Телеграфное уравнение для длинной линии

Телеграфные уравнения однородной длинной линий

ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Общие сведения

Цепями с распределенными параметрами называются идеализированные электрические цепи, процессы в которых описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Это связано с тем, что если длина волны λ электромагнитных колебаний соизмерима с размерами цепи l, то токи и напряжения в этой одномерной цепи являются функциями двух переменных – времени t и координаты x – u(t, x), i(t, x).

Исторически первыми в качестве одномерных цепей с распределенными параметрами стали представлять так называемые длинные линии, т.е. двухпроводные линии передачи сигнала от источника к нагрузке (рис. 6. 1), длина которых l значительно превышает длину волны λ передаваемых электромагнитных колебаний. Поэтому часто эти цепи называют длинными линиями или линиями. При этом будем полагать, что конструктивные данные линии (материал и диаметр ее проводов, их взаимное расположение) и ее параметры сохраняются неизменными по длине линии. Такие длинные линии называются однородными.

Задача анализа цепей с распределенными параметрами обычно сводится к определению законов (характера) изменения токов и напряжений вдоль цепи и к исследованию частотных и временных характеристик цепи. С этой целью следует рассмотреть электрическую модель отрезка линии малой длины Δx = dx. Эта модель с достаточной точностью исследования может быть представлена электрической цепью с сосредоточенными параметрами (рис. 6.2). Всю линию можно представить как цепи с бесконечно большим числом малых по величине пассивных элементов, распределенных равномерно по ее длине.

На основании физических рассуждений можно составить следующую эквивалентную схему отрезка (рис. 6.2).

При прохождении тока вокруг проводника образуется внешнее магнитное поле, которое можно моделировать индуктивностью L₀. Она препятствует прохождению тока. Вместе с этим проводник обладает сопротивлением материала R₀. Следовательно, эти элементы должны быть соединены последовательно.

Проводники объединены конструктивно диэлектриком, который обладает конечной резистивной проводимостью G₀. Между проводниками линии создается разность потенциалов. Следовательно, вокруг проводников существует электрическое поле, накопление которого моделируется емкостью С₀.

Элементы L₀, C₀, R₀, G₀ называются параметрами линии (отрезка линии). Однако каждый отрезок линии имеет конечную длину Dx, поэтому вводятся понятия погонных параметров:

Телеграфные уравнения однородной длинной линий

Электрические процессы в цепях с распределенными параметрами описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Действительно, ток i = i(x, t) и напряжение u = u(x, t) рассматриваемой цепи являются функциями времени t и координаты x.

Составим на основе законов Кирхгофа дифференциальные уравнения для мгновенных напряжений и токов на отрезке линии длиной Δx по эквивалентной схеме на рис. 6.2.

(6.1)

Разделив обе части уравнений (6.1) на Δx, переходя к пределу при Δx → 0 и пренебрегая величинами второго порядка малости, получим дифференциальные уравнения линии

(6.2)

Эти уравнения в частных производных называются телеграфными, так как впервые были получены для линии телеграфной связи.

Пусть к началу линии подключен генератор гармонических колебаний e(t) = E_mcos(ωt + φ₀), а к концу линии – сопротивление нагрузки Z_H (рис. 6.1). Будем считать, что в линии имеет место режим установившихся гармонических колебаний.

Используя символический метод анализа гармонических колебаний, в котором

преобразуем уравнения (6.2) для мгновенных комплексных значений напряжения и тока

(6.3)

Здесь Z₁ = R₁ + jωL₁, Y₁ = G_{1 +} jωC₁.

Заменим в (6.3) частную производную на полную, т.к. и не зависят от времени. Осуществим разделение переменных, т.е. выразим ток через напряжение, а напряжение через ток. Для этого продифференцируем первое уравнение по x и подставим в него второе уравнение. Получатся уравнения второго порядка

(6.4)

Введем обозначение Этот коэффициент называют коэффициентом распространения. Перепишем систему (6.4) в окончательном виде:

(6.5)

Уравнения (6.5) называются телеграфными уравнения однородной линии в комплексной форме. Они являются однородными, 2-го порядка, линейными (т.к. Z₁ и Y₁ не зависят от x).

Корни характеристического уравнения p 2 – γ 2 = 0 системы (6.5) равны

Общее решение первого уравнения системы (6.5) для напряжения в произвольной точке x линии ищем в виде

. (6.6)

Из первого уравнения системы (6.3)

.

Введя еще одно обозначение

– волновое сопротивлении, (6.7)

запишем решение для тока в точке x в форме

. (6.8)

Постоянные интегрирования A₁ и A₂ можно найти из начальных условий:

при x = 0 Ú_x = Ú₁ и Ì_x = Ì₁, где Ú₁ и Ì₁ – напряжение и ток в начале линии. Тогда из (6.6 и 6.8) для x:

Подстановка полученных значений постоянных интегрирования в (6.6, 6.8) дает следующие уравнения для определения напряжении Ú_x и тока Ì_x в произвольной точке x длинной линии

(6.11)

Выражения (6.11) называют уравнениями передачи длинной линии.Они позволяют рассмотреть распределение напряжений и токов в однородной длинной линии в произвольной точке x.

Дата добавления: 2016-11-02 ; просмотров: 4549 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Длинная линия

Длинная линия

Содержание

1 Дифференциальные уравнения длинной линии
1.1 Погонные параметры 1.2 Эквивалентная схема участка длинной линии 1.3 Телеграфные уравнения 1.4 Условие регулярности линии 1.5 Однородные волновые уравнения длинной линии 1.6 Распределение поля падающей волны

2 Комплексный коэффициент отражения по напряжению 3 Коэффициенты бегущей и стоячей волны 4 Входное сопротивление длинной линии 5 Режимы работы длинной линии

5.1 Режим бегущей волны 5.2 Режим стоячей волны 5.3 Режим смешанных волн

6 Линия без потерь

6.1 Разомкнутая линия 6.2 Замкнутая линия 6.3 Ёмкостная нагрузка 6.4 Индуктивная нагрузка 6.5 Активная нагрузка 6.6 Комплексная нагрузка

7 КПД линии с потерями 8 Пределы применимости теории длинной линии 9 См. также 10 Примечания

Длинная линия — регулярная линия передачи[1], длина которой превышает длину волны (λ) колебаний, распространяющихся в линии.

Характерной особенностью длинных линий является проявление интерференции двух волн, распространяющихся навстречу друг другу. Одна из этих волн создается генератором электромагнитных колебаний, подключенным к линии, и называется падающей. Другая волна может возникать из-за отражения падающей волны от нагрузки, подключенной к противоположному концу линии, и называется отраженной. Отраженная волна распространяется в направлении, обратном падающей волне. Все разнообразие процессов, происходящих в длинной линии, определяется амплитудно-фазовыми соотношениями между падающей и отраженной волнами.

Дифференциальные уравнения длинной линии

Рассмотрим двухпроводную длинную линию, представленную на рисунке 1. На рисунке обозначено: ZН = RН + iXН — комплексное сопротивление нагрузки; z — продольная координата линии, отсчитываемая от места подключения нагрузки.

Погонные параметры

Рис.1 — К выводу дифференциальных уравнений длинной линии

Из электродинамики известно, что линия передачи может быть охарактеризована ее погонными параметрами:

R1 — погонное сопротивление, Ом/м; G1 — погонная проводимость, 1/Ом м; L1 — погонная индуктивность Гн/м; C1 — погонная ёмкость Ф/м;

Погонные сопротивление R1 и проводимость G1 зависят от проводимости материала проводов и качества диэлектрика, окружающего эти провода, соответственно. Чем меньше тепловые потери в металле проводов[2] и в диэлектрике, тем меньше соответственно, R1[3] и G1[4]. Погонные индуктивность L1 и емкость C1 определяются формой и размерами поперечного сечения проводов, а также расстоянием между ними.

Эквивалентная схема участка длинной линии

Рис.2 — Эквивалентная схема участка длинной линии

Выделим из линии элементарный участок бесконечно малой длины dz и рассмотрим его эквивалентную схему, покзанную на рисунке 2. На этой схеме стрелками обозначены направления отсчета напряжения U и тока I в линии; dU и dI — приращения напряжения и тока в линии на элементе длины dz. Значения параметров схемы определяются соотношениями:

Используя эквивалентную схему, запишем выражения для приращений напряжения и тока:

Подставляя сюда значения параметров схемы из (1), получаем:

,

где Z1 = R1 + iωL1, Y1 = G1 + iωC1 — погонные комплексные сопротивление и проводимость линии. Из последних соотношений находим дифференциальные уравнения линии:

Телеграфные уравнения

Основная статья: Телеграфное уравнение

Эти соотношения называются телеграфными уравнениями длинной линии. Они определяют связь между током и напряжением в любом сечении линии. Решим телеграфные уравнения относительно напряжения и тока. Для этого продифференцируем их по z:

При этом учтем, что:

Условие регулярности линии

Данные соотношения являются математическим определением регулярности длинной линии. Смысл соотношения (4) состоит в неизменности вдоль линии ее погонных параметров.

Подставляя в (3) значения производных напряжения и тока из (2), после преобразований получаем:

Однородные волновые уравнения длинной линии

,

где γ — коэффициент распространения волны в линии: .

Соотношения (5) называются однородными волновыми уравнениями длинной линии. Их решения известны и могут быть записаны в виде:

,

где AU, BU и AI, BI — коэффициенты, имеющие единицы измерения напряжения и тока соответственно, смысл которых будет ясен ниже.

Решения волновых уравнений в виде (3.6) имеют весьма характерный вид: первое слагаемое в этих решениях представляет собой падающую волну напряжения или тока, распространяющуюся от генератора к нагрузке, второе слагаемое — отраженную волну, распространяющуюся от нагрузки к генератору. Таким образом, коэффициенты AU, AI представляют собой комплексные амплитуды падающих волн напряжения и тока соответственно, а коэффициенты BU, BI — комплексные амплитуды отраженных волн напряжения и тока соответственно. Так как часть мощности, передаваемой по линии, может поглощаться в нагрузке, то амплитуды отраженных волн не должны превышать амплитуды падающих:

Направление распространения волн в (6) определяется знаком в показателях степени экспонент: плюс — волна распространяется в отрицательном направлении оси z; минус — в положительном направлении оси z (см. рис. 1).Так, например, для падающих волн напряжения и тока можно записать:

,

Коэффициент распространения волны в линии γ в общем случае является комплексной величиной и может быть представлен в виде:

,

где α — коэффициент затухания волны[5] в линии; β — коэффициент фазы[6]. Тогда соотношение (7) можно переписать в виде:

.

Так как при распространении падающей волны на длину волны в линии λЛ фаза волны изменяется на 2π , то коэффициент фазы можно связать с длиной волны λЛ соотношением

.

При этом фазовая скорость волны в линии VФ определяется через коэффициент фазы:

.

Определим коэффициенты A и B , входящие в решения (6) волновых уравнений, через значения напряжения UН и тока IН на нагрузке. Это является оправданным, так как напряжение и ток на нагрузке практически всегда можно измерить с помощью измерительных приборов. Воспользуемся первым из телеграфных уравнений (2) и подставим в него напряжение и ток из (6). Тогда получим:

Сравнив коэффициенты при экспонентах с одинаковыми показателями степеней, получим:

,

где — волновое сопротивление линии[7].

Перепишем (6) с учетом (12):

.

Для определения коэффициентов A и B в этих уравнениях воспользуемся условиями в конце линии z = 0:

.

Тогда из (13) при z = 0 найдем

,

Подставив полученные значения коэффициентов из (14) в (13), после преобразований получим:

.

При выводе (15) учтены определения гиперболических синуса и косинуса[8].

Соотношения для напряжения и тока (15) так же, как и (6), являются решениями однородных волновых уравнений. Их отличие состоит в том, что напряжение и ток в линии в соотношении (6) определены через амплитуды падающей и отраженной волн, а в (15) — через напряжение и ток на нагрузке.

Рассмотрим простейший случай, когда напряжение и ток в линии определяются только падающей волной, а отраженная волна отсутствует[9]. Тогда в (6) следует положить BU = 0, BI = 0:

.

Распределение поля падающей волны

Рис.3. Эпюры напряжений падающей волны в длинной линии. а) амплитуда; б) фаза

На рис.3. представлены эпюры изменения амплитуды |U| и фазы φU апряжения вдоль линии. Эпюры изменения амплитуды и фазы тока имеют такой же вид. Из рассмотрения эпюр следует, что при отсутствии в линии потерь (α[5] = 0) амплитуда напряжения в любом сечении линии остается одной и той же. При наличии потерь в линии (α[5] > 0) часть переносимой мощности преобразуется в тепло (нагревание проводов линии и окружающего их диэлектрика). По этой причине амплитуда напряжения падающей волны экспоненциально убывает в направлении распространения.

Фаза напряжения падающей волны φU = β z изменяется по линейному закону и уменьшается по мере удаления от генератора.

Рассмотрим изменение амплитуды и фазы, например, напряжения при наличии падающей и отраженной волн. Для упрощения положим, что потери в линии отсутствуют, то есть α[5] = 0. Тогда напряжение в линии можно представить в виде:

,

где Γ = BU / AU — комплексный коэффициент отражения по напряжению.

Комплексный коэффициент отражения по напряжению

Характеризует степень согласования линии передачи с нагрузкой. Модуль коэффициента отражения изменяется в пределах:

| Г | = 0, если отражения от нагрузки отсутствуют и BU = 0[9]; | Г | = 1, если волна полностью отражается от нагрузки, то есть | AU | = | BU | ;

Соотношение (16) представляет собой сумму падающей и отраженной волн.

Рис.4. Векторная диаграмма напряжений в линии с отраженной волной

Отобразим напряжение на комплексной плоскости в виде векторной диаграммы, каждый из векторов которой определяет падающую, отраженную волны и результирующее напряжение (рис. 4). Из диаграммы видно, что существуют такие поперечные сечения линии, в которых падающая и отраженная волны складываются в фазе. Напряжение в этих сечениях достигает максимума, величина которого равна сумме амплитуд падающей и отраженной волн:

.

Кроме того, существуют такие поперечные сечения линии, в которых падающая и отраженная волны складываются в противофазе. При этом напряжение достигает минимума:

.

Если линия нагружена на сопротивление, для которого |Г| = 1 , т. е. амплитуда падающей и отраженной волн равны |BU| = |AU|, то в этом случае Umax = 2|AU|, а Umin = 0.

Рис.5. Эпюры распределения напряжения вдоль линии с отражённой волной. а) Модуль напряжения; б) фаза напряжения.

Напряжение в такой линии изменяется от нуля до удвоенной амплитуды падающей волны. На рис. 5 представлены эпюры изменения амплитуды и фазы напряжения вдоль линии при наличии отраженной волны.

Коэффициенты бегущей и стоячей волны

По эпюре напряжения судят о степени согласования линии с нагрузкой. Для этого вводятся понятия коэффициента бегущей волны — kБВ и коэффициента стоячей волны kСВ:

Эти коэффициенты, судя по определению, изменяются в пределах:

,

.

На практике наиболее часто используется понятие коэффициента стоячей волны, так как современные измерительные приборы (панорамные измерители kСВ) на индикаторных устройствах отображают изменение именно этой величины в определенной полосе частот.

Входное сопротивление длинной линии

Входное сопротивление линии — является важной характеристикой, которое определяется в каждом сечении линии как отношение напряжения к току в этом сечении:

Так как напряжение и ток в линии изменяются от сечения к сечению, то и входное сопротивление линии изменяется относительно ее продольной координаты z. При этом говорят о трансформирующих свойствах линии, а саму линию рассматривают как трансформатор сопротивлений. Подробнее свойство линии трансформировать сопротивления будет рассмотрено ниже.

Режимы работы длинной линии

Различают три режима работы линии:

режим бегущей волны; [10] режим стоячей волны; [10] режим смешанных волн.

Режим бегущей волны

Режим бегущей волны характеризуется наличием только падающей волны, распространяющейся от генератора к нагрузке. Отраженная волна отсутствует. Мощность, переносимая падающей волной, полностью выделяется в нагрузке. В этом режиме BU = 0, | Г | = 0, kбв =kсв = 1[10].

Режим стоячей волны

Режим стоячей волны характеризуется тем, что амплитуда отраженной волны равна амплитуде падающей BU = AU т. е. энергия падающей волны полностью отражается от нагрузки и возвращается обратно в генератор. В этом режиме, | Г | = 1, kсв = , kбв = 0[10].

Режим смешанных волн

В режиме смешанных волн амплитуда отраженной волны удовлетворяет условию 0 W Сопротивление нагрузки меньше волнового сопротивления линии RН

ВОЛНЫ В ДВУХПРОВОДНОЙ ЛИНИИ

1. Цепи с сосредоточенными и цепи с распределёнными параметрами . . 2

2. Двухпроводная линия и её эквивалентная схема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3. Телеграфные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4. Решение телеграфных уравнений для линии без потерь . . . . . . . . . . . . 6

5. Вторичные параметры линии без потерь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5.1. Волновое сопротивление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5.2. Входное сопротивление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5.3. Коэффициент отражения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5.4. Волновое число и фазовая скорость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

6. Режимы работы линии без потерь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

6.1. Режим бегущих волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

6.2. Режим стоячих волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6.3. Режим смешанных волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

7. Коэффициент стоячей волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

ДОПОЛНТЕЛЬНОЕ ЗАДИНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1. Цепи с сосредоточенными

и цепи с распределёнными параметрами

Процесс в цепи называется квазистационарным, если он протекает настолько медленно, что в любой момент времени мгновенное значение тока можно считать одинаковым в разных сечениях любого данного участка цепи. В противном случае процесс в цепи будет волновым.

Пусть τ – характерное время изменения какого-либо параметра процесса, например, время роста или спада напряжения или тока в данном сечении провода, l – характерная длина цепи, υ – скорость распространения процесса по цепи (обычно υ=с=3·10 8 м/с). Тогда условием квазистационарности процесса в данной цепи будет:

Для синусоидальных процессов в качестве характерного времени изменения тока или напряжения можно взять четверть периода (τ=Т/4), и в этом случае условие (1) принимает вид:

l≪ , (2)

где f=1/Т – частота синусоидального процесса. Символ «≪» обычно означает «меньше, по крайней мере, на порядок, т.е. в 10 раз».

Для участков или полных цепей, удовлетворяющих условию квазистационарности (1) или (2), можно применять уравнения Ома и Кирхгофа.

Если элементы R, L и C некоторой цепи можно считать локализованными (сосредоточенными) на малых участках, соединённых сколь угодно длинными идеальными проводниками, то говорят, что это цепь с сосредоточенными параметрами. При этом предполагается, что выполнено условие квазистационарности. Так например, для процессов с частотами f

100 МГц условие (2) справедливо лишь для цепей длиной l≪1 м (т.е. при l≤10 см). Следовательно, в цепях настольных размеров (l

1 м) условие (2) выполнено уже не будет. В них уже нельзя пользоваться уравнениями Ома и Кирхгофа, ток в разных сечениях данного участка цепи будет разным, а напряжение между узлами неопределённо, поскольку теперь оно будет зависеть от конфигурации проводов измерительной цепи (работа поля Е будет зависеть от формы пути). При этом каждому малому участку обыкновенного соединительного провода уже необходимо приписывать некоторое сопротивление, ёмкость и индуктивность. В этом случае говорят, что цепь обладает распределёнными параметрами R, L и C.

Цепь с распределёнными параметрами может содержать и обычные сосредоточенные элементы – резисторы, катушки и конденсаторы, только их размеры должны заведомо удовлетворять условию (2). Кроме того, следует иметь в виду, что на высоких частотах каждый из этих элементов уже не проявляет себя в своём чистом виде, а приобретает свойства других, т.е., например, резистор приобретает емкостные и индуктивные свойства.

1.2. Двухпроводная линия и её эквивалентная схема

Двухпроводная линия (далее просто – линия) – это два длинных параллельных провода, в которых генератором могут возбуждаться токи высокой частоты. Линия называется длинной, если выполнены условия:

где f – частота генератора, λ – длина волны в линии, υ – скорость распространения возмущения вдоль линии (как будет показано далее, для линии в воздухе или в вакууме υ=с=3·10 8 м/с), l – длина линии, d – расстояние между проводами (рис. 1). Кроме того, для простоты дальнейших рассуждений и формул будем считать провода линии тонкими, т.е. полагать, что их радиусы r≪d.

Так как для длинной линии не выполнено условие (2), то она является типичной цепью с распределёнными параметрами и процессы в ней будут не квазистационарными, а волновыми. Для их анализа представим линию состоящей из множества малых участков длиной dx. Каждый такой участок обладает некоторыми активным сопротивлением dR, индуктивностью dL, ёмкостью dC, а также проводимостью утечки dG. Тогда эквивалентную схему линии можно изобразить в виде, показанном на рис. 2.

Однако практически вместо величин dR, dL, dC и dG удобно ввести так называемые погонные параметры линии, т.е. параметры, относящиеся к единице её длины:

R₀= − погонное активное сопротивление линии,

L₀= − погонная индуктивность линии,

С₀= − погонная ёмкость линии,

G₀= − погонная проводимость утечки в линии.

Если величины R₀, L₀, C₀ и G₀ одинаковы во всех сечениях линии, то линия называется однородной.

1.3. Телеграфные уравнения

Для длинной линии в целом пользоваться уравнениями Ома и Кирхгофа нельзя, поскольку для неё не выполнено условие (2). Однако их можно применить для любого малого её участка, так как по отношению к поперечному размеру линии это условие выполнено.

Пусть в однородной длинной линии возбуждаются электрические колебания. Поскольку условие квазистационарности для неё не выполнено, то напряжение между проводами и ток в них будут являться непрерывными функциями времени t и координаты х вдоль линии: и=и(x, t), i=i(x, t); причём ток, текущий по одному из проводов, равен и противоположно направлен току, текущему напротив него вдоль другого провода.

Разобъём линию на малые участки длиной dx. На каждом таком участке активное сопротивление равно R₀dx, индуктивность – L₀dx, ёмкость – C₀dx, проводимость утечки – G₀dx (рис. 3). Пусть i(x,t) и и(x,t) – ток в проводах и напряжение между ними в начале участка dx, а i(x+dx,t) и и(x+dx,t) – в конце. Запишем второе уравнение Кирхгофа для контура ABCD, обходя его по часовой стрелке:

,

.

Деля это уравнение на dx и учитывая, что

,

. (4а)

Запишем теперь первое уравнение Кирхгофа для узла В:

,

.

.

Точно так же, деля это уравнение на dx, получаем

. (4б)

Уравнения (4а) и (4б) являются основными для линии с распределёнными параметрами и называются телеграфными уравнениями.

Далее везде будем предполагать, что линия является однородной и потери в ней отсутствуют, т.е. R₀=0, G₀=0, а L₀ и С₀ – постоянны. Тогда телеграфные уравнения (4а) и (4б) примут вид:

, (5а)

. (5б)

Покажем, что уравнения (5а) и (5б) описывают волновой процесс в линии. Для этого продифференцируем (5а) по х, а (5б) по t и, подставив затем из второго уравнения в первое, получим

, (6)

υ= . (7)

Уравнение (6) называется волновым. Его общее решение имеет вид

, (8)

где f₁ и f₂ – произвольные дважды дифференцируемые функции, первая из которых описывает процесс распространения волн напряжения вправо (по оси х) со скоростью υ и называется прямой (падающей) волной а вторая – влево (против оси х) и называется обратной (отражённой) волной. Конкретный вид функций f₁ и f₂ определяется формой возбуждающего сигнала.

Из (5а) и (5б) аналогично легко получить такое же волновое уравнение для тока:

,

общим решением которого также является функция вида

,

описывающая волны тока вправо и влево по линии со скоростью υ.

4. Решение телеграфных уравнений для линии без потерь

при установившемся синусоидальном процессе

Пусть выходное напряжение генератора является синусоидальным с частотой ω. При подключении к нему линии в ней начнётся переходный процесс, длительность которого зависит от длины линии и потерь в ней. Реально он заканчивается за время порядка 10 −6 с, и в линии устанавливается стационарный волновой режим, который и будем рассматривать в дальнейшем. При этом режиме напряжение и ток в каждом сечении линии будут меняться по синусоидальному закону с частотой генератора ω, а их амплитуды и фазы зависеть от координаты х. В связи с этим, решение телеграфных уравнений (5а) и (5б) удобно искать в комплексном виде:

u(x,t)→ (х) , i(x,t)→ (х) , (9)

где (х)= − комплексная амплитуда (комплекс) напряжения,

(х)= − комплексная амплитуда (комплекс) тока,

U(x) и I(x) – действительные амплитуды напряжения и тока,

φ(х) и ψ(х) – начальные фазы напряжения и тока.

Комплексная запись решения (9) используется для удобства вычислений. Она даёт возможность перейти от уравнений в частных производных (5а) и (5б) к обыкновенным дифференциальным уравнениям относительно комплексов и . А чтобы вернуться к обычной (временнóй) форме записи мгновенных значений, надо после определения неизвестных величин (х) и (х) взять их реальные или мнимые части, например,

и(x,t)=Im Im .

Итак, подставим искомые функции вида (9) в уравнения (5а) и (5б). Получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для комплексов (х) и (х):

Подставляя теперь из (10а) в (10б), получим одно уравнение второго порядка для комплекса :

, (11)

. (12)

Общее решение уравнения (11) имеет вид

, (13а)

где и − неопределённые пока комплексные коэффициенты.

Чтобы найти , теперь достаточно подставить выражение из (13а) в (10а); с учётом (12) это даёт:

= . (13б)

Первые слагаемые в (13а) и (13б) – это комплексные амплитуды напряжения и тока прямой волны, а вторые – обратной. Действительно, например, первое слагаемое (13а) соответствует волне

, (14)

где U_пр – амплитуда прямой волны. Здесь U_пр и есть тот конкретный вид функции из (8), представляющей прямую волну общего вида.

Важнейшим параметром линии является её волновое сопротивление.

Определение. Отношение комплексных амплитуд напряжения и тока в прямой (или в обратной) волне называется волновым сопротивлениемлинии (ρ). Таким образом, из (13а) и (13б), по определению, имеем:

ρ= [Ом]. (15)

Коэффициенты и в (13а) и (13б) определяются из граничных условий, а именно – по измеряемым току и напряжению на нагрузке в конце линии. Пусть в конце линии, в сечении х=l установлена нагрузка, имеющая комплексное сопротивление Z_н, а напряжение и ток на ней равны

и (рис. 4). Тогда для х=l уравнения (13а) и (13б) примут вид:

Складывая и вычитая эти уравнения, получаем:

(16)

Теперь (13а) и (13б) с подстановкой в них (16) принимают вид:

Из этих уравнений видно, что координату удобнее отсчитывать от нагрузки влево, т.е. положить у=l−х, как показано на рис. 4. И тогда, учитывая, что

окончательно получаем для комплексных амплитуд напряжения и тока в линии:

(17)

Комплексные амплитуды и определяются мощностью генератора. Кроме того, они связаны законом Ома: =Z_н .

5. Вторичные параметры линии без потерь

Вторичными называются параметры, выражаемые через первичные – погонные величины R₀, L₀, C₀ и G₀ и импеданс нагрузки Z_н. Для линии без потерь R₀=0 и G₀=0. Ко вторичным параметрам относятся: волновое сопротивление, входное сопротивление, коэффициент отражения, волновое число и фазовая скорость.

5.1. Волновое сопротивление

Определение волнового сопротивления было дано в разделе 1.4, а его выражение через первичные параметры – формулой (15):

ρ= .

Видно, что волновое сопротивление линии без потерь является действительным числом и не зависит от частоты.

Известно, что погонные индуктивность и ёмкость двухпроводной линии, показанной на рис. 1, в приближении r≪d следующие:

L₀= , С₀= , (18)

где ε₀ и μ₀ – электрическая и магнитная постоянные. Следовательно, волновое сопротивление двухпроводной линии

ρ= [Ом]. (19)

Так как обычно отношение d/r

10…100, то волновое сопротивление такой линии имеет порядок нескольких сотен ом.

5.2. Входное сопротивление

Определение. Отношение комплексных амплитуд напряжения и тока в данном сечении линии называется входным сопротивлением линии в этом сечении:

Z_вх= .

Подставляя сюда и из (17), получаем для входного сопротивления линии в данном сечении у:

Z_вх= , (20)

Z_н=

− импеданс нагрузки. Таким образом, входное сопротивление является, вообще говоря, числом комплексным, причём Z_вх=Z_вх(ρ, Z_н, ω, у), а на конце линии (при у=0) Z_вх=Z_н.

5.3. Коэффициент отражения

Волны токов и напряжений, возбуждаемые в линии генератором, доходят до нагрузки Z_н и, вообще говоря, частично или полностью отражаются от неё обратно в линию, так что коэффициент в (13а) и (13б), соответствующий комплексной амплитуде отражённых волн, в общем случае не равен нулю.

Определение. Отношение комплексных амплитуд напряжений (или токов) отражённой и падающей волн в некотором сечении линии называется коэффициентом отражения в этом сечении:

. (21)

Из (13а) и (16) имеем:

.

Обычно представляет интерес не сам коэффициент отражения, а его модуль, поэтому далее везде под коэффициентом отражения будем понимать величину

. (22)

≤1. (23)

5.4. Волновое число и фазовая скорость

Рассмотрим аргумент синуса (ωt−αх) в формуле (14), который называется фазой волны. Если число ω характеризует скорость изменения фазы в данном сечении линии х, то число α − «скорость» изменения фазы вдоль линии в данный момент t. Это число α называется волновым числом. Оно «произошло» из уравнения (11) и выражается через погонные параметры линии и частоту ω формулой (12)

.

Определение. Фазовой скоростью υ волны называется скорость перемещения вдоль линии неизменного фазового состояния, т.е. какой-либо фиксированной фазы напряжения или тока.

Выразим фазовую скорость через другие параметры линии. Для этого запишем условие постоянства фазы: (ωt−αх)=const. Дифференцируя это по времени и учитывая (12), получаем:

υ= ,

что совпадает с (7). Подстановка сюда выражений (18) даёт численное значение фазовой скорости волн в двухпроводной линии:

υ= 3·10 8 м/с.

Таким образом, вóлны токов и напряжений бегут по линии без потерь со скоростью света в вакууме.

Определение. Расстояние λ, которое волна пробегает за период Т, называется длиной волны:

λ=υT= . (24)

Полагая υ=с, Т=1/f, получаем: λ=с/f, где f – частота генератора.

6. Режимы работы линии без потерь

6.1. Режим бегущих волн

Если линия нагружена на активное сопротивление, равное волновому, т.е. Z_н=ρ, то, как следует из (22), коэффициент отражения р=0, а из определения (21) получаем, что (и =0), а, следовательно, и =0. Таким образом, при Z_н=ρ в линии существуют только падающие волны и она становится эквивалентной полубесконечной линии без потерь. Поэтому нагрузка Z_н=ρ называется согласованной, а соответствующий режим в линии – режимом бегущих волн. В этом режиме в линии происходит идеальная канализация высокочастотной энергии, которая полностью поглощается нагрузкой. Для режима бегущих волн ( =0) уравнения (13а) и (13б) принимают вид:

Но учитывая, что , из первого уравнения (16) получаем:

,

где U_н – действительная амплитуда напряжения на нагрузке, ψ – некоторая его начальная фаза. Для простоты, не искажающей существа процесса, можно положить ψ=−αl, так что =U_н, и тогда

Следовательно, для мгновенных значений напряжения и тока в линии получаем:

Эти функции и представляют бегущие синусоидальные волны напряжений и токов в линии. Из них видно, что в режиме бегущих волн:

● амплитуды напряжения и тока постоянны на всей линии:

● напряжение и ток в каждом сечении линии изменяются синфазно, т.е. сдвиг фаз между ними φ=0; а это означает, что вдоль линии от генератора к нагрузке переносится активная мощность

P= ,

которая вся и поглощается нагрузкой.

Но высокочастотные напряжения и токи создают вокруг проводов переменные электрическое и магнитное поля, ориентированные в плоскости поперечного сечения линии, как показано на рис. 5. Следовательно, вдоль линии бегут волны электрического и магнитного полей − электромагнитные волны. Можно показать. что энергия от генератора к нагрузке переносится именно этими волнами, а провода линии лишь задают направление переноса. Плотность потока электромагнитной энергии характеризуется вектором Пойнтинга

П=Е×Н= (Е×В),

который в данном случае постоянен по величине и направлен вдоль линии от генератора к нагрузке.

Так как поля Е и В в двухпроводной линии имеют только поперечные компоненты, а фронт электромагнитной волны (т.е. поверхность постоянной фазы волны) является плоским, то такие волны называются плоскими поперечными волнамитипа ТЕМ (Transverse Electric-Magnetic).

Как следует из (20), в режиме бегущих волн (т.е. при Z_н=ρ) входное сопротивление в любом сечении линии Z_вх=ρ, т.е. постоянно и чисто активно.

6.2. Режим стоячих волн

Если амплитуды падающих и отражённых волн равны, то говорят, что линия работает в режиме стоячих волн. В этом режиме, как следует из (21), р=1.

Из формул (22) и (23) видно, что режим стоячих волн в линии реализуется в следующих трёх случаях:

● Z_н=∞ (линия на конце разомкнута);

● Z_н=jX_н (линия, нагруженная на реактивное сопротивление).

Ограничимся анализом процессов в линии в первых двух вариантах.

При Z_н=∞ ток , следовательно, уравнения (17) примут вид:

, ;

и для мгновенных значений напряжения и тока в линии получаем:

Эти соотношения описывают стоячие волны в линии, которые характеризуются следующими свойствами:

1. Амплитуды напряжения и тока в линии зависят от координаты у:

, . (25)

Максимальные значения амплитуды напряжения (U_max=U_н) называются пучностями напряжения, а минимальные (U_min=0) –узлами напряжения. Видно, что координаты пучностей напряжения определяются из условия

а координаты узлов напряжения – из условия

Тогда, учитывая. что α=2π/λ (соотношение (24)), получаем для координат пучностей и узлов напряжения:

,

Аналогично определяются положения пучностей и узлов тока; при этом получается, что узлы тока совпадают с пучностями напряжения и наоборот (рис.6).

2. Фаза колебаний напряжения между узлами не зависит от у, а при переходе через узел скачком меняется на π. Аналогично для фазы тока.

3. В каждом сечении линии разность фаз между мгновенными значениями тока и напряжения φ=π/2, следовательно, активная мощность по линии не переносится ( ); энергия лишь на локальных участках превращается из электрической в магнитную и наоборот.

Как видно из (20), входное сопротивление разомкнутой линии

Z_вх= .

При αу=πk, т.е. при у=k (k=0, 1, 2, …), т.е. в узлах тока, Z_вх=∞, как у параллельного контура; а при у= +πk=(2k+1) (k=0, 1, 2, …), т.е. в узлах напряжения, Z_вх=0, как у последовательного колебательного контура.

Определение. Отрезки линии у=k (k=1, 2, …), ведущие себя как параллельный или последовательный контуры, называются резонансными.

Резонансные отрезки имеют одно важное свойство: из формулы (20) следует, что при любой нагрузке Z_н входное сопротивление четвертьволновых отрезков (k=1, 3, 5, …)

Z_вх , (26а)

а входное сопротивление полуволновых отрезков (k=2, 4, 6, …)

Z_вх . (26б)

Последнее означает, что полуволновый отрезок линии с нагрузкой Z_н эквивалентен самой нагрузке Z_н.

6.2.2. Короткозамкнутая линия (Z_н=0)

При Z_н=0 напряжение на конце линии , следовательно, уравнения (17) принимают вид:

, ;

и для мгновенных значений напряжения и тока получаем:

Эти соотношения, как и в предыдущем случае Z_н=∞, описывают стоячие волны, только здесь координаты пучностей и узлов напряжения будут:

, ,

т.е. взаимно меняются по сравнению с вариантом Z_н=∞. То же самое для пуч ностей и узлов тока (рис. 7).

Замечание. Из формулы (26а) следует, что входное сопротивление четвертьволнового короткозамкнутого отрезка ∞. Это свойство позволяет применять такие отрезки в качестве изолирующих креплений линии (рис. 8), так как они не шунтируют линию ни в каком месте и не нарушают режим её работы.

6.3. Режим смешанных волн

Если линия нагружена на сопротивление Z_н, не равное 0, ∞, jX_н или ρ, то в ней устанавливается режим смешанных волн, когда в линии существуют отражённые волны, но меньшей амплитуды, чем падающие, поскольку часть энергии поглощается активной компонентой нагрузки. Ограничимся рассмотрением варианта чисто активной нагрузки, когда Z_н=R_н≠ρ.

Как видно из (22), при Z_н=R_н коэффициент отражения

. (27)

Уравнения (17) принимают вид:

где m=ρ/R_н. Отсюда для действительных амплитуд получаем:

На рис. 9 в качестве примера показан график U(y) при m>1, т.е. при R_н ) :

КСВ= . (28)

Из этого определения следует, что

● в режиме бегущих волн, т.е. при Z_н=ρ: КСВ=1;

● в режиме стоячих волн, т.е. при Z_н=0, ∞ или jХ_н: КСВ=∞;

Из (27) и (29) следует. что при чисто активной нагрузке Z_н=R_н

КСВ= (31)

Поскольку основным назначением передающей линии является передача максимальной мощности от генератора к потребителю (к нагрузке), то важно уметь выражать КСВ через падающую и отражённую от нагрузки мощности. Так как мощность Р

U 2 , то из (21) и (30) получаем долю отражённой мощности:

.

Таким образом, при хорошем согласовании, когда КСВ≤1,5, отношение 4%, а при удовлетворительном – 25%.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Что такое квазистационарные процессы? Волновые процессы?

2. Что такое длинная однородная линия?

3. Изобразить эквивалентную схему длинной линии.

4. Записать волновое уравнение и общий вид его решения.

5. Установить, удовлетворяет ли волновому уравнению (6) функция не имеющая вида (8).

6. Что такое волновое сопротивление линии? Зависит ли оно от координаты сечения линии? От её геометрии? От нагрузки?

7. Вывести формулы для погонных ёмкости и индуктивности:

а) двухпроводной линии с заданной геометрией;

б) коаксиальной линии с заданной геометрией;

в) полосковой линии с заданной геометрией.

8. Что такое входное сопротивление линии? От чего оно зависит?

10. Что такое коэффициент отражения? От чего он зависит?

11. Что такое: а) фаза бегущей волны? б) волновое число? в) фазовая скорость? г) длина волны? Как связаны между собою эти величины?

12. Показать, что фазовая скорость бегущей волны в двухпроводной линии равна скорости света в вакууме.

13. Изобразить структуру электромагнитного поля в двухпроводной линии. Куда направлен вектор Пойнтинга в режиме бегущих волн? Почему волны в линии называются плоскими поперечными?

14. Что такое согласованная нагрузка?

15. Что такое режим стоячих волн и как его реализовать?

16. Что такое режим смешанных волн и как его реализовать?

17. Что такое резонансные отрезки линии? Записать входные сопротивления четверть- и полуволновых отрезков линии.

18. Согласованную нагрузку включили на расстоянии а=λ/4 от конца разомкнутой линии. Как изменится режим в линии? Показать распределение токов и напряжений в этом случае.

19. Выполнить задание предыдущего пункта для случая а=λ/2.

20. Одна согласованная нагрузка включена в конце линии, а другая где-то в середине. Какой режим будет в каждой части линии?

21. Что такое КСВ ? Как он связан с коэффициентом отражения? Каков КСВ в разных режимах?

22. Как оценивается качество согласования нагрузки с линией?

23. Как выражается КСВ через сопротивление активной нагрузки?

24. Каков должен быть КСВ в линии, если допустимое отражение мощности от активной нагрузки равно 1% ? Каково при этом допустимое отклонение R_н от ρ ?

Пусть размеры линии в её сечении (рис. 1): r=1.5 мм, d=82 мм; материал проводов – медь.

1. По формулам (18) вычислить погонные параметры линии L₀ (мкГн/м) и С₀ (пФ/м), а по формуле (19) – её волновое сопротивление ρ.

2. Воздушную линию можно считать без потерь, если её погонное сопротивление R₀≪ωL₀. С учётом скин-эффекта, погонное сопротивление цилиндрического провода радиусом r на частоте f оценивается по формуле

R₀= ,

где σ – проводимость материала провода; для меди σ = 0,5·10 8 (Ом·м) −1 .

Оценить, выполняется ли условие R₀≪ωL₀ на частоте f=100 МГц (учесть, что проводов у линии – два).

1. Фейнман Р. Фейнмановские лекции по физике. – М.: Мир, 1977. – С. 221-226.

2. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. – М.: Высшая школа, 1973. – Гл. 12.

3. Зернов Н. В., Карпов В. Г. Теория радиотехнических цепей. − М.: Энергия, 1965. – Гл. 6.

* ) Иногда, наряду с КСВ, используют и обратную ему величину – коэффициент бегущей волны (КБВ): КБВ=1/КСВ.