T по известным корням составить уравнение

КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН III

§ 55. Составление квадратного уравнения по заданным корням

Предположим, что нам нужно составить квадратное уравнение, корнями которого были бы числа x₁ и x₂. Очевидно, что в качестве искомого уравнения можно выбрать уравнение

где а — любое отличное от нуля действительное число. С другой стороны, как было показано в § 54, каждое квадратное уравнение с корнями x₁ и x₂ можно записать в виде (1).

Таким образом, формула (1) полностью решает поставленную выше задачу. Из всех квадратных уравнений корни x₁ и x₂ имеют уравнения вида (1) и только, они.

Пример. Составить квадратное уравнение, корни которого равны 1 и — 2.

Ответ. Корни 1 и —2 имеют все квадратные уравнения вида

где а — любое отличное от нуля действительное число. Например, при а = 1 получается уравнение

411. Составить квадратное уравнение, корнями которого были бы числа:

а) 2 и — 3; б) — 1 и — 5; в) 1 /₄ и 1 /₆; г) — 1 /₂ и — 1 /₃ .

412. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами так, чтобы его корни были равны:

413. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны 5 /₇ и — 1 /₂, а сумма всех коэффициентов равна 36.

414. Могут ли корнями квадратного уравнения с натуральными коэффициентами быть числа 6 /₅ и — 1 /₇?

415. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, если известно, что один из его корней равен:

Составление квадратного трехчлена по его корням

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Класс : 8 «Б» Предмет : Алгебра Дата : _______

Урок № 64 Тема : « Составление квадратного трехчлена по его корням»

Цели урока : научить составлять квадратный трехчлена по его корням .

Обучающая: повторить понятие квадратного трехчлена и его корней; формировать умение составлять квадратный трехчлена по его корням .

Развивающая: развитие логического мышления, познавательных интересов.

Воспитательная: воспитание организованности, дисциплинированности , аккуратности, усидчивости .

Тип урока: урок изучения нового материала и первичного закрепления

Методы и приемы: словесный, наглядный, практический.

Материально-техническое обеспечение: дидактический материал.

Организаци онный момент

Первичное усвоение новой учебной информации

Осознание и осмысление

Информация о домашнем задании

Подведение итогов урока

І . Организаци онный момент

— Здравствуйте ребята, тема сегодняшнего урока: « Составление квадратного трехчлена по его корням » .

Цели данного урока: научится составлять квадратный трехчлена по его корням.

Приветствие, проверка готовности учащихся к уроку, сообщение тем ы и цели урока и требований к уроку.

ІІ. Актуализация знаний

— Давайте вспомним пройденный материал

Разложите на множители выражение:

а) Х 2 — 9; б) Х 2 – 9Х;

Найдите корень уравнения:

а) Х 2 — 9 = 0; б) Х 2 – 9Х = 0; в) Х 2 – 6Х + 9 = 0

Ребята отвечают на вопросы учителя.

ІІІ. Первичное усвоение новой учебной информации

§ 54 . Разложение квадратного трехчлена на линейные множители

В этом параграфе мы рассмотрим следующий вопрос: в каком случае квадратный трехчлен ax 2 + bx + c можно представить в виде произведения

1. Предположим, что данный квадратный трехчлен ax 2 + bx + c представим в виде

Следовательно, дискриминант квадратного трехчлена ax 2 + bx + c должен быть неотрицательным.

2. Обратно, предположим, что дискриминант D = b 2 — 4 ас квадратного трехчлена ax 2 + bx + c неотрицателен. Тогда этот трехчлен имеет действительные корни x ₁ и x ₂ . Используя теорему Виета, получаем:

где x ₁ и x ₂ — корни трехчлена ax 2 + bx + c . Коэффициент а можно отнести к любому из двух линейных множителей, например,

Но это означает, что в рассматриваемом случае квадратный трехчлен ax 2 + bx + c представим в виде произведения двух линейных множителей с действительными коэффициентами.

Объединяя результаты, полученные в пунктах 1 и 2, мы приходим к следующей теореме.

Теорема. Квадратный трехчлен ax 2 + bx + c тогда и тoлько тогда можно представить в виде произведения двух линейных множителей с действительными коэффициентами,

когда дискриминант этого квадратного трехчлена неотрицателен (то есть когда этот трехчлен имеет действительные корни) .

Пример 1 . Разложить на линейные множители 6 x 2 — х —1.

Поэтому по формуле (2)

Пример 2 . Разложить на линейные множители x 2 + х + 1. Дискриминант этого квадратного трехчлена отрицателен:

D = 1 2 — 4•1•1 = — 3

Поэтому данный квадратный трехчлен на линейные множители с действительными коэффициентами не раскладывается.

Разложить на линейные множители следующие выражения (№ 403 — 406):

Предположим, что нам нужно составить квадратное уравнение, корнями которого были бы числа x ₁ и x ₂ . Очевидно, что в качестве искомого уравнения можно выбрать уравнение

где а — любое отличное от нуля действительное число. С другой стороны, как было показано в § 54, каждое квадратное уравнение с корнями x ₁ и x ₂ можно записать в виде (1).

Таким образом, формула (1) полностью решает поставленную выше задачу. Из всех квадратных уравнений корни x ₁ и x ₂ имеют уравнения вида (1) и только, они.

Пример. Составить квадратное уравнение, корни которого равны 1 и — 2.

Ответ. Корни 1 и —2 имеют все квадратные уравнения вида

где а — любое отличное от нуля действительное число. Например, при а = 1 получается уравнение

1. Составить квадратное уравнение, корнями которого были бы числа:

а) 2 и — 3; б) — 1 и — 5; в) 1 / ₄ и 1 / ₆ ; г) — 1 / ₂ и — 1 / ₃ .

2. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами так, чтобы его корни были равны:

3. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны 5 / ₇ и — 1 / ₂ , а сумма всех коэффициентов равна 36.

Решение: (х-5/7)(х-1/2)=0 х 2 -17/14х+5/14=0 14х 2 -17х+5=0 14+17+5=36

4. Могут ли корнями квадратного уравнения с натуральными коэффициентами быть числа 6 / ₅ и — 1 / ₇ ?

Решение: (х-6/5)(х+1/7)=0 35х 2 -37х-6=0 (да)

5. Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, если известно, что один из его корней равен:

Второй корень будет сопряжён первому, т. е. x ₁ = √3−5; x ₂ = −√3−5.
Ищем квадратное уравнение в виде x² + ax + b = 0,
тогда по теореме Виета a = −( _x1 +x2) = −2•(−5) = 10, b = x1•x2 = (−5)²−(√3)² = 22.
ОТВЕТ: x²+10x+22 = 0.

Решить №3,№5 на стр.97-98 проверь себя, дополнительно №242 (1,2).

VI .Информация о домашнем задании

№ 228, №234+ Повторить пройденную тему§12.

VII .Подведение итогов урока

Давайте теперь подведем итоги урока :

Учитель благодарит за урок и объявляет оценки.

Краткое описание документа:

Урок № 64 Тема: « Составление квадратного трехчлена по его корням»

Цели урока : научить составлять квадратный трехчлена по его корням .

Развивающая: развитие логического мышления, познавательных интересов.

Воспитательная: воспитание организованности, дисциплинированности , аккуратности, усидчивости .

Тип урока: урок изучения нового материала и первичного закрепления

Методы и приемы: словесный, наглядный, практический.

Материально-техническое обеспечение: дидактический материал.

I. Организаци онный момент

II. Актуализация знаний

III. Первичное усвоение новой учебной информации

IV. Осознание и осмысление

VI. Информация о домашнем задании

VII. Подведение итогов урока

І . Организаци онный момент

— Здравствуйте ребята, тема сегодняшнего урока: « Составление квадратного трехчлена по его корням » .

Цели данного урока: научится составлять квадратный трехчлена по его корням.

Приветствие, проверка готовности учащихся к уроку, сообщение тем ы и цели урока и требований к уроку.

ІІ. Актуализация знаний

— Давайте вспомним пройденный материал

— Разложите на множители выражение:

— а) Х2- 9; б) Х2 – 9Х;

— Найдите корень уравнения:

— а) Х2- 9 = 0; б) Х2 – 9Х = 0; в) Х2 – 6Х + 9 = 0

Ребята отвечают на вопросы учителя.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 929 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Сейчас обучается 313 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 586 362 материала в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

02.03.2015
546
0

02.03.2015
5386
199

02.03.2015
2270
36

02.03.2015
506
0

02.03.2015
2145
1

01.03.2015
511
0

01.03.2015
507
0

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

02.03.2015 3371
DOCX 30.3 кбайт
2 скачивания
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Бондаренко Ирина Казимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

На сайте: 7 лет и 1 месяц
Подписчики: 0
Всего просмотров: 8820
Всего материалов: 2

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы

Время чтения: 1 минута

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

Ленобласть распределит в школы прибывающих из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Получите новую специальность с дополнительной скидкой 10%

Цена от 4900 740 руб. Промокод (до 23 февраля): Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки

Методы решения квадратных уравнений. Формула Виета для квадратного уравнения

Квадратные уравнения часто появляются в ряде задач по математике и физике, поэтому уметь их решать должен каждый школьник. В этой статье подробно рассматриваются основные методы решения уравнений квадратных, а также приводятся примеры их использования.

Какое уравнение называется квадратным

В первую очередь ответим на вопрос этого пункта, чтобы лучше понимать, о чем пойдет речь в статье. Итак, уравнение квадратное имеет следующий общий вид: c + b*x+a*x2=0, где a, b, c — некоторые числа, которые называются коэффициентами. Здесь a≠0 — это обязательное условие, в противном случае указанное уравнение вырождается в линейное. Остальные коэффициенты (b, c) могут принимать абсолютно любые значения, включая ноль. Так, выражения типа a*x2=0, где b=0 и c=0 или c+a*x2=0,где b=0, или b*x+a*x2=0, где c=0 — это тоже уравнения квадратные, которые называют неполными, поскольку в них либо линейный коэффициент b равен нулю, либо нулевым является свободный член c, либо они оба зануляются.

Вам будет интересно: Химические цепочки превращений: примеры и способы решения

Уравнение, в котором a=1, называют приведенным, то есть оно вид имеет: x2 + с/a + (b/a)*x =0.

Решение квадратного уравнения заключается в нахождении таких значений x, которые удовлетворяют его равенству. Эти значения называются корнями. Поскольку рассматриваемое уравнение — это выражение второй степени, то это означает, что максимальное число его корней не может превышать двух.

Какие методы решения уравнений квадратных существуют

В общем случае существует 4 метода решения. Ниже перечисляются их названия:

Разложение на множители.

Дополнение до квадрата.

Использование известной формулы (через дискриминант).

Способ решения геометрический.

Вам будет интересно: Каково значение слова «транспарентность»?

Как понятно из приведенного списка, первые три метода являются алгебраическими, поэтому они используются чаще, чем последний, который предполагает построение графика функции.

Существует еще один способ решения по теореме Виета уравнений квадратных. Его можно было бы включить 5-м в список выше, однако, это не сделано, поскольку теорема Виета является простым следствием 3-го метода.

Далее в статье рассмотрим подробнее названные способы решения, а также приведем примеры их использования для нахождения корней конкретных уравнений.

Метод №1. Разложение на множители

Для этого метода в математике квадратных уравнений существует красивое название: факторизация. Суть этого способа заключается в следующем: необходимо квадратное уравнение представить в виде произведения двух членов (выражений), которое должно равняться нулю. После такого представления можно воспользоваться свойством произведения, которое будет равно нулю только тогда, когда один или несколько (все) его членов являются нулевыми.

Теперь рассмотрим последовательность конкретных действий, которые нужно выполнить, чтобы найти корни уравнения:

Перебросить все члены в одну часть выражения (например, в левую) так, чтобы в другой его части (правой) остался только 0.

Представить сумму членов в одной части равенства в виде произведения двух линейных уравнений.

Приравнять каждое из линейных выражений к нулю и решить их.

Вам будет интересно: Коммуникативная методика обучения английскому языку: главные принципы, учебники, результаты, отзывы

Как видно, алгоритм факторизации является достаточно простым, тем не менее, у большинства школьников возникают трудности во время реализации 2-го пункта, поэтому поясним его подробнее.

Чтобы догадаться, какие 2-а линейных выражения при умножении их друг на друга дадут искомое квадратное уравнение, необходимо запомнить два простых правила:

Линейные коэффициенты двух линейных выражений при умножении их друг на друга должны давать первый коэффициент квадратного уравнения, то есть число a.
Свободные члены линейных выражений при их произведении должны давать число c искомого уравнения.

После того, как подобраны все числа множителей, следует выполнить их перемножение, и если они дают искомое уравнение, тогда переходить к пункту 3 в изложенном выше алгоритме, в противном случае следует изменить множители, но делать это нужно так, чтобы приведенные правила всегда выполнялись.

Пример решения методом факторизации

Покажем наглядно, как алгоритм решения уравнения квадратного составить и найти неизвестные корни. Пусть дано произвольное выражение, например, 2*x-5+5*x2-2*x2 = x2+2+x2+1. Перейдем к его решению, соблюдая последовательность пунктов от 1-го до 3-х, которые изложены в предыдущем пункте статьи.

Пункт 1. Перенесем все члены в левую часть и выстроим их в классической последовательности для квадратного уравнения. Имеем следующее равенство: 2*x+(-8)+x2=0.

Пункт 2. Разбиваем на произведение линейных уравнений. Поскольку a=1, а с=-8, то подберем, например, такое произведение (x-2)*(x+4). Оно удовлетворяет изложенным в пункте выше правилам поиска предполагаемых множителей. Если раскрыть скобки, то получим: -8+2*x+x2, то есть получается точно такое же выражение, как в левой части уравнения. Это означает, что мы правильно угадали множители, и можно переходить к 3-му пункту алгоритма.

Пункт 3. Приравниваем каждый множитель нулю, получаем: x=-4 и x=2.

Если возникают какие-либо сомнения в полученном результате, то рекомендуется выполнить проверку, подставляя найденные корни в исходное уравнение. В данном случае имеем: 2*2+22-8=0 и 2*(-4)+(-4)2-8=0. Корни найдены правильно.

Таким образом, методом факторизации мы нашли, что заданное уравнение два корня различных имеет: 2 и -4.

Метод №2. Дополнение до полного квадрата

В алгебре уравнений квадратных метод множителей не всегда может использоваться, поскольку в случае дробных значений коэффициентов квадратного уравнения возникают сложности в реализации пункта 2 алгоритма.

Метод полного квадрата, в свою очередь, является универсальным и может применяться для квадратных уравнений любого типа. Суть его заключается в выполнении следующих операций:

Члены уравнения, содержащие коэффициенты a и b, необходимо перебросить в одну часть равенства, а свободный член c — в другую.

Далее, следует части равенства (правую и левую) разделить на коэффициент a, то есть представить уравнение в приведенном виде (a=1).

Сумму членов с коэффициентами a и b представить в виде квадрата линейного уравнения. Поскольку a=1, то линейный коэффициент будет равен 1, что касается свободного члена уравнения линейного, то он равен должен быть половине линейного коэффициента приведенного уравнения квадратного. После того, как составлен квадрат линейного выражения, необходимо в правую часть равенства, где находится свободный член, добавить соответствующее число, которое получается при раскрытии квадрата.

Взять квадратный корень со знаками «+» и «-» и решить полученное уже уравнение линейное.

Описанный алгоритм может на первый взгляд быть воспринят, как достаточно сложный, однако, на практике его реализовать проще, чем метод факторизации.

Пример решения с помощью дополнения до полного квадрата

Приведем пример уравнения квадратного для тренировки его решения методом изложенным в предыдущем пункте. Пусть дано уравнение квадратное -10 — 6*x+5*x2 = 0. Начинаем решать его, следуя описанному выше алгоритму.

Пункт 1. Используем метод переброски при решении уравнений квадратных, получаем: — 6*x+5*x2 = 10.

Пункт 2. Приведенный вид этого уравнения получается путем деления на число 5 каждого его члена (если равенства обе части поделить или умножить на одинаковое число, то равенство сохранится). В результате преобразований получим: x2 — 6/5*x = 2.

Пункт 3. Половина от коэффициента — 6/5 равна -6/10 = -3/5, используем это число для составления полного квадрата, получаем: (-3/5+x)2. Раскроем его и полученный свободный член следует вычесть из части равенства левой, чтобы удовлетворить исходному виду квадратного уравнения, что эквивалентно его добавлению в правую часть. В итоге получаем: (-3/5+x)2 = 59/25.

Пункт 4. Вычисляем квадратный корень с положительным и отрицательным знаками и находим корни: x = 3/5±√59/5 = (3±√59)/5. Два найденных корня имеют значения: x1 = (√59+3)/5 и x1 = (3-√59)/5.

Поскольку проведенные вычисления связаны с корнями, то велика вероятность допустить ошибку. Поэтому рекомендуется проверить правильность корней x2 и x1. Получаем для x1: 5*((3+√59)/5)2-6*(3+√59)/5 — 10 = (9+59+6*√59)/5 — 18/5 — 6*√59/5-10 = 68/5-68/5 = 0. Подставляем теперь x2: 5*((3-√59)/5)2-6*(3-√59)/5 — 10 = (9+59-6*√59)/5 — 18/5 + 6*√59/5-10 = 68/5-68/5 = 0.

Таким образом, мы показали, что найденные корни уравнения являются истинными.

Метод №3. Применение известной формулы

Этот метод решения уравнений квадратных является, пожалуй, самым простым, поскольку он заключается в подставлении коэффициентов в известную формулу. Для его использования не нужно задумываться о составлении алгоритмов решения, достаточно запомнить только одну формулу. Она приведена на рисунке выше.

В этой формуле подкоренное выражение (b2-4*a*c) называется дискриминантом (D). От его значения зависит то, какие корни получатся. Возможны 3-и случая:

D>0, тогда уравнение корня два имеет действительных и разных.
D=0, тогда получается корень один, который можно вычислить из выражения x = -b/(a*2).
D 0 — параболы ветви направлены вверх, наоборот, если a 0. Ее экстремум имеет координаты: x=4/10=2/5, y=-4*2/5+5*(2/5)2+10 = 9,2. Поскольку минимум кривой лежит над осью абсцисс (y=9,2), то она не пересекает последнюю ни при каких значениях x. То есть действительных корней приведенное уравнение не имеет.

Теорема Виета

Как выше было отмечено, эта теорема является следствием метода №3, который основан на применении формулы с дискриминантом. Суть теоремы Виета заключается в том, что она позволяет связать в равенство коэффициенты уравнения и его корни. Получим соответствующие равенства.

Воспользуемся формулой для вычисления корней через дискриминант. Сложим два корня, получаем: x1+x2 = -b/a. Теперь умножим корни друг на друга: x1*x2, после ряда упрощений получается число c/a.

Таким образом, для решения уравнений квадратных по теореме Виета можно использовать полученных два равенства. Если все три коэффициента уравнения известны, тогда корни можно найти путем решения соответствующей системы из этих двух уравнений.

Пример использования теоремы Виета

Необходимо составить квадратное уравнение, если известно, что оно имеет вид x2+c = -b*x и корни его равны 3 и -4.

Поскольку в рассматриваемом уравнении a=1, то формулы Виета будут иметь вид: x2+x1 =-b и x2*x1= с. Подставляя известные значения корней, получаем: b = 1 и c = -12. В итоге восстановленное уравнение квадратное приведенное будет вид иметь: x2-12 = -1*x. Можно подставить в него значение корней и убедиться, что равенство выполняется.

Обратное применение Виета теоремы, то есть вычисление корней по известному виду уравнения, позволяет для небольших целых чисел a, b и c быстро (интуитивно) находить решения.

источники:

http://infourok.ru/sostavlenie_kvadratnogo_trehchlena_po__ego_kornyam-417783.htm

http://1ku.ru/obrazovanie/9864-metody-resheniya-kvadratnyx-uravnenij-formula-vieta-dlya-kvadratnogo-uravneniya/