Телеграфные уравнения и волновые уравнения

Волновое и телеграфное уравнения

Уравнение

(2.59)

где скорость распространения волны в данной среде, называется волновым уравнением. В приведенном уравнении обозначают декартовы координаты точки, время.

Для двумерного пространства (плоский случай) волновое уравнение имеет вид

.

(2.60)

В одномерной области уравнение (2.60) принимает вид

.

(2.61)

Волновое уравнение описывает процессы распространения упругих, звуковых, световых, электромагнитных волн, а также другие колебательные явления. Например, волновое уравнение может описать:

а) малые поперечные колебания струны (при этом под понимают поперечное отклонение точки струны от положения равновесия в момент времени );

б) продольные колебания упругого стержня ( продольное отклонение частицы от ее положения при отсутствии деформации);

в) малые упругие колебания плоской пластины, мембраны;

г) течение жидкости или газа в коротких трубах, когда трением о стенки трубы можно пренебречь ( давление или расход).

(2.62)

называется телеграфным уравнением. Оно описывает электрические колебания в проводах ( сила тока или напряжение), неустановившееся течение жидкости или газа в трубах ( давление или скорость).

Волновое и телеграфное уравнения входят в группу уравнений гиперболического типа.

Уравнение теплопроводности

Уравнение

(2.63)

где параметр, учитывающий физические свойства изучаемой среды, называется уравнением теплопроводности.

Оно имеет вид для плоского случая

(2.64)

.

(2.65)

Уравнением теплопроводности описываются процессы нестационарного массо- и теплообмена. В частности, к этим уравнениям приводят задачи о неустановившемся режиме распределения тепла (при этом означает коэффициент температуропроводности, а температуру в любой точек исследуемой области в любой момент времени ), о фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде, например, нефти и газа в подземных песчаниках ( коэффициент пьезопроводности, давление в любой точке среды), о неустановившейся диффузии ( коэффициент диффузии, концентрация), о течении жидкости в магистральных трубопроводах ( давление или скорость жидкости).

Если при рассмотрении этих задач окажется, что в исследуемой области функционируют внутренние источники и стоки массы или тепла, то процесс описывается неоднородным уравнением

,

(2.66)

где функция характеризует интенсивность функционирующих источников.

Уравнения (2.63) – (2.66) являются простейшими уравнениями параболического типа.

Уравнения Лапласа и Пуассона

Уравнение

(2.67)

называется уравнением Пуассонав трехмерном пространстве. Если в этом уравнении , то оно называется уравнением Лапласа:

.

(2.68)

К исследованию уравнений Лапласа и Пуассона приводит рассмотрение задач о стационарном процессе: это задачи гидродинамики, диффузии, распределения температуры, электростатики и др.

Эти уравнения относятся к уравнениям эллиптического типа.

Те задачи, которые приводят к уравнениям, содержащим время, называются нестационарными или динамическими задачами математической физики; задачи, приводящие к уравнениям, не содержащим время, называются стационарными или статическими.

Как было показано, уравнения математической физики имеют бесчисленное множество решений, зависящие от двух произвольных функций (речь идет об уравнениях второго порядка для функции двух переменных). Для того, чтобы из множества решений выделить определенное, характеризующее процесс, необходимо на искомую функцию наложить дополнительные условия, которые диктуются физическими соображениями. Таковыми условиями для уравнений в частных производных являются, чаще всего, начальные и граничные условия. Граничные условия – это условия заданные на границе рассматриваемой среды; начальные условия – это условия, относящиеся к какому-нибудь моменту времени, с которого начинается изучение данного физического явления. Дополнительные условия, так же как и само дифференциальное уравнение, выводятся на основе физических соображений, связанных с самим процессом. Вместе с тем дополнительные условия должны быть такими, чтобы обеспечить выделение единственного решения из всего множества решений. Число граничных и начальных условий определяются типом уравнения, а их вид – заданным исходным состоянием на границе объекта и внешней среды. Для рассматриваемых нами уравнений число начальных условий равно порядку старшей производной по времени, входящей в уравнение, а число граничных условий – порядку старшей производной по координате.

Совокупность дифференциального уравнения и дополнительных условий представляют собой математическую формулировку физической задачи, и называется задачей математической физики.

Итак, задача математической физики состоит в отыскании решений уравнений в частных производных, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям, скажем, граничным и начальным.

Задача математической физики считается поставленной корректно, если решение задачи, удовлетворяющее всем ее условиям, существует, единственно и устойчиво.

2.19 КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ. ГРАНИЧНЫЕ И НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

Пусть струна находится под действием сильного начального натяжения . Если вывести струну из положения равновесия и подвергнуть действию какой-либо силы, то струна начнет колебаться. Процесс колебания можно описать одной функцией , характеризующей вертикальное перемещение струны (отклонение от положения равновесия (рис. 2.2)). При каждом фиксированном значении график функции на плоскости дает форму струны в момент времени .

Функция удовлетворяет уравнению

,

(2.69)

где масса единицы длины (линейная плотность струны), сила, действующая на струну перпендикулярно оси и рассчитанная на единицу длины.

Если внешняя сила отсутствует, т.е. , то уравнение

(2.70)

описывает свободные колебания струны без воздействия внешних усилий.

Уравнение (2.69) является простейшим уравнением гиперболического типа и в то же время одним из важнейших уравнений матфизики.

Одного уравнения движения (2.69) или (2.70) при математическом описании физического процесса недостаточно. При рассмотрении задачи о колебании струны дополнительные условия могут быть двух видов: начальные и граничные (краевые).

Так как процесс колебаний струны зависит от ее начальной формы и распределения скоростей, то следует задать начальные условия:

.

(2.71)

Граничные условия определяются поддерживаемым на концах струны режимом на протяжении процесса колебания. Так, если концы струны длины

закреплены, то отклонения в точках и равны нулю:

.

(2.72)

Будем говорить о трех типах граничных условий:

I

II

III ,

где известные функции,

и известные постоянные.

Приведенные условия называют соответственно граничными условиями первого, второго, третьего рода. Условия I имеют место в том случае, когда концы объекта (струна, стержень и т.д.) перемещаются по заданному закону; условия II – в случае, когда к концам приложены заданные силы; условия III – в случае упругого закрепления концов.

Если функции, заданные в правой части равенства, равны нулю, то граничные условия называются однородными. Так, граничные условия (2.72) – однородные. Комбинируя различные перечисленные типы граничных условий, получим шесть типов простейших краевых задач.

В том случае, когда режим на концах не будет оказывать существенного влияния на ту часть струны, которая достаточно удалена от них, струну считают бесконечной. В силу этого вместо полной краевой задачи ставят предельную задачу – з а д а ч у К о ш и: найти решение уравнения (2.69) для при , удовлетворяющее начальным условиям

.

Если изучается процесс вблизи одной границы и влияние граничного режима на второй границе не имеет существенного значения на протяжении интересующего нас промежутка времени, то приходим к постановке задачи на полуограниченной прямой . В этом случае задаются начальные условия и одно из граничных условий I — III при .

Примеры решения задач

ПРИМЕР 2.42. Однородная струна длины совершает малые поперечные колебания. Поставить задача об определении отклонений точек струны от прямолинейного положения покоя, если в момент струна имела форму ( ) и скорость каждой ее точки задается функцией . Рассмотреть случаи:

а) концы струны закреплены;

б) концы струны свободны;

в) к концам струны и , начиная с момента , приложены поперечные силы и соответственно;

г) концы струны закреплены упруго, т.е. каждый из концов испытывает сопротивление, пропорциональное отклонению конца.

Решение. Как известно, отклонения точек струны от положения равновесия удовлетворяют в отсутствии действующей внешней силы уравнению свободных колебаний (2.70)

.

Здесь , натяжение, линейная плотность , т.к. струна однородная.

Начальные условия имеют вид:

, , .

Займемся выводом граничных условий.

Случай а). Так как концы струны закреплены, то их отклонения в точках и должны быть равными нулю при любом , т.е.

, , .

Итак, физическая задача о колебаниях закрепленной на концах струны свелась к следующей математической задаче: найти функцию , определенную при и , являющуюся решением уравнения

и удовлетворяющую граничным условиям

,

и начальным условиям

, .

Случай б). Если концы струны свободны, то внешние силы, приложенные к ним, равны нулю. И, следовательно, равна нулю сила натяжения , которая согласно закону Гука, пропорциональна удлинению: , где коэффициент включает модуль упругости материала. Поэтому

, , ,

Задача формулируется следующим образом: найти решение уравнения

, , ,

удовлетворяющее граничным условиям

,

и начальным условиям

, .

Случай в). Рассмотрим граничные элементы и . Запишем второй закон Ньютона для правого элемента , на который действует сила и сила натяжения :

Переходя к пределу при , получим

, откуда .

Аналогично получим условия для левого конца:

.

Таким образом, задача ставится так: найти в области , , решение уравнения

,

удовлетворяющее граничным условиям рода

,

и начальным условиям

, .

Случай г). При упругом закреплении концов каждый конец испытывает сопротивление, пропорциональное отклонению конца, т.е.

, ,

где — коэффициент жесткости упругого крепления концов струны. Тогда из граничных условий в случае в) получим

, ,

иначе , .

Математическая формулировка задачи: найти решение уравнения

,

удовлетворяющее граничным условиям III рода

, ,

и начальным условиям

, , .

Длинная линия

Длинная линия

Содержание

1 Дифференциальные уравнения длинной линии
1.1 Погонные параметры 1.2 Эквивалентная схема участка длинной линии 1.3 Телеграфные уравнения 1.4 Условие регулярности линии 1.5 Однородные волновые уравнения длинной линии 1.6 Распределение поля падающей волны

2 Комплексный коэффициент отражения по напряжению 3 Коэффициенты бегущей и стоячей волны 4 Входное сопротивление длинной линии 5 Режимы работы длинной линии

5.1 Режим бегущей волны 5.2 Режим стоячей волны 5.3 Режим смешанных волн

6 Линия без потерь

6.1 Разомкнутая линия 6.2 Замкнутая линия 6.3 Ёмкостная нагрузка 6.4 Индуктивная нагрузка 6.5 Активная нагрузка 6.6 Комплексная нагрузка

7 КПД линии с потерями 8 Пределы применимости теории длинной линии 9 См. также 10 Примечания

Длинная линия — регулярная линия передачи[1], длина которой превышает длину волны (λ) колебаний, распространяющихся в линии.

Характерной особенностью длинных линий является проявление интерференции двух волн, распространяющихся навстречу друг другу. Одна из этих волн создается генератором электромагнитных колебаний, подключенным к линии, и называется падающей. Другая волна может возникать из-за отражения падающей волны от нагрузки, подключенной к противоположному концу линии, и называется отраженной. Отраженная волна распространяется в направлении, обратном падающей волне. Все разнообразие процессов, происходящих в длинной линии, определяется амплитудно-фазовыми соотношениями между падающей и отраженной волнами.

Дифференциальные уравнения длинной линии

Рассмотрим двухпроводную длинную линию, представленную на рисунке 1. На рисунке обозначено: ZН = RН + iXН — комплексное сопротивление нагрузки; z — продольная координата линии, отсчитываемая от места подключения нагрузки.

Погонные параметры

Рис.1 — К выводу дифференциальных уравнений длинной линии

Из электродинамики известно, что линия передачи может быть охарактеризована ее погонными параметрами:

R1 — погонное сопротивление, Ом/м; G1 — погонная проводимость, 1/Ом м; L1 — погонная индуктивность Гн/м; C1 — погонная ёмкость Ф/м;

Погонные сопротивление R1 и проводимость G1 зависят от проводимости материала проводов и качества диэлектрика, окружающего эти провода, соответственно. Чем меньше тепловые потери в металле проводов[2] и в диэлектрике, тем меньше соответственно, R1[3] и G1[4]. Погонные индуктивность L1 и емкость C1 определяются формой и размерами поперечного сечения проводов, а также расстоянием между ними.

Эквивалентная схема участка длинной линии

Рис.2 — Эквивалентная схема участка длинной линии

Выделим из линии элементарный участок бесконечно малой длины dz и рассмотрим его эквивалентную схему, покзанную на рисунке 2. На этой схеме стрелками обозначены направления отсчета напряжения U и тока I в линии; dU и dI — приращения напряжения и тока в линии на элементе длины dz. Значения параметров схемы определяются соотношениями:

Используя эквивалентную схему, запишем выражения для приращений напряжения и тока:

Подставляя сюда значения параметров схемы из (1), получаем:

,

где Z1 = R1 + iωL1, Y1 = G1 + iωC1 — погонные комплексные сопротивление и проводимость линии. Из последних соотношений находим дифференциальные уравнения линии:

Телеграфные уравнения

Основная статья: Телеграфное уравнение

Эти соотношения называются телеграфными уравнениями длинной линии. Они определяют связь между током и напряжением в любом сечении линии. Решим телеграфные уравнения относительно напряжения и тока. Для этого продифференцируем их по z:

При этом учтем, что:

Условие регулярности линии

Данные соотношения являются математическим определением регулярности длинной линии. Смысл соотношения (4) состоит в неизменности вдоль линии ее погонных параметров.

Подставляя в (3) значения производных напряжения и тока из (2), после преобразований получаем:

Однородные волновые уравнения длинной линии

,

где γ — коэффициент распространения волны в линии: .

Соотношения (5) называются однородными волновыми уравнениями длинной линии. Их решения известны и могут быть записаны в виде:

,

где AU, BU и AI, BI — коэффициенты, имеющие единицы измерения напряжения и тока соответственно, смысл которых будет ясен ниже.

Решения волновых уравнений в виде (3.6) имеют весьма характерный вид: первое слагаемое в этих решениях представляет собой падающую волну напряжения или тока, распространяющуюся от генератора к нагрузке, второе слагаемое — отраженную волну, распространяющуюся от нагрузки к генератору. Таким образом, коэффициенты AU, AI представляют собой комплексные амплитуды падающих волн напряжения и тока соответственно, а коэффициенты BU, BI — комплексные амплитуды отраженных волн напряжения и тока соответственно. Так как часть мощности, передаваемой по линии, может поглощаться в нагрузке, то амплитуды отраженных волн не должны превышать амплитуды падающих:

Направление распространения волн в (6) определяется знаком в показателях степени экспонент: плюс — волна распространяется в отрицательном направлении оси z; минус — в положительном направлении оси z (см. рис. 1).Так, например, для падающих волн напряжения и тока можно записать:

,

Коэффициент распространения волны в линии γ в общем случае является комплексной величиной и может быть представлен в виде:

,

где α — коэффициент затухания волны[5] в линии; β — коэффициент фазы[6]. Тогда соотношение (7) можно переписать в виде:

.

Так как при распространении падающей волны на длину волны в линии λЛ фаза волны изменяется на 2π , то коэффициент фазы можно связать с длиной волны λЛ соотношением

.

При этом фазовая скорость волны в линии VФ определяется через коэффициент фазы:

.

Определим коэффициенты A и B , входящие в решения (6) волновых уравнений, через значения напряжения UН и тока IН на нагрузке. Это является оправданным, так как напряжение и ток на нагрузке практически всегда можно измерить с помощью измерительных приборов. Воспользуемся первым из телеграфных уравнений (2) и подставим в него напряжение и ток из (6). Тогда получим:

Сравнив коэффициенты при экспонентах с одинаковыми показателями степеней, получим:

,

где — волновое сопротивление линии[7].

Перепишем (6) с учетом (12):

.

Для определения коэффициентов A и B в этих уравнениях воспользуемся условиями в конце линии z = 0:

.

Тогда из (13) при z = 0 найдем

,

Подставив полученные значения коэффициентов из (14) в (13), после преобразований получим:

.

При выводе (15) учтены определения гиперболических синуса и косинуса[8].

Соотношения для напряжения и тока (15) так же, как и (6), являются решениями однородных волновых уравнений. Их отличие состоит в том, что напряжение и ток в линии в соотношении (6) определены через амплитуды падающей и отраженной волн, а в (15) — через напряжение и ток на нагрузке.

Рассмотрим простейший случай, когда напряжение и ток в линии определяются только падающей волной, а отраженная волна отсутствует[9]. Тогда в (6) следует положить BU = 0, BI = 0:

.

Распределение поля падающей волны

Рис.3. Эпюры напряжений падающей волны в длинной линии. а) амплитуда; б) фаза

На рис.3. представлены эпюры изменения амплитуды |U| и фазы φU апряжения вдоль линии. Эпюры изменения амплитуды и фазы тока имеют такой же вид. Из рассмотрения эпюр следует, что при отсутствии в линии потерь (α[5] = 0) амплитуда напряжения в любом сечении линии остается одной и той же. При наличии потерь в линии (α[5] > 0) часть переносимой мощности преобразуется в тепло (нагревание проводов линии и окружающего их диэлектрика). По этой причине амплитуда напряжения падающей волны экспоненциально убывает в направлении распространения.

Фаза напряжения падающей волны φU = β z изменяется по линейному закону и уменьшается по мере удаления от генератора.

Рассмотрим изменение амплитуды и фазы, например, напряжения при наличии падающей и отраженной волн. Для упрощения положим, что потери в линии отсутствуют, то есть α[5] = 0. Тогда напряжение в линии можно представить в виде:

,

где Γ = BU / AU — комплексный коэффициент отражения по напряжению.

Комплексный коэффициент отражения по напряжению

Характеризует степень согласования линии передачи с нагрузкой. Модуль коэффициента отражения изменяется в пределах:

| Г | = 0, если отражения от нагрузки отсутствуют и BU = 0[9]; | Г | = 1, если волна полностью отражается от нагрузки, то есть | AU | = | BU | ;

Соотношение (16) представляет собой сумму падающей и отраженной волн.

Рис.4. Векторная диаграмма напряжений в линии с отраженной волной

Отобразим напряжение на комплексной плоскости в виде векторной диаграммы, каждый из векторов которой определяет падающую, отраженную волны и результирующее напряжение (рис. 4). Из диаграммы видно, что существуют такие поперечные сечения линии, в которых падающая и отраженная волны складываются в фазе. Напряжение в этих сечениях достигает максимума, величина которого равна сумме амплитуд падающей и отраженной волн:

.

Кроме того, существуют такие поперечные сечения линии, в которых падающая и отраженная волны складываются в противофазе. При этом напряжение достигает минимума:

.

Если линия нагружена на сопротивление, для которого |Г| = 1 , т. е. амплитуда падающей и отраженной волн равны |BU| = |AU|, то в этом случае Umax = 2|AU|, а Umin = 0.

Рис.5. Эпюры распределения напряжения вдоль линии с отражённой волной. а) Модуль напряжения; б) фаза напряжения.

Напряжение в такой линии изменяется от нуля до удвоенной амплитуды падающей волны. На рис. 5 представлены эпюры изменения амплитуды и фазы напряжения вдоль линии при наличии отраженной волны.

Коэффициенты бегущей и стоячей волны

По эпюре напряжения судят о степени согласования линии с нагрузкой. Для этого вводятся понятия коэффициента бегущей волны — kБВ и коэффициента стоячей волны kСВ:

Эти коэффициенты, судя по определению, изменяются в пределах:

,

.

На практике наиболее часто используется понятие коэффициента стоячей волны, так как современные измерительные приборы (панорамные измерители kСВ) на индикаторных устройствах отображают изменение именно этой величины в определенной полосе частот.

Входное сопротивление длинной линии

Входное сопротивление линии — является важной характеристикой, которое определяется в каждом сечении линии как отношение напряжения к току в этом сечении:

Так как напряжение и ток в линии изменяются от сечения к сечению, то и входное сопротивление линии изменяется относительно ее продольной координаты z. При этом говорят о трансформирующих свойствах линии, а саму линию рассматривают как трансформатор сопротивлений. Подробнее свойство линии трансформировать сопротивления будет рассмотрено ниже.

Режимы работы длинной линии

Различают три режима работы линии:

режим бегущей волны; [10] режим стоячей волны; [10] режим смешанных волн.

Режим бегущей волны

Режим бегущей волны характеризуется наличием только падающей волны, распространяющейся от генератора к нагрузке. Отраженная волна отсутствует. Мощность, переносимая падающей волной, полностью выделяется в нагрузке. В этом режиме BU = 0, | Г | = 0, kбв =kсв = 1[10].

Режим стоячей волны

Режим стоячей волны характеризуется тем, что амплитуда отраженной волны равна амплитуде падающей BU = AU т. е. энергия падающей волны полностью отражается от нагрузки и возвращается обратно в генератор. В этом режиме, | Г | = 1, kсв = , kбв = 0[10].

Режим смешанных волн

В режиме смешанных волн амплитуда отраженной волны удовлетворяет условию 0 W Сопротивление нагрузки меньше волнового сопротивления линии RН

Телеграфные уравнения, волновое уравнение

Рассмотрим распределенную колебательную систему на примере двух­проводной линии. Если расстояние между проводниками мало в срав­нении с длиной линии l и длиной волны l, передаваемых колебаний в ней, то векторы магнитного и электрического поля лежат в плоскости, перпендикуляр­ной направлению линии, в этой плоскости удовлетворяют уравнению Лапласа и могут считаться потенциальными. Поэтому для малых участков

Рис. 79. Двухпроводная линия.

линии dx (рис. 79) мож­но ввести понятия потенциала, тока, распределенных ёмкостей и индуктивностей. Если система не излучает и не взаимодействует с другими проводниками, то в каждом сечении линии токи в обоих проводниках равны по величине и противоположны по направлению: i₁(x, t) = —i₂(x, t) = i(x, t).

Рассмотрим бесконечно малый элемент dx длины линии, обладающей индуктивностью L и ёмкостью C на единицу длины линии. Для участка dx линии можно записать уравнения Кирхгофа:

, ,

откуда легко получаются телеграфные уравнения:

, .

(9.1)

Из уравнений (9.1) легко получаются и волновые уравнения для тока и напряжения:

, ,

(9.2)

— фазовая скорость.

(9.3)

Волновое уравнение можно получить также, если рассматривать, например, распределённую электрическую систему как предельный случай одномерной цепочки, составленной из сосредоточенных индуктивностей и емкостей. Если увеличивать число ячеек на единицу длины цепочки, сохраняя постоянной общую индуктивность и ёмкость, то в пределе система уравнений для цепочки (8.32) перейдёт в волновое уравнение (9.2). Координата x соответствует изменяющемуся номеру ячейки.

Частным решением волнового уравнения (9.2) являются любые функции вида

, ,

соответственно полное решение имеет вид:

.

(9.4)

Первое слагаемое описывает волну, которая распространяется, не меняя своей формы, в направлении возрастания x, а второе — волну, распространяющуюся с той же скоростью в сторону убывания x. Для процессов, синусоидальных во времени, решение (9.4) принимает форму

.

Здесь величина w(t ± x/v) называется фазой волны, а величина k = w/v — волновым числом. Волновое число характеризует пространственную периодичность волнового процесса, т. е. y(x + nl, t) = y(x, t), и связана с длиной волны соотношением: k = 2p/l.

Для токов и напряжений в линии решение уравнения (9.4) имеет вид:

(9.5)

Подставляя эти выражения в телеграфное уравнение (9.1), получим связь между коэффициентами:

, ,

где — волновое сопротивление линии. Учитывая связь между коэффициентами, перепишем (9.5) в виде

(9.6)

Погонные индуктивность и ёмкость линии определяются её геометрией. Для двухпроводной линии в системе СГС получаем

, ,

(9.7)

где r — радиус проводов, b — расстояние между ними.

Учитывая два последних соотношения, получим для волнового сопротивления следующее выражение:

[Ом].

Для коаксиальной линии имеем

[Ом],

где D и d — диаметры внешнего и внутреннего проводников.

Подставляя погонные L и C в (9.3), получим, что фазовая скорость волны в линии равна

.

(9.8)

Для двухпроводной линии с погонным сопротивлением проводников R и погонной утечкой G между ними телеграфные уравнения (9.1) принимают вид:

, .

(9.9)

Для гармонического во времени процесса уравнения (9.9) запишутся следующим образом:

, ,

где Z и Y — комплексные последовательное сопротивление и параллельная утечка, U и I — комплексные амплитуды напряжения и тока. Из этих двух телеграфных уравнений получим уравнение для U

,

.

Его решение имеет вид:

,

причём постоянная распространения g в данном случае является комплексной величиной. Представим её так:

.

Тогда мы вправе записать

.

Теперь и падающая и отражённая волны содержат множитель, характеризующий затухание. Поскольку и мнимая, и действительная части g являются нелинейными функциями частоты, то и фазовая скорость волны v = w/k зависит от частоты. Это явление называется дисперсией. Волновое сопротивление ли­нии с потерями тоже комплекснозначная функция частоты

.