Таблица формул корней тригонометрических уравнений

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.

19.1. Уравнение cos x = a

Объяснение и обоснование

1. Корни уравненияcosx=a.

При |a| > 1 уравнение не имеет корней, поскольку |cos x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке из пункта 1 таблицы 1 при a > 1 или при a 1 уравнение не имеет корней, поскольку |sin x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке 1 при a > 1 или при a n arcsin a + 2πn, n ∈ Z (3)

2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.

Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).

Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда

Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,

Также sin x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,

Примеры решения задач

Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:

19.3. Уравнения tg x = a и ctg x = a

Объяснение и обоснование

1.Корни уравнений tg x = a и ctg x = a

Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке функция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x₁ = arctg a и для этого корня tg x = a.

Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:

При a=0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение tg x = 0 имеет корни x = πn (n ∈ Z).

Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x₁=arсctg a.

Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctg x = a:

таким образом, уравнение ctg x = 0 имеет корни

Примеры решения задач

Вопросы для контроля

1. Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
2. Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
3. Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
4. Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.

Упражнения

Решите уравнение (1-11)

Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)

Тригонометрические уравнения — формулы, решения, примеры

Равенство, содержащее неизвестную под знаком тригонометрической функции (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), называется тригонометрическим уравнением, именно их формулы мы и рассмотрим дальше.

Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшими называются уравнения `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, где `x` — угол, который нужно найти, `a` — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.

1. Уравнение `sin x=a`.

При `|a|>1` не имеет решений.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное число решений.

Формула корней: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Уравнение `cos x=a`

При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное множество решений.

Формула корней: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.

3. Уравнение `tg x=a`

Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Уравнение `ctg x=a`

Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Формулы корней тригонометрических уравнений в таблице

Для синуса:Для косинуса:Для тангенса и котангенса:Формулы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Методы решения тригонометрических уравнений

Решение любого тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:

• с помощью тригонометрических формул преобразовать его до простейшего;
• решить полученное простейшее уравнение, используя выше написанные формулы корней и таблицы.

Рассмотрим на примерах основные методы решения.

Алгебраический метод.

В этом методе делается замена переменной и ее подстановка в равенство.

Пример. Решить уравнение: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 — x)+1=0`

Решение. Используя формулы приведения, имеем:

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

делаем замену: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, тогда `2y^2-3y+1=0`,

находим корни: `y_1=1, y_2=1/2`, откуда следуют два случая:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Ответ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Разложение на множители.

Пример. Решить уравнение: `sin x+cos x=1`.

Решение. Перенесем влево все члены равенства: `sin x+cos x-1=0`. Используя формулы двойного угла, преобразуем и разложим на множители левую часть:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Ответ: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Приведение к однородному уравнению

Вначале нужно данное тригонометрическое уравнение привести к одному из двух видов:

`a sin x+b cos x=0` (однородное уравнение первой степени) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (однородное уравнение второй степени).

Потом разделить обе части на `cos x \ne 0` — для первого случая, и на `cos^2 x \ne 0` — для второго. Получим уравнения относительно `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, которые нужно решить известными способами.

Пример. Решить уравнение: `2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=1`.

Решение. Запишем правую часть, как `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени, разделим его левую и правую части на `cos^2 x \ne 0`, получим:

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Введем замену `tg x=t`, в результате `t^2 + t — 2=0`. Корни этого уравнения: `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогда:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Ответ. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Переход к половинному углу

Пример. Решить уравнение: `11 sin x — 2 cos x = 10`.

Решение. Применим формулы двойного угла, в результате: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Применив описанный выше алгебраический метод, получим:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Введение вспомогательного угла

В тригонометрическом уравнении `a sin x + b cos x =c`, где a,b,c — коэффициенты, а x — переменная, разделим обе части на `sqrt `:

Коэффициенты в левой части имеют свойства синуса и косинуса, а именно сумма их квадратов равна 1 и их модули не больше 1. Обозначим их следующим образом: `\frac a>=cos \varphi`, ` \frac b> =sin \varphi`, `\frac c>=C`, тогда:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Подробнее рассмотрим на следующем примере:

Пример. Решить уравнение: `3 sin x+4 cos x=2`.

Решение. Разделим обе части равенства на `sqrt <3^2+4^2>`, получим:

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Обозначим `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Так как `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, то в качестве вспомогательного угла возьмем `\varphi=arcsin 4/5`. Тогда наше равенство запишем в виде:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Применив формулу суммы углов для синуса, запишем наше равенство в следующем виде:

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

Это равенства с дробями, в числителях и знаменателях которых есть тригонометрические функции.

Пример. Решить уравнение. `\frac <1+cos x>=1-cos x`.

Решение. Умножим и разделим правую часть равенства на `(1+cos x)`. В результате получим:

Учитывая, что знаменатель равным быть нулю не может, получим `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Приравняем к нулю числитель дроби: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тогда `sin x=0` или `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Учитывая, что ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решениями будут `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Ответ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометрия, и тригонометрические уравнения в частности, применяются почти во всех сферах геометрии, физики, инженерии. Начинается изучение в 10 классе, обязательно присутствуют задания на ЕГЭ, поэтому постарайтесь запомнить все формулы тригонометрических уравнений — они вам точно пригодятся!

Впрочем, даже запоминать их не нужно, главное понять суть, и уметь вывести. Это не так и сложно, как кажется. Убедитесь сами, просмотрев видео.

Тригонометрические формулы. Их вывод

Наиболее часто встречающиеся тригонометрические формулы:

\(\blacktriangleright\) Основные тождества: \[\begin <|l|l|>\hline \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1& \mathrm\, \alpha \cdot \mathrm\, \alpha =1 \\ &(\sin\alpha\ne 0, \cos\alpha\ne 0)\\[0.5ex] \hline &\\ \mathrm\, \alpha=\dfrac<\sin \alpha> <\cos \alpha>&\mathrm\, \alpha =\dfrac<\cos \alpha> <\sin \alpha>\\&\\ 1+\mathrm^2\, \alpha =\dfrac1 <\cos^2 \alpha>& 1+\mathrm^2\, \alpha=\dfrac1<\sin^2 \alpha>\\&\\ (\cos\alpha\ne 0)& (\sin\alpha\ne 0) \\ \hline \end\]

\(\blacktriangleright\) Формулы сложения углов: \[\begin <|l|r|>\hline &\\ \sin<(\alpha\pm \beta)>=\sin\alpha\cdot \cos\beta\pm \sin\beta\cdot \cos\alpha & \cos<(\alpha\pm \beta)>=\cos\alpha\cdot \cos\beta \mp \sin\alpha\cdot \sin\beta\\ &\\ \hline &\\ \mathrm\, (\alpha\pm \beta)=\dfrac<\mathrm\, \alpha\pm \mathrm\, \beta><1 \mp \mathrm\, \alpha\cdot \mathrm\, \beta> & \mathrm\, (\alpha\pm\beta)=-\dfrac<1\mp \mathrm\, \alpha\cdot \mathrm\, \beta><\mathrm\, \alpha\pm \mathrm\, \beta>\\&\\ \cos\alpha\cos\beta\ne 0&\sin\alpha\sin\beta\ne 0\\ \hline \end\]

\(\blacktriangleright\) Формулы двойного и тройного углов: \[\begin <|lc|cr|>\hline \sin <2\alpha>=2\sin \alpha\cos \alpha & \qquad &\qquad & \cos<2\alpha>=\cos^2\alpha -\sin^2\alpha\\ \sin \alpha\cos \alpha =\dfrac12\sin <2\alpha>&& & \cos<2\alpha>=2\cos^2\alpha -1\\ & & & \cos<2\alpha>=1-2\sin^2 \alpha\\ \hline &&&\\ \mathrm\, 2\alpha = \dfrac<2\mathrm\, \alpha><1-\mathrm^2\, \alpha> && & \mathrm\, 2\alpha = \dfrac<\mathrm^2\, \alpha-1><2\mathrm\, \alpha>\\&&&\\ \cos\alpha\ne 0, \ \cos2\alpha\ne 0 &&& \sin\alpha\ne 0, \ \sin2\alpha\ne 0\\ \hline &&&\\ \sin <3\alpha>=3\sin \alpha -4\sin^3\alpha && & \cos<3\alpha>=4\cos^3\alpha -3\cos \alpha\\&&&\\ \hline \end\]

\(\blacktriangleright\) Формулы понижения степени: \[\begin <|lc|cr|>\hline &&&\\ \sin^2\alpha=\dfrac<1-\cos<2\alpha>>2 &&& \cos^2\alpha=\dfrac<1+\cos<2\alpha>>2\\&&&\\ \hline \end\]

\(\blacktriangleright\) Формулы произведения функций: \[\begin <|c|>\hline \\ \sin\alpha\sin\beta=\dfrac12\bigg(\cos<(\alpha-\beta)>-\cos<(\alpha+\beta)>\bigg)\\\\ \cos\alpha\cos\beta=\dfrac12\bigg(\cos<(\alpha-\beta)>+\cos<(\alpha+\beta)>\bigg)\\\\ \sin\alpha\cos\beta=\dfrac12\bigg(\sin<(\alpha-\beta)>+\sin<(\alpha+\beta)>\bigg)\\\\ \hline \end\]

\(\blacktriangleright\) Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного угла: \[\begin <|l|r|>\hline &\\ \sin<2\alpha>=\dfrac<2\mathrm\, \alpha><1+\mathrm^2\, \alpha> & \cos<2\alpha>=\dfrac<1-\mathrm^2\, \alpha><1+\mathrm^2\, \alpha>\\&\\ \cos\alpha\ne 0 & \sin\alpha\ne 0\\ \hline \end\]

\(\blacktriangleright\) Формула вспомогательного аргумента: \[\begin <|c|>\hline \text<Частный случай>\\ \hline \\ \sin\alpha\pm \cos\alpha=\sqrt2\cdot \sin<\left(\alpha\pm \dfrac<\pi>4\right)>\\\\ \sqrt3\sin\alpha\pm \cos\alpha=2\sin<\left(\alpha\pm \dfrac<\pi>6\right)>\\\\ \sin\alpha\pm \sqrt3\cos\alpha=2\sin<\left(x\pm \dfrac<\pi>3\right)>\\\\ \hline \text<Общий случай>\\ \hline\\ a\sin\alpha\pm b\cos\alpha=\sqrt\cdot \sin<(\alpha\pm \phi)>, \ \ \cos\phi=\dfrac a<\sqrt>, \ \sin\phi=\dfrac b<\sqrt>\\\\ \hline \end\]

Зная идею вывода формул, вы можете запомнить лишь несколько из них. Тогда остальные формулы вы всегда сможете быстро вывести.

Вывод всех основных тождеств был рассказан в предыдущем разделе “Введение в тригонометрию”.

\(\blacktriangleright\) Вывод формулы косинуса разности углов \(\cos<(\alpha -\beta)>=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\)

Рассмотрим тригонометрическую окружность и на ней углы \(\alpha\) и \(\beta\) . Пусть этим углам соответствуют точки \(A\) и \(B\) соответственно. Тогда координаты этих точек: \(A(\cos\alpha;\sin\alpha), \ B(\cos\beta;\sin\beta)\) .

Рассмотрим \(\triangle AOB: \ \angle AOB=\alpha-\beta\) . По теореме косинусов:

\(AB^2=AO^2+BO^2-2AO\cdot BO\cdot \cos(\alpha-\beta)=1+1-2\cos(\alpha-\beta) \ (1)\) (т.к. \(AO=BO=R\) – радиус окружности)

По формуле расстояния между двумя точками на плоскости:

Таким образом, сравнивая равенства \((1)\) и \((2)\) :

Отсюда и получается наша формула.

\(\blacktriangleright\) Вывод остальных формул суммы/разности углов:

Остальные формулы с легкостью выводятся с помощью предыдущей формулы, свойств четности/нечетности косинуса/синуса и формул приведения \(\sin x=\cos(90^\circ-x)\) и \(\cos x=\sin (90^\circ-x)\) :

разделим числитель и знаменатель дроби на \(\cos\alpha\cos\beta\ne 0\)
(при \(\cos\alpha=0 \Rightarrow \mathrm\,(\alpha\pm\beta)=\mp \mathrm\,\beta\) , при \(\cos\beta=0 \Rightarrow \mathrm\,(\alpha\pm\beta)=\pm \mathrm\,\alpha\) ):

Таким образом, данная формула верна только при \(\cos\alpha\cos\beta\ne 0\) .

5) Аналогично, только делением на \(\sin\alpha\sin\beta\ne 0\) , выводится формула котангенса суммы/разности двух углов.

\(\blacktriangleright\) Вывод формул двойного и тройного углов:

Данные формулы выводятся с помощью предыдущих формул:

1) \(\sin 2\alpha=\sin(\alpha+\alpha)=\sin\alpha\cos\alpha+\sin\alpha\cos\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)

Используя основное тригонометрическое тождество \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) , получим еще две формулы для косинуса двойного угла:

разделим числитель и знаменатель дроби на \(\cos^2\alpha\ne 0\) (при \(\cos\alpha=0 \Rightarrow \mathrm\,2\alpha=0\) ):

Таким образом, эта формула верна только при \(\cos\alpha\ne 0\) , а также при \(\cos2\alpha\ne 0\) (чтобы существовал сам \(\mathrm\,2\alpha\) ).

По тем же причинам при \(\sin\alpha\ne 0, \sin2\alpha\ne 0\) .

5) \(\sin3\alpha=\sin(\alpha+2\alpha)=\sin\alpha\cos2\alpha+\cos\alpha\sin2\alpha=\sin\alpha(1-2\sin^2\alpha)+\cos\alpha\cdot 2\sin\alpha\cos\alpha=\)

6) Аналогично выводится, что \(\cos3\alpha=\cos(\alpha+2\alpha)=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha\)

\(\blacktriangleright\) Вывод формул понижения степени:

Данные формулы — просто по-другому записанные формулы двойного угла для косинуса:

1) \(\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1 \Rightarrow \cos^2\alpha=\dfrac<1+\cos2\alpha>2\)

2) \(\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha \Rightarrow \sin^2\alpha=\dfrac<1-\cos2\alpha>2\)

Заметим, что в данных формулах степень синуса/косинуса равна \(2\) в левой части, а в правой части степень косинуса равна \(1\) .

\(\blacktriangleright\) Вывод формул произведения функций:

1) Сложим формулы косинуса суммы и косинуса разности двух углов:

Получим: \(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta \Rightarrow \cos\alpha\cos\beta=\dfrac12\Big(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\Big)\)

2) Если вычесть из формулы косинуса суммы косинус разности, то получим:

3) Сложим формулы синуса суммы и синуса разности двух углов:

\(\blacktriangleright\) Вывод формул суммы/разности функций:

Обозначим \(\alpha+\beta=x, \alpha-\beta=y\) . Тогда: \(\alpha=\dfrac2, \ \beta=\dfrac2\) . Подставим эти значения в предыдущие три формулы:

Получили формулу суммы косинусов.

Получили формулу разности косинусов.

Получили формулу суммы синусов.

4) Формулу разности синусов можно вывести из формулы суммы синусов:

Аналогично выводится формула суммы котангенсов.

\(\blacktriangleright\) Вывод формул выражения синуса и косинуса через тангенс половинного угла:

(разделим числитель и знаменатель дроби на \(\cos^2\alpha\ne 0\) (при \(\cos\alpha=0\) и \(\sin2\alpha=0\) ):)

2) Так же, только делением на \(\sin^2\alpha\) , выводится формула для косинуса.

\(\blacktriangleright\) Вывод формул вспомогательного угла:

Данные формулы выводятся с помощью формул синуса/косинуса суммы/разности углов.

Рассмотрим выражение \(a\sin x+b\cos x\) . Домножим и разделим это выражение на \(\sqrt\,\) :

\(a\sin x+b\cos x=\sqrt\left(\dfrac a<\sqrt>\sin x+ \dfrac b<\sqrt>\cos x \right)=\sqrt\big(a_1\sin x+b_1\cos x\big)\)

Заметим, что таким образом мы добились того, что \(a_1^2+b_1^2=1\) , т.к. \(\left(\dfrac a<\sqrt>\right)^2+\left(\dfrac b<\sqrt>\right)^2=\dfrac=1\)

Таким образом, можно утверждать, что существует такой угол \(\phi\) , для которого, например, \(\cos \phi=a_1, \ \sin \phi=b_1\) . Тогда наше выражение примет вид:

\(\sqrt\,\big(\cos \phi \sin x+\sin \phi\cos x\big)=\sqrt\,\sin (x+\phi)\) (по формуле синуса суммы двух углов)

Значит, формула выглядит следующим образом: \[<\large\,\sin (x+\phi),>> \quad \text <где >\cos \phi=\dfrac a<\sqrt>\] Заметим, что мы могли бы, например, принять за \(\cos \phi=b_1, \ \sin \phi=a_1\) и тогда формула выглядела бы как \[a\sin x+b\cos x=\sqrt\,\cos (x-\phi)\]

\(\blacktriangleright\) Рассмотрим некоторые частные случаи формул вспомогательного угла:

\(a) \ \sin x\pm\cos x=\sqrt2\,\left(\dfrac1<\sqrt2>\sin x\pm\dfrac1<\sqrt2>\cos x\right)=\sqrt2\, \sin \left(x\pm\dfrac<\pi>4\right)\)

\(b) \ \sqrt3\sin x\pm\cos x=2\left(\dfrac<\sqrt3>2\sin x\pm \dfrac12\cos x\right)=2\, \sin \left(x\pm\dfrac<\pi>6\right)\)

\(c) \ \sin x\pm\sqrt3\cos x=2\left(\dfrac12\sin x\pm\dfrac<\sqrt3>2\cos x\right)=2\,\sin\left(x\pm\dfrac<\pi>3\right)\)