Тело вращается вокруг неподвижной оси согласно уравнению
2017-05-07
Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону $\phi = at — bt^<3>$, где $a = 6,0 рад/с, b = 2,0 рад/с^<3>$. Найти:
а) средние значения угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от $t = 0$ до остановки;
б) угловое ускорение в момент остановки тела.
Возьмем ось вращения вдоль оси z, положительное направление которой связано с положительным направлением координата $\phi$, а угол поворота соответствует правилу правого винта (рис.).
(a) Дифференцируя $\phi (t)$ по времени.
Аналогично $\beta = | \beta_
(б) Из уравнения. (2) $\beta_
Получаем, $( \beta_
Следовательно $\beta = | (b_
Тело вращается вокруг неподвижной оси согласно уравнению
твердое тело вращается вокруг неподвижной оси
Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону φ = at – bt 3 , где a = 6,0 рад/с, b = 2,0 рад/с 3 . Найти: а) средние значения угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от t = 0 до остановки; б) угловое ускорение в момент остановки тела.
Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси согласно уравнению φ = At – Bt 3 , где А = 3 рад/с, В = 1 рад/с 3 . Найти: а) среднее значение угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от t = 0 до остановки б) угловое ускорение в момент остановки тела.
Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что его угловая скорость зависит от времени по закону ω = ω0+At+Bt 2 , где ω0 = 10 рад/с, А = 0,1 рад/с 2 , В = –0,01 рад/с 3 . В момент времени t = 0 угол поворота φ0 = 0. На какой угол от начала вращения повернется тело через t1 = 10 с? Найти значение углового ускорения при t1.
Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону φ = At – Bt 3 , где А = 6 рад/с, В = 2 рад/с 3 . Найти угловое ускорение β и значение угла поворота φ в момент остановки тела.
Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону φ = 6t – t 2 (рад). Определить: 1) среднюю угловую скорость вращения за промежуток времени от t1 = 1 до t2 = 4 с; 2) полное число оборотов за тот же промежуток времени. Построить график зависимости угловой скорости и углового ускорения от времени.
Тело вращается вокруг неподвижной оси согласно уравнению
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КИНЕМАТИКЕ
Кинематика вращения тела вокруг неподвижной оси
1. Краткие сведения из теории
Уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси имеет вид
. (40)
Отсчет угла ведется от выбранного начала. При этом углам, отложенным в направлении движения часовой стрелки, придается знак “минус”, а углам противоположного направления – знак “плюс”.
Угол поворота выражается в радианах. Иногда угол поворота определяется числом оборотов N. Зависимость между и N следующая .
Угловая скорость тела:
(41)
Знак производной дает возможность установить происходит ли вращение тела в положительном направлении отсчета угла поворота (знак “плюс”) или в обратную сторону (знак “минус”). Единица измерения угловой скорости – радиан в секунду (или 1/с).
Иногда угловую скорость характеризуют числом оборотов в минуту и обозначают буквой n . Зависимость между и n имеет вид
Угловое ускорение тела:
(42)
Знак производной дает возможность установить является ли вращение тела в данный момент времени ускоренным или замедленным. Если знаки и одинаковы, тело вращается ускоренно, а если их знаки различны – замедленно. Единица измерения углового ускорения – радиан на секунду в квадрате (или 1/с 2 ).
Траекториями точек тела, не лежащих на оси вращения, являются окружности с центрами на оси вращения и радиусами, равными кратчайшему расстоянию от этих точек до оси вращения.
Модуль скорости любой точки тела, находящейся на расстоянии h от оси вращения (рис. 18), определяется по формуле
. (43)
Направлена скорость точки по касательной к описываемой точкой окружности в сторону движения.
Ускорение любой точки тела состоит из двух составляющих – вращательного и осестремительного ускорений:
.
Модуль вращательного ускорения точки определяется по формуле
. (44)
Вращательное ускорение направлено по касательной к описываемой точкой окружности в ту же сторону, что и его скорость, если вращение тела ускоренное (рис. 18, а) и в сторону, противоположную скорости, если вращение замедленное (рис.18, б).
Модуль осестремительного ускорения определяется по формуле
. (45)
Осестремительное ускорение всегда направлено по радиусу окружности от точки к центру окружности (рис. 18).
Модуль полного ускорения точки определяется по формуле
(46)
2. Основные типы задач кинематики вращения тела вокруг оси
В зависимости от того, что задано в условии задачи и что требуется определить, различают следующие два основных типа задач.
1. Исследуется движение тела в целом. В этих задачах вначале нужно получить законы (40)–(42) и, используя связь между ними, определить требуемую величину (см. примеры 17 и 18).
2. Требуется определить скорости и ускорения отдельных точек тела. Для решения задач этого типа вначале надо установить кинематические характеристики движения всего тела в целом, т.е. найти , и . После чего по формулам (43), (44), (45), (46) определить скорости и ускорения точек тела (см. пример 19).
Пример 17. Пропеллер самолета, делающий 1200 об / мин , после выключения двигателя останавливается через 8 с. Сколько оборотов сделал пропеллер за это время, если считать его вращение равнозамедленным?
Вначале получим законы вращения пропеллера (40), (41) и (42). По условию задачи пропеллер вращается равнозамедленно , из этого следует, что
.
, (47)
(48)
Начальной угловой скоростью при замедленном вращении будет та, которую пропеллер имел до выключения двигателя. Следовательно, . В момент остановки при t1 = 8 сек. угловая скорость тела . Подставляя эти значения в уравнение (47), получим
Отсюда
Если обозначить число сделанных пропеллером за время t1 оборотов через N1, то угол поворота за то же время будет равен
.
Подставляя найденные значения и в уравнение (48), получим
Отсюда оборотов.
Пример 18. Найти закон вращения тела вокруг оси, если известны следующие данные: угловая скорость изменяется пропорционально t 2 , начальный угол поворота рад, для заданного момента времени t1 = 3 с угловое ускорение 1/с 2 .
По условию задачи модуль угловой скорости изменяется пропорционально t 2 . Обозначая неизвестный коэффициент пропорциональности буквой k , имеем
. (49)
Найдем , беря производные по времени от обеих частей равенства (49),
Определим коэффициент k из условия, что при t1 = 3 сек. угловое ускорение 1/с 2 : или
Подставляя значение k в уравнение (49), получим
Учитывая, что , будем иметь
Умножая обе части этого уравнения на dt и интегрируя, находим
В начальный момент при t = 0, = 2 рад, следовательно, c = 2.
Таким образом, радиан.
Пример 19. В период разгона ротор электродвигателя вращается по закону , где t в сек, в рад.
Определить в конце 4-й секунды линейную скорость, вращательное, осестремительное и полное ускорения точки, лежащей на ободе ротора, если диаметр ротора D = 40 см .
По заданному уравнению вращения ротора находим его угловую скорость и угловое ускорение , .
Подставляя значение t1 = 4 сек в выражение для и , найдем
1/с,
1/с 2 .
Определим модули линейной скорости, вращательного и осестремительного ускорений в этот же момент времени по формулам (43), (44) и (45)
Модуль полного ускорения точки обода ротора определим по формуле (46)
3. Определение скоростей и ускорений в случаях, когда вращающееся тело входит в состав различных механизмов
Рассмотрим механизмы с поступательным и вращательным движением звеньев. Решение задачи начинают с определения скоростей точек того звена, для которого движение задано. Затем рассматривают звено, которое присоединено к первому звену и т.д. В результате определяют скорости точек всех звеньев механизма. В такой же последовательности определяют и ускорения точек.
Передача вращения от одного вращающегося тела, называемого ведущим, к другому, называемому ведомым, может осуществляться при помощи фрикционной или зубчатой передачи (рис. 19).
Во фрикционной передаче вращение передается вследствие действия силы трения в месте контакта соприкасающихся колес, в зубчатой передаче – от зацепления зубьев. Оси вращения ведущего и ведомого колес могут быть параллельными (рис. 19, а, б) или пересекаться (рис. 19, в). В рассмотренных случаях линейные скорости точек А соприкасания колес одинаковы, их модули определяются так:
. (50)
Отсюда . (51)
То есть угловые скорости колес фрикционной или зубчатой передачи обратно пропорциональны радиусам колес.
При преобразовании вращательного движения в поступательное (или наоборот) часто используют зацепление зубчатого колеса с зубчатой рейкой (рис. 20). Для этой передачи выполняется условие: .
Кроме фрикционной и зубчатой передач, существует передача вращения при помощи гибкой связи (ремня, троса, цепи) (рис. 21).
Так как модули скоростей всех точек ремня одинаковы и ремень не скользит по поверхностям шкивов, то соотношения (50) и (51) относятся и к ременной передаче.
Пример 20. В механизме домкрата при вращении рукоятки ОА шестерни 1, 2, 3, 4, 5 приводят в движение зубчатую рейку ВС домкрата (рис. 22).
Определить скорость рейки, если рукоятка ОА делает 30 оборотов в минуту ( n = 30 об /мин). Числа зубцов шестерен: z1 = 6, z2 = 24, z3 = 8, z4 = 32; радиус пятой шестерни r5 = 4 см .
Так как рукоятка ОА жестко соединена с шестерней 1, то последняя делает тоже 30 об /мин или
Модули скоростей точек соприкасания зубчатых колес 1 и 2 одинаковы для точек обоих колес и определяются по формуле (50)
Отсюда (см. также (51)).
Так как числа зубьев пропорциональны радиусам колес, то .
Отсюда
Шестерни 2 и 3 жестко соединены между собой, поэтому
Для находящихся в зацеплении колес 3 и 4 на основании (51) можно записать
Отсюда
Шестерни 4 и 5 жестко соединены между собой, поэтому
Модули скоростей точек соприкосновения зубчатой рейки ВС и шестерни 5 одинаковы, поэтому
или
Пример 21. Рейка 1, ступенчатое колесо 2 с радиусами R 2 и r 2 и колесо 3 радиуса R 3 , скрепленное с валом радиуса r3, находятся в зацеплении; на вал намотана нить с грузом 4 на конце (рис.23). Рейка движется по закону
Дано: R 2 =6 см, r2=4 см, R3=8 см, r3=3 см, ( S — в сантиметрах, t — в секундах), А — точка обода колеса 3, t 1 =3 с. Определить: , , , в момент времени t = t1.
Указания. Пример 21 — на исследование вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. При решении задачи учесть, что, когда два колеса находятся в зацеплении, скорость точки зацепления каждого колеса одна и та же, а когда два колеса связаны передачей, то скорости всех точек ремня и, следовательно, точек, лежащих на ободе каждого из этих колес, в данный момент времени численно одинаковы, при этом считается, что ремень по ободу колес не скользит.
Условимся обозначать скорости точек, лежащих на внешних ободах колес (радиуса R 1 ), через V1, а точек, лежащих на внутренних ободах (радиуса r 1 ), через U1.
1. Зная закон движения рейки 1, находим ее скорость:
. ( 52 )
Так как рейка и колесо 2 находятся в зацеплении, то V 2 = V1 или . Но колеса 2 и 3 тоже находятся в зацеплении, следовательно, или . Из этих равенств находим:
, . (53)
Тогда для момента времени t1 = 3 сек. получим = 6,75 с -1 .
2. Определяем V 4 . Так как , то при t1=3 c ек . V 4 = 20 ,25 см/с.
3. Определяем . Учитывая второе из равенств (53), получим .
Тогда при t1 = 3 сек. = 4,5 с -2 .
4. Определяем . Для точки А , где численно , . Тогда для момента времени t1 = 3 сек. имеем = 36 см/с2, = 364,5 см/с2.
= 366,3 см/с 2 ,
Все скорости и ускорения точек, а также направления угловых скоростей показаны на рис.2.
Ответ: , см/ с , , .
Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21
http://reshenie-zadach.com.ua/fizika/1/tverdoe_telo_vrashhaetsya_vokrug_nepodvizhnoj_osi.php
http://www.teoretmeh.ru/ukazankinematika2.htm