неоднородного уравнения (1), то функция

(5)

является общим решением уравнения (1).

З а м е ч а н и е (п р и н ц и п с у п е р п о з и ц и и).Если правая часть линейного неоднородного уравнения является суммой функций: то частное решение где частные решения неоднородных уравнений (2) с правыми частями, равными соответственно.

Пример 1. Проверить фундаментальность системы решений дифференциального уравнения и записать его общее решение.

□ Непосредственной подстановкой функций в уравнение убеждаемся в том, что они действительно являются его решениями:

Проверим, являются ли решения уравнения линейно независимыми. Для этого воспользуемся теоремой 1. Составим определитель Вронского:

Известно, что определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов: Значит, определитель Вронского отличен от нуля на всей числовой оси. Из теоремы 1 следует, что данная система функций фундаментальная. По теореме 2 составляем общее решение линейного однородного дифференциального уравнения:

■

ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n-го порядка

(6)

где коэффициенты Такое уравнение называют линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

При помощи подстановки Эйлера процедура решения линейного уравнения (6) сводится к отысканию корней алгебраического уравнения:

(7)

Это уравнение (7) и многочлен, корни которого следует найти, называют характеристическим уравнением и характеристическим многочленом соответственно.

Корни характеристического многочлена с действительными коэффициентами могут быть как действительными, так и комплексными числами (см. разд. 1.2.3 и 1.6.5).

Рассмотрим два случая.

1. Пусть действительный корень уравнения (7) кратности . Можно доказать, что этому корню соответствует ровно линейно независимых решений:

(8)

При корень называется простым. Простому действительному корню соответствует единственное решение .

2. Пусть комплексный корень кратности . Тогда комплексное число также является корнем кратности характеристического многочлена с действительными коэффициентами. Этой паре комплексно-сопряженных чисел соответствует 2 частных линейно независимых решений уравнения (6):

(9)

Частные решения, соответствующие разным корням характеристического уравнения (7), линейно независимы.

Как только найдено n частных линейно независимых решений, по теореме 2 можно написать общее решение в виде их линейной комбинации.

Алгоритм 1 решения линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами

1. Составить характеристическое уравнение (7).

2. Найти все корни уравнения (7) и определить их кратности.

3. Для каждого найденного корня написать соответствующие частные решения по

формулам (8) или (9).

4. Составить фундаментальную систему решений и записать общее решение по формуле (4).

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Оговорим сразу тот факт, что нахождение решения общего аналитического вида для линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков зачастую невозможно. В основном пользуются приближенными методами решения.

Материал данной статьи представлен базовой теоретической информацией на тему решения ЛОДУ
n -ого порядка записи y ( n ) + f ( n — 1 ) ( x ) · y n — 1 + . . . + f 0 ( x ) · y = 0 и ЛНДУ n -ого порядка записи y ( n ) + f ( n — 1 ) ( x ) · y n — 1 + . . . + f 0 ( x ) · y = f ( x ) .

Сначала поговорим о линейных однородных дифференциальных уравнениях n -ого порядка, а затем займемся неоднородными ДУ.

Линейные однородные дифференциальные уравнения

Общее решение для линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка y ( n ) + f ( n — 1 ) ( x ) · y n — 1 + . . . + f 0 ( x ) · y = 0 при непрерывных на интервале интегрирования
X коэффициентах f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , . . . , f n — 1 ( x ) определяет линейная комбинация y 0 = ∑ j = 1 n C j · y j , в которой y j , j = 1 , 2 , . . . , n являются линейно независимыми частными решениями ЛОДУ на X , а C j , j = 1 , 2 , . . . , n являются произвольными постоянными.

Когда тождество a 1 · y 1 + a 2 · y 2 + . . . + a n · y n ≡ 0 верно только при нулевых коэффициентах a 1 = a 2 = . . . = a n = 0 , функции y j , j = 1 , 2 , . . . , n являются линейно независимыми на неком интервале X .

Для линейно независимых функций y j , j = 1 , 2 , . . . , n определитель Вронского при любых
x из X отличен от нуля:

W ( x ) = y 1 y 2 … y n y ‘ 1 y ‘ 2 … y ‘ n y » 1 y » 2 … y » n … … … … y 1 ( n — 1 ) y 2 ( n — 1 ) … y n ( n — 1 ) ≠ 0

Тот факт, что определитель Вронского не равен нулю, возможно применять в качестве критерия линейной независимости функций на интервале.

Каким же образом определяются y j , j = 1 , 2 , . . . , n — линейно независимые частные решения линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка?

В большинстве случаев данные функции возможно подобрать, используя стандартные системы линейно независимых функций:

1 ) 1 , x , x 2 , . . . , x n 2 ) e k 1 · x , e k 2 · x , . . . , e k n · x 3 ) e k 1 · x , x · e k 1 · x , . . . , x n 1 · e k 1 · x , e k 2 · x , x · e k 2 · x , . . . , x n 2 · e k 2 · x , . . . e k p · x , x · e k p · x , . . . , x n p · e k p · x

Когда подобраны все n линейно независимые частные решения y j , j = 1 , 2 , . . . , n , возможно составить общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка y ( n ) + f ( n — 1 ) ( x ) · y n — 1 + . . . + f 0 ( x ) · y = 0 — оно будет иметь запись y 0 = ∑ j = 1 n C j · y j . Когда подобраны только несколько линейно независимых частных решений, мы можем понизить степень заданного уравнения при помощи замены. Детально этот пункт мы не будем рассматривать, в случае необходимости следует изучить дополнительные материалы по теме.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

Приступим к рассмотрению линейных неоднородных дифференциальных уравнений n -ого порядка записи y ( n ) + f ( n — 1 ) ( x ) · y n — 1 + . . . + f 0 ( x ) · y = f ( x ) .

Общее решение на интервале X линейного неоднородного дифференциального уравнения порядка n записи y ( n ) + f ( n — 1 ) ( x ) · y n — 1 + . . . + f 0 ( x ) · y = f ( x ) при непрерывных на интервале интегрирования X коэффициентах f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , . . . , f n — 1 ( x ) и непрерывной функции f ( x ) определяется как сумма общего решения y 0 соответствующего ЛОДУ и некоторого частного решения y

заданного неоднородного уравнения: y = y 0 + y

Нахождение y 0 — общего решения соответствующего ЛОДУ n -ого порядка — было рассмотрено выше. Остается разобрать, как находится y

— частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n -ого порядка.

Иногда некое частное решение y

бывает достаточно явным, то есть его возможно подобрать. Когда
y

подобрать затруднительно, при этом определены n линейно независимых частных решений y j , j = 1 , 2 , . . . , n соответствующего ЛОДУ, общее решение исходного ЛНДУ n -ого порядка возможно определить при помощи метода вариации произвольных постоянных.

В таком случае общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y ( n ) + f ( n — 1 ) ( x ) · y n — 1 + . . . + f 0 ( x ) · y = f ( x ) определяется как y = ∑ j = 1 n C j ( x ) · y j , а функции C 1 ( x ) , C 2 ( x ) , … , C n ( x ) находятся интегрированием после решения системы уравнений:

∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y j = 0 ∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y ‘ j = 0 ∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y » j = 0 … ∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y j ( n — 2 ) = 0 ∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y j ( n — 1 ) = 0