Тема натуральные числа решить уравнение

Действия с натуральными числами, решение уравнений. 5-й класс

Класс: 5

Презентация к уроку

Цели урока:

• Главная цель – повторить действия с натуральными числами, решение уравнений на нахождение неизвестных компонентов суммы, разности, произведения, деления.
• Дидактическая цель – создать ситуацию успеха, радости от самостоятельного преодоления трудности.
• Воспитательная цель – воспитывать умение работать самостоятельно, в парах.
• Прикладные цели – развивать любознательность, интерес к математике, умение мыслить, высказываться по теме. (Слайд 1).

Оборудование: компьютерная презентация, созданная в PowerPoint.

Содержание урока:

1. Организационный момент.
2. Разминка.
3. Счетная машинка.
4. Физминутка.
5. Работа в парах.
6. Калейдоскоп вопросов.
7. Заключение.
8. Подведение итогов.

Ход урока

1. Организационный момент (2 мин).

Домашнее задание: заполнить карту (приложение 2). (Слайд 2).

Приветствие класса. Записали число и новые слова.

Доска: Кумириа, двазала, миерга. (Слайд 3).

Учитель: Как вы думаете, что означают эти слова? Сегодня на уроке мы это узнаем.

2. Разминка (5 мин).

Учитель: Мы сегодня будем говорить об очень интересном животном. Чем оно интересно? На этот вопрос мы будем вместе отвечать и постараемся об этом составить небольшой рассказ. А начнем мы с небольшой разминки на все действия. Вы своими знаниями поможете отгадать название этого животного. (карта на столах у каждого ученика, приложение 1, задание “вычислите устно”)

а) 100 – 55	б) 90 – 71	в) 100 – 54	г) 98 — 59
*2	* 3	: 23	: 3
:18	+ 23	* 19	+ 17
*15	:16	+ 22	* 4
? (75- С)	? (5 – Л)	? (60 – О)	?(120 – Н)

Учитель: Проверяем ответы и считаем баллы (правильный ответ – 1 балл) (Слайд 4,5).

Молодцы! Слон – самое большое наземное животное. Их различают два вида – это азиатские и африканские слоны. (Слайд 6)

3. Счетная машинка (15 мин).

Учитель: Теперь поговорим о размерах этого животного ( например африканского слона), а помогать нам будет счетная машинка (высота, длина, вес). (карта с ребусом, приложение 1).

Учитель: Кто уже сделал — повторяет компоненты уравнений. Первый – кто посчитал, задает вопросы по компонентам любому ученику (опросить 6 – 7 учеников). (Проверяем — Слайд 7, 8 и считаем баллы).

4. Физминутка (5 мин).

Учитель: Закрываем глаза – слушаем — представляем слонов по описанию. (Слайд 9).

Индусы различают три породы слонов:

Кумириа – самый совершенный слон, сложенный пропорционально, с объемистой грудью, мощным телом и прямой, плоской головой, с толстой складчатой кожей и привлекательным взглядом. В духовном отношении это — благородное, бесстрашное, надежное животное.

Напротив, миерга, сложенный легко и некрасиво, с длинными ногами, маленькой головой, свиными глазами, узкой грудью, со слабым, отвислым хоботом и тонкой, легко повреждаемой кожей, боязлив и потому ненадежен, его употребляют лишь в качестве вьючного животного.

Середина между этими породами занимает двазала, который чаще всего и встречается, причем на сто голов двазала попадается обыкновенно штук по 10-15 представителей первых пород.

Учитель: Открываем глаза и смотрим на слайды – 10, 11.

5. Работа в парах (8 мин).

Учитель: Итак, продолжаем разговор, но необходима небольшая разминка. (Устно считают и записываем в тетрадь только ответы, меняем тетради и проверяем товарища, баллы считаем). (Слайд 12).

3х = 78	х = 26
у + 38 = 139	у = 101
х – 48 = 96	х = 144
125: х = 25	х = 5
106 – х = 30	х = 76
3х – 12 = 48	х = 20

6. Калейдоскоп вопросов (6 мин).

Учитель: Мы подошли к калейдоскопу вопросов о слоне:

1. Сколько лет живет африканский слон?

2. Какую работу может делать слон? Сколько может поднять слон за 1 раз?

3. Слон очень хорошо плавает, и может выпить очень много воды за 1 раз. Сколько?

4. Так же оказывается, что слон быстро бегает, очень хорошо бегает? Скорость его? (Слайд 13).

Учитель: Для получения ответов нужно решить уравнения. (Решают в тетрадях, после проверки считают баллы, слайд 14).

1) 3х + 4х = 490 (х = 70 лет живет слон)

2) 7400: х = 37 (х = 200 кг может поднять слон)

3) 15х – 13х = 360 (х = 180 литров может выпить слон)

4) 24х – х = 460 (х = 20 км/ч скорость слона)

7. Заключение (2 мин).

Учитель: Ну а теперь давайте отдохнем, а я вам еще о слонах расскажу:

Лучшие качества слона – послушание, кротость и терпение. Дикие же, прежде всего крайне боязливы и осмотрительны, робки, так что уступают дорогу даже маленьким животным. (Слайд 15). А каким? Мышам (Слайд16).Дома вы раскрасите приготовленную мышь на карте.

8. Итоги (2 мин).

Учитель: Оцениваем собственную деятельность на уроке.

Таблица и критерии на карте, карты сдаем. (Приложение 1).

Открытый урок по математике 5 класс по теме «Действия с натуральными числами. Уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Урок – путешествие по теме

«Действия с натуральными числами.

Девиз: «Математики тропинки одолеем без запинки»

Тип урока: обобщающий урок.

Форма урока: урок – путешествие.

обобщение знаний учащихся по решению уравнений;

развитие логического мышления, быстроты реакции, внимания;

воспитание чувства ответственности, патриотизма и взаимопомощи;

отработка приемов устного счета, развитие умений взаимопроверки, совершенствование умений рационально планировать свою деятельность;

развитие потребности к самообразованию;

использование игровых форм учебной деятельности;

закрепление и развитие навыков сравнения натуральных чисел, выполнения арифметических действий с натуральными числами;

проверка умений и навыков решения уравнений, вычислительных навыков действий с натуральными числами;

подведение итогов изучения темы: «Уравнения. Решение задач»;

привитие интереса к математике посредством включения в урок исторических фактов и жизненных ситуаций.

Ребята, сегодня мы с вами отправимся в путешествие по тропинкам математики. Наше путешествие мы будем совершать под девизом: «Математики тропинки одолеем без запинки». Но в дорогу всегда что-нибудь берут. Ребята, что мы с вами возьмем в путешествие? Молодцы! Мы возьмем в путешествие смекалку, дружбу, а еще нам понадобятся в пути знания по теме «Действия с натуральными числами. Уравнения».

Первая тропинка «Вычисляй-ка»

Все вычисления и рассуждения учащиеся производят устно, называя только конечные результаты.

Выразить в кг: 104 ц, 16 т 2ц, 7т 2 ц 3 кг, 112 т.

Вычислите, применяя свойства:

А) (488 + 254)+ 746 = 1488

В) (984+279) – 384 = 879

Г) 125*26*8 = 26000

Д) 937 – (137+792) = 8

Вторая тропинка «Отвечай-ка»

Какие числа называются натуральными?

Какие свойства сложения вы знаете? Перечислите их.

Как найти неизвестное слагаемое?

Назовите компоненты деления.

Как найти неизвестный делитель?

Какое равенство называется уравнением?

Что значит решить уравнение?

Какие свойства умножения Вы знаете? Перечислите их.

Назовите компоненты вычитания.

Как найти неизвестное уменьшаемое?

Третья тропинка «Историческая»

На этой тропинке мы узнаем новые интересные факты из истории математики. А чтобы угадать о ком идет речь, решим уравнения. (6 уравнений, каждому ряду по 3 уравнения. Ученики должны решить уравнения и, выбрав из таблицы правильный ответ, рядом со своим корнем уравнения записать соответствующую ему букву):

10x – 7x + 20 = 143

13x + 15x – 24 = 60

Учащиеся класса работают вместе. В результате учащиеся расшифровывают фамилию французского математика. Как вы думаете, ребята, что нам нужно сделать с полученными буквами, чтобы узнать о ком идет речь? (Расположить буквы по возрастанию корней)

Историческая справка. Рене Декарт – французский ученый 17 века. Именно Декарт обозначил неизвестную величину уравнения буквой «Х». И этим обозначением мы пользуемся до сих пор.

Четвертая тропинка «Знаменательная»

Правильно расставьте порядок действий и найдите значение выражения:

(412* 8: 103 – 11 * 2)*100 = 1000

В ответе получилось не просто число 1000!

В 2015 году в России будет отмечаться 1000-летие со дня кончины великого князя Владимира, Крестителя Руси. 28 июля (с 2010 года) в России отмечается День Крещения Руси.

Пятая тропинка «Решай-ка»

Решите задачу с помощью уравнения (по вариантам каждый самостоятельно, затем вместе осуществляем проверку)

1 вариант: Петя задумал число. Если его вычесть из числа 333, то получится 195. Какое число задумал Петя? (333 – х = 195, х=138)

2 вариант: Если из задуманного числа вычесть 242, то получится 120. Найдите задуманное число. (х – 242=120, х=362)

Шестая тропинка «Отгадай-ка»

Наше путешествие постепенно подходит к концу. Вы, наверное, утомились? Тогда привал. А чтобы вы не заскучали, предлагаю вам разгадать ребусы:

Ме100, и100рия, трос., 3буна.

Седьмая тропинка «Посчитай-ка»

Если вы хотите узнать, чем наше путешествие закончится, вам придется последовать за нами по математическим кочкам.

Не торопитесь при выполнении вычислений, а то можете соскользнуть с кочки и увязнуть в болоте.

(Цепочкой по одному, выходят к доске учащиеся и записывают ответы.)

Если увидели, что предыдущий участник команды допустил ошибку, можете ее исправить.

Ответ: 106, 102, 103

Подведение итогов урока. Выставление отметок.

Итак, очередное препятствие преодолено, хотя некоторых оступившихся пришлось вытягивать из болота.

Вот и закончилось наше путешествие по тропинкам математики.

Что нового вы узнали, чему научились, что вспомнили, повторили?

Чьи ответы вам понравились больше всего?

Что запомнится надолго после сегодняшнего урока?

Ваши впечатления об уроке.

Ученики высказывают свое мнение об уроке, подводят итоги урока .

Все верно, мы повторили материал по теме «Сложение, вычитание, умножение и деление натуральных чисел», решая примеры, уравнения и задачи. Узнали имя французского ученого- математика. И еще раз убедились, что математика – интересная наука.

Домашнее задание: Придумать задачу и решить ее, составляя уравнение.

«Блиц-опрос» (чей ряд быстрее ответит?)

Сума длин всех сторон? (периметр)

Два радиуса, лежащие на одной прямой, проходящей через центр окружности? (диаметр)

Масса цапли 40 кг, если она стоит на одной ноге. Какова будет ее масса, стоя на двух ногах? (40 кг)

Лизе было разрешено гулять 1,5 ч, но она гуляла 90 минут. Почему мама ее не ругала? (1,5 ч=90 мин.)

В семье 5 братьев, у каждого из них по сестре. Сколько подарков должен купить для сестер каждый брат? (1 – в семье 5 сыновей и 1 дочь)

Бревно пилят на 10 частей. Сколько надо сделать распилов? (9)

1. Решите уравнение: 18 + у = 41.

1) 18; 2) 50; 3) 24; 4) 60.

2. Решите уравнение: х – 23 = 41.

1) 18; 2) 64; 3) 28; 4) 65.

3. Какое из чисел 1, 2, 3 является корнем уравнения х  х = 4х – 4?

1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) среди приведенных чисел корней нет.

4. Составьте уравнение для решения задачи:

Четыре одинаковые пачки печенья, весом х г каждая, и трёхсотграммовая пачка вафель весят вместе 750 г. Сколько весит одна пачка печенья?

1) х + 300 = 750 2) 304х = 750

3) 750 : х + 4 = 300 4) 4х + 300 = 750

5. Решите уравнение: 73 – х = 21.

1) 94; 2) 52; 3) 92; 4) 61.

1. Решите уравнение: m + 27 = 43.

1) 16; 2) 26; 3) 70; 4) 60.

2. Решите уравнение: 45 – а = 29.

1) 16; 2) 26; 3) 74; 4) 64.

3. Какое из чисел 1, 2, 3 является корнем уравнения 6х = 9 + х  х?

1) среди приведенных чисел корней нет; 2) 3; 3) 2; 4) 1.

4. Составьте уравнение для решения задачи:

На решение каждого из 5 уравнений Пете потребовалось х минут, а на решение задачи – 10 минут. Сколько минут Петя решал одно уравнение, если на решение всех уравнений и задачи он потратил 45 минут?

1) 5 х + 10 = 45 2) х + 10 = 45

3) 15х = 45 4) 45 : х + 5 = 10

5. Решите уравнение: х – 29 = 94.

1) 65; 2) 123; 3) 75; 4) 113.

Каждому ученику дается вот такая таблица, которую он заполняет.

1) Геометрическая фигура:

2) Символ, с помощью которого обозначают натуральные числа.

3) Инструмент для проведения отрезков.

4) Результат сложения.

5) Результат деления.

По вертикали: 6) Знак одного из действий.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 929 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 313 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 587 197 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Математика», Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др.

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 22.10.2017
• 433
• 0

• 22.10.2017
• 506
• 0

• 22.10.2017
• 462
• 0

• 21.10.2017
• 2775
• 10

• 20.10.2017
• 1872
• 12

• 19.10.2017
• 7803
• 996

• 18.10.2017
• 1026
• 18

• 18.10.2017
• 442
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 22.10.2017 1731
• DOCX 86 кбайт
• 19 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Леонова Ирина Валерьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 5 месяцев
• Подписчики: 3
• Всего просмотров: 5759
• Всего материалов: 5

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В школах Хабаровского края введут уроки спортивной борьбы

Время чтения: 1 минута

Ленобласть распределит в школы прибывающих из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

Минобрнауки создаст для вузов рекомендации по поддержке молодых семей

Время чтения: 1 минута

В Швеции запретят использовать мобильные телефоны на уроках

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Только на 23 февраля!
Получите новую
специальность
по низкой цене

Цена от 1220 740 руб. Промокод на скидку Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №9. Решение уравнений в целых числах.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1. понятие диофантовых уравнений;
2. теоремы для решения уравнений в целых числах;
3. основные методы решения уравнений в целых числах.

Глоссарий по теме

Диофантовыми уравнениями называются уравнения вида

Неопределенные уравнения – уравнения, содержащие более одного неизвестного. Под одним решением неопределенного уравнения понимается совокупность значений неизвестных, которая обращает данное уравнение в верное равенство.

Теорема 1. Если НОД(а, b) = d, то существуют такие целые числа х и у, что имеет место равенство ах + bу = d.

Теорема 2. Если уравнение ах + bу = 1, если НОД(а, b) = 1, достаточно представить число 1 в виде линейной комбинации чисел а и b.

Теорема 3. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d>1 и с не делится на d, то уравнение целых решений не имеет.

Теорема 4. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d>1 и с 1 и с не делится на d, то уравнение целых решений не имеет.

Для доказательства теоремы достаточно предположить противное.

Найти целое решение уравнения 16х — 34у = 7.

(16,34)=2; 7 не делится на 2, уравнение целых решений не имеет.

Теорема 4. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d>1 и с 2 + 23 = у 2

Перепишем уравнение в виде: у 2 — х 2 = 23, (у — х)(у + х) = 23

Так как х и у – целые числа и 23 – простое число, то возможны случаи:

; ; ; ;

Решая полученные системы, находим:

; ;;;

4. Выражение одной переменной через другую и выделение целой части дроби.

Решить уравнение в целых числах: х 2 + ху – у – 2 = 0.

Выразим из данного уравнения у через х:

Так как х, у – целые числа, то дробь должна быть целым числом.

Это возможно, если х – 1 =

; ;

; ;

5. Методы, основанные на выделении полного квадрата.

Найдите все целочисленные решения уравнения: х 2 — 6ху + 13у 2 = 29.

Преобразуем левую часть уравнения, выделив полные квадраты,

х 2 — 6ху + 13у 2 = (х 2 — 6ху + 9у 2 ) + 4у 2 = (х — 3у) 2 + (2у) 2 = 29, значит (2у) 2 29.

Получаем, что у может быть равен .

1. у = 0, (х — 0) 2 = 29. Не имеет решений в целых числах.

2. у = -1, (х + 3) 2 + 4 =29, (х + 3) 2 = 25, х + 3 = 5 или х + 3 = -5

3. у = 1, (х — 3) 2 +4 =29,

(х — 3) 2 =25, х – 3 = 5 или х – 3 = -5

4. у = -2, (х + 6) 2 + 16 = 29, (х + 6) 2 = 13. Нет решений в целых числах.

5. у=2, (х-6) 2 +16=29, (х-6) 2 =13. Нет решений в целых числах.

Ответ: (2; -1); (-8; -1); (8; 1); (-2; 1).

6. Решение уравнений с двумя переменными как квадратных

относительно одной из переменных.

Решить уравнение в целых числах: 5х 2 +5у 2 +8ху+2у-2х+2=0.

Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х:

5х 2 + (8у — 2)х + 5у 2 + 2у + 2 = 0

D = (8у — 2) 2 — 4·5(5у 2 + 2у + 2) = 64у 2 — 32у + 4 = -100у 2 — 40у – 40= = -36(у 2 + 2у + 1) = -36(у + 1) 2

Для того, чтобы уравнение имело решения, необходимо, чтобы D = 0.

-36(у + 1) 2 = 0. Это возможно при у = -1, тогда х = 1.

7. Оценка выражений, входящих в уравнение.

Решить в целых числах уравнение:

(х 2 + 4)(у 2 + 1) = 8ху

Заметим, что если – решение уравнения, то – тоже решение.

И так как х = 0 и у = 0 не являются решением уравнения, то, разделив обе части уравнения на ху, получим:

,

Пусть х > 0, у > 0, тогда, согласно неравенству Коши,

,

тогда их произведение , значит,

Отсюда находим х = 2 и у = 1 – решение, тогда х = -2 и у = -1 – тоже решение.

8.Примеры уравнений второй степени с тремя неизвестными.

Рассмотрим уравнение второй степени с тремя неизвестными: х 2 + у 2 = z 2 .

Геометрически решение этого уравнения в целых числах можно истолковать как нахождение всех пифагоровых треугольников, т.е. прямоугольник треугольников, у которых и катеты х,у и гипотенуза z выражаются целыми числами.

По формуле х = uv, , где u и v – нечетные взаимно простые числа (u > v > 0) можно найти те решения уравнения х 2 + у 2 = z 2 , в которых числа х,у и z не имеют общих делителей (т.е. взаимно простые).

Для начальных значений u и v формулы приводят к следующим часто встречающимся равенствам:

3 2 + 4 2 = 5 2 (u = 1, v = 3), 5 2 + 12 2 = 13 2 (u = 1, v = 5), 15 2 + 8 2 = 17 2 (u = 3, v = 5)

Все остальные целые положительные решения этого уравнения получаются умножением решений, содержащихся в формулах, на произвольный общий множитель а.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: выбор элемента из выпадающего списка

Решите уравнение 9х+22у-1=0

Решение: Решим данное уравнение, воспользовавшись теоремой 2:

2. 1 = 9 — 4∙2 = 9 — (22 — 9∙2) ∙2 = 9∙5 + 22∙(-2),

т.е. х₀= 5, у₀= -2 — решение данного уравнения

№2. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Найдите целое решение уравнения 3х+9у=3

Решение: Решим данное уравнение: 3х+9у=3

Разделим обе части уравнения на 3, получим:

1. 3 = 1 ∙ 2 + 1
2. 1 = 3 — 1∙2, т.е. х₀= 1, у₀= 0 — решение данного уравнения