T упрощать выражения в тригонометрических уравнениях

Упрощение тригонометрических выражений. Решение тригонометрических уравнений различными методами (подготовка к ЕГЭ). 11-й класс

Разделы: Математика

Класс: 11

Занятие 1

Тема: 11 класс (подготовка к ЕГЭ)

Упрощение тригонометрических выражений.

Решение простейших тригонометрических уравнений. (2 часа)

Цели:

• Систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанные с применением формул тригонометрии и решением простейших тригонометрических уравнений.
• Содействовать развитию математического мышления учащихся, умению наблюдать, сравнивать, обобщать, классифицировать.
• Побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности, к самоконтролю, самоанализу своей деятельности.

Оборудование к уроку: КРМу, ноутбуки на каждого ученика.

Структура урока:

1. Оргмомент
2. Тестирование на ноутбуках. Обсуждение результатов.
3. Упрощение тригонометрических выражений
4. Решение простейших тригонометрических уравнений
5. Самостоятельная работа.
6. Итог урока. Объяснение задания на дом.

1. Оргмомент. (2 мин.)

Учитель приветствует аудиторию, объявляет тему урока, напоминает о том, что ранее было дано задание повторить формулы тригонометрии и настраивает учащихся на тестирование.

2. Тестирование. (15мин + 3мин. обсуждение)

Цель – проверить знание тригонометрических формул и умение их применять. У каждого ученика на парте ноутбук в котором вариант теста .

Вариантов может быть сколько угодно, приведу пример одного их них:

I вариант.

а) основные тригонометрические тождества

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

2.

б) формулы сложения

4.

в) преобразование произведения в сумму

г) формулы двойных углов

д) формулы половинных углов

е) формулы тройных углов

ж) универсальная подстановка

з) понижение степени

Учащиеся на ноутбуке напротив каждой формулы видят свои ответы.

Работу мгновенно проверяет компьютер. Результаты высвечиваются на большом экране ко всеобщему обозрению.

Также после окончания работы показываются на ноутбуках учащихся правильные ответы. Каждый ученик видит, где сделана ошибка, и какие формулы ему нужно повторить.

3. Упрощение тригонометрических выражений. (25 мин.)

Цель – повторить, отработать и закрепить применение основных формул тригонометрии. Решение задач В7 из ЕГЭ.

На данном этапе класс целесообразно разбить на группы сильных (работают самостоятельно с последующей проверкой) и слабых учеников, которые работают с учителем.

Задание для сильных учащихся (заранее подготовлены на печатной основе). Основной упор сделан на формулы приведения и двойного угла, согласно ЕГЭ 2011.

Упростить выражения (для сильных учащихся):

Параллельно учитель работает со слабыми учащимися, обсуждая и решая под диктовку учеников задания на экране.

4)

5) sin(270º — α) + cos (270º + α)

6)

Наступила очередь обсуждения результатов работы сильной группы.

На экране появляются ответы, а также, с помощью видеокамеры выводятся работы 5-ти разных учеников (по одному заданию у каждого).

Слабая группа видит условие и метод решения. Идет обсуждение и анализ. С использованием технических средств это происходит быстро.

4. Решение простейших тригонометрических уравнений. (30 мин.)

Цель – повторить, систематизировать и обобщить решение простейших тригонометрических уравнений, запись их корней. Решение задачи В3.

Любое тригонометрическое уравнение, каким бы способом мы его не решали, приводит к простейшему.

При выполнении задания следует обращать внимание учащихся на запись корней уравнений частных случаев и общего вида и на отбор корней в последнем уравнении.

В ответ записать наименьший положительный корень.

5. Самостоятельная работа (10 мин.)

Цель – проверка полученных навыков, выявление проблем , ошибок и путей их устранения.

Предлагается разноуравневая работа на выбор учащегося.

1) Найти значение выражения

2) Упростить выражение 1 — sin 2 3α — cos 2 3α

3) Решить уравнение

1) Найти значение выражения

2) Решить уравнение В ответе записать наименьший положительный корень.

1) Найти tgα, если

2) Найти корень уравнения В ответ запишите наименьший положительный корень.

6. Итог урока (5 мин.)

Учитель подводит итоги о том, что на уроке повторили и закрепили тригонометрические формулы, решение простейших тригонометрических уравнений.

Задается домашнее задание (подготовленное на печатной основе заранее) с выборочной проверкой на следующем уроке.

9) В ответе указать наименьший положительный корень.

10) В ответе указать наименьший положительный корень.

Занятие 2

Тема: 11 класс (подготовка к ЕГЭ)

Методы решений тригонометрических уравнений. Отбор корней. (2 часа)

Цели:

• Обобщить и систематизировать знания по решению тригонометрических уравнений различных типов.
• Содействовать развитию математического мышления учащихся, умению наблюдать, сравнивать, обобщать, классифицировать.
• Побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности, к самоконтролю, самоанализу своей деятельности.

Оборудование к уроку: КРМу, ноутбуки на каждого ученика.

Структура урока:

1. Оргмомент
2. Обсуждение д/з и самот. работы прошлого урока
3. Повторение методов решений тригонометрических уравнений.
4. Решение тригонометрических уравнений
5. Отбор корней в тригонометрических уравнениях.
6. Самостоятельная работа.
7. Итог урока. Домашнее задание.

1. Оргмомент (2 мин.)

Учитель приветствует аудиторию, объявляет тему урока и план работы.

2. а) Разбор домашнего задания (5 мин.)

Цель – проверить выполнение. Одна работа с помощью видео камеры выдается на экран, остальные выборочно собираются на проверку учителя.

б) Разбор самостоятельной работы (3 мин.)

Цель – разобрать ошибки , указать способы их преодоления.

На экране ответы и решения, у учащихся заранее выданные их работы. Быстро идет анализ.

3. Повторение методов решения тригонометрических уравнений (5 мин.)

Цель – вспомнить методы решения тригонометрических уравнений.

Спросить у учащихся, какие методы решений тригонометрических уравнений они знают. Акцентировать на том, что есть так называемые основные (часто используемые) методы:

• замена переменной,
• разложение на множители,
• однородые уравнения,

и есть прикладные методы:

• по формулам преобразования суммы в произведение и произведения в сумму,
• по формулам понижения степени,
• универсальная тригонометрическая подстановка
• введение вспомогательного угла,
• умножение на некоторую тригонометрическую функцию.

Также нужно напомнить, что одно уравнение может решаться различными способами.

4. Решение тригонометрических уравнений (30 мин.)

Цель – обощить и закрепить знания и навыки по данной теме, подготовиться к решению С1 из ЕГЭ.

Считаю целесообразным прорешать вместе с учащимися уравнения на каждый метод.

Ученик диктует решение, учитель записывает на планшет, весь процесс отображается на экране. Это позволит быстро и эффективно восстановить в памяти ранее пройденный материал.

1) замена переменной 6cos 2 x + 5sinx — 7 = 0

2) разложение на множители 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) однородные уравнения sin 2 x + 3cos 2 x — 2sin2x = 0

4) преобразование суммы в произведение cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) преобразование произведения в сумму 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) понижение степени sin2x — sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) универсальная тригонометрическая подстановка sinx + 5cosx + 5 = 0.

Решая это уравнение, следует отметить, что использование данного метода ведет к сужению области определения, так как синус и косинус заменяется на tg(x/2). Поэтому, прежде чем выписывать ответ, нужно сделать проверку, являются ли числа из множества π + 2πn, n Z конями данного уравнения.

8) введение вспомогательного угла √3sinx + cosx — √2 = 0

9) умножение на некоторую тригонометрическую функцию cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Отбор корней тригонометрических уравнений (20 мин.)

Так как в условиях жесткой конкуренции при поступлении в ВУЗы решение одной первой части экзамена недостаточно, то следует большинству учащихся обращать внимание на задания второй части (С1,С2,С3).

Поэтому цель этого этапа занятия – вспомнить ранее изученный материал, подготовиться к решению задачи С1 из ЕГЭ 2011 года.

Существуют тригонометрические уравнения, в которых нужно производить отбор корней при выписке ответа. Это связано с некоторыми ограничениями, например: знаменатель дроби не равен нулю, выражение под корнем четной степени неотрицательно, выражение под знаком логарифма положительно и т.д.

Такие уравнения считаются уравнениями повышенной сложности и в варианте ЕГЭ находятся во второй части, а именно С1.

1)

Дробь равна нулю, если тогда с помощью единичной окружности произведем отбор корней (см. рисунок 1)

получим x = π + 2πn, n Z

Ответ: π + 2πn, n Z

На экране отбор корней показывается на окружности в цветном изображении.

2)

Произведение равно нулю когда хотя бы один из множителей равен нулю, а дугой, при этом, не теряет смысла. Тогда

С помощью единичной окружности отберем корни (см. рисунок 2)

тогда ,

Ответ: .

3) (2cos 2 x + 5cosx + 2) log₅(tgx) = 0

Вспоминаем когда произведение равно нулю и переходим к системе:

отметим на единичной окружности корни уравнений и выберем из них те, которые удовлетворяют неравенствам (см. рисунок 3),

получим

Ответ:

4)

Вспоминаем когда дробь равна нулю и переходим к системе:

решив первое уравнение, получаем

с помощью единичной окружности выбираем корни (см. рисунок 4),

получаем x = π/6 + 2πn, n Z

Ответ: π/6 + 2πn, n Z.

5)

Переходим к системе:

В первом уравнении системы сделаем замену log₂(sinx) = y, получим уравнение тогда , вернемся к системе

с помощью единичной окружности отберем корни (см. рисунок 5),

6. Самостоятельная работа (15 мин.)

Цель – закрепить и проверить усвоение материала, выявить ошибки, наметить пути их исправления.

Работа предлагается в трех вариантах, заготовленных заранее на печатной основе, на выбор учащихся.

Решать уравнения можно любым способом.

1) 2sin 2 x + sinx — 1 = 0

1) cos2x = 11sinx — 5

2) (2sinx + √3)log₈(cosx) = 0

1) 2sinx — 3cosx = 2

2)

7. Итог урока, домашнее задание (5 мин.)

Учитель подводит итог урока, еще раз обращается внимание на то, что тригонометрическое уравнение можно решить несколькими способами. Самый лучший способ для достижения быстрого результата это тот, который лучше всего усвоен конкретным учеником.

При подготовке к экзамену нужно систематически повторять формулы и методы решения уравнений.

Домашнее задание (приготовлено заранее на печатной основе) раздается и комментируются способы решений некоторых уравнений.

1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x

2) 5sin(x/6) — cos(x/3) + 3 = 0

3) 4sin 2 x + sin2x = 3

4) sin 2 x + sin 2 2x — sin 2 3x — sin 2 4x = 0

5) cos3x cos6x = cos4x cos7x

6) 4sinx — 6cosx = 1

7) 3sin2x + 4 cos2x = 5

8)cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8)cos15x

9) (2sin 2 x — sinx)log₃(2cos 2 x + cosx) = 0

10) (2cos 2 x — √3cosx)log₇(-tgx) = 0

11)

Упрощение тригонометрических выражений. Задание 9

Упрощение тригонометрических выражений. Задание 9.

При упрощении тригонометрических выражений полезно придерживаться такой последовательности действий:

1. С помощью формул приведения привести все тригонометрические функции к углам первой четверти.

2. Посмотреть, как соотносятся между собой полученные углы, чтобы определить, какие формулы использовать для преобразования выражения. В большинстве задач это формулы двойного аргумента или соотношение

Прежде чем читать дальше, очень рекомендую перечитать статью, как пользоваться формулами приведения и не заучивать их.

Рассмотрим несколько примеров решения задач на упрощение тригонометрических выражений из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.

1 . Задание B10 (№ 26756) Найдите значение выражения

Мы видим, что , поэтому либо разложим знаменатель по формуле косинуса двойного аргумента, либо, наоброт свернем числитель по той же формуле:

Ответ: -24.

2 . Задание B10 (№ 26757) Найдите значение выражения

Заметим, что

Воспользеумся фомулой приведения:

Ответ: 5.

3 . Задание B10(№ 26757) Найдите значение выражения

Преобразуем аргументы тригонометрических функций в знаменателе дроби:

Вспомним, что синус — нечетная функция, а косинус — четная:

С помощью тригонометрического круга определим значение

и :

Получим:

Ответ: — 16.

4 . Задание B10 (№ 26770) Найдите значение выражения

Воспользуемся формулой приведения:

Ответ: — 5.

5 . Задание B10 (№ 26774) Найдите значение выражения

Снова воспользуемся формулой приведения:

Ответ: 12.

6 . Задание B10 (№ 26776) Найдите , если и

По основному тригонометрическому тождеству:

Косинус в третьей четверти отрицателен, поэтому

Отсюда

Ответ: 5.

7 . Задание B10 (№ 26781) Найдите значение выражения

Презентация по математике «Упрощение тригонометрических выражений» (10 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Тригонометрические формулы. 10 класс Упрощение тригонометрических выражений. УМК А. Г. Мордковича

Величие человека – в его способности мыслить. (Б. Паскаль)

Содержание 1. Формулы тригонометрии: Основные тригонометрические тождества (10) Формулы сложения (6) Формулы двойного угла (8) Формулы тройного угла (2) Формулы половинного аргумента (7) Формулы понижения степени (7) Преобразование сумм в произведения (9) Преобразование произведений в суммы (3) 2. Вычислить, упростить, решить уравнение (18)

Основные тригонометрические формулы 1. =>

Основные тригонометрические формулы

Формулы сложения 1. Sin (x + y)= sinx·cosy + cosx·siny 2. cos(x + y)= cosx·cosy — sinx·siny 3. sin(x – y)= sinx·cosy — cosx·siny 4. cos(x – y)= cosx·cosy + sinx·siny 5. 6.

Формулы двойного угла 1. sin2x = 2 sinx·cosx; 2. cos2x = cos²x — sin²x; 3. cos2x = 1 – 2sin²x; 4. cos2x = 2cos²x — 1; 5. 6.

Формулы двойного угла 7. 1 + sin2x = (cosx + sinx)² 8. 1 — sin2x = (cosx — sinx)²

Формулы тройного угла 1. sin 3x = 3 sinx – 4 sin³x 2. cos 3x = 4cos³x — 3cosx

Формулы половинного аргумента

Формулы половинного аргумента

Формулы половинного аргумента

Формулы понижения степени

Формулы понижения степени Sin³α = ¼(3sinα – sin3α) Cos³α = ¼(cos3α – 3 cosα) Sin⁴α = 1/8 (cos4α – 4cos2α+3) cos ⁴α = 1/8 (cos4α + 4cos2α+3)

Преобразование суммы в произведение

Преобразование суммы в произведение

Преобразование суммы в произведение Cosβ + sinβ = √2·cos(π/4 – β) Cosβ — sinβ = √2·sin(π/4 – β)

Преобразование произведения в сумму 1) Sinx · siny = ½(cos(x-y) – cos(x+y)) 2) Cosx · cosy = ½(cos(x-y) + cos(x+y)) 3) Sinx · cosy = ½(sin(x-y) + sin(x+y)) или 1) 2·Sinx · siny = cos(x-y) – cos(x+y) 2) 2·Cosx · cosy =cos(x-y) + cos(x+y) 3) 2·Sinx · cosy = sin(x-y) + sin(x+y)

Вычислить Sin 75° 2) cos 75° Решение. 1) Sin 75° = Sin (30°+45°)= = Sin 30°· cos 45°+ Sin 45°· cos 30°= =1/2·√2/2 + √2/2 ·√3/2 = √2/4+ √6/4= =(√2+√6)/4 2) Ответ: (√6 — √2)/4 Sin (x + y)= sinx·cosy + cosx·siny

Вычислить sin4π/15 · cosπ/15 + cos4π/15 · sin 4π/15 Решение. Sin4π/15 · cosπ/15 + cos4π/15 · sinπ/15= =sin(4π/15 + π/15) = = sin(π/3)= √3/2 Sin (x + y)= sinx·cosy + cosx·siny

Вычислить самостоятельно cos37° · cos8° — sin37°· sin8° Ответ: √2/2 sin44° · cos14° — cos44°· sin14° Ответ: 1/2

Вычислить tg75° Решение. tg75°= tg(30°+45°) =…. = (√3/3+1): (1- √3/3·1) =

Вычислить самостоятельно Решение.

Вычислить Cos²π/8 — sin²π/8 Решение. Cos²π/8 — sin²π/8 = Cos (2· π/8) = = Cos π/4 = … Ответ: √2/2 cos2x = cos²x — sin²x

Вычислить Sin π/12 · cos π/12 Решение. Sin π/12·cos π/12=Sin(2· π/12):2= = Sin(π/6):2=(1/2):2=… Ответ: 1/4 sin2x = 2 sinx·cosx

Упростить выражение Sin 43° + sin 17° Решение. Sin43°+sin17°=

Упростить выражение Cos π/8 + cos 3π/8 Решение. Cosπ/8+cos3π/8=

Упростить выражение 2sinxcosx(cos²x-sin²x) Решение. 2sinxcosx·(cos²x-sin²x)= sin2x·cos2x=

Решить уравнение Sin 5x + sin x = 0 Решение. 2· Sin3х·cos2x = 0 => т.к. 2≠0, то Sin3х=0 или cos2x=0 (дальше решаете сами)

Вычислить, не пользуясь таблицами а) 2sin37°30´·cos7°30´ б) sin52°30´·cos7°30´ в) cos37°30´·cos7°30´ г) sin52°30´·sin7°30´

Решение а) =sin(37°30´+7°30´)+ sin(37°30´-7°30´)= = sin45°+ sin30°=√2/2+1/2=… б) =0,5·(sin(52°30´-7°30´)+sin(52°30´+7°30´))= = 0,5·(sin(45°)+ sin(60°))= 0,5·(√2/2+√3/2)=… в) =0,5·(cos(37°30´-7°30´)+cos(37°30´+7°30´))= = 0,5·(cos(30°)+cos(45°))= 0,5·(√3/2+ √2/2)=… г) =0,5·(cos(52°30´-7°30´)-cos (52°30´+7°30´))= = 0,5·(cos(45°)-cos(60°))= 0,5·(√2/2-1/2))=…

Вычислить Решение. (кто желает объяснить) Ответ: -2

Вычислить Решение. Ответ: 0,5 (кто желает объяснить)

Могут ли одновременно выполняться равенства? Решение. Ответ: да (кто желает объяснить)

Могут ли одновременно выполняться равенства? Ответ: нет

Могут ли одновременно выполняться равенства? Ответ: да

Используемые ресурсы Учебник А.Г.Мордковича «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс,- М., Мнемозина,2012 Задачник А.Г.Мордковича «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс,- М., Мнемозина,2012 В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик, Математика, — М., Высшая школа, 1991 http://cbs-solncevo.ru/wp-content/uploads/2012/05/%D0%9C%D1%83%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%8F-%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0-%D1%83%D1%87%D0%B8%D1%82-%D0%BD%D0%B0%D1%81-%D1%83%D0%BC%D1%831.jpg

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 929 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 313 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 586 953 материала в базе

Материал подходит для УМК

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.

Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 21.01.2016
• 1160
• 0

• 21.01.2016
• 478
• 0

• 21.01.2016
• 744
• 0

• 21.01.2016
• 1000
• 5

• 21.01.2016
• 556
• 0

• 21.01.2016
• 1234
• 3

• 21.01.2016
• 2595
• 52

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 21.01.2016 11228
• PPTX 997 кбайт
• 119 скачиваний
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Базарбаева Ольга Серикпаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 22759
• Всего материалов: 9

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минобрнауки создаст для вузов рекомендации по поддержке молодых семей

Время чтения: 1 минута

Ленобласть распределит в школы прибывающих из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Только на 23 февраля!
Получите новую
специальность
по низкой цене

Цена от 1220 740 руб. Промокод на скидку Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки