Тема по математике логарифмические уравнения

Лекция по математике тема: «Логарифмические уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема: Логарифмические уравнения

1. Определение логарифмического уравнения

2. Решение простейших уравнений

4. C ведение уравнений к виду log _a f ( x ) = log _a g ( x ) с помощью свойств логарифмов по одному основанию.

5. Уравнения вида Alog _a f ( x ) + Blog _b g ( x ) + C = 0.

6. Введение новой переменной

Определение логарифмического уравнения

Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение вида log _a x = b (где а>0, и а ≠1).

Функция у= log _a x является возрастающей (или убывающей) на промежутке

(0; +∞) и принимает на этом промежутке все действительные значения. По теореме о корне) для любого b это уравнение имеет корень, и только один.

Решение простейших уравнений

Простейшими логарифмическими уравнениями будем называть уравнения следующих видов:

Эти уравнения решаются на основании определения логарифма:

Решение. Область определения уравнения x > 0. По определению логарифма x = 2 3 , x = 8 принадлежит области определения уравнения.

Уравнения данного вида решаются по определению логарифма с учётом области определения функции f ( x ). Уравнение равносильно следующей системе

Обычно область определения находится отдельно, и после решения уравнения f ( x ) = a b проверяется, принадлежат ли его корни области определения уравнения.

Пример 2.2. log ₃ (5х – 1) = 2.

Решение: ОДЗ: 5х – 1 > 0; х > 1/5. log ₃ (5х– 1) = 2, log ₃ (5х – 1) = log ₃ 3 2 , 5х — 1 =9,
х = 2. Ответ: 2.

Решение. Область определения уравнения находится из неравенства 2 х 2 – 2 х – 1 > 0. Воспользуемся определением логарифма:

Применим правила действий со степенями, получим 2 х 2 – 2 х – 1 = 3. Это уравнение имеет два корня х = –1; х = 2. Оба полученные значения неизвестной удовлетворяют неравенству 2 х 2 – 2 х – 1 > 0, т.е. принадлежат области определения данного уравнения, и, значит, являются его корнями.

Уравнения этого вида решаются по определению логарифма с учётом области определения уравнения. Данное уравнение равносильно следующей системе

Чаще всего, область определения логарифмического уравнения находится отдельно, и после решения уравнения ( f ( x )) c = b или равносильного уравнения

проверяется, принадлежат ли его корни найденной области.

Решение. Данное уравнение равносильно системе

Ответ. x = 4.

Суть метода заключается в переходе от уравнения

не равносильно исходному.

На основании свойства монотонности логарифмической функции заключаем, что f ( x ) = g ( x ).

Переход от уравнения log _a f ( x ) = log _a g ( x ) к уравнению f ( x ) = g ( x ) называется потенцированием .

Нужно отметить, что при таком переходе может нарушиться равносильность уравнения. В данном уравнении f ( x ) > 0, g ( x ) > 0, а в полученном после потенцирования эти функции могут быть как положительными, так и отрицательными. Поэтому из найденных корней уравнения f ( x ) = g ( x ) нужно отобрать те, которые принадлежат области определения данного уравнения. Остальные корни будут посторонними.

Пример 3.1 log ₃ ( x 2 – 3 x – 5) = log ₃ (7 – 2 x ).

Решение. Область определения уравнения найдётся из системы неравенств

Потенцируя данное уравнение, получаем х 2 – 3 х – 5 = 7 – 2 х ,

х 2 – х – 12 = 0, откуда х ₁ = –3, х ₂ = 4. Число 4 не удовлетворяет системе неравенств. Ответ. х = –3.

Если уравнение содержит логарифмы по одному основанию, то для приведения их к виду log _a f ( x ) = log _a g ( x ) используются следующие свойства логарифмов:

Пример 4. 1. log ₆ ( x – 1) = 2 – log ₆ (5 x + 3).

Решение. Найдём область определения уравнения из системы неравенств

Применяя преобразования, приходим к уравнению

log ₆ (( x – 1)(5 x + 3)) = 2, далее, потенцированием, к уравнению

( х – 1)(5 х + 3) = 36, имеющему два корня х = –2,6; х = 3. Учитывая область определения уравнения, х = 3. Ответ. х = 3.

Пример 4. 2.

Решение. Найдём область определения уравнения, решив неравенство

(3 x – 1)( x + 3) > 0 методом интервалов.

Учитывая, что разность логарифмов равна логарифму частного, получим уравнение log ₅ ( x + 3) 2 = 0. По определению логарифма

( х + 3) 2 = 1, х = –4, х = –2. Число х = –2 посторонний корень.

Решение. На области определения 0 x x = x 2 , откуда х = –3, х = 2. Число х = –3 посторонний корень.

Метод потенцирования применяется в том случае, если все логарифмы, входящие в уравнение, имеют одинаковое основание. Для приведения логарифмов к общему основанию используются формулы:

Пример 5. 1.

Решение. Область определения уравнения 1 x

Так как 3 = log ₂ 8, то на области определения получим равносильное уравнение (2– x )/( x –1) = 8, откуда x = 10/9. Ответ. x = 10/9.

Пример 5. 2.

Решение. Область определения уравнения x > 1. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (4). Ответ. х = 6.

Пример 5. 3.

Решение. Область определения уравнения x > –1, x  0. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (2).

Умножим обе части уравнения на log ₃ ( x + 1)  0 и перенесем все слагаемые в левую часть уравнения. Получим ( log ₃ ( x + 1)–1) 2 = 0, откуда log ₃ ( x + 1) = 1 и

Введение новой переменной

Рассмотрим два вида логарифмических уравнений, которые введением новой переменной приводятся к квадратным.

Уравнения вида где a > 0, a  1, A , В , С – действительные числа .

Решив его, найдём х из подстановки t = log _a f ( x ). Учитывая область определения, выберем только те значения x , которые удовлетворяют неравенству f ( x ) > 0.

Пример 6. 1 . lg 2 x – lg x – 6 = 0.

Решение. Область определения уравнения – интервал (0; ).Введём новую переменную t = lg x , t  R .

Уравнение примет вид t 2 – t – 6 = 0. Его корни t ₁ = –2, t ₂ = 3.

Вернёмся к первоначальной переменной lg x = –2 или lg x = 3,

х = 10 –2 или х = 10 3 . Оба значения x удовлетворяют области определения данного уравнения ( х > 0).Ответ. х = 0,01; х = 1000.

Пример 6. 2 .

Решение. Найдём область определения уравнения

Применив формулу логарифма степени, получим уравнени е

Так как х x | = – x и следовательно

Введём новую переменную t = log ₃ (– x ), t  R . Квадратное уравнение

t 2 – 4 t + 4 = 0имеет два равных корня t _1,2 = 2. Вернёмся к первоначальной переменной log ₃ (– x ) = 2, отсюда – х = 9, х = –9. Значение неизвестной принадлежит области определения уравнения. Ответ. х = –9.

Уравнения вида где a > 0, a  1, A , В , С – действительные числа , A  0, В  0 .

Уравнения данного вида приводятся к квадратным умножением обеих частей его на log _a f ( x )  0. Учитывая, что log _a f ( x ) log _{f ( x )} a = 1

Замена log _a f ( x )= t , tR приводит его к квадратному At 2 + C t + B = 0.

Из уравнений log _a f ( x )= t ₁ , log _b f ( x )= t ₂ найдем значения x и выберем среди них принадлежащие области определения уравнения: f ( x ) > 0, f ( x )  1.

Пример. 6.3

Решение. Область определения уравнения находим из условий x +2>0, x +2  1 , т.е. x >–2, x  –1 . Умножим обе части уравнения на log ₅ ( x + 2)  0, получим

или, заменив log ₅ ( x + 2) = t , придем к квадратному уравнению t 2 – t – 2 = 0, t ₁ = –1, t ₂ =2.

Возвращаемся к первоначальной переменной:

Оба корня принадлежат области определения уравнения.

Упражнения для закрепления материала

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ;

1. Сформулировать определение логарифмического уравнения.

2. Назвать основные методы решения логарифмических уравнений

1.Ш.А.Алимов, стр. 105-111 2 О.Н.Афанасьева, стор.2753-279 3.А.Г.Мерзляк, стор.202-2

Логарифмические уравнения

Логарифмом положительного числа $b$ по основанию $а$, где $a>0, a ≠ 1$, называется показатель степени, в которую надо возвести число $а$, чтобы получить $b$.

$log_<2>8 = 3$, т.к. $2^3 = 8;$

Особенно можно выделить три формулы:

Основное логарифмическое тождество:

Это равенство справедливо при $b> 0, a> 0, a≠ 1$

Некоторые свойства логарифмов

Все свойства логарифмов мы будем рассматривать для $a> 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – любое действительное число.

1. Для любого действительного числа $m$ справедливы равенства:

2. Для решения задач иногда полезно следующее свойство: Если числа $а$ и $b$ на числовой оси расположены по одну сторону от единицы, то $log_b>0$, а если по разные, то $log_b 0$

Представим обе части уравнения в виде логарифма по основанию 2

Если логарифмы по одинаковому основанию равны, то подлогарифмические выражения тоже равны.

Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приводим подобные слагаемые

Проверим найденные корни по условиям: $\<\table \x^2-3x-5>0; \7-2x>0;$

При подстановке во второе неравенство корень $х=4$ не удовлетворяет условию, следовательно, он посторонний корень

4. Уравнения вида $a^x=b$. Решаются логарифмированием обеих частей по основанию $а$.

Решить уравнение $log_5log_2(x+1)=1$

Сделаем в обеих частях уравнения логарифмы по основанию $5$

Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения

Далее представим обе части уравнения в виде логарифма по основанию $2$

ОДЗ данного уравнения $x+1>0$

Подставим вместо х в неравенство $31$ и проверим, получиться ли верное условие $32>0$, следовательно, $31$ корень уравнения.

Алгебра

План урока:

Задание. Укажите корень логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

В чуть более сложных случаях под знаком логарифма может стоять не сама переменная х, а выражение с переменной. То есть урав-ние имеет вид

Задание. Найдите решение логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

Задание. Решите урав-ние

Получили показательное уравнение. Показатели степеней можно приравнять, если равны их основания:

Уравнения вида log_af(x) = log_ag(x)

Порою логарифм стоит в обеих частях равенства, то есть и слева, и справа от знака «равно». Если основания логарифмов совпадают, то должны совпадать и аргументы логарифмов.

Задание. Решите урав-ние

Задание. Найдите корень урав-ния

Ситуация несколько усложняется в том случае, когда, под знаком логарифма в обоих частях равенства стоят выражения с переменными, то есть оно имеет вид

С одной стороны, очевидно, что должно выполняться равенство f(x) = g(x). Но этого мало, ведь под знаком логарифма не должно стоять отрицательное число. Поэтому после получения корней следует подставить их в урав-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями.

Задание. Решите урав-ние

Получили квадратное уравнение, которое решаем с помощью дискриминанта:

Получили два корня, (– 3) и 4. Однако теперь подставим их в исходное урав-ние и посмотрим, что у нас получится. При х = – 3 имеем:

Это верное равенство, поэтому х = – 3 действительно является корнем урав-ния. Теперь проверяем х = 4:

Хотя выражения и справа, и слева одинаковы, равенство верным считать нельзя, ведь выражение log₃ (– 1) не имеет смысла! Действительно, нельзя вычислять логарифм от отрицательного числа. Поэтому корень х = 4 оказывается посторонним, и у нас остается только один настоящий корень – число (– 3).

Уравнения, требующие предварительных преобразований

Естественно, не всегда в обоих частях логарифмических уравнений и неравенств стоят только логарифмы с совпадающими основаниями. Часто требуется выполнить некоторые предварительные преобразования, чтобы привести урав-ние к виду log_af(x) = log_ag(x).

Задание. Решите урав-ние

с помощью которой любой множитель можно внести под знак логарифма. Сделаем это и в нашем случае:

Теперь в обеих частях равенства не стоит ничего, кроме логарифмов с одинаковыми основаниями. Поэтому мы можем приравнять их аргументы:

Задание. Решите урав-ние

Снова проверяем каждый из корней, подставляя его в исходное ур-ние. Прих = –1 получаем

Задание. Решите урав-ние

Решение. В правой части снова стоит сумма, но на этот раз не логарифмов. Однако число 1 можно представить как log₅ 5. Тогда урав-ние можно преобразовать:

Задание. Решите урав-ние

Решение. Данный пример похож на простейшее логарифмическое уравнение, однако переменная находится в основании логарифма, а не в аргументе. По определению логарифма мы можем записать, что

Первый вариант придется отбросить, так как основание логарифма, (а в данном случае это выражение х – 5) не может быть отрицательным числом. Получается, что

Задание. Решите урав-ние

Решение. Здесь ситуация осложняется тем, что основания логарифмов разные. Поэтому один из них необходимо привести к новому основанию. Попробуем привести log₂₅x 4 к основанию 5, используя известную нам формулу

Мы добились того, что у логарифмов одинаковые основания, а потому мы можем приравнять их аргументы:

Логарифмические уравнения с заменой переменных

Иногда приходится делать некоторые замены, чтобы уравнение приняло более привычный вид.

Задание. Решите уравнение методом замены переменной

Задание. Найдите решение уравнения методом замены переменной

Решение. Для начала напомним, что символ lg означает десятичный логарифм. Отдельно знаменатель дроби в правой части:

Логарифмирование уравнений

Ясно, что если от равных величин взять логарифмы по одному и тому же основанию, то тогда эти логарифмы окажутся также равными. Если подобный прием применяют при решении урав-ния, то, говорят, что производится логарифмирование уравнения. Иногда оно позволяет решить некоторые особо сложные примеры.

Задание. Укажите корни урав-ния

Здесь переменная величина находится одновременно и в основании степени, и в ее показателе. Возьмем от правой и левой части урав-ния логарифм по основанию 5:

Возвращаемся от переменной t к переменной х:

Переход от логарифмических неравенств к нелогарифмическим

Рассмотрим график логарифмической функции у = log_ax при условии а > 1. Она является возрастающей функцией. Если на оси Ох отложить два числа tи s так, чтобы t располагалось левее s (то есть t 1). Но это не совсем так. Дело в том, что надо учесть ещё и тот факт, что под знаком логарифма может стоять исключительно положительное число. Получается, что от простейшего логарифмического неравенства

Естественно, вместо величин t и s могут стоять как числа, так и выражения с переменными.

Задание. Найдите решение логарифмического неравенства

Ответ можно оставить и в такой форме, однако всё же принято записывать его в виде промежутка. Очевидно, что нерав-во 0 log_as:

Но, снова-таки, мы должны учесть, числа t может быть лишь положительным (тогда s, которое больше t, автоматически также окажется положительным). Получается, что при 0 log_a s можно перейти к двойному нерав-ву 0 2 – 45х + 200 имеет решение

Однако в системе (5) есть ещё два неравенства, х > 0 и 45 >x. Их решениями являются промежутки (0; + ∞) и (– ∞; 45). Чтобы определить решение всей системы, отметим на одной прямой решения каждого отдельного нерав-ва и найдем область их пересечения:

Видно, что решениями нерав-ва будут являться промежутки (0; 5) и (40; 45), на которых справедливы все три нерав-ва, входящих в систему (5).