Показательные уравнения. 10-й класс
Разделы: Математика
Класс: 10
Учебник: Колягин Ю. М. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Москва, «Просвещение», 2014.
Урок проведён в универсальном 10-м классе средней общеобразовательной школы.
Цели урока: изучение способов решения показательных уравнений, тренировка в применении полученных знаний при решении заданий по теме, развитие творческой и мыслительной деятельности учащихся, формирование умения чётко и ясно излагать свои мысли, формирование познавательных интересов и мотивов самосовершенствования, воспитание умения работать с имеющейся информацией и культуры труда.
Структура урока
1. Организационный этап. Постановка темы и цели урока
– Прочитайте тему сегодняшнего урока (Приложение 1, слайд № 1)
– «Показательные уравнения».
– Нам это уже известно или это новый вид уравнений?
– Это новый вид уравнений.
– Попробуйте сформулировать цели урока.
– Мы узнаем, какие уравнения называются показательными, изучим способы их решения и будем учиться применять новое знание при решении задач по теме.
Учитель корректирует ответы учащихся.
2. Актуализация знаний. Устная работа (слайд № 3)
- Подберите корень уравнения 2 х = 32; 3 х = 27; 10 х = 10000
- Решите уравнение х 2 = 36; х 2 + х = 0; х 2 + 2х + 1 = 0
- Найдите область значений функции у = π х ; у = (0,5) х ; у = (0,5) |х|
- Сравните, используя свойства функций, с единицей 2 – 5 ; (0,5) – 3 ; (0,5) 0,5
3. Изучение нового материала (лекция)
Уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени, считается показательным (слайд № 4). Рассмотрим основные виды показательных уравнений (слайд № 5) (учащиеся записывают названия видов и примеры в тетрадях).
1. Элементарные показательные уравнения. Эти уравнения сводятся к решению уравнений вида а х = а в , где а >0, а ≠ 1. При этом используется свойство степени, которое мы изучали (повторить следствие 2 на стр. 160 учебника). Рассмотрим примеры решения таких уравнений.
Пример 1 (слайд № 6).
(0,0016) 0,2 х + 1 = 25;
5 – 4 (0,2 х + 1) = 52;
– 0,8 х – 4 = 2;
– 0,8 х = 6;
х = – 7,5 .
Пример 2 (слайд №7)
36 · 6 х = 1;
6 2 + х = 60;
2 + х = 0;
х = – 2.
Пример 3 (слайд №8)
81 х · 2 4х = 36;
3 4х · 2 4х = 62;
6 4х = 6 2 ;
4х = 2;
х = 0,5.
Ответ: 0,5.
Пример 4 (слайд № 9)
2 х – 3 = 3 х – 3 ;
х – 3 = 0;
х = 3.
Ответ: 3.
2. Вынесение общего множителя за скобки (слайд № 10). Рассмотрим примеры решения таких уравнений.
2 · 3 х + 1 – 6 · 3 х – 1 – 3 х = 9;
3 х (2 · 3 – 6 · 3 – 1 – 1) = 9;
3 х · 3 = 9;
3 х = 3;
х = 3.
Ответ: 3.
Пример 2 (слайд № 11).
5 2х – 7 х – 5 2х · 17 + 7 х · 17 = 0;
5 2х – 5 2х · 17 = 7 х – 7 х · 17;
5 2х (1 – 17) = 7 х (1 – 17);
– 16· 52х = – 16 · 7х;
5 2х = 7 х ;
25 х = 7 х ;
х= 0.
Ответ: 0.
3. Сведение к квадратному уравнению (слайд № 12). Рассмотрим примеры решения таких уравнений.
9 х – 4 · 3 х = 45;
3 2х – 4 · 3 х – 45 = 0;
Замена 3 х = t, t > 0;
t 2 – 4 t – 45 = 0;
D = 16 +180 = 196;
t1 = 9,
t2 = – 5 – не удовлетворяет условию t > 0;
3 х = 9;
3 х = 32;
х = 2;
Ответ: 2.
4. Закрепление изученного материала
– Продолжаем учиться решать показательные уравнения. (Решение всех последующих уравнений записывается на доске с объяснениями, следует вызвать ученика по желанию). Разберём №680(3), 681(1), 682(3), 684(1), 693(2).
5. Обучающая самостоятельная работа с самопроверкой
– Предлагаю вам самостоятельно решить следующие уравнения (слайд № 13), а затем проверить себя самостоятельно с помощью готовых решений (решение уравнений следует заранее заготовить, например, на слайдах, а затем показать учащимся по окончании работы).
- (0,3) 5 – 2х = 0,09;
- 225 · 15 2х + 1 = 1;
- 3 х + 1 – 3 х = 18;
- 9 х – 26 · 3 х – 27 = 0
Решение № 1 (слайд № 14)
Решение № 2 (слайд № 15)
15 2 · 15 2х + 1 = 150;
152х + 3 = 150;
2х + 3 = 0;
х = – 1,5.
Ответ: – 1,5.
Решение № 3 (слайд № 16)
3 х · 3 – 3 х = 18;
3 х (3 – 1) = 18;
3 х · 2 = 18;
3 х = 9;
3 х = 3 2 ;
х = 2.
Ответ: х = 2.
Решение № 4 (слайд № 17)
3 2х – 26 · 3 х – 27 = 0;
Замена 3 х = t, t > 0;
t 2 – 26 t – 27 = 0;
t1 = 27,
t2 = – 1 не удовлетворяет условию t > 0;
3 х = 27; 3 х = 3 3 ; х = 3;
Ответ: 3.
6. Подведение итога урока. Рефлексия
– Итак, подведём итоги проделанной работы. Что нового вы узнали?
– С какими видами показательных уравнений мы познакомились?
7. Домашнее задание (слайд № 18)
План-конспект урока по алгебре в 10 классе по теме «Простейшие показательные уравнения. Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного».
1) образовательная: ввести понятие показательное уравнение; формировать умение решать показательные уравнения; формировать умение решать показательные уравнения основными методами: функционально-графическим, методом уравнивания показателей степеней, методом введения новой переменной, отработать навыки решения показательных уравнений основными методами: функционально-графическим, методом уравнивания показателей степеней, методом введения новой переменной;
2) воспитательная: воспитание самостоятельности, творческого подхода к изучению нового материала;
3) развивающая: развитие логического мышления, умение выбирать материал для изучения.
Просмотр содержимого документа
«План-конспект урока по алгебре в 10 классе по теме «Простейшие показательные уравнения. Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного».»
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Бахчисарайская средняя общеобразовательная школа №2»
города Бахчисарай Республики Крым
План-конспект урока по алгебре в 10 классе
Тема урока: «Простейшие показательные уравнения. Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного».
высшей квалификационной категории
1) образовательная: ввести понятие показательное уравнение; формировать умение решать показательные уравнения; формировать умение решать показательные уравнения основными методами: функционально-графическим, методом уравнивания показателей степеней, методом введения новой переменной, отработать навыки решения показательных уравнений основными методами: функционально-графическим, методом уравнивания показателей степеней, методом введения новой переменной;
2) воспитательная: воспитание самостоятельности, творческого подхода к изучению нового материала;
3) развивающая: развитие логического мышления, умение выбирать материал для изучения.
Методическое обоснование темы:
Данная тема изучается в начале первого семестра и является частью темы «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства» учебного раздела «Алгебра и начала анализа 10 класс». Реализация ИКТ на уроках позволяет реализовать дифференцированный, личностно-ориентированный подход в обучении. Позволяет сформировать интерес к математике.
Тип урока: комбинированный
Оборудование: компьютер, проектор, записи на доске, карточки.
1. Организационный момент
(Сообщение темы и целей урока)
2. Повторение свойств степени.
Перечислим свойства показателей степени:
Нулевая степень любого числа равна единице.
Следствие из данного свойства:
3. Объяснение нового материала.
Показательным уравнением называется уравнение содержащее переменную в показателе, то есть это уравнение вида:
, где f(x) выражение, которое содержит переменную.
Методы решения показательных уравнений
1. В результате преобразований уравнение можно привести к виду:
Тогда применяем свойство:
2. При получении уравнения вида a f(x) = b используется определение логарифма, получим:
3. В результате преобразований можно получить уравнение вида:
Далее применяем свойство логарифма степени:
Выражаем и находим х.
4. Закрепление нового материала.
Найдите корень уравнения:
Необходимо сделать так, чтобы в левой и правой частях были показательные выражения с одним основанием. 64 мы можем представить как 4 в степени 3. Получим:
Основания равны, можем приравнять показатели:
Найдите корень уравнения 3 х–18 = 1/9.
Значит 3 х-18 = 3 -2
Основания равны, можем приравнять показатели:
Найдите корень уравнения:
Представим дробь 1/64 как одну четвёртую в третьей степени:
Теперь можем приравнять показатели:
«Метод введения новой переменной» (или замены)
Суть этого метода – ввести такую замену переменной, что показательное уравнение преобразится в такое, которое решается гораздо проще. Все что останется после решения этого самого «упрощенного уравнения» — это сделать «обратную замену»: то есть вернуться от замененного к заменяемому.
Пример :
2 2x + 2 x – 12 = 0
Обозначаем 2 x = у.
y 2 + y – 12 = 0
y1 = — 4; y2 = 3.
a) 2 x = — 4.Уравнение не имеет решений, т.к. 2 х 0.
б) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log23.
5. Решение заданий по теме.
Работа по вариантам (задания демонстрируются на экране)
1) ; 2) ; 3); 4) ;
5) .
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) .
Решение заданий из учебника.
Учащиеся начинают решать задания уровня А, решив их, можно перейти к уровню В. Уровень С не обязательно решать всем учащимся, а только более подготовленным учащимся.
Показательные уравнения и неравенства с примерами решения
Содержание:
Рассмотрим уравнения, в которых переменная (неизвестное) находится в показателе степени. Например:
Уравнения такого вида принято называть показательными.
Решении показательных уравнений
При решении показательных уравнений нам будет полезно следствие из теоремы о свойствах показательной функции.
Пусть
Каждому значению показательной функции соответствует единственный показатель s.
Пример:
Решение:
Согласно следствию из равенства двух степеней с одинаковым основанием 3 следует равенство их показателей. Таким образом, данное уравнение равносильно уравнению
Пример:
Решение:
а) Данное уравнение равносильно (поясните почему) уравнению
Если степени с основанием 3 равны, то равны и их показатели:
Решив это уравнение, получим
Ответ:
При решении каждого уравнения из примера 2 сначала обе части уравнения представили в виде степени с одним и тем же основанием, а затем записали равенство показателей этих степеней.
Пример:
Решение:
а) Данное уравнение равносильно уравнению
Решая его, получаем:
Так как две степени с одинаковым основанием 2 равны, то равны и их показатели, т. е. откуда находим
б) Разделив обе части уравнения на получим уравнение равносильное данному. Решив его, получим
Ответ:
При решении примера 3 а) левую часть уравнения разложили на множители. Причем за скобку вынесли такой множитель, что в скобках осталось числовое выражение, не содержащее переменной.
Пример:
Решить уравнение
Решение:
Обозначим тогда
Таким образом, из данного уравнения получаем
откуда находим:
Итак, с учетом обозначения имеем:
При решении примера 4 был использован метод введения новой переменной, который позволил свести данное уравнение к квадратному относительно этой переменной.
Пример:
Решить уравнение
Решение:
Можно заметить, что 2 — корень данного уравнения. Других корней уравнение не имеет, так как функция, стоящая в левой части уравнения, возрастающая, а функция, стоящая в правой части уравнения, убывающая. Поэтому уравнение имеет не более одного корня (см. теорему из п. 1.14).
Пример:
Решить уравнение
Решение:
Пример:
При каком значении а корнем уравнения является число, равное 2?
Решение:
Поскольку х = 2 — корень, то верно равенство
Решив это уравнение, найдем
Ответ: при
Показательные уравнения и их системы
Показательным уравнением называется уравнение, в ко тором неизвестное входит в показатель степени. При решении показательных уравнений полезно использовать следующие тождества:
Приведем методы решения некоторых типов показательных уравнений.
1 Приведение к одному основанию.
Метод основан на следующем свойстве степеней: если две степени равны и равны их основания, то равны и их показатели, т.е. уравнения надо попытаться привести к виду . Отсюда
Пример №1
Решите уравнение
Решение:
Заметим, что и перепишем наше уравнение в виде
Применив тождество (1), получим Зх — 7 = -7х + 3, х = 1.
Пример №2
Решить уравнение
Решение:
Переходя к основанию степени 2, получим:
Согласно тождеству (2), имеем
Последнее уравнение равносильно уравнению 4х-19 = 2,5х.
2 Введение новой переменной.
Пример №3
Решить уравнение
Решение:
Применив тождество 2, перепишем уравнение как
Введем новую переменную: Получим уравнение
которое имеет корни Однако кореньне удовлетворяет условию Значит,
Пример №4
Решить уравнение
Решение:
Разделив обе части уравнения на получим:
последнее уравнение запишется так:
Решая уравнение, найдем
Значение не удовлетворяет условию Следовательно,
Пример №5
Решить уравнение
Решение:
Заметим что Значит
Перепишем уравнение в виде
Обозначим Получим
Получим
Корнями данного уравнения будут
Следовательно,
III Вынесение общего множителя за скобку.
Пример №6
Решить уравнение
Решение:
После вынесения за скобку в левой части , а в правой , получим Разделим обе части уравнения на получим
Системы простейших показательных уравнений
Пример №7
Решите систему уравнений:
Решение:
По свойству степеней система уравнений равносильна следующей
системе :Отсюда получим систему
Очевидно, что последняя система имеет решение
Пример №8
Решите систему уравнений:
Решение:
По свойству степеней система уравнений равносильна следующей системе: Последняя система, в свою очередь, равносильна системе:
Умножив второе уравнение этой системы на (-2) и сложив с первым, получим уравнение —9х=-4. Отсюда, найдем Подставив полученное значение во второе уравнение, получим
Пример №9
Решите систему уравнений:
Решение:
Сделаем замену: Тогда наша система примет вид:
Очевидно, что эта система уравнений имеет решение
Тогда получим уравнения
Приближенное решение уравнений
Пусть многочлен f(х) на концах отрезка [a,b] принимает значения разных знаков, то есть . Тогда внутри этого отрезка существует хотя бы одно решение уравнения Дх)=0. Это означает, что существует такое (читается как «кси»), что
Это утверждение проиллюстрировано на следующем чертеже.
Рассмотрим отрезок содержащий лишь один корень уравнения .
Метод последовательного деления отрезка пополам заключается в последовательном разделении отрезка [a, b] пополам до тех пор, пока длина полученного отрезка не будет меньше заданной точности
- вычисляется значение f(х) выражения
- отрезок делится пополам, то есть вычисляется значение
- вычисляется значение выражения f(х) в точке
- проверяется условие
- если это условие выполняется, то в качестве левого конца нового отрезка выбирается середина предыдущего отрезка, то есть полагается, что (левый конец отрезка переходит в середину);
- если это условие не выполняется, то правый конец нового отрезка переходит в середину, то есть полагается, что b=x;
- для нового отрезка проверяется условие
- если это условие выполняется , то вычисления заканчиваются. При этом в качестве приближенного решения выбирается последнее вычисленное значение х. Если это условие не выполняется, то, переходя к пункту 2 этого алгоритма, вычисления продолжаются.
Метод последовательного деления пополам проиллюстрирован на этом чертеже:
Для нахождения интервала, содержащего корень уравнения вычисляются значения
Оказывается, что для корня данного уравнения выполнено неравенство. Значит, данное уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий интервалу (-1 -А; 1+А). Для приближенного вычисления данного корня найдем целые и удовлетворяющие неравенству
Пример №10
Найдите интервал, содержащий корень уравнения
Решение:
Поделив обе части уравнения на 2 , получим,
Так как, для нового уравнения
Значит, в интервале, уравнение имеет хотя бы один корень. В то же время уравнение при не имеет ни одного корня, так как,
выполняется. Значит, корень уравнения лежит в (-2,5; 0). Для уточнения этого интервала положим Для проверим выполнение условия
Значит, уравнение имеет корень, принадлежащий интервалу (-1; 0).
Нахождение приближенного корня с заданной точностью
Исходя из вышесказанного, заключаем, что если выполнено неравенство корень уравнения принадлежит интервалу
ПустьЕсли приближенный
корень уравнения с точностью . Если то корень лежит в интервале если то корень лежит в интервале . Продолжим процесс до нахождения приближенного значения корня с заданной точностью.
Пример №11
Найдите приближенное значение корня уравнения с заданной точностью
Решение:
Из предыдущего примера нам известно, что корень лежит в интервале
(-1; 0). Из того, что заключаем, что корень лежит в интервале (-0,5; 0).
Так как, |(-0,25)41,5(-0,25)2+2,5(-0,25)+0,5| = |-0,046| 1. Если
Пусть
Изображения графиков показательной функции подсказывают это свойство. На рисунке 27 видно, что при а > 1 большему значению функции соответствует большее значение аргумента. А на рисунке 30 видно, что при 0
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
http://multiurok.ru/files/plan-konspekt-uroka-po-algebre-v-10-klasse-po-teme.html
http://www.evkova.org/pokazatelnyie-uravneniya-i-neravenstva