T решать уравнения на 6 класс

Решение линейных уравнений. 6-й класс

Разделы: Математика

Класс: 6

Цели урока:

• повторить правила раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых;
• ввести определение линейного уравнения с одним неизвестным;
• познакомить учащихся со свойствами равенств;
• научить решать линейные уравнения;
• научить решать задачи на «было − стало».

Оборудование: компьютер, проектор.

Ход урока

I. Проверка предыдущего домашнего задания.

II. Повторение теоретического материала.

1. Как найти неизвестное слагаемое? [От суммы отнять известное слагаемое]
2. Как найти неизвестное уменьшаемое? [К вычитаемому прибавить разность]
3. Как найти неизвестное вычитаемое? [От уменьшаемого отнять разность]
4. Как найти неизвестный множитель? [Произведение разделить на известный множитель]
5. Как найти неизвестное делимое? [Делитель умножить на частное]
6. Как найти неизвестный делитель? [Делимое разделить на частное]
7. Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак плюс? [Опустить скобки и этот знак плюс, переписать слагаемые с теми же знаками]
8. Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак минус? [Опустить скобки и этот знак минус, переписать слагаемые с противоположными знаками]
9. Как выглядит распределительное свойство умножения? [(a+b)∙c=ac+bc]

III. Устные задания по слайдам.

(слайд 2, слайд 3).

1) Раскройте скобки:

3+(х+2); 3-(х+2); 3+(х-7); 3-(х-7); 3+(-х+5); 3-(-х+5); -4(-5-х); 9(; 9(; 2(7+9х); 4(2-3х); -6(9-5х); -3(1+4х).

2) Приведите подобные слагаемые:

6b-b; 9,5m+3m; a —a; m-m; -4x-x+3; 7x-6y-3x+8y.

3) Упростите выражение:

IV. Новая тема. Решение линейных уравнений.

До сегодняшнего урока мы не умели решать уравнения, в которых неизвестное находилось слева и справа от знака равенства: 3x+7=x+15. Некоторые из нас постоянно забывают правила нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого. Сегодня мы постараемся разрешить все эти затруднения.

Уравнение, которое можно привести к виду ax=b, где a и b − некоторые числа (a0), называется линейным уравнением с одним неизвестным.

Линейные уравнения обладают свойствами:

1. Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю (стр. 229 учебника).
2. Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак (стр. 230 учебника).

Рассмотрим план решения линейного уравнения:

Какими из свойств равенств мы воспользовались для решения уравнения? (вторым)

Рассмотрим примеры уравнений, при решении которых будет удобно воспользоваться и первым свойством.

х+3=х+5 │∙9 Удобно умножить на наименьшее общее кратное знаменателей дробей.

(х+3)∙9=(х+5)∙9 Далее − по плану.

Урок 43 Бесплатно Решение уравнений

Сегодня на уроке вспомним, что такое уравнение и что называют корнем уравнения. Рассмотрим один из видов уравнений: линейное уравнение с одним неизвестным, определим его общий вид и узнаем, как называются составные части такого равенства.

Разберем способы и приемы решения линейных уравнений с одним неизвестным.

Рассмотрим алгоритм и пример решения задач с помощью линейных уравнений.

Линейное уравнение

В реальной жизни нам часто приходится решать множество различных примеров и задач.

Связать реальную жизнь и математическое описание любой ситуации нам позволяет математическая модель.

Составив математическую модель жизненной задачи, мы можем превратить слова в формулы, неравенства, равенства, уравнения и т.п.

Математическая модель задачи в виде уравнения позволяет установить связи между всеми данными задачи, а также применить эту модель-уравнение для решения огромного множества подобного типа задач.

Вам уже хорошо известно, что уравнение — это математическое равенство, содержащее неизвестное число, которое необходимо определить.

Неизвестное число, входящее в уравнение, называют неизвестным членом данного уравнения.

Принято обозначать неизвестный член уравнения маленькими латинскими буквами.

Чаще всего в математике используют буквы x, y, z.

Найти неизвестное число, при котором из уравнения получается верное равенство, — это значит решить уравнение, т.е. найти корни уравнения или убедиться, что корней нет.

Корень уравнения — это значение неизвестного числа в уравнении, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Уравнения могут иметь разное количество корней.

Существуют уравнения, имеющие один единственный корень, и уравнения, вообще не имеющие корней.

Встречаются уравнения, решением которых являются несколько значений (два, три и более), а в некоторых случаях уравнение может иметь бесконечное множество решений.

Уравнение, в котором находится одна неизвестная, называют уравнением с одной неизвестной.

х + 3 = 6 (уравнение с одной неизвестной х)

3 ∙ у = 15 (уравнение с одной неизвестной y).

Существуют уравнения с большим количеством неизвестных: с двумя, тремя и т. д.

Рассмотрим, что представляют собой линейные уравнения с одной неизвестной.

Линейные уравнения с одной неизвестной называют уравнения вида a ∙ x = b, где a ≠ 0

х— неизвестное число

a и b— некоторые числа:

а— это коэффициент уравнения.

b— это свободный член уравнения.

Линейное уравнение с одной неизвестной может быть представлено в виде a ∙ x + b = 0, оно является равнозначным уравнению вида a ∙ x = ax = b.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Уравнения с одним неизвестным умели решать в Древнем Вавилоне и в Древнем Египте более четырех тысяч лет назад.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что знания о неизвестных величинах и методах их вычисления, которыми тогда владели ученые, были образными.

Одним из древнейших задачников по математике (примерно 1700 г до н.э.) является древнеегипетский папирус Ахмеса (также известный, как папирус Ринда (Райнда) по имени его первого владельца).

Папирус Ахмеса содержит условия и решения 84 задач. Он является наиболее полным старейшим математическим сборником задач, дошедшим до наших дней.

Все задачи, описанные и решенные в нем, имели практическое значение и могли применяться в строительстве, в межевании земельных наделов и т.д.

Папирус содержит множество задач, которые сводятся к решению различных видов уравнений, в том числе и к линейным уравнениям.

Папирус был обнаружен в 1858 г. Сейчас большая часть рукописи хранится в Британском музее.

В III веке н.э. древнегреческий математик Диофант Александрийский в своей рукописи «Арифметика» изложил 130 задач, которые решались с помощью определенных (имеющих одно решение) и неопределенных уравнений.

Уравнения, изложенные в книге, сейчас называются «Диофантовыми уравнениями».

Также Диофант Александрийский впервые ввел буквенную символику в математику.

Однако первым руководством по решению задач стал научный труд багдадского ученого IX века Мухамеда Бен Мусы аль-Хорезми «Книга о восстановлении и противопоставлении».

Данная научная работа стала началом становления науки о решении уравнений.

Мухамед Бен Муса аль-Хорезми впервые представил алгебру (раздел математики) как самостоятельную науку об общих методах решения уравнений, предложил классификацию уравнений.

Но его математические сочинения в большей степени выражались словесно, в связи с чем казались очень громоздкими и сложными.

Значительно упростить и облегчить описание и решение уравнений удалось великому французскому ученому XVI века Франсуа Виету.

Он был первым, кто ввел буквенное обозначение коэффициентам уравнений и неизвестным величинам.

Установил связь между корнями и коэффициентами уравнения.

Франсуа Виет внедрил в науку мысль о том, что преобразования можно производить не только над величинами, но и над символами, таким образом, решать любую задачу в общем виде, т.е., по сути, он ввел понятие математической формулы.

До сих пор многие идеи Виета являются актуальными и востребованными

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Блок уроков по теме «Решение уравнений» (в 6 классе)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ 6 кл, блок уроков по теме, Решение уравнений.doc

6 класс, РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Цели : показать решение уравнений способом переноса слагаемых из одной части в другую, изменив при этом их знаки; ввести определение линейного уравнения; учить решать линейные уравнения.

I. Анализ контрольной работы.

1. Указать ошибки, сделанные учащимися при выполнении работы.

2. Решить задания, вызвавшие затруднения у учащихся.

II. Устная работа.

1. Решить устно № 1333 (а; б; д) и № 1331 (а; б).

2. Повторить решение уравнений, используя правила нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делимого и делителя на простых примерах типа:

а) х + 15 = 40; б) у – 10 = 32; в) 8 – х = 2;

г) 70 : у = 7; д) х : 20 = 3; е) 25 · х = 100.

III. Объяснение нового материала.

1. Разобрать решение примера 1 на с. 229 учебника. Записать в тетрадях решение и вывод: корни уравнения не изменяются, если его обе части умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

2. Разобрать решение примера 2 на с. 229.

3. Рассмотреть решение уравнения 5х = 2х + 6 (пример 3), используя рисунок 93 учебника; записать в тетрадях вывод: корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак.

4. Решить № 1314 и 1315 с комментированием на месте.

5. Во всех рассмотренных примерах мы приводили данные уравнения к виду ах = в, где а ? 0.

Уравнение, которое можно привести к такому виду с помощью переноса слагаемых и приведения подобных слагаемых, называют линейным уравнением с одним неизвестным.

IV. Закрепление изученного материала.

1. Решить уравнение № 1316 (а – г) на доске и в тетрадях, проговаривая правила.

а) 6х – 12 = 5х + 4 б) – 9а + 8 = – 10а – 2

Ответ: х = 16. Ответ: а = – 10.

в) 7m + 1 = 8m + 9 г) – 12п – 3 = 11п – 3

7m – 8m = 9 – 1 – 12п – 11п = – 3 + 3

2. Решить задачу № 1321. Решение задачи можно оформить в виде таблицы:

Молока в бидонах стало поровну:

В первом бидоне было 20 · 3 = 60 (л) молока, а во втором – 20 л.

Ответ: 60 л, 20 л.

3. Решить уравнение № 1319 (а; б) с комментированием на месте.

4. Повторение ранее изученного материала:

а) Решить № 1338 (1) самостоятельно.

б) Решить № 1337 (а) на доске и в тетрадях.

1. Ответить на вопросы к п. 42 на с. 230 учебника.

2. Решить уравнение:

а) 14 + 5х = 4х + 3; б) 3а + 5 = 8а – 15.

Домашнее задание : выучить правила п. 42; решить № 1342 (а; б; в), № 1346, № 1349.

Цели : способствовать выработке навыков и умений при решении уравнений; закрепить правила нахождения неизвестного числа; учить решать задачи с помощью составления уравнений; развивать логическое мышление учащихся.

I. Устная работа.

1. Повторить определение уравнения:

Равенство, которое содержит неизвестное число, обозначенное буквой, называют уравнением.

2. Что значит решить уравнение?

Решить уравнение – значит, найти неизвестное число, которое при подстановке в данное уравнение обращает его в верное равенство.

3. Сформулируйте правило переноса слагаемых из одной части уравнения в другую.

4. Решите уравнение и проверьте, правильно ли найден корень (устно):

а) х + 9 = 27; в) в – 7 = 14; д) 10к = 15;

б) 15 + у = 51; г) 60 – с = 18; е) 5х = 65.

5. Есть ли среди чисел 3; 4; 5 корень уравнения:

б) 10 – 3х = 1; г) 36 : х = 12?

6. Решить № 1333 (в; е; ж) и № 1335 (а; б) устно.

II. Выполнение упражнений.

1. Решить уравнения № 1316 (д; е) на доске и в тетрадях.

2. Решить уравнение № 1318 (а; б) (объясняет на доске учитель, привлекая учащихся к обсуждению решения уравнения).

а) – 40 · (– 7х + 5) = – 1600 б) (–20х – 50) · 2 = 100

– 7х + 5 = – 1600 : (– 40) – 20х – 50 = 100 : 2

– 7х + 5 = 40 – 20х – 50 = 50

– 7х = 40 – 5 – 20х = 50 + 50

х = 35 : (– 7) х = 100 : (– 20)

Ответ: х = –5. Ответ: х = – 5.

3. Разобрать решение примера 4 на с. 230 учебника и решить затем № 1317 (а; г) на доске и в тетрадях.

а) г) 0,2х + 2,3 = 0,7х – 3,2.

Умножаем обе части уравнения на 9, получим

Умножаем обе части уравнения на 10, получим

4. Решить № 1319 (д; е) на доске и в тетрадях.

д) . е) 4,7 –8z = 4,9 – 10z.

Умножаем обе части уравнения на 8, получим

6к – 9к = – 1 + 100

5. Решить задачу № 1322 на доске и в тетрадях.

Получатся равные результаты:

Длина отрезка АВ = 6 + 2 = 8 (см).

6. Решить задачу № 1324 самостоятельно. Один ученик самостоятельно решает на доске, остальные – в тетрадях, потом проверяется решение.

х = 0,72 : 0,2 = 7,2 : 2 = 3,6.

На II машину погрузили 3,6 т, на I машину – 4,2 т.

Ответ: 4,2 т; 3,6 т.

7. Решить № 1338 (2) самостоятельно и № 1337 (б).

1. Решить уравнение:

а) 0,8у + 1,4 = 0,4у – 2,6; б) 0,18х – 3,54 = 0,19х – 2,89.

2. Решить задачу:

Первое число в 3 раза больше второго. Если от первого числа отнять 1,8, а ко второму прибавить 0,6, то получатся одинаковые результаты.

Домашнее задание : решить № 1341 (а; б; г), № 1342 (ж; з; и), № 1343.

Цели : вырабатывать навыки решения уравнений и задач с помощью уравнений; повторить основное свойство пропорции и научить применять его при решении уравнений; развивать логическое мышление учащихся.

I. Повторение и проверка изученного материала.

1. Двое учащихся решают на доске номера из домашнего задания:

1) № 1343 и 2) № 1341 (г), 1342 (з).

2. С остальными учащимися решаем устно:

1) Найдите подбором корни уравнения:

д) ; е) х + 2 = 2х; з) ; ж) а·(а + 1) = 20.

Какие из этих уравнений являются линейными? Вспомните определение линейного уравнения.

2) Имеет ли корни уравнение:

3. Решить устно № 1331 (в; г), № 1334 (б), № 1333 (г; з).

4. Повторить правила для решения уравнений (хорошо использовать настенную таблицу «Решение уравнений»).

II. Решение уравнений и задач.

1. Решить № 1316 (ж; з) с комментированием на месте.

2. Решить № 1318 (в; г). Двое учащихся решают на доске, остальные – самостоятельно в тетрадях.

в) 2,1 · (4 – 6у) = — 42 г) –3 · (2 – 15х) = – 6

4 – 6у = – 42 : 2,1 2 – 15х = – 6 : (– 3)

4 – 6у = – 20 2 – 15х = 2

– 6у = – 20 – 4 – 15х = 2 – 2 = 0

у = – 24 : (– 6) х = 0 : (– 15)

Ответ: у = 4. Ответ: х = 0.

3. Решить № 1317 (б) на доске и в тетрадях.

б) .

Умножаем обе части уравнения на 12, получим

4. Решить № 1319 (в) на доске и в тетрадях.

в) ; ; умножаем левую и правую части уравнения на 4, получим

5. Решить задачу № 1323 на доске и в тетрадях.

Скорость автобуса 40 км/ч.

6. Повторить основное свойство пропорции и решить с его помощью уравнение № 1320 (а; в).

а) в)

3(х – 3) = 6 · 7 5(х + 7) = 3 · (2х – 3)

3 · (х – 3) = 42 5х + 35 = 6х – 9

х – 3 = 42 : 3 35 + 9 = 6х – 5х

7. Решить задачу № 1328, повторив правило нахождения дроби от числа.

Пусть длина первого куска веревки равна х м, тогда длина второго куска (63 – х) м.

х = 18,9 : 0,7 = 189 : 7 = 27.

Длина первого куска 27 м, второго куска 36 м.

Ответ: 27 м; 36 м.

III. Самостоятельная работа.

1. Решить уравнение:

а) 4,37 + 6,7х = 7,75 + 9,3х; б) 4 · (3 – х) – 11 = 7 · (2х – 5);

в) .

2. Первое число в 1,5 раза меньше второго. Если к первому числу прибавить 3,7, а от второго отнять 5,3, то получатся равные результаты. Найти эти числа.

1. Решить уравнение:

а) 8,9х + 17,54 = 5,4х + 2,84; б) 3 · (5 – х) + 13 = 4 · (3х – 8);

в) .

2. Первое число в 1,4 раза больше второго. Если от первого числа отнять 5,2, а ко второму прибавить 4,8, то получатся равные результаты. Найти эти числа.

Дополнительно (для тех учащихся, кто решит самостоятельную работу) решить древнегреческую задачу № 1340 на с. 234 учебника.

Домашнее задание : правила п. 42 выучить; решить № 1341 (в; д; е), № 1342 (к; л; м), № 1344, № 1350.

Цели : повторить и закрепить изученный материал, упражнять учащихся в решении уравнений и задач с помощью уравнений, подготовить учащихся к контрольной работе.

I. Анализ самостоятельной работы.

1. Сообщить результаты самостоятельной работы и указать ошибки.

2. Решить задания, вызвавшие затруднения у учащихся.

3. Решить устно № 1334 (а), 1336 (а; б).

II. Выполнение упражнений.

1. Ответить на вопросы на с. 230 учебника.

2. Решите уравнение (устно):

а) 5х – 9 = 3х + 1; в) 11х = – 4х; д) 6 · (х – 1) = 12;

б) – 2у + 14 = 8у – 6; г) 0,8х + 16 = 20 + 0,7х;

3. Решить № 1319 (ж; з) с комментированием на месте.

4. Решить № 1317 (в) на доске и в тетрадях.

в) . Умножим обе части уравнения на 6, получим

5. Решить уравнение № 1320 (б; г), повторив основное свойство пропорции.

б) г)

0,2 · (х – 2) = 0,7 · (х + 3)

0,2х – 0,4 = 0,7х + 2,1

9 · 5 = 5·(2х + 3) 0,7х – 0,2х = – 0,4 – 2,1

2х = 9 – 3 х = – 2,5 : 0,5 = – 5.

6. Решить задачу № 1326 (объясняет на доске учитель).

Пусть всего в библиотеке х книг, тогда – книги с художественными произведениями, – книги научно-попу-лярные, 160 книг – справочники.

Ответ: 6400 книг.

7. Решить задачу № 1325 с комментированием на месте.

Пусть в спортивный лагерь прибыло у туристов.

Прибыло 270 туристов.

Ответ: 270 туристов.

8. Решить задачу № 1327 на доске и в тетрадях.

Пусть все три завода изготовили х моторов, тогда первый завод изготовил 0,56 х моторов, второй завод моторов, третий завод 240 моторов.

Ответ: 1000 моторов.

9. Решить задачу: Разность двух чисел 33. Найдите эти числа, если 30 % большего из них равны меньшего.

Решение (объясняет учитель).

Пусть меньшее число равно у, тогда большее число равно у + 33; 30 % = 0,3;

0,3у + 9,9 =

;

.

Одно число равно 27, второе 27 + 33 = 60.

10. Решить задачу:

Сумма двух чисел равна 48. Найдите эти числа, если одного из них равны 60 % другого.

Пусть первое число х, тогда второе число равно (48 – х). Составим и решим уравнение:

;

11. Решить задачи № 1569 и 1570 с помощью составления таблицы.

Стало зерна поровну.

На первом элеваторе было 1800 т зерна, на втором 600 т.

Ответ: 1800 т, 600 т.

Домашнее задание : повторить правила п. 42, подготовиться к контрольной работе; решить № 1568, № 1570 (если не успели решить в классе), № 1348 (а), № 1358, № 1414. Прочитать исторический материал на с. 235–236 учебника.

Контрольная работа № 13 (1 час)

Цели: проверить знания и умения учащихся по изученному материалу, выявить пробелы в знаниях учащихся.

I. Организация учащихся на выполнение работы.

II. Выполнение работы по вариантам.

1. Решите уравнение 0,6 (х + 7) = 0,5 (х – 3) + 6,8.

2. На первой стоянке в 4 раза меньше автомашин, чем на второй. После того как на первую приехали 35 автомашин, а со второй уехали 25 автомашин, автомашин на стоянках стало поровну. Сколько автомашин было на каждой стоянке первоначально?

3. Сумма двух чисел равна 48. Найдите эти числа, если 40 % одного из них равны другого.

4. При каких значениях х выражения и будут равны?

5. Найдите два корня уравнения |– 0,63| : |х| = |– 0,9|.

1. Решите уравнение 0,3 (х – 2) = 0,6 + 0,2 (х + 4).

2. Во второй корзине было в 3 раза больше огурцов, чем в первой. Когда в первую корзину добавили 25 кг огурцов, а из второй взяли 15 кг огурцов, то в обеих корзинах огурцов стало поровну. Сколько килограммов огурцов было в каждой корзине?

3. Разность двух чисел равна 33. Найдите эти числа, если 30 % большего из них равны меньшего.

4. При каких значениях у выражения и будут равны?

5. Найдите два корня уравнения |– 0,7| · |у| = |– 0,42|.

1. Решите уравнение: 0,5 (х – 3) = 0,6 (4 + х) – 2,6.

2. В первом букете было в 4 раза меньше роз, чем во втором. Когда к первому букету добавили 15 роз, а ко второму 3 розы, то в обоих букетах роз стало поровну. Сколько роз было в каждом букете первоначально?

3. Разность двух чисел равна 5. Найдите эти числа, если меньшего из них равны 20 % большего.

4. При каких значениях х выражения и будут равны?

5. Найдите два корня уравнения |– 0,56| : |у| = |– 0,8|.

1. Решите уравнение: 0,7 + 0,3 (х + 2) = 0,4 (х – 3).

2. В первой корзине было в 3 раза больше ягод, чем во второй. Когда из первой корзины взяли 8 кг ягод, а во вторую добавили 14 кг ягод, то в корзинах ягод стало поровну. Сколько килограммов ягод было в каждой корзине первоначально?

3. Сумма двух чисел равна 138. Найдите эти числа, если одного из них равны 80 % другого.

4. При каких значениях у выражения и будут равны?

5. Найдите два корня уравнения |у| · |– 0,9| = |– 0,72|.

Домашнее задание : повторить изученный материал; принести чертежные треугольники и транспортиры.