График линейной функции, его свойства и формулы
О чем эта статья:
Понятие функции
Функция — это зависимость y от x, где x является независимой переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции. |
---|
Задать функцию значит определить правило, следуя которому по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот какими способами ее можно задать:
Табличный способ помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
Словесный способ.
Графический способ — наглядно. Его мы и разберем в этой статье.
График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу. |
---|
Понятие линейной функции
Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент. |
---|
Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.
Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.
Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.
Нам дана функция: у = 0,5х — 2. Значит:
если х = 0, то у = -2;
если х = 2, то у = -1;
если х = 4, то у = 0 и т. д.
Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:
х | 0 | 2 | 4 |
y | -2 | -1 | 0 |
Графиком линейной функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.
Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.
k и b — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.
Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты k и b.
Функция | Коэффициент k | Коэффициент b |
---|---|---|
y = 2x + 8 | k = 2 | b = 8 |
y = −x + 3 | k = −1 | b = 3 |
y = 1/8x − 1 | k = 1/8 | b = −1 |
y = 0,2x | k = 0,2 | b = 0 |
Может показаться, что в функции y = 0,2x нет числового коэффициента b, но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа y = kx + b есть коэффициенты k и b.
Свойства линейной функции
Область определения функции — множество всех действительных чисел.
Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.
График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.
Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:
b ≠ 0, k = 0, значит, y = b — четная;
b = 0, k ≠ 0, значит, y = kx — нечетная;
b ≠ 0, k ≠ 0, значит, y = kx + b — функция общего вида;
b = 0, k = 0, значит, y = 0— как четная, так и нечетная функция.
Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.
График функции пересекает оси координат:
ось абсцисс ОХ — в точке (−b/k; 0);
ось ординат OY — в точке (0; b).
x = −b/k — является нулем функции.
Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.
Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.
Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0 функция принимает отрицательные значения на промежутке (−∞; −b/k) и положительные значения на промежутке (−b/k; +∞).
При k 0, то этот угол острый, если k
Построение линейной функции
В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида у = kx + b, достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.
Например, чтобы построить график функции y = 1/3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:
В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:
если k > 0, то график наклонен вправо;
если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;
если b 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>
Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>
Если k > 0 и b
В задачах 7 класса можно встретить график уравнения х = а. Он представляет собой прямую линию, которая параллельна оси ОY все точки которой имеют абсциссу х = а.
Важно понимать, что уравнение х = а не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.
Например, график уравнения х = 3:
Условие параллельности двух прямых:
График функции y = k1x + b1 параллелен графику функции y = k2x + b2, если k1 = k2.
Условие перпендикулярности двух прямых:
График функции y = k1x + b1 перпендикулярен графику функции y = k2x + b2, если k1k2 = −1 или k1 = −1/k2.
Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:
С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.
Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).
С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = −b/k.
Координаты точки пересечения с осью OX: (−b/k; 0).
Решение задач на линейную функцию
Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!
Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.
В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.
Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.
Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:
Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x — 10
Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).
Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:
Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).
Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.
Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.
Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.
Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.
Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.
Ответ: уравнение прямой y = 3x — 2.
Урок в 7 классе «Линейное уравнение и его график»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Тема: Линейное уравнение с двумя переменными и его график
Цель: изучить понятие линейного уравнения с двумя переменными, научиться решать уравнения ax + by + = c = 0, выполнять построения графика уравнения.
Иметь представление о линейном уравнении с двумя переменными, о решении уравнения ax + by + = c = 0, о графике уравнения.
– определять, является ли пара чисел решением линейного уравнения с двумя неизвестными, строить график уравнения ax + by + c = = 0;
– воспринимать устную речь, участвовать в диалоге,
– находить корень линейного уравнения с двумя переменными, удовлетворяющий заданным условиям.
– находить точку пересечения графиков линейных уравнений без построения, выражать в линейном уравнении одну переменную через другую;
– заполнять и оформлять таблицы, отвечать на вопросы с помощью таблиц
Умение связывать словесную, алгебраическую и геометрическую модели реальной ситуации. Проведение информационно-смыслового анализа текста, выбор главного и основного, приведение примеров, формирование умения работать с чертежными инструментами
Изучение нового материала.
Рассмотрим такую реальную ситуацию.
Из городов A и В, расстояние между которыми 500 км, навстречу друг другу вышли два поезда, каждый со своей постоянной скоростью. Известно, что первый поезд вышел на 2 ч раньше второго. Через 3 ч после выхода второго поезда они встретились. Чему равны скорости поездов?
Составим математическую модель задачи.
Пусть х км/ч — скорость первого поезда, у км/ч — скорость второго поезда. Первый был в пути 5 ч и, значит, прошел путь bх км. Второй поезд был в пути 3 ч, т.е. прошел путь Зу км. Их встреча произошла в пункте С. На рисунке представлена геометрическая модель ситуации. На алгебраическом языке ее можно описать так: 5х + Зу = 500
Или 5х + Зу — 500 = 0. Эту математическую модель называют линейным уравнением с двумя переменными х, у.
Вообще, ах + by + с = 0, где а, b, с — числа, причем , — линейное уравнение с двумя переменными хну (или с двумя неизвестными х и у).
Вернемся к уравнению 5х + Зу = 500. Замечаем, что если х = 40, у = 100, то 5 • 40 + 3 • 100 = 500 — верное равенство. Значит, ответ на вопрос задачи может быть таким: скорость первого поезда 40 км/ч, скорость второго поезда 100 км/ч. Пару чисел х = 40, у = 100 называют решением уравнения 5х + Зу = 500. Говорят также, что эта пара значений (х; у) удовлетворяет уравнению 5х + Зу = 500.
Является ли это решение единственным? В самом деле, возможен и такой вариант:
х = 64, у = 60; действительно, 5 • 64 + 3 • 60 = 500 — верное равенство.
И такой: х = 70, у = 50 (поскольку 5 • 70 + 3 • 50 = 500 — верное равенство).
А вот, скажем, пара чисел х = 80, у = 60 решением уравнения не является, поскольку при этих значениях верного равенства не получается:
Вообще, решением уравнения ах + by + с = 0 называют всякую пару чисел (х; у), которая удовлетворяет этому уравнению, т. е. обращает равенство с переменными ах + by + с = 0 в верное числовое равенство. Таких решений бесконечно много.
Замечание. Вернемся еще раз к уравнению 5х + Зу = 500, полученному в рассмотренной выше задаче. Среди бесконечного множества его решений имеются, например, и такие:
х = 100, у = 0 (в самом деле, 5 • 100 + 3 • 0 = 500 — верное числовое равенство); х = 118, у = — 30 (так как 5 • 118 + 3 • (-30) = 500 — верное числовое равенство). Однако, являясь решениями уравнения, эти пары не могут служить решениями данной задачи, ведь скорость поезда не может быть равной нулю (тогда он не едет, а стоит на месте); тем более скорость поезда не может быть отрицательной (тогда он едет не навстречу другому поезду, как сказано в условии задачи, а в противоположную сторону).
Мы установили, что линейное уравнение с двумя переменными имеет бесконечно много решений. Каждое решение записывается в виде (х;у), так же, как и координаты точки в координатной плоскости. Значит, если каждое решение изобразить соответствующей точкой координатной плоскости, то получится линия. Вопрос – какая?
Пример 1. Изобразить решения линейного уравнения с двумя переменными х + у — 3 = 0 точками в координатной плоскости.
РАБОТА ВЕДЕТСЯ У ДОСКИ И В ТЕТРАДЯХ.
Решение. Подберем несколько решений заданного уравнения, т. е. несколько пар чисел, которые удовлетворяют уравнению х + у — 3 = 0. Для этого преобразуем уравнение к более удобному виду, например, х+у=3. (3; 0), (2; 1), (1; 2) (0; 3), (- 2; 5).
Построим в координатной плоскости хОу точки А (3; 0), B(2; 1), С (1; 2), D (0; 3), Е (- 2; 5) (рис. 32). Обратите внимание: все эти пять точек лежат на одной прямой I, проведем ее.
Говорят, что прямая I является графиком уравнения х + у — 3 = 0. Говорят также, что прямая I — геометрическая модель уравнения х + у — 3 = 0 (или х + у = 3).
Итак, если пара чисел (х; у) удовлетворяет уравнению х + у — 3 = 0, то точка М (х; у) принадлежит прямой I; если точка М(х; у) принадлежит прямой I, то пара (х; у) — решение уравнения х + у — 3 = 0. Например, точка Р(6; -3) принадлежит прямой I (рис. 32) и пара (6; -3) — решение уравнения х + у-3 = 0
Подведем итоги:
Линейное уравнение с двумя переменными имеет бесконечно много решений.
Каждое решение записывается в виде (х;у), так же, как и координаты точки в координатной плоскости.
Графиком линейного уравнения с двумя переменными является прямая.
Пример 2. Построить график уравнения Зх-2у+6=0.
Мы знаем, что графиком линейного уравнения Зx — 2у + 6 = 0 является прямая. Чтобы провести прямую, достаточно указать две ее точки. Через две точки можно провести прямую и притом только одну — этому нас учит геометрия.
Зададим переменной х конкретное значение, например х = 0. Подставив это значение в уравнение Зx — 2у + 6 = 0, получим: 3 • 0 — 2у + 6 = 0, т.е. -2у + 6 = 0. Из этого уравнения находим: у = 3. Значит, если х = 0, то у = 3; пара (0; 3) — решение данного уравнения.
Зададим переменной у конкретное значение, например у = 0. Подставив это значение в уравнение Зх-2у + 6 = 0, получим: 3х – 2*0 + 6 = 0. Из этого уравнения находим х = -2. Значит, если у = 0, то х = -2; пара (- 2; 0) — решение данного уравнения.
Запишем таблицу значений:
Построим точки (0; 3), (- 2; 0), на координатной плоскости. Они лежат на одной прямой, проведем ее. Эта прямая и есть график уравнения Зx — 2у + 6 = 0.
Сформулируем алгоритм построения графика линейного уравнения с двумя переменным.
1. Начертить координатные оси, подписать их и отметить единичный отрезок.
2. В линейном уравнении положить х = 0, и решить полученное уравнение относительно у.
3. В линейном уравнении в качестве у взять число 0, и решить полученное уравнение относительно х.
4. При необходимости взять произвольное значение х, и решить полученное уравнение относительно у.
5. Составить таблицу значений.
6. Отметить полученные точки на графике. Соединить точки, продолжить график за них. Подписать получившуюся прямую.
Закрепление материала. Работа в группах.
Класс делится на 4 группы. Выдается задание для групп, алгоритм построения графика линейного уравнения с двумя переменными. Задания оформляются на листах миллиметровой бумаги. Во время групповой работы учащиеся могут воспользоваться подсказкой на слайде с помощью компьютера. По окончании работы решения групп вывешиваются на доску магнитами.
Пример 3. Построить график уравнения 4х + 3у- 12 = 0. Решение. Будем действовать по алгоритму
1) Положим х = 0, подставим это значение в уравнение 4х + Зу- 12 = 0, получим: 4 • 0 + Зу -12 = 0, Зу-12 = 0, у = 4.
2) Положим у = 0, подставим это значение в уравнение 4х + Зу — 12 = 0, получим: х=3
3) Составим таблицу значений.
3) Построим на координатной плоскости хОу две точки: (0; 4) — она найдена на первом шаге алгоритма и (3; 0) — она найдена на втором шаге.
4) Проведем через точки (0; 4) и (3; 0) прямую. Это и есть искомый график (рис. 34).
1. Составьте линейное уравнение с двумя переменными, решением которого служит пар чисел (2;3).
2. Найдите значение у, если х=-5: 11х-13у+16=0
3. Найдите значение х, если у=2 : 6х+3у-2=0
4. В координатной плоскости постройте график уравнения 8х-3у-24=0
5. За 4 часа по течению реки и 6 часов против течения катер проходит 120 км. Чему равна скорость катера по течению и против течения реки? Составьте линейное уравнения с двумя переменными и найдите 2 решения.
1. Составьте линейное уравнение с двумя переменными, решением которого служит пар чисел (-6;-5).
2. Найдите значение у, если х=3: 19х-11у-24=0.
3. Найдите значение х, если у=0,5: 3,5х-5у-1=0.
4. В координатной плоскости постройте график уравнения 5х+3у-15=0
5. Два тракториста вспахали вместе 678 га. Первый тракторист работал 8 дней, а второй 11 дней. Сколько га вспахивал за день каждый тракторист? Составьте линейное уравнения с двумя переменными и найдите 2 решения.
1. Составьте линейное уравнение с двумя переменными, решением которого служит пар чисел (6;-5).
2. Найдите значение у, если х=-8: 3х+2у+30=0,
3. Найдите значение х, если у=-1,5: 4х-2у+11=0,
4. В координатной плоскости постройте график уравнения 6х+3у+18=0
5. На рынке было закуплено 84 кг черешни. Сколько ящиков вишни и черешни закуплено по отдельности , если в 1 ящике черешни 8 кг, а вишни 10 кг? Составьте линейное уравнения с двумя переменными и найдите 2 решения.
Краткий конспект урока.
Проверка готовности учащихся к уроку, сообщение темы урока, целей и задач.
Постановка учебной задачи
Необходимость составления линейного уравнения для решения задачи с двумя неизвестными.
Задача. Из городов А и В, расстояние между которыми 500 км, навстречу друг другу вышли два поезда, каждый со своей постоянной скоростью. Известно, что первый поезд вышел на 2 ч раньше второго. Через 3ч после выхода второго поезда они встретились. Чему равны скорости поездов?
(Составление математической модели к задаче) Демонстрация составления математической модели .
Изучение новой темы
1. Учитель сообщает, что данное уравнение — есть линейное уравнение с двумя переменными.
2.Вводится определение линейного уравнения с двумя переменными.
3. Отработка понятия линейного уравнения на примерах (устная работа)
4. Нахождение коэффициентов линейного уравнения. (устная работа)
5. Далее опять возвращаемся к задаче и учитель ставит вопрос о решении уравнения 5х+3у=500. И приводит примеры
6.Учитель ставит вопрос о единственности решения линейного уравнения. Для этого предлагается проверить является ли решениями этого уравнения пары чисел: (64;60), (70;50), (45;80), (80;60). (устная работа)
7. Вводится определение решения линейного уравнения с двумя переменными.
8.Учитель ставит вопрос: сколько решений имеет линейное уравнение с двумя переменными? Ответ: бесконечно много.
Учитель : как можно найти решения линейного уравнения с двумя переменными? Ответ: подобрать.
Учитель: как легче подобрать решения уравнения? Ответ: подобрать одну переменную, например х , и из уравнения найти другую — у.
9. Учащимся предлагается выполнить задание : изобразите решения уравнения х+у-3=0 точками на координатной плоскости. (самостоятельно).
В процессе выполнения самостоятельной работы у учащихся возникает вопрос: сколько решений показать на координатной плоскости?
Учитель: А сколько вы можете показать? Ответ: 4-5.
Учитель: Мы подобрали несколько целых решений уравнения. А как показать все решения данного уравнения? Ответ может быть таким: если показать не только целые решения, но и рациональные, то точки будут располагаться на одной прямой.
Вводится понятие графика линейного уравнения с двумя переменными.
Учитель: сколько точек необходимо для построения прямой? Ответ: две.
10. Учитель предлагает обсудить придумать построения графика линейного уравнения с двумя переменными . После обсуждения раздает алгоритм.
11. Применение алгоритма (фронтальная работа). Построить график уравнения 4х+3у-12=0. (учащиеся выполняют задания тетради)
4. Применение полученных знаний на практике (работа в группах)
Класс делится на 3 группы. Выдается задание для групп, алгоритм построения графика линейного уравнения с двумя переменными. Задания оформляются на листах формата А2, при необходимости выдается 2 листа. Во время групповой работы учащиеся могут воспользоваться подсказкой на слайде с помощью компьютера. По окончании работы решения групп проецируются с помощью документ-камеры.
Линейные уравнения
Линейные уравнения — относительно несложная математическая тема, довольно часто встречающаяся в заданиях по алгебре. Разберемся, что это такое, и как решаются линейные уравнения.
Как правило, линейное уравнение — это уравнение вида ax + c = 0, где а и с — произвольные числа, или коэффициенты, а х — неизвестное число.
К примеру, линейным уравнением будет:
Решение линейных уравнений.
Как решать линейные уравнения?
Решаются линейные уравнения совсем несложно. Для этого используются такой математический прием, как тождественное преобразование. Разберем, что это такое.
Пример линейного уравнения и его решение.
Пусть ax + c = 10, где а = 4, с = 2.
Таким образом, получаем уравнение 4х + 2 = 10.
Для того чтобы решить его было проще и быстрее, воспользуемся первым способом тождественного преобразования — то есть, перенесем все цифры в правую часть уравнения, а неизвестное 4х оставим в левой части.
Таким образом, уравнение сводится к совсем простенькой задачке для начинающих. Остается лишь воспользоваться вторым способом тождественного преобразования — оставив в левой части уравнения х, перенести в правую часть цифры. Получим:
4х + 2 = 10, где х = 2.
График линейного уравнения.
При решении линейных уравнений с двумя переменными также часто используется метод построения графика. Дело в том, что уравнение вида ах + ву + с = 0, как правило, имеет много вариантов решения, ведь на место переменных подходит множество чисел, и во всех случаях уравнение остается верным.
Поэтому для облегчения задачи выстраивается график линейного уравнения.
Чтобы построить его, достаточно взять одну пару значений переменных — и, отметив их точками на плоскости координат, провести через них прямую. Все точки, находящиеся на этой прямой, и будут вариантами переменных в нашем уравнении.
http://infourok.ru/urok-v-klasse-lineynoe-uravnenie-i-ego-grafik-1119011.html
http://infoogle.ru/linejnye_uravneniya.html