Уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции
Задачи, связанные с обратными тригонометрическими функциями, часто вызывают у школьников старших классов значительные трудности. Связано это, прежде всего, с тем, что в действующих учебниках и учебных пособиях подобным задачам уделяется не слишком большое внимание, и если с задачами на вычисление значений обратных тригонометрических функций учащиеся еще как-то справляются, то уравнения и неравенства, содержащие эти функции, нередко ставят их в тупик. Последнее не удивительно, поскольку практически ни в одном учебнике (включая учебники для классов с углубленным изучением математики) не излагается методика решения даже простейших уравнений и неравенств такого рода. Предлагаемая вашему вниманию статья посвящена методам решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции. Надеемся, что она окажется полезной для учителей, работающих в старших классах – как общеобразовательных, так и математических.
Вначале напомним важнейшие свойства обратных тригонометрических функций.
1 Функция y = arcsin x определена и монотонно возрастает на отрезке [– 1; 1];
arcsin (– x) = – arcsin x (x О [– 1; 1]);
2 Функция y = arccos x определена и монотонно убывает на отрезке [– 1; 1];
3 Функция y = arctg x определена и монотонно возрастает на R;
arctg (– x) = – arctg x (x О R);
4 Функция y = arcctg x определена и монотонно убывает на R;
5
Свойства монотонности и ограниченности являются ключевыми при решении многих уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции. Перейдем к рассмотрению методов решения этих уравнений и неравенств.
I. Уравнения и неравенства, левая и правая части которых являются одноименными обратными тригонометрическими функциями
Решение уравнений и неравенств, левая и правая части которых представляют собой одноименные обратные тригонометрические функции различных аргументов, основывается, прежде всего, на таком свойстве этих функций, как монотонность. Напомним, что функции y = arcsin t и y = arctg t монотонно возрастают, а функции y = arccos t и y = arcctg t монотонно убывают на своих областях определения. Поэтому справедливы следующие равносильные переходы.
1 .
2 .
3 .
4 .
Замечание 1. Какой из двух равносильных систем пользоваться при решении уравнений 1а) и 2а), зависит от того, какое неравенство проще: | f(x) | Ј 1 (тогда используем первую систему), или | g(x) | Ј 1 (в этом случае используем вторую систему).
Пример 1. Решить уравнение arcsin (3x 2 – 4x – 1) = arcsin (x + 1).
Решение. Уравнение равносильно системе
Замечание 2. Решать неравенство, входящее в систему, вообще говоря, не обязательно. Достаточно проверить, удовлетворяют ли неравенству найденные корни уравнения, как это и было сделано при решении примера 1.
Пример 2. Решить неравенство arcctg (8x 2 – 6x – 1) Ј arcctg (4x 2 – x + 8).
Решение. Неравенство равносильно следующему:
Пример 3. Решить неравенство 3arcsin 2x
Пример 4. Решить неравенство arccos (x 2 – 3) Ј arccos (x + 3).
Пример 5. Решить уравнение arccos (4x 2 – 3x – 2) + arccos (3x 2 – 8x – 4) = p .
Решение. Так как p – arccos t = arccos (– t), то имеет место следующая цепочка равносильных преобразований:
arccos (4x 2 – 3x – 2) = p – arccos (3x 2 – 8x – 4) Ы
Ы arccos (4x 2 – 3x – 2) = arccos (– 3x 2 + 8x + 4) Ы
Аналогичные равносильные преобразования используются и при решении задач с параметрами.
Пример 7. Решить уравнение с параметром a: arcsin (ax 2 – ax + 1) + arcsin x = 0.
Решение. Уравнение равносильно уравнению
Рассмотрим два случая:
1) a = 0. В этом случае система примет вид:
2) a № 0. В этом случае уравнение системы является квадратным. Его корни:
Так как | x | Ј 1, то . Если a = – 1, то x2 = x1 = 1. Если a О (– Ґ Ч ; – 1) И [1; Ґ ), то уравнение имеет два корня.
Ответ: при при a = – 1 и a = 0 x = 1; при прочих a решений нет.
Пример 8. Решить неравенство с параметром a: arccos (3ax + 1) Ј arccos (2x + 3a – 1).
Решение. Неравенство равносильно системе
Решать последнюю систему можно графо-аналитическим методом, учитывая то, что при a > первое неравенство системы равносильно неравенству x і 1, при a – неравенству x Ј 1, при a = решением первого неравенства является любое действительное число. Множество всех точек (x; a) плоскости Oxa, удовлетворяющих системе, показано на рис. 1 штриховкой.
Ответ: при | a | > решений нет; при a = – x = 1;
II. Уравнения и неравенства, левая и правая части которых являются разноименными обратными тригонометрическими функциями
При решении уравнений и неравенств, левая и правая части которых являются разноименными обратными тригонометрическими функциями, пользуются известными тригонометрическими тождествами. Эта группа задач является чуть более сложной по сравнению с предыдущей. При решении многих уравнений такого рода бывает целесообразно не обсуждать вопрос о равносильности преобразований, а сразу переходить к уравнению-следствию и после его решения делать необходимую проверку. Рассуждения здесь могут быть примерно следующими. Пусть требуется решить уравнение arcsin f(x) = arccos g(x). Предположим, что x0 – решение этого уравнения. Обозначим arcsin f(x0) = arccos g(x0) через a. Тогда sin a = f(x0), cos a = g(x0), откуда f 2 (x0) + g 2 (x0) = 1. Итак, arcsin f(x) = arccos g(x) Ю f 2 (x) + g 2 (x) = 1. (1)
Рассуждая аналогично, можно получить следующие переходы:
Замечание 3. Корнем каждого из уравнений (1)–(4) может быть только такое число x0, для которого f(x0) і 0 и g(x0) і 0. В противном случае множество значений левой и правой частей уравнения не пересекаются.
Пример 9. Решить уравнение
Корень является посторонним.
Пример 10. Решить уравнение
Корень x = – 2 является посторонним.
Ответ: .
Пример 11. Решить уравнение arctg (2sin x) = arcctg (cos x).
Корни вида являются посторонними.
Ответ:
При решении неравенств, левая и правая части которых представляют собой разноименные обратные тригонометрические функции, целесообразно использовать метод интервалов, а в некоторых случаях учитывать свойства монотонных функций.
Пример 12. Решить неравенство
Решение. Рассмотрим функцию
и решим неравенство f(x) Ј 0 методом интервалов.
1) Найдем D(f). Для этого решим систему
2) Найдем нули f(x). Для этого решим уравнение
Корень x = – 2 является посторонним.
3) Решим неравенство f(x) Ј 0 методом интервалов.
Замечание 4. Заметим, что найдя корень уравнения можно было не обращаться к методу интервалов, а воспользоваться тем, что функция является монотонно возрастающей, а функция монотонно убывающей на отрезке . Поэтому решением исходного неравенства является промежуток [– 2; 1]. Следует, однако, понимать, что метод интервалов является более универсальным, – ведь его можно применять и в тех случаях, когда использование свойств монотонных функций не приводит к искомому результату.
При решении уравнений и неравенств данного типа, содержащих параметры, становится актуальным вопрос о равносильности преобразований. Чтобы преобразования (1)–(4) сделать равносильными, следует учесть естественные ограничения, связанные с областями определения обратных тригонометрических функций и множествами их значений (см. замечание 3). Так, например,
Пример 13. Решить уравнение с параметром a: arcctg (x – 2a) = arctg (2x – a).
Решение. Данное уравнение равносильно системе
Графиком квадратного трехчлена f(x) = 2x 2 – 5ax + 2a2 – 1 является парабола, ветви которой направлены вверх. Поскольку f(2a) = – 1 2a. Это корень
Ответ: при любом a
III. Замена переменной
Некоторые уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции, можно свести к алгебраическим, сделав соответствующую замену переменной. При этом следует помнить о естественных ограничениях на вводимую переменную, связанных с ограниченностью обратных тригонометрических функций.
Пример 14. Решить уравнение
Решение. Обозначим После преобразований получим уравнение
Поскольку
откуда
Ответ:
Пример 15. Решить неравенство arccos 2 x – 3arccos x + 2 і 2.
Решение. Пусть arccos x = t, 0 Ј t Ј p . Тогда
Поскольку откуда
Ответ: [– 1; cos 2] И [cos 1; 1].
Иногда свести уравнение или неравенство к алгебраическому можно с помощью тождества
Пример 16. Решить уравнение
Решение. Данное уравнение равносильно следующему:
Пусть arcsin x = t,
Тогда
IV. Использование свойств монотонности и ограниченности обратных тригонометрических функций
Решение некоторых уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции, основывается исключительно на таких свойствах этих функций, как монотонность и ограниченность. При этом используются следующие теоремы.
Теорема 1. Если функция y = f(x) монотонна, то уравнение f(x) = c (c = const) имеет не более одного решения.
Теорема 2. Если функция y = f(x) монотонно возрастает, а функция y = g(x) монотонно убывает, то уравнение f(x) = g(x) имеет не более одного решения.
Теорема 3. Если то на множестве X уравнение f(x) = g(x) равносильно
системе
Пример 17. Решить уравнение 2arcsin 2x = 3arccos x.
Решение. Функция y = 2arcsin 2x является монотонно возрастающей, а функция y = 3arccos x – монотонно убывающей. Число x = 0,5 является, очевидно, корнем данного уравнения. В силу теоремы 2 этот корень – единственный.
Пример 18. Решить уравнение
Решение. Пусть x 2 + x = t. Тогда уравнение примет вид
Функции являются монотонно возрастающими. Поэтому функция также является монотонно возрастающей. В силу теоремы 1 уравнение имеет не более одного корня. Очевидно, что t = 0 является корнем этого уравнения. Поэтому x 2 + x = 0
Пример 19. Решить неравенство
Решение. Левая часть неравенства представляет собой монотонно убывающую на отрезке функцию Уравнение в силу теоремы 1 имеет не более одного корня. Очевидно, что – корень этого уравнения. Поэтому решением неравенства является отрезок
Ответ:
Пример 20. Решить уравнение arcsin (x(x + y)) + arcsin (y(x + y)) = p .
Решение. Поскольку arcsin то левая часть уравнения не превосходит Знак равенства возможен, лишь если каждое слагаемое левой части равно . Таким образом, уравнение равносильно системе:
Решение последней системы не представляет труда.
Арксинус. Решение простейших уравнений с синусом. Часть 2
Арксинусом числа \(a\) (\(a∈[-1;1]\)) называют число \(x∈[-\frac<π><2>;\frac<π><2>]\) синус которого равен \(a\) т.е.
Проще говоря, арксинус обратен синусу.
На круге это выглядит так:
Как вычислить арксинус?
Чтобы вычислить арксинус — нужно ответить на вопрос: синус какого числа (лежащего в пределах от \(-\frac<π><2>\) до \(\frac<π><2>\) ) равен аргументу арксинуса?
Например, вычислите значение арксинуса:
а) Синус какого числа равен \(-\frac<1><2>\)? Или в более точной формулировке можно спросить так: если \(\sin x=-\frac<1><2>\), то чему равен \(x\)? Причем, обратите внимание, нам нужно такое значение, которое лежит между \(-\frac<π><2>\) и \(\frac<π><2>\). Ответ очевиден:
б) Синус какого числа равен \(\frac<\sqrt<3>><2>\)? Кто-то вспоминает тригонометрический круг, кто-то таблицу, но в любом случае ответ \(\frac<π><3>\).
в) Синус от чего равен \(-1\)?
Иначе говоря, \(\sin x=-1\), \(x=\) ?
Тригонометрический круг со всеми стандартными арксинусами:
Зачем нужен арксинус? Решение уравнения \(\sin x=a\)
Чтобы понять зачем придумали арксинус, давайте решим уравнение: \(\sin x=\frac<1><2>\).
Это не вызывает затруднений:
Внимание! Если вдруг затруднения всё же были, то почитайте здесь о решении простейших уравнений с синусом.
А теперь решите уравнение: \(\sin x=\frac<1><3>\).
Что тут будет ответом? Не \(\frac<π><6>\), не \(\frac<π><4>\), даже не \(\frac<π><7>\) — вообще никакие привычные числа не подходят, однако при этом очевидно, что решения есть. Но как их записать?
Вот тут-то на помощь и приходит арксинус! Значение правой точки равно \(\arcsin\frac<1><3>\), потому что известно, что синус равен \(\frac<1><3>\). Длина дуги от \(0\) до правой точки тогда тоже будет равна \(\arcsin\frac<1><3>\). Тогда чему равно значение второй точки? С учетом того, что правая точка находится на расстоянии равному \(\arcsin\frac<1><3>\) от \(π\), то её значение составляет \(π- \arcsin\frac<1><3>\).
Ок, значение этих двух точек нашли. Теперь запишем полный ответ: \( \left[ \begin
С арксинусом – бесконечное количество.
Пример. Решите тригонометрическое уравнение: \(\sin x=\frac<1><\sqrt<3>>\).
Решение:
Пример. Решите тригонометрическое уравнение: \(\sin x=\frac<1><\sqrt<2>>\).
Решение:
Кто поторопился написать ответ \( \left[ \begin
Значит в ответе вместо арксинусов нужно написать \(\frac<π><4>\).
Пример. Решите тригонометрическое уравнение: \(\sin x=\frac<7><6>\).
Решение:
И вновь тот, кто поторопился написать \( \left[ \begin
Думаю, вы уловили закономерность.
Если \(\sin x\) равен не табличному значению между \(1\) и \(-1\), то решения будут выглядеть как: \( \left[ \beginx= \arcsin a +2πn, n∈Z\\ x=π- \arcsin a +2πl, l∈Z\end\right.\)
Арксинус отрицательного числа
Прежде чем научиться решать тригонометрические уравнения с отрицательным синусом советую запомнить формулу:
Если хотите понять логику этой формулы, внимательно рассмотрите картинку ниже:
Удивил последний пример? Почему в нем формула не работает? Потому что запись \(\arcsin(-\frac<\sqrt<7>><2>)\) в принципе неверна, ведь \(-\frac<\sqrt<7>> <2>Синус
Тригонометрические уравнения
Арксинус и решение уравнения sin t =a
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
На этом уроке мы продолжим изучение арксинуса и решение уравнений вида sin t = a. В начале урока решим уравнение с нетабличным значением и рассмотрим решение на числовой окружности и на графике. Далее выведем общую формулу ответа для уравнения sin t = a, рассмотрим различные формы записи ответа и рассмотрим некоторые важные частные случаи решения. В конце урока решим несколько более сложных уравнений.
http://cos-cos.ru/ege/zadacha213/355/
http://interneturok.ru/lesson/algebra/10-klass/trigonometricheskie-uravneniyab/arksinus-i-reshenie-uravneniya-sin-t-a