Тема по алгебре уравнение x a

Уравнение вида x² = a.
план-конспект урока по алгебре (8 класс) на тему

Урок изучения нового материала с использованием ИКТ.

Изложение темы сопровождается презентацией.

Для закрепления знаний и умений учащихся используется электронный тест.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема сегодняшнего урока – уравнение вида x² = a. На уроке мы познакомимся с алгоритмом решения данных уравнений, рассмотрим количество его решений в зависимости от значения а.

Уравнения с давних времен волновали умы человечества. По этому поводу у английского поэта средних веков Джеффри Чосера есть прекрасные строки, предлагаю сделать их эпиграфом нашего урока:

Посредством уравнений, теорем
Я уйму всяких разрешил проблем.

Уравнения, которые мы будем изучать тоже не исключение. Они очень важны и для математики, и для других наук.

1. Актуализация знаний – 5 мин.

Раз уж мы говорим об уравнениях, давайте вспомним – что это такое?

— Равенство, содержащее неизвестное .

Что такое корень уравнения?

1. Корнем уравнения называется значение переменной, которое обращает данное уравнение в верное числовое равенство.

Что значит решить уравнение?

1. Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Дайте определение арифметического квадратного корня из числа a.

1. Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.

При каких значениях а имеет смысл выражение ?

1. Выражение имеет смысл при неотрицательных а (при а больших или равных нулю).

Вычислите арифметический квадратный корень из числа:

225, 361, 196, 100, 0,25, 0,0036, 1,44, 4,84

1. Выполним письменно задание:

Разложите на множители выражение: 2 суворовца у доски, остальные в тетради.

Какую формулу нужно применить для выполнения этого задания? Сформулируйте.

1. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму.

1. Объяснение нового материала – 10 мин.

Придумайте задачу, в которой нам потребовалось бы решить уравнение такого вида.

Рассмотрим геометрическую задачу:

Площадь квадрата равна 8 см². Найдите сторону квадрата.

Что нужно сделать для решения данной задачи?

1. Составить уравнение x² = 8 и решить его.

Какие способы для его решения вы можете предложить?

1. подбор;
2. перенести число 8 в левую часть уравнения так, чтобы справа получился ноль.

Воспользуемся вторым предложением: Суворовец у доски, остальные в тетради.

Чем воспользуемся в данной ситуации?

1. формулой разности квадратов.

Каким наиболее рациональным способом мы можем его решить?

1. Приравнивая каждый множитель к нулю. Произведение нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.

То есть мы приравняем каждый множитель к нулю.

x — = 0 или x + = 0

Рассмотрим уравнение в общем виде: (записывают в левую колонку таблицы)

Решение уравнения x² = a, а > 0

x — = 0 или x + = 0

Будет ли иметь корни уравнение x² = — 4. Если «да», то сколько и какие?

1. Нет, так как квадрат числа всегда неотрицателен.

1. x² + 4 = 0, не можем разложить на множители, так как такой формулы не существует.

А уравнение x² = 0 ?

Обобщим: суворовцы заполняют пустую схему на листе, «сильный» суворовец – на доске.

один корень 3) а > 0 корней нет

Проговорить ещё раз случаи для а

Решим уравнение: 3x² = 243

К какому случаю можно отнести данное уравнение?

(записывают решение в правой колонке, 1 суворовец на доске)

Решение уравнения x² = a, а > 0

x — = 0 или x + = 0

x — 9= 0 или x + 9 = 0

1. Зарядка для глаз. – 2 мин.

Тренажер «Веселые глазки для активизации зрительной координации.

Следим глазами на интерактивной доске за движением стрелки-указателя.

Суворовцы стоя выполняют упражнения для глаз.

1. Решение упражнений – 10 мин.

Попробуем решить несколько уравнений самостоятельно.

Вам предложено по три уравнения разных уровней сложности. Выберите тот уровень, с которым вы, по вашему мнению, справитесь. Приступайте к решению. Кто справится, поднять руку для проверки.

Трое суворовцев вызвать к доске – решить по одному уравнению из 0 уровня.

Затем по одному суворовцу решить 1 уравнение на выбор (из 1 и 2 уровней).

3 уровень – по желанию.

При наличии времени те, кто справится с выбранным уровнем, работают над решением уравнений следующего уровня.

Те, кто решают на месте, могут проверить своё решение. Ответы к уравнениям, не решённым на доске, высветить на интерактивной доске.

х(x – 5) + 5х =36 (6; — 6)

x² + 3х = 25 + 3х (5; — 5)

Карточки (для «сильных» учащихся):

8) (2х – 5)(2х + 5) = 75

8) (3х – 2)(3х + 2) = 5

1. Закрепление материала – 5 мин.

Высветить схему ещё раз.

Уравнения какого вида мы научились решать?

Сколько корней имеет данное уравнение при а > 0?

1. при а > 0 уравнение имеет два корня.

Сколько корней имеет данное уравнение при а  0?

1. при а  0 уравнение не имеет корней.

Сколько корней имеет данное уравнение при а = 0?

1. при а = 0 уравнение имеет один корень, x=0.

1. Компьютерный тест (в формате Excel)

1.Сколько корней имеет уравнение x² = 45 ?

А) один корень Б) ни одного корня

1. Сколько корней имеет уравнение x² = 78 ?

А) один корень Б) ни одного корня

2.Сколько корней имеет уравнение x² = 0?

А) один корень Б) ни одного корня

2. Сколько корней имеет уравнение x² = 0?

А) один корень Б) ни одного корня

3.Сколько корней имеет уравнение x² = — 67 ?

А) один корень Б) ни одного корня

3. Сколько корней имеет уравнение x² = — 98 ?

А) один корень Б) ни одного корня

4.Найдите корни уравнения x² = 100

А) 10 Б) 10; — 10 В) — 10 Г) нет корней

4. Найдите корни уравнения x² = 225

А) 15 Б) 15; — 15 В) — 15 Г) нет корней

5.Найдите корни уравнения x² = 65

5. Найдите корни уравнения x² = 32

6.Найдите корни уравнения x² + 121 = 0

А) Б) 11; — 11 В) — 11 Г) нет корней

6. Найдите корни уравнения x² + 100 = 0

А) Б) 10; — 10 В) — 10 Г) нет корней

Ключ к тесту: 1 вариант: ВАББАГ, 2 вариант: БВААГБ

6 баллов – «5», 5 баллов – «4», 4 балла – «3».

Запишите в рабочий лист свой результат и отметку.

Вернемся к началу урока, к задаче. Оба ли полученных числа являются решением данной задачи?

1. нет, число — не подходит по условию задачи.

Значит в ответ запишем только см.

— Что нового вы узнали на этом уроке?

— Что было сложно?

Оцените степень усвоения материала: поставьте плюсик в соответствующей строчке таблицы.

но затрудняюсь в применении

1. Задание на самоподготовку – 1 мин.

№ 320(а, в, д), 322(а, в, д), 323(а, в, д).

Подвести итоги, выставить отметки.

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Мой университет — www . moi — mummi . ru

Что такое уравнение? Что такое корень уравнения? Что значит решить уравнение? Дайте определение арифметического квадратного корня из числа a . При каких значениях а имеет смысл выражение ?

Вычислите арифметический квадратный корень из числа: = 15 = 19 = 14 = 10 = 0,5 = 0,06 = 1,2 = 2,2

Разложите двучлен на множители: x² — 225 = ( x — 15 )( x + 15 ) x² — 361 = (x — 19)(x + 19) x² — y² = (x — y)(x + y) x² — c² = (x — c)(x + c) x² + 144 = разложить нельзя! x² — 223 = ( x — )( x — ) x² — 35 = ( x — )( x — ) x² +17 = разложить нельзя! x ² — b = ( x — )( x — ) x ² — a = ( x — )( x — )

Задача: Площадь квадрата равна 8 см². Найдите сторону квадрата. x ² = 8 x ² — 8 = 0 ( x — )( x + ) = 0 x — = 0 или x + = 0 x = или x = — (не удовлетворяет условиям задачи) Ответ: сторона квадрата см.

два корня x = , x = — x ² = a 1) а = 0 2) а 0 корней нет х = 0

0 уровень (3) 1 уровень (4) 2 уровень (5) 3 уровень (5+) x² = 16 (4; — 4) 0,02 + x ² = 0,38 ( 0,6 ; -0,6 ) ( x + 4)² — 8х = 4 (нет корней) x ³ — 121 x = 0 (0; 11 ; -11 ) x ² = 7 ( ; — ) 13 x ² = 52 (2; — 2) х ( x – 5) + 5х =36 (6; — 6) ( x + 3)² = 49 (4; — 10) x ² = — 25 (нет корней) x ² + 3х = 25 + 3х (5; — 5) ( x – 3)( х + 3) – 4 = 6 ( ; — ) ( x — 13)² = 3 (13 + ; 13 — ) Ответы к уравнениям:

два корня x = , x = — x ² = a 1) а = 0 2) а 0 корней нет х = 0

ТЕСТ Проверь себя! 6 баллов – «5» 5 баллов – «4» 4 балла – «3»

Оцените себя! Усвоил полностью, могу применять Усвоил, но затрудняюсь в применении Усвоил частично Не усвоил

Задание на самоподготовку: № 320(а, в, д ), 322(а, в, д ), 323(а, в, д ).

Спасибо за урок! Мой университет — www . moi — mummi . ru

Алгебра. Урок 4. Уравнения, системы уравнений

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Уравнения”.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

• Линейные уравнения

Линейные уравнения

Линейное уравнение – уравнение вида a x = b , где x – переменная, a и b некоторые числа, причем a ≠ 0 .

Примеры линейных уравнений:

1. 3 x = 2

1. 2 7 x = − 5

Линейными уравнениями называют не только уравнения вида a x = b , но и любые уравнения, которые при помощи преобразований и упрощений сводятся к этому виду.

Как же решать уравнения, которые приведены к виду a x = b ? Достаточно поделить левую и правую часть уравнения на величину a . В результате получим ответ: x = b a .

Как распознать, является ли произвольное уравнение линейным или нет? Надо обратить внимание на переменную, которая присутствует в нем. Если старшая степень, в которой стоит переменная, равна единице, то такое уравнение является линейным уравнением.

Для того, чтобы решить линейное уравнение , необходимо раскрыть скобки (если они есть), перенести «иксы» в левую часть, числа – в правую, привести подобные слагаемые. Получится уравнение вида a x = b . Решение данного линейного уравнения: x = b a .

Примеры решения линейных уравнений:

1. 2 x + 1 = 2 ( x − 3 ) + 8

Это линейное уравнение, так как переменная стоит в первое степени.

Попробуем преобразовать его к виду a x = b :

Для начала раскроем скобки:

2 x + 1 = 4 x − 6 + 8

В левую часть переносятся все слагаемые с x , в правую – числа:

Теперь поделим левую и правую часть на число ( -2 ) :

− 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0,5

Это уравнение не является линейным уравнением, так как старшая степень, в которой стоит переменная x равна двум.

Это уравнение выглядит линейным на первый взгляд, но после раскрытия скобок старшая степень становится равна двум:

x 2 + 3 x − 8 = x − 1

Это уравнение не является линейным уравнением.

Особые случаи (в 4 задании ОГЭ они не встречались, но знать их полезно)

1. 2 x − 4 = 2 ( x − 2 )

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x − 2 x = − 4 + 4

И как же здесь искать x , если его нет? После выполнения преобразований мы получили верное равенство (тождество), которое не зависит от значения переменной x . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда получается верное равенство (тождество). Значит x может быть любым числом. Запишем ответ к данном линейному уравнению.

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x − 4 = 2 x − 16

2 x − 2 x = − 16 + 4

В результате преобразований x сократился, но в итоге получилось неверное равенство, так как . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда будет неверное равенство. А это означает, что нет таких значений x , при которых равенство становилось бы верным. Запишем ответ к данному линейному уравнению.

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение – уравнение вида a x 2 + b x + c = 0, где x – переменная, a , b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0 .

Алгоритм решения квадратного уравнения:

1. Раскрыть скобки, перенести все слагаемые в левую часть, чтобы уравнение приобрело вид: a x 2 + b x + c = 0
2. Выписать, чему равны в числах коэффициенты: a = … b = … c = …
3. Вычислить дискриминант по формуле: D = b 2 − 4 a c
4. Если D > 0 , будет два различных корня, которые находятся по формуле: x 1,2 = − b ± D 2 a
5. Если D = 0, будет один корень, который находится по формуле: x = − b 2 a
6. Если D 0, решений нет: x ∈ ∅

Примеры решения квадратного уравнения:

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0

a = − 1, b = 6, c = 7

D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64

D > 0 – будет два различных корня:

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 64 2 ⋅ ( − 1 ) = − 6 ± 8 − 2 = [ − 6 + 8 − 2 = 2 − 2 = − 1 − 6 − 8 − 2 = − 14 − 2 = 7

Ответ: x 1 = − 1, x 2 = 7

a = − 1, b = 4, c = − 4

D = b 2 − 4 a c = 4 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 4 ) = 16 − 16 = 0

D = 0 – будет один корень:

x = − b 2 a = − 4 2 ⋅ ( − 1 ) = − 4 − 2 = 2

a = 2, b = − 7, c = 10

D = b 2 − 4 a c = ( − 7 ) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 − 80 = − 31

D 0 – решений нет.

Также существуют неполные квадратные уравнения (это квадратные уравнения, у которых либо b = 0, либо с = 0, либо b = с = 0 ). Смотрите видео, как решать такие квадратные уравнения!

Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратный трехчлен можно разложить на множители следующим образом:

a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 1 ) ⋅ ( x − x 2 )

где a – число, коэффициент перед старшим коэффициентом,

x – переменная (то есть буква),

x 1 и x 2 – числа, корни квадратного уравнения a x 2 + b x + c = 0 , которые найдены через дискриминант.

Если квадратное уравнение имеет только один корень , то разложение выглядит так:

a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 0 ) 2

Примеры разложения квадратного трехчлена на множители:

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1, x 2 = 7

− x 2 + 6 x + 7 = ( − 1 ) ⋅ ( x − ( − 1 ) ) ( x − 7 ) = − ( x + 1 ) ( x − 7 ) = ( x + 1 ) ( 7 − x )

1. − x 2 + 4 x − 4 = 0 ; ⇒ x 0 = 2

− x 2 + 4 x − 4 = ( − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) 2 = − ( x − 2 ) 2

Если квадратный трехчлен является неполным, ( ( b = 0 или c = 0 ) то его можно разложить на множители следующими способами:

• c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x ( a x + b )

• b = 0 ⇒ применить формулу сокращенного умножения для разности квадратов.

Дробно рациональные уравнения

Пусть f ( x ) и g ( x ) – некоторые функции, зависящие от переменной x .

Дробно рациональное уравнение – это уравнение вида f ( x ) g ( x ) = 0 .

Для того, чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо вспомнить, что такое ОДЗ и когда оно возникает.

ОДЗ – область допустимых значений переменной.

В выражении вида f ( x ) g ( x ) = 0

ОДЗ: g ( x ) ≠ 0 (знаменатель дроби не может быть равен нулю).

Алгоритм решения дробно рационального уравнения:

1. Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .
2. Выписать ОДЗ: g ( x ) ≠ 0.
3. Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни.
4. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Пример решения дробного рационального уравнения:

Решить дробно рациональное уравнение x 2 − 4 2 − x = 1.

Решение:

Будем действовать в соответствии с алгоритмом.

1. Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .

Переносим единичку в левую часть, записываем к ней дополнительный множитель, чтобы привести оба слагаемых к одному общему знаменателю:

x 2 − 4 2 − x − 1 \ 2 − x = 0

x 2 − 4 2 − x − 2 − x 2 − x = 0

x 2 − 4 − ( 2 − x ) 2 − x = 0

x 2 − 4 − 2 + x 2 − x = 0

x 2 + x − 6 2 − x = 0

Первый шаг алгоритма выполнен успешно.

Обводим в рамочку ОДЗ, не забываем про него: x ≠ 2

1. Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни:

x 2 + x − 6 = 0 – Квадратное уравнение. Решаем через дискриминант.

a = 1, b = 1, c = − 6

D = b 2 − 4 a c = 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 1 + 24 = 25

D > 0 – будет два различных корня.

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 1 ± 25 2 ⋅ 1 = − 1 ± 5 2 = [ − 1 + 5 2 = 4 2 = 2 − 1 − 5 2 = − 6 2 = − 3

1. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Корни, полученные на предыдущем шаге:

Значит, в ответ идет только один корень, x = − 3.

Системы уравнений

Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (как правило, неизвестные обозначаются x и y ) , которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы уравнений

Решить систему уравнений – найти пару чисел x и y , которые при подстановке в систему уравнений образуют верное равенство в обоих уравнениях системы.

Существует два метода решений систем линейных уравнений:

1. Метод подстановки.
2. Метод сложения.

Алгоритм решения системы уравнений методом подстановки:

1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.
2. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.
3. Решить уравнение с одной неизвестной.
4. Найти оставшуюся неизвестную.

Решить систему уравнений методом подстановки

Решение:

1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.

1. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.

1. Решить уравнение с одной неизвестной.

3 ( 8 − 2 y ) − y = − 4

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

1. Найти оставшуюся неизвестную.

x = 8 − 2 y = 8 − 2 ⋅ 4 = 8 − 8 = 0

Ответ можно записать одним из трех способов:

Решение системы уравнений методом сложения.

Метод сложения основывается на следующем свойстве:

Идея метода сложения состоит в том, чтобы избавиться от одной из переменных, сложив уравнения.

Решить систему уравнений методом сложения

Давайте избавимся в данном примере от переменной x . Суть метода состоит в том, чтобы в первом и во втором уравнении перед переменной x стояли противоположные коэффициенты. Во втором уравнении перед x стоит коэффициент 3 . Для того, чтобы метод сложения сработал, надо чтобы перед переменной x оказался коэффициент ( − 3 ) . Для этого домножим левую и правую часть первого уравнения на ( − 3 ) .

Теперь, когда перед переменной в обоих уравнениях стоят противоположные коэффициенты, при сложении левых частей уравнений переменная x исчезнет.

( − 3 x − 6 y ) + ( 3 x − y ) = ( − 24 ) + ( − 4 )

− 3 x − 6 y + 3 x − y = − 24 − 4

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

Осталось найти переменную x . Для этого подставим y = 4 в любое из двух уравнений системы. Например, в первое.

Ответ можно записать одним из трех способов:

Задание №9 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.

Алгебра. 8 класс

Тема: Уравнение Х 2 = a

Содержание модуля (краткое изложение модуля):

Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным числом, уравнение x 2 = a, при a
X 2 = a, при a = 0
В данном случае уравнение имеет один корень. Этим корнем является число 0. Так как уравнение можно переписать в виде х • х = 0, то еще иногда говорят, что данное уравнение имеет два корня, которые равны между собой и равны 0.
X 2 = a, при a>0
В этом случае уравнение x 2 = a. Решается оно следующим образом. Сначала переносим а в левую часть.
X 2 – a = 0;
Из определения квадратного корня следует, что a можно записать в следующем виде: a = (√a) 2 . Тогда уравнение можно переписать следующим образом:
X 2 – (√a) 2 = 0.
В левой части видим формулу разности квадратов, разложим её.
(x + √a) • (x — √a) = 0;
Произведение двух скобок равно нулю, если хотя бы одна из них равна нулю. Следовательно,
x + √a = 0;
x — √a = 0;
Отсюда, x₁ = √a x₂ = -√a.
Данное решение можно проверить и построив график.

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.

НАШИ ПАРТНЁРЫ

© Государственная образовательная платформа «Российская электронная школа»