Неполные квадратные уравнения
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Основные понятия
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.
Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени — это квадратное уравнение.
Квадратное уравнение — это ax² + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b² − 4ac. А вот свойства дискриминанта:
- если D 0, есть два различных корня.
Неполное квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.
Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:
Такие уравнения отличаются от полного квадратного тем, что их левые части не содержат слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравненийКак мы уже знаем, есть три формулы неполных квадратных уравнений:
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль). Как решить уравнение ax² = 0Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax² = 0. Уравнение ax² = 0 равносильно x² = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x² = 0 является нуль, так как 0² = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней. Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² = 0 имеет единственный корень x = 0. Пример 1. Решить −5x² = 0.
Записывайся на дополнительные уроки по математике онлайн, с нашими лучшими преподавателями! Для учеников с 1 по 11 класса! Как решить уравнение ax² + с = 0Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax² + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный. Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. То есть одно и то же, только с другими цифрами. Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax² + c = 0:
Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи. Если — c/а 0, то корни уравнения x² = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а)² = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а)² = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней. В двух словахНеполное квадратное уравнение ax² + c = 0 равносильно уравнению ax² + c = 0, которое:
Пример 1. Найти решение уравнения 9x² + 4 = 0.
Разделим обе части на 9: Ответ: уравнение 9x² + 4 = 0 не имеет корней. Пример 2. Решить -x² + 9 = 0.
Разделим обе части на -1: Ответ: уравнение -x² + 9 = 0 имеет два корня -3; 3. Как решить уравнение ax² + bx = 0Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0. Квадратное уравнение без с непривычно решать только первые несколько примеров. Запомнив алгоритм, будет значительно проще щелкать задачки из учебника. Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x. Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a. Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 имеет два корня: Пример 1. Решить уравнение 2x² — 32x = 0
Ответ: х = 0 и х = 16. Пример 2. Решить уравнение 3x² — 12x = 0 Разложить левую часть уравнения на множители и найти корни: Алгебра. 8 классТема: Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения. Содержание модуля (краткое изложение модуля): Квадратным уравнением будем называть уравнение вида
Решения уравнений таких видов Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017. НАШИ ПАРТНЁРЫ
© Государственная образовательная платформа «Российская электронная школа» Открытый урок на тему: Неполные квадратные уравненияОбращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах. «Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях» Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику Открытый урок по алгебре в 8 «в» классе. На тему: Неполные квадратные уравнения.
Учитель: Гайбатова М.Н. Тема урока: Неполные квадратные уравнения. Тип урока: урок изучения нового материала. -расширение и углубление представлений учащихся при решении уравнений; организация поисковой деятельности учащихся при решении неполных квадратных уравнений; -развитие умения самостоятельно приобретать новые знания; использование для достижения поставленной задачи уже полученные знания; установление закономерности многообразия связей для достижения уровня системности знаний; -воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля; выработка желания и потребности обобщать полученные факты; развитие самостоятельности и творчества. Оборудование: тесты, компьютер, синие, красные и зелёные кружочки. I.Организационный момент . Проверка готовности к уроку. II. Накопление фактов. -Разложите на множители и выберите правильный ответ: А. -х(2х+2). Б. 2х(2х + 1). А. ( 2x — 3)(2х + 3). Б. 2(х — 3)(х + 3). 2.Решите уравнение (а-г). Сколько корней имеет уравнение? а)x 2 = 9;(два) б)3x 2 = 0;(один) в)x 2 = -25; (нет корней) г) x 2 = 3.(два корня) 3. Распределите данные уравнения на четыре группы и объясните, по какому признаку вы это сделали. а) 9х 2 – 6x + 10 = 0 д) -3х 2 + 5х + 1 = 0; ( 1-я группа: а), д); ах 2 + bх + с = 0, а0; 2-я группа : б), и); оба слагаемых содержат переменную; 4-я группа: в), з); одночлен с переменной в квадрате). III. Постановка учебной задачи. 1. Как называются эти уравнения? (Уравнения второй степени.) Запишите уравнения 1-й группы в общем виде. (ах 2 + bх + с = 0, а0). Дайте определение этому уравнению. (Квадратным уравнением называется уравнение ах 2 + bх + с = 0, где a,b,c- заданные числа, а 0, x- неизвестное). Назовите коэффициенты в уравнениях первой группы. 1.Все ли уравнения здесь полные? (Нет) 2.В каких случаях квадратные уравнения можно считать неполными (Даёте характеристику каждой группе). 3.Каких уравнений записано больше? (Неполных). 4.Какая задача встаёт перед нами? Задача: познакомиться с видами неполных уравнений и научиться решать неполные квадратные уравнения. Учитель: Запишем тему нашего урока: «Неполные квадратные уравнения». Решение поставленной задачи Учитель: Ребята, мы будем решать уравнения 2,3 и 4 группы по плану. 1.Решить любое уравнение данной группы. 2.Записать его в общем виде. 3.Дать определение неполного квадратного уравнения. Учащиеся на доске записывают решение каждого уравнения в общем виде Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. х = 0 или х =; два корня. 1) Если > 0, то уравнение имеет два корня. Ребята, решили мы поставленную задачу? (Да). Учитель: Какие уравнения называются неполными квадратными? Ученик: Неполными квадратными уравнениями называются уравнения, в которых хотя бы один из коэффициентов равен нулю. Учитель: Может ли коэффициент a быть равен 0? Ученик: Коэффициент a не может быть равен 0.Если a=0, то уравнение будет не квадратным. Вывод учителя: Квадратное уравнение ах 2 + b х + с = 0 называют неполным, если хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю. IV. Первичное осмысление и применение изученного материала. 1.Решаем № 418(нечётные) и №419 (нечётные) 2.Обучающая самостоятельная работа (задания для самоконтроля). Проводится с сильными учениками. С остальными решаются простые неполные уравнения. Оценка «4»—6-7 баллов; Оценка «3»—3 балла.Вариант 1 1. Решите уравнение (за каждое правильно решенное уравнение 1 балл): а) 2х 2 — 18 = 0; б) 5х 2 + 15x= 0; в) х 2 + 5 = 0. (2 балла) Составьте квадратное уравнение, имеющее корни 3 и -3. (3 балла ) Решите уравнение Решите уравнение (за каждое правильно решенное уравнение 1 балл): а) 6x² — 12 = 0; б) 3х 2 + 12x = 0; в) 7 + х 2 = 0. (2 балла) Составьте квадратное уравнение, имеющее корни 0 и 6. (3 балла ) Решите уравнение (х – 4)(х + 4) = 2x — 16. V. Подведение итогов урока. Выставление оценок. Решение какой группы уравнений мы сегодня не рассматривали? (Мы не рассматривали решение 1 группы уравнений) VI. Задание на дом: §24-§25,№418 (чётные),№419(чётные). Ребята, послушайте притчу: «Шёл мудрец, а навстречу ему 3 человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства храма. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу. У первого спросил: «Что ты делал целый день?». И тот с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни. У второго спросил: «А что ты делал целый день?», — и тот ответил: «А я добросовестно выполнял свою работу». А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием: «А я принимал участие в строительстве храма». Ребята! Давайте мы попробуем с вами оценить каждый свою работу на уроке. -Кто работал так, как первый? (поднимают синие кружочки). -Кто работал добросовестно? (поднимают зелёные кружочки). -А кто только принимал участие? (поднимают красные кружочки).
Курс повышения квалификации Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс профессиональной переподготовки Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Курс повышения квалификации Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Ищем педагогов в команду «Инфоурок» Дистанционные курсы для педагоговСамые массовые международные дистанционные Школьные Инфоконкурсы 2022 33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок» Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:5 569 159 материалов в базе Материал подходит для УМК
«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А. Глава 3. Квадратные уравнения Другие материалы
Вам будут интересны эти курсы:Оставьте свой комментарийАвторизуйтесь, чтобы задавать вопросы. Добавить в избранное
Настоящий материал опубликован пользователем Гайбатова Мара Насруллаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал. Автор материала
Московский институт профессиональной Дистанционные курсы |
