Тема показательные логарифмические уравнения и неравенства

Показательные и логарифмические уравнения, неравенства

Разделы: Математика

В данной статье я хочу привести методический материал, который использую при проведении обобщающего урока по теме «Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств» с учениками 10 класса.

Цель урока: систематизировать знания о методах решений различных типов указанных уравнений и неравенств, закрепить навыки решения задач.

Ход урока

Показательные уравнения

Пример 1. 4·2 x — 2 x = 96 (линейное показательное уравнение).

Вводим новую переменную 2 x = у; у > 0, т.к. показательная функция не может принимать отрицательные значения.

Уравнение 2 x = 32 имеет корень x = 5.

Ответ: 5

Пример 2. 5 x + 2 / 5 x — 3 = 0 (квадратное показательное уравнение).

Вводим новую переменную 5 x = у; у > 0, т.к. показательная функция не может

принимать отрицательные значения.

Решая квадратное уравнение, получаем корни у₁ = 1, у₂ = 2.

Уравнение 5 x = 1 имеет корень х = 0.

Уравнение 5 x = 2 имеет корень х = log₅2.

Ответ: 0; log₅2

Показательные неравенства

Пример 1. 5 x — 5 x+2 ≥ — 120 (линейное показательное неравенство).

— 24 · 5 x ≥ — 120 | : (-24),

Т.к. 5 > 1, то функция у = 5 x является возрастающей.

Таким образом, при х ≤ 1 неравенство является верным.

Ответ: (-∞; 1]

Пример 2. 5 x +2 · 5 -x – 3 ≤ 0 (квадратное показательное неравенство).

5 2x +2 – 3 · 5 x ≤ 0 .

Вводим новую переменную 5 x = у > 0, т.к. показательная функция не может

принимать отрицательные значения.

Решая квадратное неравенство, получаем 1≤ y ≤ 2 .

Отсюда получим неравенство 1≤ 5 x ≤ 2.

Решая его, получаем 0 ≤ х ≤ log₅2

Ответ: [0; log₅2]

Логарифмические уравнения

Пример 1. log₁₆x + log₄x + log₂x= 7 (переход к новому основанию логарифма).

Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, получаем

Ответ: 16

Пример 2. lg 2 x– 3·lg x +2 = 0 (квадратное логарифмическое уравнение).

Вводим новую переменную lg x = у.

Получаем квадратное уравнение относительно новой переменной y 2 — 3y + 2 = 0 .

Решая квадратное уравнение, получаем корни у₁ = 1, у₂ = 2.

Ответ: 10; 100

Пример 3. log₂(x 2 — 3x) = log₂ (х — 3) (потенцирование логарифмических уравнений).

Потенцируя уравнение, получаем x 2 — 3x = х — 3 .

Решая квадратное уравнение, получаем корни х₁ = 1, х₂ = 3 .

При потенцировании логарифмического уравнение возможно появление посторонних корней, поэтому необходима проверка.

1) подставляя х = 1 в исходное уравнение, получаем log₂(- 2).

Это выражение не имеет смысла, т.к. логарифмическая функция определена при положительном значении аргумента. Поэтому x₁ не является корнем заданного уравнения.

2) подставляя х = 3 в исходное уравнение, получаем log₂(0).

Это выражение также не имеет смысла, поэтому x₂ не является корнем заданного уравнения.

Ответ: решений нет

Логарифмические неравенства

Пример 1. lg 2 x– lgx – 2 > 0 (квадратное логарифмическое неравенство).

ОДЗ: x > 0, т.к. логарифмическая функция определена при положительном значении аргумента.

Вводим новую переменную lg x = t .

Это квадратное неравенство выполняется при t 2 .

Множество всех решений исходного неравенства есть объединение множеств всех решений двух неравенств lgx 2 .

Т.к. логарифмическая функция с основанием 10 определена при х > 0 и возрастает,то первое неравенство имеет решение 0 100.

Ответ: (0; 0,1)U(100; +∞)

Пример 2. log₅(3 — 4x) 0, откуда х 0,7.

С учётом области определения неравенства имеем 0,7 18.05.2014

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс Урок №44. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) показательные уравнения и неравенства;

2) логарифмические уравнения и неравенства;

3) системы уравнений.

Глоссарий по теме

Показательными называются уравнения и неравенства, у которых переменная содержится в показатели степени.

Логарифмические уравнения и неравенства — это уравнения и неравенства, в которых переменная величина находится под знаком логарифма.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Вы уже умеете решать все виды уравнений и неравенств. Наша задача обобщить изученное, привести знания в систему. Начнем с показательных уравнений.

a х =b. где a>0, a≠1

Если b>0, уравнение имеет один корень: x=log_a b. График функции y=a x пересекает прямую y=b в одной точке.

Если b≤0 корней нет. График функции y=a x не пересекает прямую y=b.

При решении неравенств, обращаем внимание на основание. Если а>0, знак неравенства сохраняется. Если а 0, a≠1.

Логарифмическое уравнение log_ax=b имеет один положительный корень x=a b при любом значении b.

График функции пересекает прямую y=b в одной точке.

Уравнение имеет один положительный корень x=a b при любом b. График функции у= log_ax пересекает прямую y=b в одной точке.

При решении логарифмических неравенств обращаем внимание на область допустимых значений. Затем с учетом ОДЗ и значения решаем неравенство.

Теперь рассмотрим методы решения. Основных приема два: приведение к одинаковому знаменателю и замена переменной.

1 прием. Как в показательном, так и в логарифмическом уравняем основания. Затем сравним показатели или числа, стоящие под знаком логарифма.

2 прием. Замена переменных.

Находим корни и делаем обратную замену. При решении неравенств применяем те же самые приемы.

При решении логарифмических уравнений, возможно появление посторонних корней. Причина их появления — расширение области определения исходного уравнения. Поэтому проверка корней логарифмического уравнения осуществляется либо по области определения, либо непосредственной подстановкой найденных корней в исходное логарифмическое уравнение.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Решить уравнение:

При х= -2 выражение lg(x-1) не имеет смысла, т.е. х=-2 посторонний корень. Ответ: х=2.

Пример 2. Найти значение выражения (х+у). x

Найдем область определения: х>0, у>0.

1. lg(xy)=lg100 ↔ xy=100 ↔ 2xy=200
2. сложим два уравнения: х 2 +2ху+у 2 =425+200=625 ↔ (х+у) 2 =625

Урок на тему «Методы решения показательных, логарифмических уравнений и неравенств»
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

Этот урок был проведен в 11 классе. Тип урока — урок обобщения и систематизации пройденного материала с целью подготовки к ЕГЭ.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема урока: Методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний и способов действий в сочетании с их комплексным применением.

— создать условия для повторения и обобщения знаний учащихся по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств»;

— активизировать деятельность учащихся по применению комплекса знаний и умений на практике;

— подготовка к ЕГЭ.

— развивать способности применять теоретические знания на практике;

— развивать навыки работы с заданиями №7, 17 базового уровня ; №5, 13, 15 профильного уровня

— развивать навыки самоконтроля , логическое мышление, память, внимание.

— воспитывать ответственное отношение к изучению математики, трудолюбие, взаимопомощь, волю и настойчивость в достижении поставленной цели.

Оборудование урока: презентация, компьютер, проектор, карточки с заданиями, диагностические карты.

1. Организация начала урока (Учащимся сообщается тема урока и цели, подчеркивается актуальность повторения данной темы для подготовки к ЕГЭ).

Девиз сегодняшнего урока: “Нельзя изучать математику глядя на то, как это делает сосед”.

Только свой труд в изучении математики может принести результаты. Перед нами стоит задача: повторить типы, методы и особенности решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств и применить их на практике.

Наши знания должны работать и дать положительный результат на экзамене. Сегодня каждый из вас проведет диагностику своих знаний по данной теме, для этого у каждого диагностические карты, в которых вы оцените свои знания и возможности по каждому из разделов. В соответствии с этой оценкой на индивидуальных консультациях мы постараемся устранить имеющиеся пробелы.

1. Актуализация знаний учащихся

1. Сообщения учащихся.

а) Показательные уравнения и неравенства и методы их решения (Приложение 1).

б) Логарифмические уравнения и неравенства и методы их решения (Приложение 2)

1. Комплексное применение знаний на практике.

1. Применение теоретического материала к решению задач.

Одновременно у доски работают четверо учащихся. Решают показательные и логарифмические уравнения и неравенства.

а) 49 x -8∙7 x + 7 = 0

1. Самостоятельная работа

Оцените свои умения решать простейшие показательные и логарифмические уравнения и неравенства. У каждого из вас есть индивидуальная карточка с заданиями. На выполнение работы отводим 15 минут. По окончании вы в соответствии оцениваете свою работу и выставляете соответствующую отметку в диагностическую карту.

Критерии оценивания: 4 заданий – «5»; 3 заданий – «4»; 2 заданий – «3» и менее 2 заданий –«2».