Тема комплексные числа по математике решение уравнений

Примеры решений задач с комплексными числами

На этой странице вы найдете подробные готовые задания с ответами по разделу «Комплексные числа»: действия с комплексными числами, преобразование в алгебраическую, тригонометрическую и показательную форму, возведение в степень и извлечение корня по формуле Муавра, решение уравнений с комплексными корнями и т.п.

Если вам нужна помощь в выполнении работы по комплексным числам, мы будем рады помочь: стоимость задания от 70 рублей, срок от 1 дня, гарантия месяц, подробное оформление (см. Решение задач на заказ).

Еще полезные ссылки для изучения:

Графические задачи с комплексными числами

Задача 1. Найдите геометрическое место точек, изображающих $z$, удовлетворяющих системе неравенств: $$ |z-1| \lt 1, \\ Re z \le 1, \\ Im z \le 1.$$

Задача 2. Изобразите на $C$: $Re z^2 =-1$.

Действия с комплексными числами. Решения задач

Задача 3. Вычислить сумму $(z_1 + z_2)$ и разность $(z_1 — z_2)$ комплексных чисел, заданных в показательной форме, переведя их в алгебраическую форму. Построить операнды и результаты на комплексной плоскости. $$ z_1 = 2 e^<-\pi i>, z_2=4 e^<\pi i>.$$

Задача 4. Вычислить произведение $z_1 \cdot z_2$ и частное $z_1 / z_2$ комплексных чисел. Операнды и результаты изобразить на комплексной плоскости. $$ z_1 = 4+3i, z_2=1-\sqrt <3>i.$$

Задача 5. Найти все значения корней из заданного комплексного числа $\sqrt[4]<-9>.$

Задача 6. Вычислить $\left(\frac<1-i> <1+i>\right)^<40>.$ Представить результат в алгебраической и показательной формах.

Формы комплексных чисел. Решения задач

Задача 7. Найти $|z|$, $\arg z$, записать число $z$ в тригонометрической и показательной форме $z=-\sqrt<3>-i.$

Задача 8. Найдите $z$ в тригонометрической форме, если $z=(3-3i\sqrt<3>)(5\sqrt<3>+5i).$

Задача 9. Дано комплексное число $a$. Требуется:
1) записать число $a$ в алгебраической и тригонометрической формах;
2) найти корни уравнения $z^3+a=0$. $$a=\frac<1><\sqrt<3>-i>.$$

Уравнения с комплексными числами. Решения задач

Задача 10. Решите уравнение (ответ запишите в алгебраической форме): $sh z — ch z =2i.$

Задача 11. Решить уравнения или вычислить: $$ \frac = \frac<4+i><4i-1>. $$

Задача 12. Найти все комплексные корни заданного уравнения, отметить найденные корни на комплексной плоскости: $z^6-7z^3-8=0.$

Решение уравнений с комплексными числами

Итак, необходимо решить уравнение с комплексными переменными, найти корни этого уравнения. Рассмотрим принцип решения комплексных уравнений, научимся извлекать корень из комплексного числа.

Для того, чтобы решить уравнение n-й степени с комплексными числами, используем общую формулу:

где |z| — модуль числа, φ = arg z — главное значение аргумента, n — степень корня, k — параметр, принимает значения : k = <0, 1, 2, 3, …n-1 >.

Пример 1. Найти все корни уравнения

Выразим z из уравнения:

Все корни заданного уравнения являются значениями корня третьей степени из комплексного числа

Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени n комплексного числа z. Найдем все необходимые значения для формулы:

Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения.

Пример 2. Найти все корни уравнения

Найдем дискриминант уравнения:

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня. Вычислим корень из дискриминанта:

Найдем корни уравнения:

Ответ:

Пример 3. Найти все корни уравнения

Выразим z из уравнения:

Все корни заданного уравнения являются значениями корня четвертой степени из комплексного числа

Вновь используем общую формулу для нахождения корней уравнения n степени комплексного числа z.
n = 4 — количество корней данного уравнения. k = <0, 1, 2, 3>. Найдем модуль комплексного числа:

Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2, 3 найдем все 4 корня уравнения:

Пример 4. Найти корни уравнения

Решение кубического уравнения комплексными числами:

Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени 3 комплексного числа z.

Найдем все необходимые значения для формулы:

Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения:

Домашнее задание: Самостоятельно составить и решить уравнение с комплексными числами.

Условия: переменная z должна быть «спрятана» и представлена в качестве аргумента тригонометрической функции косинуса. Чтобы привести данное уравнение к привычной форме, нужно «вытащить» z, а для этого необходимо помнить, как решаются тригонометрические уравнения,а также знать, как применять свойства логарифмической функции от комплексного числа.

После того, как мы решили тригонометрическое уравнение с комплексным числом, получаем «голый» z, который представлен в качестве аргумента обратной тригонометрической функции. Чтобы преобразовать данное выражение, нужно использовать формулу разложения арккосинуса в логарифм.

Вместо z — выражение (3i/4) и дальше все делаем по приведенной выше формуле, преобразовывая выражение под корнем, используя свойства мнимой единицы i.

Как быть далее? Теперь будем использовать формулу для решения выражения с натуральным логарифмом.

Для того чтобы найти корни логарифмического уравнения, нужно найти модуль комплексного числа |z| и его аргумент φ = arg z. По сути, перед нами чисто мнимое число.

Теперь предлагаем ознакомиться с формулами, которые могут пригодиться при решении уравнений или неравенств с комплексными числами. Это формулы, где комплексное число выступает в роли аргумента тригонометрической функции, логарифмической функции или показательной функции.

Урок по математике на тему:»Комплексные числа»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ НИЖЕГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГУБЕРНСКИЙ КОЛЛЕДЖ »

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ТЕМА: «КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА – РАСШИРЕННОЕ ПОНЯТИЕ ЧИСЛА».

«Экономика и бухгалтерский учет» (по отраслям), «Программирование в компьютерных системах» среднего профессионального образования

( на базе основной общеобразовательной школы)

Одобрена МК математических и Составлена в соответствии с

естественнонаучных дисциплин рабочей программой

Председатель:_______________ дисциплины «Математика»

Составитель: ______________Н.П. Боброва

преродаватель ГБПОУ «НГКа»

Понятие о комплексных числах____________________________6

Действия с комплексными числами_________________________ 9

Решение квадратных уравнений____________________________ 12

Решение уравнений в комплексной форме____________________13

Геометрическая интерпретация комплексного числа___________ 14

Работа по группам________________________________________16

Решение многих задач физики и техники приводит к квадратным уравнениям с отрицательным дискриминантом. Эти уравнения не имеют решения в области действительных чисел. Но решение многих таких задач имеет вполне определенный физический смысл. Значение величин, получающихся в результате решения указанных уравнений, назвали комплексными числами. Комплексные числа широко использовал отец русской авиации Н. Е. Жуковский (1847 – 1921) при разработке теории крыла, автором которой он является. Комплексные числа и функции от комплексного переменного находят применение во многих вопросах науки и техники.

Цель методической разработки — знакомство с историей появления комплексных чисел, с действиями с комплексными числами, решением уравнений с комплексным переменным.

Методическая разработка «Комплексные числа – расширенное понятие числа» соответствует государственным требованиям к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников по специальностям гуманитарного и технического профиля, изучающих математику в объеме 290 часов на базе общеобразовательной школы.

Тема метод. разработки соответствует рабочей программе по дисциплине «Математика» для студентов 1 курса и состоит из теоретического материала и упражнений, выполняемых студентами с помощью преподавателя и самостоятельно, закрепляющих изученный материал.

В работе раскрываются основные теоретические вопросы, которые студент должен изучить и понять за два занятия (4 часа), правила сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел, их геометрическую интерпретацию; практические задания, которые студенты выполняют как с помощью преподавателя, так и самостоятельно индивидуально и в группах.

В результате изучения данной темы студент должен:

определение комплексного числа, заданного в алгебраической форме, его геометрический смысл;

правила действий над комплексными числами, заданными в алгебраической форме;

производить действия над комплексными числами и изображать их в геометрической форме;

решать квадратные уравнения с мнимыми корнями и уравнения в комплексной форме.

ПОНЯТИЕ О КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЛАХ

Для решения алгебраических уравнений недостаточно действительных чисел. Поэтому естественно стремление сделать эти уравнения разрешимыми, что в свою очередь приводит к расширению понятия числа. Например, для того чтобы любое уравнение х+а = в имело корни, положительных чисел недостаточно и поэтому возникает потребность ввести отрицательные числа и нуль

Древнегреческие математики считали, что а = с и в = а только натуральные числа, но в практических расчетах за два тысячелетия до нашей эры в Древнем Египте и Древнем Вавилоне уже применялись дроби. Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел – это было сделано китайскими математиками за 2 века до нашей эры. Отрицательные числа применял в 3 веке нашей эры древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действий над ними, а в 7 веке нашей эры эти числа подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменение величин. Уже в 8 веке нашей эры было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значение — положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратные корни извлечь нельзя: нет такого числа х , чтобы В 16 веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений содержатся кубические и квадратные корни. Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (например, для уравнения , а если оно имело 3 действительных корня (например, ),то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим 3 корням уравнения ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

Чтобы объяснить получившийся парадокс, итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений не имеющая решений в множестве действительных чисел, имеет решение всегда х = 5 , у = 5 , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что = -а. Кардано называл такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считая их бесполезными и стремился не применять их. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение этой величины. Но уже в 1572 г. вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в котором были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название «мнимые числа» ввел в 1637г. французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777г. один из крупнейших математиков VIII века Х. Эйлер предложил использовать первую букву французского числа i = (мнимой единицы), этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу (1831г).

В течениe 17 века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимостей, возможности дать им геометрическое истолкование. Постепенно развивалась техника операций над комплексными числами. На рубеже 17-18 веков была построена общая теория корней n-й степени сначала из отрицательных, а впоследствии и из любых комплексных чисел.

В конце 18 века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью комплексных чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянным коэффициентом. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде.

Я. Бернулли применил комплексные числа для вычисления интегралов. Хотя в течение 18 века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, получаемые с помощью мнимых чисел, — только наведение, приобретающие характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами. В конце 18- начале 19 веков было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин Г.Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число z = a+bi точкой М(а,b) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой М, а вектором ОМ, идущим в эту точку из начала координат ( радиус-вектором). При таком истолковании сложению и вычитанию комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами .

Геометрические истолкования комплексных чисел позволили определить многие понятия, связанные с функциями комплексного переменного, расширило область их применения. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости, в теоретической электротехнике.

Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые: Р.И. Мусхелишвили занимался ее приложениями к теории упругости, М.В. Келдыш и М.А. Лаврентьев — к аэродинамике и гидродинамике, Н. Н. Боголюбов и В.С. Владимиров — к проблемам квантовой теории поля.

ДЕЙСТВИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ

Комплексными числами называют выражения вида: a + bi , где а и b – действительные числа, а i – мнимая единица, такая, что , а – действительная часть к. ч., b – мнимая часть к. ч.