Тема линейные уравнения с одной переменной видео

Тема линейные уравнения с одной переменной видео

УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ

Решим задачу: «На двух полках 40 книг, причем на верхней полке в 8 раза больше книг, чем на нижней. Сколько книг на нижней полке?»

Обозначим буквой х число книг на нижней полке. Тогда число книг на верхней полке равно Зх. По условию задачи на обеих полках находится 40 книг. Это условие можно записать в виде равенства:

3x + x = 40.

Чтобы найти неизвестное число книг, мы составили равенство, содержащее переменную. Такие равенства называют уравнениями. Переменную в уравнении называют также неизвестным числом или просто неизвестным.

Нам надо найти число, при подстановке которого вместо х в уравнение Зх + х = 40 получается верное равенство. Такое число называют решением уравнения или корнем уравнения. Равенство Зх + х = 40 верно при х = 10. Число 10 — корень уравнения Зх + х = 40.

Определение. Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Уравнение Зх + х = 40 имеет один корень. Можно привести примеры уравнений, которые имеют два, три и более корней или вообще не имеют корней.

Так, уравнение (х—4)(х — 5) (х—6)=0 имеет три корня: 4, б и 6. Действительно, каждое из этих чисел обращает в нуль один из множителей произведения (х—4) (х—5)(х—б), а значит, и само произведение. При любом другом значении х ни один из множителей в нуль не обращается, а значит, не обращается в нуль и произведение. Уравнение х + 2 = х не имеет корней, так как при любом значении х левая часть уравнения на 2 больше правой части.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Уравнение х 2 =4 имеет два корня — числа 2 и —2. Уравнение (х—2) (х+2)=0 также имеет корни 2 и —2. Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными уравнениями. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными.

Уравнения обладают следующими свойствами:

1) если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение, равносильное данному;

2) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Рассмотрим уравнение х 2 — 2 = 7. Прибавив к левой и правой частям этого уравнения число 2, получим уравнение х 2 = 9. Докажем, что уравнения х 2 — 2 = 7 и х 2 = 9 равносильны.

Пусть некоторое значение х является корнем первого уравнения, т. е. при этом значении- х уравнение х 2 —2 = 7 обращается в верное равенство. Прибавив к обеим частям этого равенства число 2, мы снова получим верное равенство. Значит, при этом значении х второе уравнение также обращается в верное равенство. Мы доказали, что каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения.

Допустим теперь, что некоторое значение х является корнем второго уравнения х 2 = 9, т. е. обращает его в верное равенство. После вычитания из обеих частей этого равенства числа 2 мы получим верное равенство. Значит, при этом значении х первое уравнение также обращается в верное равенство. Поэтому каждый корень второго уравнения является корнем первого.

Таким образом, уравнения х 2 — 2 = 7 и х 2 = 9 имеют одни и те же корни, т. е. являются равносильными.

Подобными рассуждениями устанавливается справедливость обоих свойств уравнений в общем случае.

3) Можно также доказать, что если в уравнении перенести слагаемое ив одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. Например, перенеся в уравнении 5х = 2х + 9 слагаемое 2х с противоположным знаком из правой части уравнения в левую, получим уравнение 5х—2дс=9, ему равносильное.

Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую часто применяется при решении уравнений.

ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Каждое из уравнений 5х = — 4, — 0,2х = 0, —х= —6,5 имеет вид ах = b где а и b — числа. В первом уравнении а = 5, b= — 4, во втором а= —0,2, b = 0, в третьем а= — 1, b= —6,5. Такие уравнения называют линейными уравнениями с одной переменной.

Определение. Уравнение вида ах = b, где х — переменная, а и b — числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Число а называется коэффициентом при переменной, а число b — свободным членом.

Рассмотрим линейное уравнение ах = b, в котором коэффициент а не равен нулю. Разделив обе части уравнения на а, получим . Значит, линейное уравнение ах=b в котором а≠ 0, имеет единственный корень

Рассмотрим теперь линейное уравнение ах = b, у которого коэффициент а равен нулю. Если а = 0 и b≠ О, то уравнение ах =b не имеет корней, так как равенство Ox = b, где b≠ 0, не является верным ни при каком x. Если а = 0 и b = О, то любое значение х является корнем уравнения, так как равенство 0х = 0 верно при любом х.

Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений.

Пример. Решим уравнение

Перенесем слагаемое —х в левую часть уравнения, а слагаемое 28 в правую, изменив при этом их знаки:

Приведем подобные слагаемые:

Заменяя последовательно одно уравнение другим, равносильным ему, мы получили линейное уравнение, в котором коэффициент при х отличен от нуля. Разделим обе части уравнения на этот коэффициент:

Число —5 является корнем уравнения .

Может случиться, Что при решении уравнения мы придем к линейному уравнению вида 0х=b. В этом случае исходное уравнение либо не имеет корней, либо его корнем является любое число. Например, уравнение сводится к уравнению Ох = 7, и, значит, оно не имеет корней. Уравнение сводится к уравнению 0х = 0, и, значит, любое число является его корнем.

Линейное уравнение с одной переменной (В.А. Тарасов)

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке мы начнем изучение темы «Уравнения». Мы рассмотрим линейное уравнение с одной переменной в общем виде, а также на конкретных примерах. Кроме того, решим текстовые задачи.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Уравнения и неравенства»

Линейное уравнение с одной переменной

Содержание

Что такое уравнение

Для изучения темы линейного уравнения вспомним, что уравнением называют равенство, в составе которого есть неизвестное число. Это неизвестное число-переменную нам и нужно найти.

К примеру, не будут уравнениями выражения $3n-4$ или $d + 8$. Ведь в них не требуется найти значение переменной и отсутствует знак равенства. Это просто буквенные выражения. А вот записи: $4y-7 = 13$ или $-5x = 6x-2$ являются уравнениями.

Чаще всего уравнения используют, чтобы решить задачу.

Приведем пример

Папе и сыну вместе $45$ лет, при этом известно, что отец старше на $19$ лет. Найдем, сколько лет каждому из них?

Обозначим возраст сына за $x$, тогда папе будет $x+19$ лет. Получим уравнение: $x + (x + 19) = 45$, так как по условию вместе им $45$ лет. Решим:

после раскрытия скобок: $2x + 19 = 45$,

То есть с помощью составления уравнения мы выяснили, что сыну $13$ лет. Отцу тогда $32$ года $(13 + 19)$. И вместе им действительно $45$ лет: $$13 + 32 = 45$$

Таким образом, записав по условию задачи уравнение, мы смоделировали алгебраическую модель ситуации.

Неизвестная переменная может обозначаться в уравнении не только буквами $x$ или $y$, но и любыми другими латинскими буквами.

Когда от нас требуется решить уравнение, мы должны найти все его корни либо показать, что их нет.

Корень уравнения – это значение неизвестной переменной, превращающее уравнение в верное равенство.

Рассмотрим пример

Выясним, является ли корнем этого уравнения $x = 4$. Подставим $4$ вместо $x$ и получим: $$<3\times 4>-1 = 5$$$$12-1 = 5$$$$11 = 5$$

При решении мы поняли, что $x ≠ 4$, так как $11 ≠ 5$. То есть число $4$ не может быть корнем данного в задании уравнения. Посчитайте самостоятельно, какой корень у этого уравнения?

Корней может быть несколько, один или не быть совсем. В последнем случае говорят обычно, что уравнение не имеет решения или не имеет корней.

В примере с папой и сыном корень уравнения единственный: $x = 13$. Ведь нет других вариантов решения, при которых будут выполнены все условия и получится верное равенство. Проверьте сами?

Что такое линейное уравнение

Если числа в конечном уравнении $2x = 26$ к нашему первому примеру заменить на буквы $a$ и $b$, мы получим уравнение вида $ax = b$.

Подобные уравнения и называются линейными.

Уравнения вида $ax = b$, где $x$ — переменная, $a$ и $b$ — некоторые числа, называются линейными уравнениями с одной переменной

Когда уравнения содержат, к примеру, степень: $$x^2 + 3 = 7$$ или неизвестная переменная находится в знаменателе дроби: $$\frac <8> — 3 = 0$$ они не будут называться линейными.

Иногда в составе уравнения есть несколько переменных, это тоже не наш случай: такие уравнения будут изучаться позже.

Коэффициенты и решение линейных уравнений

Числа $a$ и $b$ в линейном уравнении называют коэффициентами. Они могут быть выражены любыми числами, в том числе отрицательными или дробными. При этом $a$ называют коэффициентом при неизвестной переменной, а коэффициент $b$ свободным.

В наших примерах у уравнений был единственный корень. Наверное, вы заметили, что в них коэффициенты $a$ и $b$ были равны числам, отличным от нуля. Подобные уравнения решаются по простому алгоритму: $$x = \frac $$

Посмотрим, когда линейное уравнение никак не может иметь корней (или верного решения).

Попробуем взять коэффициент $a$, равный $0$, а коэффициент $b$ — любое число, не равное $0$. Тогда получим уравнение: $$0\times x = b$$ При умножении $x$ на ноль всегда будет ноль, но у нас $b ≠ 0$. Следовательно, правая и левая части такого уравнения между собой не равны, и при $a = 0$, а $b ≠ 0$ линейное уравнение не имеет верного решения.

Но линейное уравнение может иметь и множество решений. Рассмотрим такой случай. Например, что будет, если оба коэффициента равны нулю: $a = 0$ и $b = 0$? $$0\times x + 0 = 0$$ Ясно, что любое подобное уравнение с обоими коэффициентами, равными нулю, имеет бесконечно много корней. Почему? Потому что любое число при умножении на 0 дает ноль. Какое бы число вместо $x$ мы не подставили, равенство будет верным.

Таким образом, при решении линейных уравнений мы пришли к трем общим ситуациям:

Свойства линейных уравнений

Цель любого линейного уравнения – выразить $x$ и понять, чему он будет равен.

До того, как начать решать уравнение, над ним необходимо произвести все доступные арифметические действия, например, сложение/вычитание, раскрытие скобок, умножение/деление отдельно для свободных коэффициентов и отдельно для членов уравнения с неизвестной переменной.

Для упрощения дальнейшего решения с уравнениями можно произвести те же действия, что применяются к другим математическим выражениям.

Свойства линейных уравнений:

1. Любой член можно перенести из одной части линейного уравнения в другую, но при этом нужно не забыть заменить знак на противоположный.

В процессе решения надо так преобразовать уравнение, чтобы все известные члены оказались с одной стороны равенства, а неизвестные — с другой.

Например: $5x = 30-3x$. Для решения перенесем $-3x$ в левую часть с противоположным знаком и получим $5x + 3x = 30$.

1. В ходе решения обе части уравнения можно одновременно делить или умножать на какое-то одно и то же число, отличающееся от $0$. При этом равенство будет оставаться верным.

Часто второе свойство применяется в уравнениях с дробями. Например, нужно решить уравнение: $$\frac <5><2>\times x = 8$$ Чтобы избавиться от дроби, попробуем и правую и левую части уравнения умножить на $2$. Тогда мы получим: $$2\times \frac <5><2>\times x = 2\times 8$$ После умножения уравнение примет следующий вид: $$5x = 16$$

Согласитесь, такое уравнение решить намного легче. При этом после подобных преобразований равенство не нарушается, и мы получаем равносильные уравнения.