Техническое задание решение квадратных уравнений

Реализация деятельностного метода при изучении темы «Квадратные уравнения»

Разделы: Математика

Современная школа видит свою основную цель в изучении ученика как неповторимой индивидуальности, в создании оптимальных условий для его становления, личностного развития, в поддержке на пути самоопределения и самореализации через образование. Безусловно, все это имеет большое значение для перехода к экспериментированию новых идей и педагогических решений.

Сегодня актуальны такие методики обучения, которые ориентированны на активную самостоятельную деятельность обучающихся, формируют личную позицию, мотивацию учения, предполагают использование и активное освоение различных источников информации[3]. Одним из вариантов такого обучения являются методики, ориентированные на действия.

Шаш Н.Н.[2] сформулировала принципы обучения действием, которые утверждают следующее:

1. Люди учатся только тогда, когда хотят учиться.
2. Люди учатся тогда, когда сталкиваются с трудноразрешимыми проблемами.
3. Обучение – это социальный процесс, процесс сотрудничества.
4. Обучение как изменение поведения начинается тогда, когда мы получаем входные сигналы о результате, порождаемом действием.
5. Обучение часто состоит в переосмыслении того, что уже «известно», а не в приобретении новых знаний и фактов. Устоявшийся образ мыслей может быть потенциальным барьером на пути к изменениям.

Ориентированность на действие предполагает самостоятельное добывание учащимися необходимых знаний в процессе решения определенной проблемы с обязательным выполнением всех фаз полного действия: информирование, планирование, принятие решения, выполнение, контроль и оценка.

Основой обучения методики дидактических задач становится не только самостоятельное планирование учащимися, проведение и контроль деятельности, но и организация ими собственного учебного процесса. Понимание постановки задания, добывание информации и планирование работы, выполнение деятельности, ее контроль и оценка образуют ядро обучения. В центре обучения стоит усвоение базы знаний, необходимой для успешного усвоения учебной деятельности [1].

Например, рассмотрим последовательность фаз такого занятия при изучении темы «Решение квадратных уравнений». Структуру этого урока представим в виде технологической карты (табл.2), указав соответствующие цели (табл.1) и методико-дидактическое обеспечение (МДО) (табл.3).

Таблица 1. Цели урока

Знать

Уметь

Формулу корней квадратного уравнения общего вида

1. Определять последовательность действий при решении квадратных уравнений.
2. Решать квадратные уравнения общего вида.
3. Анализировать выполненную работу.

Практика организации занятий, ориентированных на действие, показывает, что введение новых знаний целесообразно строить по методике дидактических задач. Изучение нового материала начинается с его подачи. Действие начинается с анализа информационной базы, в результате чего учащийся получает задание. Затем планируется ход действий, и выбирается одна из возможных альтернатив действий. Наконец выполняется запланированное действие. Результат действия проверяется весь цикл действия рефлексируется.

Таблица 2. Технологическая карта урока

Этапы занятия

Цели

Время

(мин.)

Содержание деятельности

Формы и методы

1. Постановка темы и целей

Мотивировать учащихся на активную познавательную деятельность

Обоснование значимости рассматриваемого материала в практической деятельности. Формирование целей

2. Постановка задачи

Воспринять и осмыслить задание

Ознакомление с дидактической задачей. Выяснение возможностей разрешения заданной ситуации (лист 1)

Усвоить новую информацию. Знать формулу нахождения корней квадратного уравнения

Работа с информационным листом (справочным материалом) (лист 2)

4. Планирование/ принятие решения

Уметь рационально использовать новую информацию

Составление плана действий (лист 3)

Самостоятельная работа в группах

Уметь составлять алгоритм решения квадратных уравнений; решать квадратные уравнения; анализировать выполненную работу

Определение последовательности действий при решении квадратных уравнений (лист 4); решение уравнений (лист 6); проверка предложенных решений (лист 7); решение дидактической задачи (лист 1)

Работа в группах; индивидуальная работа; фронтальная работа

Проверить полноту и правильность выполнения заданий

Сравнение последовательности действий при решении квадратных уравнений с эталоном (лист 5); выявление собственных ошибок (лист 8); анализ предложенного решения; проверка решения дидактической задачи

Контроль учителя; самоконтроль; фронтальная беседа; взаимопроверка

Уметь оценивать деятельность в соответствии с предложенными критериями

Заполнение оценочного листа (лист 10) и обсуждение достижения поставленных целей

Самооценка; работа в группах

Таблица 3. МДО урока по теме «Решение квадратных уравнений»

Содержание

Лист

Текст дидактической задачи (задание 4)

Информационный лист по теме «Решение квадратных уравнений»

Определение последовательности действий при решении квадратных уравнений (задание 1)

Эталон последовательности действий при решении квадратных уравнений

Примеры для решения (задание 2)

Примеры для проверки (задание 3)

Таблица перевода баллов в отметку

Рассмотрим последовательность фаз приведенного выше урока. Следует отметить, что перед началом занятия класс делится на группы и каждому учащемуся предлагается папка, содержащая МДО, т.е. определенный набор листов формата А4 (здесь мы позволили себе сократить их масштаб)

1. Информация. Занятие начинается с формирования целей (метоплан на доске) и постановки дидактической задачи практического характера (лист 1). Таким образом, через близкую к реальной жизни постановку задания достигается двойная цель. Во-первых, учащиеся видят, с какими требованиями они могут столкнуться в реальной дальнейшей жизни, и, во-вторых, возникает адекватная ситуация запроса необходимых в обучении знаний и умений.

Дидактическая задача

После выпуска из школы ученики обменялись фотографиями. Сколько было учеников, если по свидетельству одного выпускника они обменялись 870 фотографиями?

1. Планирование. Поскольку задание для учащихся является новым и подобрано так, что с помощью имеющихся знаний и умений его решить нельзя, то у них возникает информационный дефицит. Учащиеся запрашивают недостающую информацию, и учитель предоставляет ее в форме информационных листов, фрагмент которого приведен на листе 2, причем эта информация необязательно предлагается в форме каких-либо конкретных листов. Она может быть представлена подобранной литературой, информацией на электронных носителях и т.д. Эти особенности зависят от мастерства учителя и возможностей учащихся. Обучающиеся изучают предложенную им информацию и направляют ее для решения ранее возникшей проблемы.

Информационный лист по теме «Решение квадратных уравнений

Рассмотрим квадратное уравнение общего вида: , где .

(*)

Формулу (*) называют формулой корней квадратного уравнения общего вида.

Выражение называют дискриминантом и обозначают .

Пример. Решить уравнение .

Решение: Здесь , , , тогда .

По формуле (*) находим: , откуда получаем

, .

Ответ: , .

Желаем успехов при изучении данной темы!

1. Принятие решения. В этой фазе занятия планируется дальнейший ход действий для решения дидактической задачи. Число и последовательность учебных этапов определяется так же, как и средства, необходимые для каждого учебного этапа и может быть записано в Лист-планирования (лист 3).

Лист-планирование

Вам необходимо научиться решать квадратные уравнения.
Спланируйте свои действия в соответствии с целями урока.

Как вы действуете?
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________

1. Выполнение. За принятием решения следует воплощение запланированного в конкретные действия. В нашем случае на этой фазе происходит групповое составление алгоритмов решения примеров (лист 4) с подробным и полным решением, которые предлагает учитель в готовом виде на «Информационных листах» или посредством подобранной литературы; индивидуальное выполнение конкретных примеров (лист 6), групповой анализ решения задачи предложенного учителем типа «Найти ошибку в предложенном решении» (лист 7). Завершает этот этап решение дидактической задачи (возврат к листу 1).

Группа 1
Составить алгоритм решения примера 1 из информационного листа 2.

Группа 2
Составить алгоритм решения примера 2 из информационного листа 2.

Группа 3
Составить алгоритм решения примера 3 из информационного листа 2.

Вариант 1

1) ;

2) 4

3) .

Каждый учащийся группы получает свой вариант.

Проверь правильность решения и исправь найденные ошибки.

.

Решение: 1) ; ; .

Ответ: Действительных корней нет.

Каждая группа получает своё задание.

1. Контроль. После выполнения задания наступает этап контроля решения.
2. Оценка. Занятие заканчивается оценкой решения дидактической задачи.

Следует заметить, что фазы «контроль» и «оценка» могут идти параллельно (листы 5 и 8), причем сразу по мере выполнения промежуточных задач заполняется оценочный лист (лист 10). В конце занятия осуществляется перевод полученных баллов в отметку (лист 9).

Вариант 1

1) .

2) Действительных корней нет.

3) ; .

Алгоритм решения квадратных уравнений

2. Вычислить дискриминант(D).

3. По значению дискриминанта (D) определить количество корней и найти их:

3а) если D›0, то уравнение имеет два корня;
3б) если D=0, то уравнение имеет один корень;
3в) если D‹0, то уравнение не имеет действительных корней.

«Решение квадратных уравнений»

«Решение квадратных уравнений»

МБ ОУ Дивеев-Усадской СОШ

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Образовательные: систематизировать знания, выработать умение выбирать рациональный способ решения квадратных уравнений и создать условия контроля (самоконтроля, взаимоконтроля) усвоения знаний и умений.

· Развивающие: формировать учебно–познавательные навыки по работе с дополнительным материалом, развивать логическое мышление, внимание, общеучебные умения;

· Воспитательные: воспитывать интерес к математике, активность, мобильность, взаимопомощь, умение общаться.

1. Организационный момент.

2. Устная работа.

Математическая разминка. Блиц-турнир. Буквоград. Знакомство с приёмом устного решения некоторых квадратных уравнений. Повторение теоремы Виета. Разноуровневая самостоятельная работа. Домашнее задание.

Сегодня на уроке мы систематизируем знания о методах решения квадратных уравнений, закрепим и усовершенствуем навыки решения квадратных уравнений.

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ НА ТЕМУ: «РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ. ОБЩИЕ И ЧАСТНЫЕ МЕТОДЫ.»

Весь курс элементарной математики, изучаемой в средней школе, пронизан квадратными уравнениями. Многочисленные задачи явно несвязанные с квадратными уравнениями, в ходе их решения сводятся, в конечном итоге, либо к исследованию квадратного трехчлена, либо к нахождению его корней. Таким образом, каждый выпускник обязан уметь решать все виды квадратных уравнений (полные или неполные).

Конечно «квадратные уравнения» применяется во многих разделах школьного курса математики, например, при решении задач на составление уравнений, алгебраическое и графическое решение уравнений. Очень большое применение методов решения квадратных уравнений нашло свое отражение в заданиях ОГЭ и ЕГЭ (во всех модулях). Но зачастую обучающиеся запоминают одну единственную формулу (основную с помощью дискриминанта) для решения квадратных уравнений. Зачастую эта формула очень громоздка и занимает много времени.

Исходя из всего вышесказанного, у меня возникла проблема: можно ли найти такие способы решения квадратных уравнений, чтобы можно было это сделать быстро и самое главное правильно.

Указанные обстоятельства обусловили мой выбор темы исследовательской работы.

Основной целью работы считаю расширенное изучение различных методов решения квадратных уравнений.

Цель моей исследовательской работы определяет следующие задачи:

— повторить основные методы решения квадратных уравнений: алгебраических и графических;

— изучить различные частные случаи решения квадратных уравнений;

— применить изученные способы при решении квадратных уравнений на практике.

Я предположила, что в результате исследования я смогу показать своим одноклассникам и друзьям, что решение квадратных уравнений не является одним из сложнейших заданий.

Формулирование цели исследовательской работы определяет:

объект исследования – квадратные уравнения;

предмет исследования – частные методы решения квадратных уравнений.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Чибитская средняя общеобразовательная школа»

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ НА ТЕМУ:

«РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ. ОБЩИЕ И ЧАСТНЫЕ МЕТОДЫ.»

Выполнила: Тойлонова Айрура, 8 класс

Руководитель: Тойлонова Н. В.

Чибит 2016 г.

2. Методы решения квадратных уравнений ………………………..

2.1. Графический метод решения квадратных уравнений ………..

2.2. Методы решения неполных квадратных уравнений ………….

2.3. Основные методы решения полных квадратных уравнений .

2.4.Частные методы решения квадратных уравнений …………….

Список использованной литературы ………………………….. …..

Весь курс элементарной математики, изучаемой в средней школе, пронизан квадратными уравнениями. Многочисленные задачи явно несвязанные с квадратными уравнениями, в ходе их решения сводятся, в конечном итоге, либо к исследованию квадратного трехчлена, либо к нахождению его корней. Таким образом, каждый выпускник обязан уметь решать все виды квадратных уравнений (полные или неполные).

Конечно «квадратные уравнения» применяется во многих разделах школьного курса математики, например, при решении задач на составление уравнений, алгебраическое и графическое решение уравнений. Очень большое применение методов решения квадратных уравнений нашло свое отражение в заданиях ОГЭ и ЕГЭ (во всех модулях). Но зачастую обучающиеся запоминают одну единственную формулу (основную с помощью дискриминанта) для решения квадратных уравнений. Зачастую эта формула очень громоздка и занимает много времени.

Исходя из всего вышесказанного, у меня возникла проблема : можно ли найти такие способы решения квадратных уравнений, чтобы можно было это сделать быстро и самое главное правильно.

Указанные обстоятельства обусловили мой выбор темы исследовательской работы.

Основной целью работы считаю расширенное изучение различных методов решения квадратных уравнений.

Цель моей исследовательской работы определяет следующие задачи :

— повторить основные методы решения квадратных уравнений: алгебраических и графических;

— изучить различные частные случаи решения квадратных уравнений;

— применить изученные способы при решении квадратных уравнений на практике.

Я предположила, что в результате исследования я смогу показать своим одноклассникам и друзьям, что решение квадратных уравнений не является одним из сложнейших заданий.

Формулирование цели исследовательской работы определяет:

объект исследования – квадратные уравнения;

предмет исследования – частные методы решения квадратных уравнений.

Глава 1. Основные понятия

Сначала мы разберем, что такое квадратное уравнение, как оно записывается в общем виде, и дадим связанные определения. После этого на примерах подробно разберем, как решаются неполные квадратные уравнения. Дальше перейдем к решению полных уравнений, получим формулу корней, познакомимся с дискриминантом квадратного уравнения и рассмотрим решения характерных примеров. Наконец, проследим связи между корнями и коэффициентами.

Что такое квадратное уравнение? Виды квадратных уравнений.

Для начала надо отчетливо понимать, что такое квадратное уравнение. Поэтому разговор о квадратных уравнениях логично начать с определения квадратного уравнения, а также связанных с ним определений.

Определение и примеры квадратных уравнений

Квадратное уравнение – это уравнение вида ax 2 +bx+c=0 , где x – переменная, a , b и c – некоторые числа, причем a отлично от нуля.

Сразу скажем, что квадратные уравнения часто называют уравнениями второй степени. Это связано с тем, что квадратное уравнение является алгебраическим уравнением второй степени.

Озвученное определение позволяет привести примеры квадратных уравнений. Так 2x 2 +6x+1=0 , 0,2x 2 +2,5x+0,03=0 и т.п. – это квадратные уравнения.

Числа a , b и c называют коэффициентами квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 , причем коэффициент a называют первым, или старшим, или коэффициентом при x 2 , b – вторым коэффициентом, или коэффициентом при x , а c – свободным членом.

Для примера возьмем квадратное уравнение вида 5x 2 −2x−3=0 , здесь старший коэффициент есть 5 , второй коэффициент равен −2 , а свободный член равен −3 . Обратите внимание, когда коэффициенты b и/или c отрицательные, как в только что приведенном примере, то используется краткая форма записи квадратного уравнения вида 5x 2 −2x−3=0 , а не 5·x 2 +(−2)·x+(−3)=0 .

Стоит отметить, что когда коэффициенты a и/или b равны 1 или −1 , то они в записи квадратного уравнения обычно не присутствуют явно, что связано с особенностями записи алгебраических выражений. Например, в квадратном уравнении y 2 −y+3=0 старший коэффициент есть единица, а коэффициент при y равен −1 .

Упрощение вида квадратных уравнений

Порой, прежде чем пускаться в вычисление корней квадратного уравнения по формулам, не помешает задаться вопросом: «А нельзя ли упростить вид этого уравнения»? Согласитесь, что в плане вычислений проще будет решить квадратное уравнение 11x 2 −4x−6=0 , чем 1100x 2 −400x−600=0 .

Обычно упрощение вида квадратного уравнения достигается путем умножения или деления его обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце удалось достичь упрощения уравнения 1100x 2 −400x−600=0 , разделив обе его части на 100 .

Подобное преобразование проводят с квадратными уравнениями, коэффициенты которого не являются коэффициентами абсолютных величин. Для примера возьмем квадратное уравнение 12x 2 −42x+48=0 . НОД(12, 42, 48)=НОД(НОД(12, 42), 48)=НОД(6, 48)=6 . Разделив обе части исходного квадратного уравнения на 6 , мы придем к равносильному ему квадратному уравнению 2x 2 −7x+8=0 .

А умножение обеих частей квадратного уравнения обычно производится для избавления от дробных коэффициентов. При этом умножение проводят на общий знаменатель его коэффициентов. Например, если в уравнении обе части квадратного уравнения умножить на НОК(6, 3, 1)=6 , то оно примет более простой вид x 2 +4x−18=0 .

В заключение этого пункта заметим, что почти всегда избавляются от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения, изменяя знаки всех членов, что соответствует умножению (или делению) обеих частей на −1 . Например, обычно от квадратного уравнения −2x 2 −3x+7=0 переходят к решению 2x 2 +3x−7=0 .

Виды квадратных уравнений.

1) Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

В зависимости от значения старшего коэффициента различают приведенные и неприведенные квадратные уравнения. Дадим соответствующие определения.

Квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен 1 , называют приведенным квадратным уравнением . В противном случае квадратное уравнение является неприведенным .

Согласно данному определению, квадратные уравнения x 2 −3x+1=0 , x 2 − x− =0 и т.п. – приведенные, в каждом из них первый коэффициент равен единице. А 5x 2 −x−1=0 , и т.п. — неприведенные квадратные уравнения, их старшие коэффициенты отличны от 1 .

От любого неприведенного квадратного уравнения с помощью деления его обеих частей на старший коэффициент можно перейти к приведенному. Это действие является деление то есть, полученное таким способом приведенное квадратное уравнение имеет те же корни, что и исходное неприведенное квадратное уравнение, или, так же как оно, не имеет корней.

Разберем на примере, как выполняется переход от неприведенного квадратного уравнения к приведенному.

От уравнения 3x 2 +12x−7=0 перейдите к соответствующему приведенному квадратному уравнению.

Нам достаточно выполнить деление обеих частей исходного уравнения на старший коэффициент 3 , он отличен от нуля, поэтому мы можем выполнить это действие. Имеем (3x 2 +12x−7):3=0:3 , что то же самое, (3·x 2 ):3+(12·x):3−7:3=0 , и дальше (3:3)·x 2 +(12:3)·x−7:3=0 , откуда . Так мы получили приведенное квадратное уравнение, равносильное исходному .

2) Полные и неполные квадратные уравнения

В определении квадратного уравнения присутствует условие a≠0 . Это условие нужно для того, чтобы уравнение ax 2 +bx+c=0 было именно квадратным, так как при a=0 оно фактически становится линейным уравнением вида bx+c=0 .

Что касается коэффициентов b и c , то они могут быть равны нулю, причем как по отдельности, так и вместе. В этих случаях квадратное уравнение называют неполным.

Квадратное уравнение ax 2 +bx+c=0 называют неполным , если хотя бы один из коэффициентов b , c равен нулю.

Полное квадратное уравнение – это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Такие названия даны не случайно. Из следующих рассуждений это станет понятно.

Если коэффициент b равен нулю, то квадратное уравнение принимает вид ax 2 +0x+c=0 , и оно равносильно уравнению ax 2 +c=0 . Если c=0 , то есть, квадратное уравнение имеет вид ax 2 +bx+0=0 , то его можно переписать как ax 2 +bx=0 . А при b=0 и c=0 мы получим квадратное уравнение ax 2 =0 . Полученные уравнения отличаются от полного квадратного уравнения тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с переменной x, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название – неполные квадратные уравнения.

Так уравнения x 2 +x+1=0 и −2x 2 −5x+0,2=0 – это примеры полных квадратных уравнений, а x 2 =0 , −2x 2 =0 , 5x 2 +3=0 , −x 2 −5x=0 – это неполные квадратные уравнения.