Тема линейные уравнения с двумя переменными

Линейные уравнения с двумя переменными

Линейные уравнения с двумя переменными

Определение: Линейные уравнения с двумя переменными – это уравнение вида ax+by+c=0, где x, y — переменные, a, b,c – некоторые числа.

Например: 5х + 2у = 10; -7х+у = 5; х – у =2

Определение: Решение уравнения с двумя переменными – это пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Если х=4, у=1,5 , то 2 ∙ 4 – 3 ∙ 1,5 = 10

т. е. пара чисел (4; 1,5) не является решением уравнения.

Определение: Равносильные уравнения – это уравнения, имеющие одни и те же решения или не имеющие их.

1. В уравнении можно перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак.

2. Обе части уравнения можно множить или разделить на одно и то же отличное от нуля число.

Выразить одну переменную через другую:

1) 2х +у = 5 2) 3)

График линейного уравнения с двумя переменными

Определение: График уравнения с двумя переменными – это множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.

1. Пример: 3х + 2у = 6, где а=3, b=2, c=6

План 1) Выразить переменную у

у =

у = -1,5х +3 линейная функция вида y = kx + b,

2) Составить таблицу значений х и у

3) Построить график

2. Частные случаи построения графика ax + by = c

у =

x =

х = 2

Графика не существует

График – вся координатная плоскость

Решение систем уравнений с двумя переменными. Графический способ.

Определение: Система уравнений – это несколько уравнений, для которых находят общее решение.

Определение: Решение системы уравнений с двумя переменными – это пара значений переменных, обращающая каждое уравнение в верное равенство.

Если х=7, у=5, то , , верно,

т. е. (7; 5) – решение системы уравнений.

Определение: Решить систему – это значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.

План решения системы уравнений графическим способом

1. Выразить переменную у в первом уравнении.

2. Выразить переменную у во втором уравнении.

3. В одной системе построить графики данных функций.

4. Координаты точки пересечения графиков и является решением системы уравнений.

Пример:

1) х +у = 6 → у = 6-х линейная функция, график вида у = kx + b, k = -1, b = 6

Урок алгебры по теме «Линейные уравнения с двумя переменными», 7 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Дата проведения __________

Тема урока. Линейное уравнение с двумя переменными

Цель урока: сформировать представление об уравнении с двумя переменными и его решения; осознать содержание понятия «график уравнения с двумя переменными»; выработать умения: отбирать проверкой решение уравнения с двумя переменными; работать с готовым графиком уравнения с двумя переменными; преобразовывать уравнения вида у= f ( x ) и вычислять решение уравнения с двумя переменными.

Тип урока: усвоение новых знаний.

І. Организационный момент

ІІ. Актуализация опорных знаний

Выполнение устных упражнений:

1. Что значит «решить уравнение»?

3. Составить уравнения по условию задачи:

1) длина прямоугольника х , ширина 3 м, а периметр 20 м;

2) ширина прямоугольника х , длина на 4 м больше, а периметр 20 м;

3) ширина прямоугольника х , длина у м, а периметр 20 м.

Если можно, решите уравнения, найдите длины сторон прямоугольника.

4. Принадлежит ли графику функции у=3х+2 точки А (1;-5), В(3;11), С(0;2)? Почему?

І II . Формулирование цели и задач урока

После повторения основных понятий, изученных в теме «Линейные уравнения с одной переменной», и выполнения устных упражнений, составления уравнений вместе с учащимися формулируем цели: познакомиться с тем новым видом уравнения, что встретился нам во время решения одной из задач.

IV . Изучение нового материала

Новое понятие уравнения с двумя переменными вводится на примерах (так же, как и уравнения с одной переменной), а затем формулируется определение уравнения с двумя переменными и определение решения такого уравнения, как упорядоченной пары чисел — значений переменных, обращающие уравнение в верное равенство, так же, как и корень уравнения с одной переменной. Понятие равносильных уравнений с двумя переменными строится на известных учащимся понятий равносильных уравнений и свойств равносильных уравнений.

Записи в тетрадях учащихся могут иметь вид сравнительной таблицы, в которой выделены ключевые слова.

Уравнение с одной переменной

Уравнение с двумя переменными

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой (переменная)

Равенство, содержащее два неизвестных числа, обозначенных буквой (переменные)

Корень уравнения с первой переменной-значение переменной, превращающей уравнение в правильное равенство

Решение уравнения с двумя переменными — упорядоченная пара чисел (х;у), при которых уравнение превращается на верное равенство

уравнения с одной переменной — имеют одинаковые корни или вообще не имеют корней

уравнения с двумя переменными — имеют одни и те же решения или оба не имеют решений

Свойства равносильных уравнений

Фигура, которая состоит из точек (х;у) , таких, что их координаты — решения уравнения

V . Закрепление материала. Выработка умений

І. Выполнение устных упражнений:

1. Является ли решением уравнения х−2у=6 пара чисел (0; 0); (2; –2); (0; 3); (6; 0)?

2. Точки А(…;0), В(0;…), С(1;…), D (…;−3) принадлежат графику уравнения 3х–у=6. Найти пропущенные координаты.

3. Выразить переменную у через переменную х (представить уравнение в виде у= f ( x ) ) путем выполнения тождественных преобразований: х+у=3 ; 3х+3у=0 ; х−у=4.

Используя полученную формулу, найдите два каких-либо решения каждого уравнения.

ІІ. Выполнение письменных упражнений:

1. Пары значений х и у внесены в таблицу. Какие из них являются решениями уравнений: 1) х 2 +у 2 =25; 2) х 2 −у 2 =7?

открытый урок по математике на тему «Линейные уравнения с двумя переменными»
методическая разработка по алгебре (8 класс) на тему

Данный урок разработан по учебнику Г.В.Дорофеева Алгебра 8 класс. К уроку приложена электронная презентация, которая наглядно представляет учебный материал.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Получать новые знания, это тоже самое, что покорять горные вершины.

a 2 — в 2 =(a- в )(a+ в ) ( a- в) 2 =a 2 -2a в + в 2 ( a +в) 2 =a 2 + 2a в + в 2 ( a +в) 3 =a 3 +3 a 2 в + 3 a в 2 +в 3 Журнал маршрута

10 + х = 15 , 2x=6, x 2 +4x=16, 3x-15=0, 5x+y=7, x 2 =9, 2x 4 +5x 2 -6=0, 0.5x 3 -4x 2 +2x-5=0 .

Тема урока: Линейные уравнения с двумя переменными

Цель: узнать, что такое линейное уравнение с двумя переменными, найти способы его решения.

Переведите условие задачи на математический язык: 1) Разность утроенного первого числа и удвоенного второго числа равна 12. Найдите эти числа. 2) Площадь прямоугольника равна 36 см 2 . Каковы длины сторон? 3) Периметр равнобедренного треугольника равен 16 см. Чему равны длины его сторон? 4) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 см. Чему равны его катеты?

1) 3х – 2у=12 2) ху=36 3) 2х+у=16 4) + =25

Определение: уравнением с двумя переменными называется равенство, содержащее две неизвестные величины.

Определение: решением уравнения с двумя переменными называется всякая пара значений переменных, которая обращает это уравнение в верное числовое равенство.

2) Площадь прямоугольника равна 36 см 2 . Каковы длины сторон?

1) 3х – 2у=12 2) ху=36 3) 2х+у=16 4) + =25

Определение: линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ax+by =c , где a,b,c произвольные числа.

2х – 10у = 3 +3у = 1 х + 0,5у = 4 5х – 2у 2 =7 3х – у = 0 + = -1

x=4-2y Уравнение решено относительно x 2y=4-x Уравнение решено относительно y

-5y=-3x-15 5y=3x+15 y=0,6x+3 если x=0, то y=3 (0; 3) если x=1, то y=3,6 (1; 3,6) если x=2, то y=4,6 (2; 4,6)

Предварительный просмотр:

Организационный момент: здравствуйте, ребята.

Получать новые знания то же самое, что покорять горные вершины. Сегодня мы будем покорять вершину математических знаний [слайд 1].

В путешествии нам потребуется журнал маршрута [слайд 2].

Актуализация прежних знаний

Откроем его [слайд 3]. Что мы видим?

10+x=15, 2x=6, x 2 +4x=16, 3x-15=0, 5x+y=7, x 2 =9, 2x 4 +5x 2 -6=0, 0.5x 3 -4x 2 +2x-5=0.

— А что такое уравнение?

— Уравнение – это равенство, содержащее переменную.

Какие уравнения вам известны? Назовите.

Называют. Какое это уравнение?

Линейные, квадратные, кубические, биквадратные, и т. д.

Какое уравнение осталось? 5x+y=7, чем оно отличается?

Оно содержит две переменных.

На этом уроке мы рассмотрим уравнения с двумя переменными.

Запишите в тетрадях число и тему урока: «Линейные уравнения с двумя переменными» [слайд 4]

А теперь сформулируем цель урока.

Цель: узнать, что такое линейное уравнение с двумя переменными, найти способы его решения [слайд 5]

Перед нами первая ступень горной вершины знаний

На доске представлены задачи, [слайд 6]

1) Разность утроенного первого числа и удвоенного второго числа равна 12.
Найдите эти числа.
2) Площадь прямоугольника равна 36 см 2 . Каковы длины сторон?
3) Периметр равнобедренного треугольника равен 16 см. Чему равны длины его сторон?
4) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 см. Чему равны его катеты?

Нужно перевести их на математический язык. Обратите внимание на то, что для перевода этих задач на математический язык необходимо ввести две переменные, например, x и y. (пусть пробует дети без подсказки).

Разбор каждой задачи с записью на доске.

Сверим наши записи с журналом маршрута [слайд 7].

1) 3х – 2у=12
2) ху=36
3) 2х+у=16
4) x 2 +y 2 =25

Если есть ошибки проанализировать и

Запишем в тетрадях результат.

Такие равенства называются уравнениями с двумя неизвестными.

Сформулируем определение уравнения с двумя переменными.

Формулировка определения учениками.

Запишем определение из журнала маршрута [слайд 8].

уравнением с двумя переменными называется равенство, содержащее две неизвестные величины .

Перед нами вторая ступень горной вершины и новое испытание.

Давайте к каждому из составленных уравнений подберём пару чисел, чтобы равенство было верным.

Учащиеся называют пары чисел, учитель записывает на доске.

Только ли положительные числа являются решением уравнений?

Полученные пары являются решениями данных уравнений с двумя переменными.

Сформулируем определение решения уравнения с двумя переменными.

Формулировка определения учениками.

Запишем определение из журнала нашего маршрута [слайд 9].

решением уравнения с двумя переменными называется всякая пара значений переменных, которая обращает это уравнение в верное числовое равенство

А сейчас перед нами третья ступень горной вершины.

Вспомним вторую задачу [слайд 10].

Обратите внимание на то, что отрицательные корни не являются решением этой задачи

[слайд 11]. Рассмотрим первое и третье уравнение, чем они похожи и чем отличаются от других.

Такие уравнения являются линейными.

Сформулируем определение линейного уравнения с двумя переменными.

Формулировка определения учениками.

Запишем определение из журнала маршрута [слайд 12].

линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ax+by=c, где a,b,c произвольные числа.

А вот и четвёртая ступень горной вершины.

Определите, какие из следующих уравнений являются линейными с двумя переменными [слайд 13].

1. 2х – 10у = 3
2. +3у = 1
3. х + 0,5у = 4
4. 5х – 2у 2 =7
5. 3х – у = 0

А сейчас попробуем решить линейное уравнение [слайд 14].

Применим метод подбора.

Записать на доске.

Существует более простой способ решения линейных уравнений с двумя переменными. (варианты)

Посмотрим в журнал маршрута и запишем [слайд 15].

Для нахождения решений линейного уравнения с двумя переменными можно выражать одну переменную через другую.

Попробуем решить ещё одно уравнение [слайд 16]. Решите уравнение относительно Y.

Проверим по журналу маршрута [слайд 17].

Подберите несколько пар чисел, которые являются решением данного уравнения.

Минутка релаксации с цветотерапией

Перед самыми трудными испытаниями сделаем привал, отдохнём. [слайд 18].

Мы подошли к самым трудным ступеням, которые вы должны пройти самостоятельно. Решают номера [слайд 19]. №571 (а,в), 574.

Сравним ваши решения с журналом маршрута [слайд 21]

Вот мы с вами и добрались до вершины [слайд 22]. Вспомните цель нашего урока, достигли ли мы её? Что помогло нам добиться успеха? С каким новым понятием мы познакомились? Что для вас было самым сложным на уроке? Какие качества характера помогли нам справиться с этими трудностями.

Рефлексия «Плюс, минус»

Ребята заполните анкеты, в которых подчеркните тот вариант, который вам подходит для оценки нашего урока.

1.На уроке я работал
2.Своей работой на уроке я
3.Узнал на уроке
4.За урок я
5.Мое настроение
6.Материал урока я

активно / пассивно
доволен / не доволен
много нового/ ничего нового не узнал
не устал / устал
стало лучше / стало хуже
понял / не понял

Домашнее задание: А маршрут выполнения домашнего задания будет зависеть от того, какую оценку вы хотите получить. На 5, на 4 и на 3.

На память о нашем восхождении к вершине примите в подарок фото, на котором есть определение линейного уравнения и алгоритм его решения. Вы можете им пользоваться при подготовке домашнего задания, а также заучить его в качестве основного правила.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Презентация к уроку по теме «Системы линейных уравнений с двумя переменными»

Презентация к уроку предназначена для учащихся 9 класса коррекционной школы I, II вида, обучающихся по программе ЗПР.

Открытый урок по математике 5 класс «Уравнение»

Обобщающий урок по теме «Уравнение».

Открытый урок на тему «Системы линейных уравнений с двумя переменными. Способ сложения». Алгебра 7 класс

Приобретать знания — храбрость.

Конспект открытого урока по математике «Арксинус.Решение уравнения sin t=а»

Тема урока: «Арксинус.Решение уравнения sin t=a.»Тип урока: Урок изучения нового материалаЦели урока:. Знать определение арксинуса,формулу корней уравнения, частные случаиПродолжить развитие умений пр.

урок «Графический метод решения системы уравнений с двумя переменными»

Цель: научить решать системы линейных уравнений с двумя переменными графическим способом.

план — конспект урока по теме»Решение систем уравнений с двумя переменными второй степени.»

план- конспект урока по теме «Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными.» 1 урок по заданной теме. Учатся решать системы , состоящие из одного линейного уравнения и одного уравнения .

разработка уроков по теме «Системы линейных уравнений с двумя переменными», алгебра, 7 класс

Разработка уроков по теме «Системы линейных уравнений с двумя переменными»Урок 1ПОНЯТИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙС ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИЦели: ввести понятие системы уравнений с двумя переменными; формировать умен.