T решать систему уравнений с параметром

T решать систему уравнений с параметром

§ 3. Решение систем с параметром и с модулями

В данном параграфе мы познакомимся со способами решения систем двух линейных уравнений с модулями.

Решите систему уравнений $$ \left\<\begin\left|x-y\right|=5,\\ 3x+2y=10.\end\right.$$

Модуль в уравнении `|x-y|=5` можно «раскрыть», пользуясь определением модуля числа:

$$\left|x-y\right|=\left\<\beginx-y,\;\mathrm<или>\;x-y\geq0,\\y-x,\;\mathrm<или>\;x-y =0` записывается в виде `x-y=5`, а при `x-y =0`, система имеет вид:

Итак, `x=5`, `y=0`, условие `x-y>=0` выполняется. Значит, найденные пары чисел является решением исходной системы.

2 случай. Если `x-y =0`, `y>=0`;

4) `x =0`, `y>=0`, система имеет вид:

Оба полученные значения удовлетворяют заданным условиям: `1,5>=0`, `0>=0`.

2 случай. `x>=0`, `y =0`.

3 случай. `x =0` система имеет вид:

Первое уравнение не имеет решения, так как сводится к равенству `0=6`, значит система не имеет решений.

4 случай. `x -5/2`, то `|y+5/2|=y+5/2`; если `y то `|y+5/2|=-y-5/2`.

Выражение `y-1=0`, если `y=1`.

Если `y>1`, то `|y-1|=y-1`, а если `y =1`, то `|y-1|=y-1` и `|y+5/2|=y+5/2`, получаем уравнение:

Тогда `x=1/3(2*2+5)=3`. Число `2>1`, так что пара `(3;2)` является решением системы.

Пусть теперь `-5/2 хождения `y` получаем уравнение

Число `8/13` больше `(-5/2)`, но меньше, чем `1`, поэтому пара чисел `(27/13;8/13)` является решением системы.

Решение систем линейных уравнений с параметрами

Разделы: Математика

Цель:

• повторить решение систем линейных уравнений с двумя переменными
• дать определение системы линейных уравнений с параметрами
• научит решать системы линейных уравнений с параметрами.

Ход урока

1. Организационный момент
2. Повторение
3. Объяснение новой темы
4. Закрепление
5. Итог урока
6. Домашнее задание

2. Повторение:

I. Линейное уравнение с одной переменной:

1. Дайте определение линейного уравнения с одной переменной

[Уравнение вида ax=b, где х – переменная, а и b некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной]

2. Сколько корней может иметь линейное уравнение?

[- Если а=0, b0, то уравнение не имеет решений, х

— Если а=0, b=0, то х R

— Если а0, то уравнение имеет единственное решение, х =

3. Выясните, сколько корней имеет уравнение (по вариантам)

Ответ: много корнейII ряд – II вариант

Ответ: корней нетIII ряд – III вариант

Ответ: единственный корень

II. Линейное уравнение с 2 –мя переменными и система линейных уравнений с 2- мя переменными.

1. Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными. Приведите пример.

[Линейным уравнением с двумя переменными называются уравнения вида ах +by=с, где х и у – переменные, а, b и с – некоторые числа. Например, х-у=5]

2. Что называется решением уравнения с двумя переменными?

[Решением уравнения с двумя переменными называются пара значений переменных, обращающие это уравнение в верное равенство.]

3. Является ли пара значений переменных х = 7, у = 3 решением уравнения 2х + у = 17?

4. Что называется графиком уравнения с двумя переменными?

[Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых является решениями этого уравнения.]

5. Выясните, что представляет собой график уравнения:

[Выразим переменную у через х: у=-1,5х+3

Формулой у=-1,5х+3 является линейная функция, графиком которой служит прямая. Так как, уравнения 3х+2у=6 и у=-1,5х+3 равносильны, то эта прямая является и графиком уравнения 3х+2у=6]

6. Что является графиком уравнения ах+bу=с с переменными х и у, где а0 или b0?

[Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.]

7. Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?

[Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство]

8. Что значит решить систему уравнений?

[Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.]

9. Выясните, всегда ли имеет такая система решения и если имеет, то сколько (графическим способом).

10. Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными?

[Единственное решение, если прямые пересекаются; не имеет решений, если прямые параллельны; бесконечно много, если прямые совпадают]

11. Каким уравнением обычно задается прямая?

12. Установите связь между угловыми коэффициентами и свободными членами:

k₁ = k₂, b₁b_2, нет решений;II вариант:

• y=-х+8
• y=2x-1,

k₁k₂, одно решение;III вариант:

• y=-x-1
• y=-x-1,

k₁ = k₂, b₁ = b_2, много решений.

Вывод:

1. Если угловые коэффициенты прямых являющихся графиками этих функций различны, то эти прямые пересекаются и система имеет единственное решение.
2. Если угловые коэффициенты прямых одинаковы, а точки пересечения с осью у различны, то прямые параллельны, а система не имеет решений.
3. Если угловые коэффициенты и точки пересечения с осью у одинаковы, то прямые совпадают и система имеет бесконечно много решений.

На доске таблица, которую постепенно заполняет учитель вместе с учениками.

III. Объяснение новой темы.

где A_1, A_2, B₁,B_2, C₁ C_{2 –} выражения_, зависящие от параметров, а х и у – неизвестные, называется системой двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными в параметрах.

Возможны следующие случаи:

1) Если , то система имеет единственное решение

2) Если , то система не имеет решений

3) Если , то система имеет бесконечно много решений.

IV. Закрепление

Пример 1.

При каких значениях параметра а система

• 2х — 3у = 7
• ах — 6у = 14

а) имеет бесконечное множество решений;

б) имеет единственное решение

а) , а=4

б) , а?4

а) если а=4, то система имеет бесконечное множество решений;

б) если а4, то решение единственное.

Пример 2.

Решите систему уравнений

• x+(m+1)y=1
• x+2y=n

Решение: а) , т.е. при m1 система имеет единственное решение.

б) , т.е. при m=1 (2=m+1) и n1 исходная система решений не имеет

в) , при m=1 и n=1 система имеет бесконечно много решений.

Ответ: а) если m=1 и n1, то решений нет

б) m=1 и n=1, то решение бесконечное множество

• у — любое
• x=n-2y

в) если m1 и n — любое, то

y= x=

Пример 3.

Для всех значений параметра а решить систему уравнений

• ах-3ау=2а+3
• х+ау=1

Решение: Из II уравнения найдем х=1-ау и подставим в I уравнение

1) а=0. Тогда уравнение имеет вид 0*у=3 [у ]

Следовательно, при а=0 система не имеет решений

Следовательно, у . При этом х=1-ау=1+3у

3) а0 и а-3. Тогда у=-, х=1-а(-=1+1=2

1) если а=0, то (х; у)

2) если а=-3, то х=1+3у, у

3) если а0 и а?-3, то х=2, у=-

Рассмотрим II способ решения системы (1).

Решим систему (1) методом алгебраического сложения: вначале умножим первое уравнение системы на В_2, второе на – В₁ и сложим почленно эти уравнения, исключив, таким образом, переменную у:

Т.к. А₁В₂-А₂В₁0, то х =

т.к. А₂В₁-А₁В₂ 0 у =

Для удобства решения системы (1) введем обозначения:

_— главный определитель

Теперь решение системы (1) можно записать с помощью определителей:

х= ; у=

Приведенные формулы называют формулами Крамера.

— Если , то система (1) имеет единственное решение: х=; у=

— Если , или , , то система (1) не имеет решений

— Если , , , , то система (1) имеет бесконечное множество решений.

В этом случае систему надо исследовать дополнительно. При этом, как правило, она сводится к одному линейному уравнению. В случае часто бывает удобно исследовать систему следующим образом: решая уравнение , найдем конкретные значения параметров или выразим один из параметров через остальные и подставим эти значения параметров в систему. Тогда получим систему с конкретными числовыми коэффициентами или с меньшим числом параметров, которую надо и исследовать.

Если коэффициенты А₁, А₂, В₁, В₂, системы зависят от нескольких параметров, то исследовать систему удобно с помощью определителей системы.

Пример 4.

Для всех значений параметра а решить систему уравнений

• (а+5)х+(2а+3)у=3а+2
• (3а+10)х+(5а+6)у=2а+4

Решение: Найдем определитель системы:

= (а+5)(5а+6) – (3а+10) (2а+3)= 5а 2 +31а+30-6а 2 -29а-30=-а 2 +2а=а(2-а)

= (3а+2) (5а+6) –(2а+4)(2а+3)=15а 2 +28а+12-4а 2 -14а-12=11а 2 +14а=а(11а+14)

=(а+5) (2а+4)-(3а+10)(3а+2)=2а 2 +14а+20-9а 2 -36а-20=-7а 2 -22а=-а(7а+22)

1) Тогда

х= у=

2) или а=2

При а=0 определители

Тогда система имеет вид:

• 5х+3у=2 5х+3у=2
• 10х+6у=4

При а=2 Этого достаточно, чтобы утверждать, что система не имеет решений.

1) если а и а, то х= у=

2) если а=0, то х,

3) если а=2, то (х; у)

Пример 5.

Для всех значений параметров а и b решить систему уравнений

Решение: = =а+1-2b

= = b -6; = 3a+3-b

1) . Тогда

х= у=

2)

Подставив выражение параметра а в систему, получим:

• 2bx+2y=b 2bx+2y=b
• bx+y=3 2bx+2y=6

Если b6, то система не имеет решений, т.к. в этом случае I и II уравнения системы противоречат друг другу.

Если b=6, а=2b-1=2*6-1=11, то система равносильна одному уравнению

12х+2у=6 у=3-6х

1) если , (а), то x=, y=

2) если b, a, то система не имеет решений

3) если b=6, а=11, то х, у=3-6х

Итог урока: Повторить по таблице и поставить оценки.

При каких значениях параметра система уравнений

• 3х-2у=5
• 6х-4у=b

а) имеет бесконечное множество решений

б) не имеет решений

б) b10

Теорема Кронекера-Капелли. Исследование систем линейных уравнений на совместность. Вторая часть.

В первой части мы рассматривали системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), все коэффициенты которых были известны. В этой же части разберём СЛАУ, среди коэффициентов которых есть некий параметр. Для исследования СЛАУ на совместность станем использовать теорему Кронекера-Капелли. В процессе решения примеров на данной странице будем применять метод Гаусса или же метод Крамера. Сформулируем теорему и следствие из неё ещё раз:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. $\rang A=\rang\widetilde$.

Следствие из теоремы Кронекера-Капелли

Параметр $n$, использованный выше, равен количеству переменных рассматриваемой СЛАУ.

Исследовать СЛАУ $ \left \ <\begin& kx_1+2x_2+x_3=8;\\ & -x_1+x_2+2x_3=7;\\ & x_2+kx_3=5.\end\right.$ на совместность и найти решение системы в зависимости от значений параметра $k$.

Чтобы исследовать заданную систему на совместность, нам нужно найти ранг матрицы системы $A$ и ранг расширенной матрицы системы $\widetilde$. Сделать это можно несколькими путями. Стоит учесть, что в данном примере нам требуется не только исследовать систему на совместность, но и указать её решения. Мне кажется наиболее удобным в таких задачах применять метод Гаусса, однако это вовсе не является обязательным. Для разнообразия данный пример решим методом Гаусса, а следующий – методом Крамера. Итак, запишем и начнём преобразовывать расширенную матрицу системы. При записи расширенной матрицы системы поменяем местами первую и вторую строки. Это нужно для того, чтобы первым элементом первой строки стало число -1.

$$ \left(\begin -1 & 1 &2 &7 \\ k & 2 & 1 & 8\\ 0 & 1 & k & 5 \end \right) \begin \phantom <0>\\ r_2+k\cdot\\ \phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin -1 & 1 &2 &7 \\ 0 & 2+k & 1+2k & 8+7k\\ 0 & 1 & k & 5 \end \right)\rightarrow\left|\begin&\text<меняем местами>\\&\text<вторую и третью строки>\end\right|\rightarrow \\ \rightarrow \left(\begin -1 & 1 &2 &7 \\0 & 1 & k & 5 \\ 0 & 2+k & 1+2k & 8+7k \end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\r_3-(2+k)\cdot\end \rightarrow \left(\begin -1 & 1 &2 &7 \\0 & 1 & k & 5 \\ 0 & 0 & 1-k^2 & 2k-2 \end \right) $$

Мы привели расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Напомню, что до черты расположена преобразованная матрица матрица системы: $\left(\begin-1 & 1 &2\\0 & 1 & k\\ 0 & 0 & 1-k^2\end \right)$.

Каким бы ни было значение параметра $k$, полученная нами после преобразований матрица будет содержать не менее двух ненулевых строк (первая и вторая строки точно останутся ненулевыми). Вопрос о количестве решений зависит лишь от третьей строки.

В следствии из теоремы Кронекера-Капелли указаны три случая, и в данном примере легко рассмотреть каждый из них. Начнём с варианта $\rang A\neq\rang\widetilde$, при котором система не имеет решений, т.е. несовместна.

$\rang A\neq\rang\widetilde$

Ранги будут не равны друг другу лишь в одном случае: когда $1-k^2=0$, при этом $2k-2\neq<0>$. В этом случае преобразованная матрица системы будет содержать две ненулевых строки (т.е. $\rang A=2$), а преобразованная расширенная матрица системы будет содержать три ненулевых строки (т.е. $\rang \widetilde=3$). Иными словами, нам требуется решить систему уравнений:

Из первого уравнения имеем: $k=1$ или $k=-1$, однако $k\neq<1>$, поэтому остаётся лишь один случай: $k=-1$. Следовательно, при $k=-1$ система не имеет решений.

$\rang A=\rang\widetilde<3$

Рассмотрим второй пункт следствия из теоремы Кронекера-Капелли – ранги равны между собой, но меньше, чем количество переменных (т.е. меньше 3). Это возможно лишь в том случае, если последняя строка преобразованной расширенной матрицы системы полностью станет нулевой, т.е.

Из данной системы имеем: $k=1$. Именно при $k=1$ третья строка преобразованной расширенной матрицы системы станет нулевой, поэтому $\rang=\rang\widetilde=2$. При этом, повторюсь, у нас всего три переменных, т.е. имеем случай $\rang A=\rang\widetilde=2<3$.

Система имеет бесконечное количество решений. Найдём эти решения. Подставим $k=1$ в преобразованную матрицу и продолжим операции метода Гаусса. Третью строку (она станет нулевой) просто вычеркнем:

$$ \left(\begin -1 & 1 &2 &7 \\0 & 1 & k & 5 \\ 0 & 0 & 1-k^2 & 2k-2 \end \right)\rightarrow|k=1|\rightarrow \left(\begin -1 & 1 &2 &7 \\0 & 1 & 1 & 5 \end \right) \rightarrow\left|\begin&\text<переносим третий столбец>\\&\text<за черту>\end\right|\rightarrow \\ \rightarrow\left(\begin-1 & 1 &-2 &7\\0 & 1 & -1 & 5\end\right) \begin r_1-r_2\\\phantom<0>\end \rightarrow\left(\begin-1 & 0 &-1 &2\\0 & 1 & -1 & 5\end\right) \begin -1\cdot\\\phantom<0>\end \rightarrow\left(\begin1 & 0 &1 &-2\\0 & 1 & -1 & 5\end\right) $$

$\rang A=\rang\widetilde=3$

Рассмотрим третий пункт следствия из теоремы Кронекера-Капелли – ранги равны между собой и равны количеству переменных. Это возможно лишь в том случае, если $1-k^2\neq<0>$, т.е. $k\neq<-1>$ и $k\neq<1>$. Продолжаем решение методом Гаусса:

$$ \left(\begin -1 & 1 &2 &7 \\0 & 1 & k & 5 \\ 0 & 0 & 1-k^2 & 2k-2 \end\right)\rightarrow \left(\begin -1 & 1 &2 &7 \\0 & 1 & k & 5 \\ 0 & 0 & (1-k)(1+k) & -2(1-k) \end\right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\r_3:((1-k)(1+k))\end \rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin -1 & 1 &2 &7 \\0 & 1 & k & 5 \\ 0 & 0 & 1 & -2/(1+k) \end\right) \begin r_1-2r_3\\r_2-k\cdot\\\phantom<0>\end \rightarrow \left(\begin -1 & 1 &0 &(7k+11)/(k+1) \\0 & 1 & 0 & (7k+5)/(k+1) \\ 0 & 0 & 1 & -2/(1+k) \end\right) \begin r_1-r_2\\\phantom<0>\\\phantom<0>\end\rightarrow\\ \rightarrow \left(\begin -1 & 0 &0 &6/(k+1)\\0 & 1 & 0 & (7k+5)/(k+1) \\ 0 & 0 & 1 & -2/(1+k) \end\right) \begin -1\cdot\\\phantom<0>\\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin 1 & 0 &0 &-6/(k+1)\\0 & 1 & 0 & (7k+5)/(k+1) \\ 0 & 0 & 1 & -2/(1+k) \end\right) $$

Исследовать СЛАУ $\left\ <\begin& 2kx_1+x_2+x_3=0;\\ & x_1-x_2+kx_3=1;\\ & (k-6)x_1+2x_2-4x_3=-3.\end\right.$ на совместность и найти решение системы при тех значениях параметра, при которых она совместна.

Вновь, как и в предыдущем примере, для того, чтобы исследовать заданную систему на совместность, нам нужно найти ранг матрицы системы $A$ и ранг расширенной матрицы системы $\widetilde$. Чтобы исследовать систему на совместность и указать количество решений применим метод Крамера. Можно было бы решить и методом Гаусса, однако в предыдущем примере мы его уже использовали, поэтому для разнообразия решим задачу с помощью метода Крамера. Начнём с вычисления определителя матрицы системы. Этот определитель мы получим с помощью готовой формулы.

Значения переменных $x_1$, $x_2$, $x_3$ будут такими:

Нам остаётся исследовать совместность системы при условии $\Delta=0$. Это равенство возможно при $k=0$ или $k=1$.

Случай $k=0$

Нам остаётся рассмотреть последний случай: $k=1$.

Случай $k=1$

Для наглядности я запишу здесь матрицу системы $A$ и расширенную матрицу системы $\widetilde$, подставив $k=1$:

Если $k=1$, то $\Delta=0$. Это значит, что $\rang≤2$. Рассмотрим миноры второго порядка матрицы $A$. Например, возьмём минор, образованный на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1, №2: $M=\left|\begin2 & 1\\ 1 & -1\end\right|=-3$. Так как $M\neq<0>$, то ранг матрицы $A$ равен 2.

Задача решена, осталось лишь записать ответ.

Разберём ещё один пример, в котором рассмотрим СЛАУ с четырьмя уравнениями.

Исследовать СЛАУ $ \left \ <\begin& kx_1+x_2+x_3+x_4=1;\\ & x_1+kx_2+x_3+x_4=1;\\ & x_1+x_2+kx_3+x_4=1;\\ & x_1+x_2+x_3+kx_4=1.\end\right.$ на совместность и найти решение системы в зависимости от значений параметра $k$.

Применим метод Гаусса. При записи расширенной матрицы системы поместим первую строку вниз, на место четвёртой строки. А дальше начнём стандартные операции метода Гаусса.

$$ \left(\begin 1 & k &1 &1&1 \\ 1 & 1 &k &1&1 \\ 1 & 1 &1 &k&1 \\ k & 1 &1 &1&1 \end \right) \begin \phantom<0>\\r_2-r_1\\r_3-r_1\\r_4-k\cdot\end\rightarrow \left(\begin 1 & k &1 &1&1\\ 0 & 1-k &k-1 &0&0\\ 0 & 1-k &0&k-1&0\\ 0 & 1-k^2 &1-k &1-k&1-k\end \right) $$

Здесь можно было бы остановиться и рассмотреть случаи $k=1$ и $k\neq<1>$ отдельно. Цель таких действий: разделить вторую, третью и четвёртую строки на $k-1$ при условии $k-1\neq<0>$. Однако пока что полученная нами матрица содержит не столь уж громоздкие элементы, поэтому сейчас отвлекаться на частности я не вижу смысла. Продолжим преобразования в общем виде:

$$ \left(\begin 1 & k &1 &1&1\\ 0 & 1-k &k-1 &0&0\\ 0 & 1-k &0&k-1&0\\ 0 & 1-k^2 &1-k &1-k&1-k\end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\r_3-r_2\\r_4-(k+1)r_2\end\rightarrow \\ \rightarrow \left(\begin 1 & k &1 &1&1\\ 0 & 1-k &k-1 &0&0\\ 0 & 0 &1-k&k-1&0\\ 0 & 0 &(1-k)(k+2) &1-k&1-k\end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\\phantom<0>\\r_4-(k+2)r_3\end\rightarrow \\ \rightarrow \left(\begin 1 & k &1 &1&1\\ 0 & 1-k &k-1 &0&0\\ 0 & 0 &1-k&k-1&0\\ 0 & 0 &0&(1-k)(k+3)&1-k\end \right) $$

Мы привели расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. До черты расположена преобразованная матрица системы. Ранги матриц $A$ и $\widetilde$ зависят от значения параметра $k$. Рассмотрим три случая: $k=1$, $k=-3$ и случай $k\neq<1>$, $k\neq<-3>$.

Случай $k=-3$

Случай $k=1$

Если $k=1$, то преобразованная матрица станет такой: $\left(\begin 1 & 1 &1 &1&1\\ 0 & 0 &0 &0&0\\ 0 & 0 &0&0&0\\ 0 & 0 &0&0&0\end\right)$. Ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы равны между собой (и равны 1), но меньше, чем количество переменных, т.е. $\rang=\rang<\widetilde>=1<4$. Вывод: система является неопределённой. Общее решение системы непосредственно получим из первой строки записанной матрицы:

$$x_1+x_2+x_3+x_4=1\; \Rightarrow \; x_1=-x_2-x_3-x_4+1.$$

Случай $k\neq<1>$ и $\neq<-3>$

Продолжим решение методом Гаусса. Так как $k\neq<1>$ и $\neq<-3>$, то $(1-k)(k+3)\neq<0>$. Следовательно, мы можем разделить вторую и третью строки на $1-k$, четвёртую строку – на выражение $(1-k)(k+3)$. С полученной после этого матрицей продолжим операции обратного хода метода Гаусса:

$$ \left(\begin 1 & k &1 &1&1\\ 0 & 1 &-1 &0&0\\ 0 & 0 &1&-1&0\\ 0 & 0 &0&1&\frac<1>\end \right) \begin r_1-r_4\\\phantom<0>\\\phantom<0>\\r_3+r_4\end\rightarrow \left(\begin 1 & k &1 &0&\frac\\ 0 & 1 &-1 &0&0\\ 0 & 0 &1&0&\frac<1>\\ 0 & 0 &0&1&\frac<1>\end\right) \begin r_1-r_3\\r_2+r_3\\\phantom<0>\\\phantom<0>\end\rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin 1 & k &0 &0&\frac\\ 0 & 1 &0 &0&\frac<1>\\ 0 & 0 &1&0&\frac<1>\\ 0 & 0 &0&1&\frac<1>\end\right) \begin r_1-k\cdot\\\phantom<0>\\\phantom<0>\\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin 1 & 0 &0 &0&\frac<1>\\ 0 & 1 &0 &0&\frac<1>\\ 0 & 0 &1&0&\frac<1>\\ 0 & 0 &0&1&\frac<1>\end\right) $$

Из последней матрицы имеем: $x_1=x_2=x_3=x_4=\frac<1>$.

• При $k=-3$ система несовместна.
• При $k=1$ система является неопределённой. Общее решение системы: $\left\<\begin& x_1=-x_2-x_3-x_4+1;\\&x_2\in,\;x_3\in,\;x_4\in. \end\right.$
• При $k\neq<-3>$ и $k\neq<1>$ система является определённой. Решение системы: $x_1=x_2=x_3=x_4=\frac<1>$.