Тема номер 3 система линейных уравнений

Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 3. Тема: Системы линейных уравнений: методы решения. — презентация

Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемМарина Городенская

Похожие презентации

Презентация на тему: » Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 3. Тема: Системы линейных уравнений: методы решения.» — Транскрипт:

1 Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 3. Тема: Системы линейных уравнений: методы решения. Цель: Рассмотреть понятие СЛАУ.

2 Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: Здесь x 1, x 2,, x n – неизвестные величины; a ij (i = 1,2, …, m; j =1,2, …, n) – числа, называемые коэффициентами системы (первый индекс — номер уравнения, второй номер неизвестной); b 1, b 2, …, b m – числа, называемые свободными членами.

3 Решением системы Решением системы будем называть упорядоченный набор чисел x 1, x 2, …, x n, обращающий каждое уравнение системы в верное равенство. Решитьсистему Решить систему значит найти все ее решения или доказать, что ни одного решения нет. совместной Система, имеющая решение, называется совместной.

4 Если система имеет только одно решение, то она называется определенной определенной. Система, имеющая более чем одно решение, называется неопределенной совместной неопределенной (совместной и неопределенной неопределенной). Если система не имеет решений, то несовместной она называется несовместной.

5 Система, у которой все свободные члены равны нулю (b 1 = b 2 =…= b n = 0), однородной называется однородной. Однородная система всегда совместна, так как набор из n нулей удовлетворяет любому уравнению такой системы. Если число уравнений системы совпадает с числом неизвестных (m=n), квадратной то система называется квадратной.

6 Две системы, множества решений которых совпадают, называются эквивалентными эквивалентными или равносильными. равносильными.

7 Преобразование,применение которого превращает систему в новую систему, эквивалентную исходной,называется эквивалентным равносильным эквивалентным или равносильным преобразованием. преобразованием.

8 Общий метод решения СЛАУ. (Метод Гаусса). Если система совместна, т. е. rang A = rang A* = (r),то r-уравнений СЛАУ линейно-независимы, а остальные (n — r) являются линейными комбинациями. Решить систему значит выразить базисные неизвестные через свободные, придавая различные значения свободным неизвестным.

9 Общий метод решения однородной СЛАУ. Теорема: Если ранг матрицы однородной СЛАУ = r, то система имеет (m — r) линейно — независимых решений. Опр.: Совокупность решений, т. е. совокупность называется фундаментальной системой решений однородной СЛАУ.

10 Теорема об общем решении не одноодной СЛАУ. Теорема: Если фундаментальная система решений соотв-щей однор. СЛАУ; — некоторое решение не одно. СЛАУ, то сумма — решение не одно. СЛАУ. Полученное решение называется общим решением не одноодной СЛАУ.

11 Матричный способ решения СЛАУ. СЛАУ запишем в виде А х Х=В. Если det A0, то для матрицы А сущ. обратная А-1. Умножим обе части СЛАУ слева на А-1: А-1 х А х Х = А-1 х В; Е х Х = А-1 х В; Х = А-1 х В.

12 Метод Крамера. СЛАУ имеет вид А х Х=В при det A0 ; Х=А-1 х В. х 1 A11 A12 … An1 b1 х 2 = A21 A22 … An2 х b2 = хn A1n A2n … Ann n х n bn n х 1 A1n х b1 + A2n х b2 + Ann х bn A11 х b1 + A21 х b2 ……… A12 х b1 + A22 х b2 ………

13 1. 2. Числители — величина определителя, разложенного по первому столбцу, тогда первый столбец это элементы b 1, b 2 … b n, а остальные столбцы – это столбцы матрицы А и т.д. Если det A0, то СЛАУ имеет единственное решение и определяется формулами:

14 Элементарные преобразования матрицы 1) перемена местами двух строк; 2) умножение строки на число, отличное от нуля; 3) замена строки матрицы суммой этой строки с любой другой строкой, умноженной на некоторое число.

15 Назовем квадратную матрицу, у которой на главной диагонали стоят числа, отличные от нуля, а под главной диагональю – нули, треугольной матрицей треугольной матрицей. Если с помощью элементарных преобразований матрицу коэффициентов квадратной системы можно привести к треугольной матрице, то система совместна определен на совместна и определенна.

16 A Если матрицу A можно разделить вертикальной чертой на две матрицы: стоящую слева треугольную матрицу размера m m и стоящую справа прямоугольную матрицу, Aтрапециевидной то матрицу A назовем трапециевидной или трапецеидальной трапецеидальной.

17 Если при преобразовании расширенной матрицы системы матрица коэффициентов приводится к трапецеидальному виду и при этом система не получается противоречивой, то система совместна и является бесконечно неопределенной, то есть имеет бесконечно много решений много решений.

18 Те переменные, коэффициенты при которых стоят на главной диагонали трапецеидальной матрицы (это значит, что эти коэффициенты базисными отличны от нуля), называются базисными. Остальные неизвестные называются свободными свободными.

19 Если свободным неизвестным при даны конкретные числовые значения и через них выражены базисные неизвестные, то полученное частным решение называется частным решением решением. Если свободные неизвестные выражены через параметры, то получается решение, которое общим решением. называется общим решением.

20 Если всем свободным неизвестным приданы нулевые значения, то полученное решение базисным называется базисным. Если получены два различных набора базисных неизвестных при различных способах нахождения решения одной и той же системы, то эти наборы обязательно содержат одно и то же число неизвестных, рангом системы называемое рангом системы.

21 Вопросы: 1)Когда система имеет единственное решение? 2)Какие элементарные преобразования матрицы можно делать при решении СЛАУ?

Тема номер 3 система линейных уравнений

Пример 5. Решите уравнение 3у + у 2 = у.
Решение:
3у + у 2 = у – неполное квадратное уравнение; у 2 + 3у – у = 0;
у 2 + 2у =0; у∙(у + 2) = 0.

x 2 – 5х = – 6 или х 2 – 5х = 36;
х 2 – 5х + 6 = 0 или х 2 – 5х – 36 =0.
По теореме Виета:
х₁ = 2, х₂ = 3, х₃ = – 4, х₄ =9.
Ответ: – 4, 2, 3, 9.

Практическая работа №3 Тема: «Решение систем линейных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Практическая работа №3

Тема: «Решение систем линейных уравнений»

Цель: сформировать умение исследовать и использовать различные методы для решения систем линейных алгебраических уравнений

Методические указания и теоретические сведения к практической работе

1. Системы линейных уравнений

Пусть задана система линейных уравнений с неизвестными

Решением системы (1) называется совокупность чисел (, , …, ), которая при подстановке в систему (1) вместо неизвестных обращает каждое уравнение системы в тождество. Система может иметь решение, тогда она называется совместной , причем, если решение единственное, система определенная , если решений множество – система неопределенная . Если система не имеет решений, она называется несовместной . Рассмотрим два способа решения системы: метод Крамера и метод Гаусса.

При решении методом Крамера используем определители -го порядка. Пусть задана система (1). Составим главный определитель системы из коэффициентов при неизвестных:

ТЕОРЕМА. Если определитель системы , то систему (3) можно решить по формуле Крамера, причем это решение единственное:

где определитель может быть получен из главного определителя путем замены -го столбца на столбец из свободных членов.

Составляем главный определитель, элементами которого являются коэффициенты при неизвестных:

и три вспомогательных определителя:

Определитель составлен из определителя путем замены элементов первого столбца свободными членами системы уравнений. В определителях и соответственно второй и третий столбцы заменены свободными членами. Вычислим все четыре определителя.

Неизвестные , , находим по формулам

Пример2. Решить систему методом Крамера.

Решение. Выписываем A — матрицу системы и B — столбец свободных членов: , . Далее вычисляем определители:

По теореме Крамера ;. Ответ: ;.

Для проверки результата подставим полученные значения неизвестных в каждое уравнение системы: , , . Все уравнения обратились в тождества, значит, решение найдено верно.

Условия неопределенности и несовместности системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

Если определитель системы , то система является либо несовместной (когда и ), либо неопределенной (когда и ). В последнем случае система сводится к одному уравнению, а другое является следствием этого уравнения.

Условия несовместности системы двух линейных уравнений с двумя переменными можно записать в виде:

Условия неопределенности системы двух линейных уравнений с двумя переменными можно записать в виде:

Если один из вспомогательных определителей отличен от нуля, то система уравнений (1) не имеет решения (если ).

Если главный и все вспомогательные определители равны нулю, то система (1) имеет бесконечно много решений.

Если главный определитель отличен от нуля, то система уравнений (1) имеет единственное решение.

Эффективным методом решения и исследования систем линейных уравнений является метод последовательного исключения неизвестных, или метод Гаусса.

Идея метода Гаусса состоит в том, что данная система линейных уравнений преобразуется в равносильную ей систему специального вида, которая легко исследуется и решается.

В результате элементарных преобразований добиваются того, чтобы в последнем уравнении системы осталось одно неизвестное (), во втором – 2 неизвестных ( и ) а в первом – 3 неизвестных (, , ). За ведущее уравнение берется то, в котором коэффициент при равен 1. Если такого уравнения нет, то его легко получить, разделив любое из уравнений системы на коэффициент при .

Ведущим уравнением данной системы будет последнее. Перепишем систему так:

Умножаем первое уравнение на (-2) и складываем со вторым, чтобы избавиться от во втором уравнении. Результат сложения записываем на месте второго уравнения. Далее первое уравнение умножаем на (-5) и складываем с третьим, чтобы избавиться от в третьем уравнении. Результат записываем на месте третьего уравнения. Первое уравнение при этом переписываем без изменений. Получим :

Системы уравнений (2) и (3) эквиваленты, т. е. они обе несовместны, или же обе совместны и имеют одни и те же решения.

Умножаем второе уравнение системы (5) на (-1) и складываем с третьим, чтобы избавиться от в третьем уравнении. Первое уравнение при этом не трогаем. Результат записываем на месте третьего уравнения. Тогда

Из последнего уравнения . Подставляем это значение во втрое уравнение системы и находим :

В первое уравнение подставляем значения и , получаем

Рекомендуется сделать проверку.

Систему можно решить и матричным способом.

Рассмотрим систему вида

Составим матрицу системы из коэффициентов при неизвестных:

Из неизвестных , , и свободных членов составим матрицы – столбцы

Тогда система (4) в матричной форме примет вид

Чтобы найти матрицу , умножим (7) на слева.

Найти обратную матрицу .

Составляем и вычисляем определитель

Определитель вычислен по правилу треугольника.

Транспонируем матрицу. Получаем

Вычисляем алгебраические дополнения

Вычисляем . Вычеркиваем первую строку и второй столбец. Составляем определитель второго порядка из оставшихся элементов.

Аналогично вычисляем все остальные алгебраические дополнения:

Составим обратную матрицу

Решить систему матричным способом

Из коэффициентов при неизвестных составим матрицу :

Из неизвестных составим матрицу – столбец:

Из свободных членов составим матрицу – столбец:

Тогда система запишется в виде

Получили матричное уравнение. Умножаем обе части этого уравнения на слева. Получаем:

Находим обратную матрицу:

(матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов; (обратная матрица).

Умножая обратную матрицу на , получаем матрицу .

Отсюда получаем ответ:

Сравните решение этой системы с решением метода Гаусса.

Практическая работа №3

Тема: «Решение систем линейных уравнений»

Цель: сформировать умение исследовать и использовать различные методы для решения систем линейных алгебраических уравнений

Содержание практической работы

Задание 1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера:

Задание 2 . Решить систему уравнений по формулам Крамера:

Задание 3 . Решить систему уравнений по формулам Крамера:

а) При каком значении а система не имеет решений?

б) При каком значении а система имеет бесконечно много решений?

Задание 5 . Решить систему уравнений по формулам Крамера, методом Гаусса матричным методом:.

Задание 6 . Решить систему уравнений методом Крамера:

Задание 7 . Решить систему уравнений по формулам Крамера: