Таблица для уравнений синус косинус

Таблица синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов

Таблицы Брадиса для sin, cos, tg, ctg.

Таблица синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов содержит вычисленные значения тригонометрических функций для определенного угла от 0 до 360 градусов в виде простой таблицы и в виде таблицы Брадиса. Так же приведены значения тригонометрических функций в радианах для наиболее распространённых углов, применяемых при вычислениях.

Таблицы с вычисленными значениями sin, cos, tg, ctg применяются для упрощения и ускорения математических вычислений, когда нет возможности воспользоваться калькулятором или компьютером.

• sin
• cos
• tg
• ctg
• триг. функции
• Брадиса sin и cos
• Брадиса tg и ctg

Таблица синусов от 0°до 360°

sin 0° = sin 360° = 0

Таблица косинусов от 0° до 360°

cos 0° = cos 360° = 1

Таблица тангенсов от 0° до 360°

tg 0° = tg 360° = 0

Таблица котангенсов от 0° до 360°

Значения тригонометрических функций в радианах для наиболее распространённых углов.

Таблица Брадиса для синусов и косинусов

Таблица Брадиса для тангенсов и котангенсов

Тригонометрия и тригонометрические функции

Тригонометрия – раздел математики, изучающий зависимости углов и сторон треугольников, которые выражены функциями, называемыми тригонометрическими.

Функция – это правило, описывающее зависимость одной величины от другой.

Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя линиями, не лежащими на одной прямой и выходящими или пересекающимися в одной точке.

Углы по своему виду могут быть:

• острыми – меньше 90 градусов
• тупыми – больше 90 градусов
• прямыми – равными 90 градусов (прямые или отрезки перпендикулярны)

Треугольник – это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Отрезки называют сторонами треугольника, а точки – вершинами треугольника.

В зависимости от соотношения сторон и углов, треугольники можно разделить на группы:

Прямоугольный треугольник

гипотенуза – сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла и являющаяся самой длинной стороной прямоугольного треугольника.

катет – одна из сторон прямоугольного треугольника, образующая прямой угол треугольника. Может называться противолежащим или прилежащим. Противолежащий – это катет, расположенный напротив рассматриваемого угла треугольника, прилежащий – это катет, прилежащий к рассматриваемому углу треугольника.

Чтобы вычислить какой-либо неизвестный элемент (сторону или угол) имеющегося треугольника, зная часть элементов того же треугольника, используют определенные зависимости (правила) между величинами углов и длинами сторон этого треугольника. Такие зависимости называют тригонометрическими функциями.

К базовым тригонометрическим функциям относятся:

То есть, тригонометрические функций позволяют, зная какой-либо угол и сторону, вычислить значения других неизвестных элементов треугольника.

Таблицы с вычисленными значениями синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов.

Для ускорения расчетов, когда нет под рукой калькулятора, смартфона или компьютера, раньше были очень популярны таблицы с заранее вычисленными соотношениями сторон треугольников, выраженными в вычисленных значениях sin, cos, tg.

Например, зная из таблицы значения вычисленных заранее тригонометрических функций известного угла треугольника и длину одной из его сторон, можно быстро вычислить длины других сторон треугольника и величины неизвестных углов.

Тригонометрические уравнения — формулы, решения, примеры

Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше.

Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшими называются уравнения `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, где `x` — угол, который нужно найти, `a` — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.

1. Уравнение `sin x=a`.

При `|a|>1` не имеет решений.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное число решений.

Формула корней: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Уравнение `cos x=a`

При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное множество решений.

Формула корней: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.

3. Уравнение `tg x=a`

Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Уравнение `ctg x=a`

Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

Для синуса:Для косинуса:Для тангенса и котангенса:Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

• с помощью тригонометрических формул преобразовать его до простейшего;
• решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.

Рассмотрим на примерах основные методы решения.

Алгебраический метод.

В этом методе делается замена переменной и ее подстановка в равенство.

Пример. Решить уравнение: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 — x)+1=0`

Решение. Используя формулы приведения, имеем:

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

делаем замену: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, тогда `2y^2-3y+1=0`,

находим корни: `y_1=1, y_2=1/2`, откуда следуют два случая:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Ответ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Разложение на множители.

Пример. Решить уравнение: `sin x+cos x=1`.

Решение. Перенесем влево все члены равенства: `sin x+cos x-1=0`. Используя формулы двойного угла, преобразуем и разложим на множители левую часть:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Ответ: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Приведение к однородному уравнению

Вначале нужно данное тригонометрическое уравнение привести к одному из двух видов:

`a sin x+b cos x=0` (однородное уравнение первой степени) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (однородное уравнение второй степени).

Потом разделить обе части на `cos x \ne 0` — для первого случая, и на `cos^2 x \ne 0` — для второго. Получим уравнения относительно `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, которые нужно решить известными способами.

Пример. Решить уравнение: `2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=1`.

Решение. Запишем правую часть, как `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени, разделим его левую и правую части на `cos^2 x \ne 0`, получим:

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Введем замену `tg x=t`, в результате `t^2 + t — 2=0`. Корни этого уравнения: `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогда:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Ответ. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Переход к половинному углу

Пример. Решить уравнение: `11 sin x — 2 cos x = 10`.

Решение. Применим формулы двойного угла, в результате: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Применив описанный выше алгебраический метод, получим:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Введение вспомогательного угла

В тригонометрическом уравнении `a sin x + b cos x =c`, где a,b,c — коэффициенты, а x — переменная, разделим обе части на `sqrt `:

Коэффициенты в левой части имеют свойства синуса и косинуса, а именно сумма их квадратов равна 1 и их модули не больше 1. Обозначим их следующим образом: `\frac a>=cos \varphi`, ` \frac b> =sin \varphi`, `\frac c>=C`, тогда:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Подробнее рассмотрим на следующем примере:

Пример. Решить уравнение: `3 sin x+4 cos x=2`.

Решение. Разделим обе части равенства на `sqrt <3^2+4^2>`, получим:

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Обозначим `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Так как `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, то в качестве вспомогательного угла возьмем `\varphi=arcsin 4/5`. Тогда наше равенство запишем в виде:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Применив формулу суммы углов для синуса, запишем наше равенство в следующем виде:

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

Это равенства с дробями, в числителях и знаменателях которых есть тригонометрические функции.

Пример. Решить уравнение. `\frac <1+cos x>=1-cos x`.

Решение. Умножим и разделим правую часть равенства на `(1+cos x)`. В результате получим:

Учитывая, что знаменатель равным быть нулю не может, получим `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Приравняем к нулю числитель дроби: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Учитывая, что ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решениями будут `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!

Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Формулы тригонометрических уравнений

Для удобной работы все формулы для решения простейших тригонометрических уравнений, включая частные случаи, а также таблицы арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов собраны на одной странице.

I. sin x =a

При │a│>1 это уравнение решений не имеет.

При │a│не превосходящем 1 уравнение имеет бесконечное множество решений:

Таблица арксинусов

II. cos x=a

При │a│>1 это уравнение решений не имеет.

При │a│не превосходящем 1 уравнение имеет бесконечное множество решений:

Таблица арккосинусов

Частные случаи синуса и косинуса:

III. tg x=a

Уравнение имеет бесконечное множество решений при любых значениях a.

Таблица арктангенсов

IV. ctg x = a

Уравнение имеет бесконечное множество решений при любых значениях a.

Таблица арккотангенсов

21 комментарий на «Формулы тригонометрических уравнений»

Отличный сайт, спасибо, помог.

Спасибо за отличную оценку!
Я рада, что сайт Вам помог.

Пожалуйста!) Успехов Вам в учебе!

Сайт действительно хороший =)
Интересно, просто, ясно.
Спасибо Вам, Светлана Иванова!

Ариша, спасибо за теплый отзыв!

Опечатка в таблице арккотангенсов )
А так все отлично, хорошая статья

Опечатку исправила. Спасибо!

Не силен в этих науках и школу прогуливал всегда!Жалею теперь об этом!Но вот беда ума не могу приложить что может значить arccos0,932 что это?с чем его едят ?И как его посчитать!Смотрю на выше написанное и не пойму как мне это применить!Помгите убогому!

Антон, разобраться в математике можно в любом возрасте, было бы желание. Но придется потрудиться (а где без этого?).
arccos 0,932 — это такое число из промежутка [0;П], косинус которого равен 0,932.
Можно открыть таблицу Брадиса и найти угол, косинус которого равен этому числу: [0,932 approx cos <21^o>]Далее, если требуется ответ представить в радианах, градусы переводим в радианы. [pi = <180^o>, Rightarrow <1^o>= frac<<180>>,][ <21^o>= 21 cdot frac<<180>> = frac<<7pi >><<60>>.]Отсюда [arccos 0,932 approx frac<<7pi >><<60>>.]
Если же arccos 0,932 появился в ходе решения тригонометрического уравнения — оставляйте его в таком виде.
Например:[cos x = 0,932][x = pm arccos 0,932 + 2pi n,n in Z.]Все, дальше ничего считать не надо (запись в таком виде — точное решение, а при нахождении арккосинуса ответ станет не точным, а приближенным. Поэтому его и не принято упрощать).

Светлана спасибо вам большое за помощь)Есть еще один вопросик я весь google перекопал. Какова единица измерения числа которое получается в результате вычисления cos или sin угла например sin47.376 градусов =0,735??какая единица измерения Arccos0,735=42.692. что это за величина и какая ее единица измерения?Голова дымит, а надо знать это,а то на работу не возьмут!

Косинус угла и синус угла — это просто число (в пределах от -1 до 1). Неважно, задан угол в градусах или в радианах.
Теперь — об арксинусах и арккосинусах. Если использовать таблицу Брадиса, arccos0,735 ищем как угол, косинус которого равен 0,735. [cos <42^o>approx 0,735]То есть Ваши 42.692, насколько я понимаю, градусы. Но в градусах значения арккосинуса и арксинуса не оставляют. Нужно перевести в радианы. [ <42^o>= 42 cdot frac<<180>> = frac<<7pi >><<30>>.]7П/30 радиан, радианы не пишут. Радианная мера позволяет от градусной меры угла перейти к числам, чтобы потом графики тригонометрических функций в декартовой системе координат строить можно было, например.

Спасибо вы целиком и полностью удовлетворили мой интерес!

Спасибо за шпору =), пошел сдавать

Ещё о таблицах. Точнее их отсутствии…
на калькуляторе мы получаем cos, затем arccos. Верно ли я понимаю, что значения arccos вычисляются в радианной мере, и после этого следует обязательно перевести в градусную меру? (Таблицы Брадиса, также как и любые другие, идут уже (!) с перерасчетом радианов в градусы. ) …но таблиц нет, к примеру. Некоторые on-line–научные калькуляторы имеют опцию переключения с градусов в радианы и/или наоборот; при этом по умолчанию может стоять опция (галочка) как радианной меры, так и градусной.
Вопрос: в каких случаях надобно переходить с радианов в градусы?
(функции MS Office Excel, например, предусматривают именно трёхстадийный процесс вычисления: cos, arccos, затем перевод радианов в градусы).
И ещё вопросик: Таблицы содержат значения синусов/косинусов только для острых углов в ПРЯМОУГОЛЬНОМ треугольнике?
Пример, имеется равносторонний треугольник (все стороны и углы равны), нам надо найти угол (мы его не знаем). Сторона (все три стороны равны) = 60 см. Т.е. поделив все [равные] стороны получим
sin = cos = tg = ctg = sec = cosec = 1
но по этому значению угол [каковой реально 60°] найти в таблицах невозможно. Спасибо!

Nick, прошу прощения, что затянула с ответом. Меня мучает совесть(
С калькулятором я практически не работаю, предпочитаю считать либо устно, либо письменно. Если нужно, пользуюсь таблицами Брадиса. Над нюансами вычислений с калькулятором не задумывалась.
Значения синуса и косинуса зависят только от угла, но не от вида треугольника. Мы вводим определение синуса в прямоугольном треугольнике как отношение противолежащего катета к гипотенузе, потом расширяем определение, называя синусом угла альфа ординату точки единичной окружности, полученной из точки (1;0) поворотом на угол альфа.
Синус угла в произвольном треугольнике можно найти посредством через теорему синусов, через площадь треугольника (из формулы S=1/2 ab sin α), или провести высоту и рассмотреть прямоугольный треугольник.
В таблице Брадиса значения тригонометрических функций даны только для острых углов. Для тупых углов значения находят с помошью формул приведения.

Объясните мне, пожалуйста, если п принадлежит Z, где п — , Z — .я не могу понять когда п четное, п — нечетное и что такое Z?

Тамара, семейство решений для общего случая уравнений sinx=a

можно разбить на два семейства решений:
1) при n=2k (то есть для чётных)

2) при n=2m+1 (то есть для нечётных)

Z — множество целых чисел, то есть 0; ±1; ±2; ±3; …

Страница интересная,но я не нашла частные случаи для тангенса и котангенса.Помогите пожалуйста(очень нужно

Евгения, формул частных случаем для тангенса и котангенса нет. Иногда частными случаями называют уравнения вида tgx=1; tgx=-1; ctgx=1; ctgx=-1, но общая формула верна и для каждого из этих случаев.