Тема показательные уравнения и их системы

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Содержание:

Рассмотрим уравнения, в которых переменная (неизвестное) находится в показателе степени. Например:

Уравнения такого вида принято называть показательными.

Решении показательных уравнений

При решении показательных уравнений нам будет полезно следствие из теоремы о свойствах показательной функции.

Пусть

Каждому значению показательной функции соответствует единственный показатель s.

Пример:

Решение:

Согласно следствию из равенства двух степеней с одинаковым основанием 3 следует равенство их показателей. Таким образом, данное уравнение равносильно уравнению

Пример:

Решение:

а) Данное уравнение равносильно (поясните почему) уравнению

Если степени с основанием 3 равны, то равны и их показатели:

Решив это уравнение, получим

Ответ:

При решении каждого уравнения из примера 2 сначала обе части уравнения представили в виде степени с одним и тем же основанием, а затем записали равенство показателей этих степеней.

Пример:

Решение:

а) Данное уравнение равносильно уравнению

Решая его, получаем:

Так как две степени с одинаковым основанием 2 равны, то равны и их показатели, т. е. откуда находим

б) Разделив обе части уравнения на получим уравнение равносильное данному. Решив его, получим

Ответ:

При решении примера 3 а) левую часть уравнения разложили на множители. Причем за скобку вынесли такой множитель, что в скобках осталось числовое выражение, не содержащее переменной.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Обозначим тогда

Таким образом, из данного уравнения получаем

откуда находим:

Итак, с учетом обозначения имеем:

При решении примера 4 был использован метод введения новой переменной, который позволил свести данное уравнение к квадратному относительно этой переменной.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Можно заметить, что 2 — корень данного уравнения. Других корней уравнение не имеет, так как функция, стоящая в левой части уравнения, возрастающая, а функция, стоящая в правой части уравнения, убывающая. Поэтому уравнение имеет не более одного корня (см. теорему из п. 1.14).

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Пример:

При каком значении а корнем уравнения является число, равное 2?

Решение:

Поскольку х = 2 — корень, то верно равенство

Решив это уравнение, найдем

Ответ: при

Показательные уравнения и их системы

Показательным уравнением называется уравнение, в ко тором неизвестное входит в показатель степени. При решении показательных уравнений полезно использовать следующие тождества:

Приведем методы решения некоторых типов показательных уравнений.

1 Приведение к одному основанию.

Метод основан на следующем свойстве степеней: если две степени равны и равны их основания, то равны и их показатели, т.е. уравнения надо попытаться привести к виду . Отсюда

Пример №1

Решите уравнение

Решение:

Заметим, что и перепишем наше уравнение в виде

Применив тождество (1), получим Зх — 7 = -7х + 3, х = 1.

Пример №2

Решить уравнение

Решение:

Переходя к основанию степени 2, получим:

Согласно тождеству (2), имеем

Последнее уравнение равносильно уравнению 4х-19 = 2,5х.

2 Введение новой переменной.

Пример №3

Решить уравнение

Решение:

Применив тождество 2, перепишем уравнение как

Введем новую переменную: Получим уравнение

которое имеет корни Однако кореньне удовлетворяет условию Значит,

Пример №4

Решить уравнение

Решение:

Разделив обе части уравнения на получим:

последнее уравнение запишется так:

Решая уравнение, найдем

Значение не удовлетворяет условию Следовательно,

Пример №5

Решить уравнение

Решение:

Заметим что Значит

Перепишем уравнение в виде

Обозначим Получим

Получим

Корнями данного уравнения будут

Следовательно,

III Вынесение общего множителя за скобку.

Пример №6

Решить уравнение

Решение:

После вынесения за скобку в левой части , а в правой , получим Разделим обе части уравнения на получим

Системы простейших показательных уравнений

Пример №7

Решите систему уравнений:

Решение:

По свойству степеней система уравнений равносильна следующей

системе :Отсюда получим систему

Очевидно, что последняя система имеет решение

Пример №8

Решите систему уравнений:

Решение:

По свойству степеней система уравнений равносильна следующей системе: Последняя система, в свою очередь, равносильна системе:

Умножив второе уравнение этой системы на (-2) и сложив с первым, получим уравнение —9х=-4. Отсюда, найдем Подставив полученное значение во второе уравнение, получим

Пример №9

Решите систему уравнений:

Решение:

Сделаем замену: Тогда наша система примет вид:

Очевидно, что эта система уравнений имеет решение

Тогда получим уравнения

Приближенное решение уравнений

Пусть многочлен f(х) на концах отрезка [a,b] принимает значения разных знаков, то есть . Тогда внутри этого отрезка существует хотя бы одно решение уравнения Дх)=0. Это означает, что существует такое (читается как «кси»), что

Это утверждение проиллюстрировано на следующем чертеже.

Рассмотрим отрезок содержащий лишь один корень уравнения .

Метод последовательного деления отрезка пополам заключается в последовательном разделении отрезка [a, b] пополам до тех пор, пока длина полученного отрезка не будет меньше заданной точности

1. вычисляется значение f(х) выражения
2. отрезок делится пополам, то есть вычисляется значение
3. вычисляется значение выражения f(х) в точке
4. проверяется условие
5. если это условие выполняется, то в качестве левого конца нового отрезка выбирается середина предыдущего отрезка, то есть полагается, что (левый конец отрезка переходит в середину);
6. если это условие не выполняется, то правый конец нового отрезка переходит в середину, то есть полагается, что b=x;
7. для нового отрезка проверяется условие
8. если это условие выполняется , то вычисления заканчиваются. При этом в качестве приближенного решения выбирается последнее вычисленное значение х. Если это условие не выполняется, то, переходя к пункту 2 этого алгоритма, вычисления продолжаются.

Метод последовательного деления пополам проиллюстрирован на этом чертеже:

Для нахождения интервала, содержащего корень уравнения вычисляются значения

Оказывается, что для корня данного уравнения выполнено неравенство. Значит, данное уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий интервалу (-1 -А; 1+А). Для приближенного вычисления данного корня найдем целые и удовлетворяющие неравенству

Пример №10

Найдите интервал, содержащий корень уравнения

Решение:

Поделив обе части уравнения на 2 , получим,

Так как, для нового уравнения

Значит, в интервале, уравнение имеет хотя бы один корень. В то же время уравнение при не имеет ни одного корня, так как,

выполняется. Значит, корень уравнения лежит в (-2,5; 0). Для уточнения этого интервала положим Для проверим выполнение условия

Значит, уравнение имеет корень, принадлежащий интервалу (-1; 0).

Нахождение приближенного корня с заданной точностью

Исходя из вышесказанного, заключаем, что если выполнено неравенство корень уравнения принадлежит интервалу

ПустьЕсли приближенный

корень уравнения с точностью . Если то корень лежит в интервале если то корень лежит в интервале . Продолжим процесс до нахождения приближенного значения корня с заданной точностью.

Пример №11

Найдите приближенное значение корня уравнения с заданной точностью

Решение:

Из предыдущего примера нам известно, что корень лежит в интервале

(-1; 0). Из того, что заключаем, что корень лежит в интервале (-0,5; 0).

Так как, |(-0,25)41,5(-0,25)2+2,5(-0,25)+0,5| = |-0,046| 1. Если

Пусть

Изображения графиков показательной функции подсказывают это свойство. На рисунке 27 видно, что при а > 1 большему значению функции соответствует большее значение аргумента. А на рисунке 30 видно, что при 0

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Конспект урока + презентация на тему «Показательные уравнения и их системы. Методы их решения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Приложение 1.docx

Фамилия, Имя учащегося_______________________________

Рассуждения с рабочего места

Решение заданий у доски

Решение заданий на месте самостоятельно

Выбранный для просмотра документ Приложение 2.docx

Выбранный для просмотра документ Приложение 3б.docx

Задания для самостоятельного решения

Выбранный для просмотра документ Приложение 3в.docx

Задания для самостоятельного решения

Выбранный для просмотра документ Рефлексия.docx

Варианты ответа (поставьте галочку)

На уроке я работал

Своей работой на уроке я

Урок для меня показался

Материал урока мне был

Выбранный для просмотра документ Технологич.карта.docx

Министерство образования республики Башкортостан

государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Уфимский автотранспортный колледж»

Показательные уравнения и системы.

Методы их решения.

Показательными называются уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени, т.е это уравнения вида , где и .

Овладение методикой решения показательных уравнений повышает умственные и творческие способности обучающихся. При решении уравнений обучающиеся приобретают первые навыки исследовательской работы, обогащается их математическая культура, развиваются способности к логическому мышлению. У обучающихся формируются такие качества личности как целеустремленность, самостоятельность, которые будут полезны им в дальнейшей жизни. А также происходит повторение раннее изученного материала: показательной функции, свойств степени, свойств логарифма. Показательные уравнения встречаются и при сдаче ЕГЭ на вступительных экзаменах в ВУЗы.

Данное занятие разработано в соответствии с темой и учитывая возрастные особенности обучающихся. На занятии используются ИКТ, как сопровождение изучаемого материала, как средство самостоятельной работы и средство самопроверки знаний. Использование ИКТ полно позволяет развивать речевые способности обучающихся, увеличить объем предлагаемого материала, а также развивает творческие интеллектуальные способности. Визуальный материал способствует лучшему закреплению и усвоению изученного материала и повышает мотивацию обучающихся к предмету.

Оглавление

УФИМСКИЙ АВТОТРАНСПОРТНЫЙ КОЛЛЕДЖ

Технологическая карта (план) занятия

Дисциплина: Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия.

Тема занятия: Показательные уравнения и их системы. Методы их решения.

Вид занятия (тип урока): урок ознакомления с новым материалом

Повторение, а именно:

выяснить мотив появления показательной функции;

вспомнить историю возникновения показательной функции;

показать связь показательной функции с другими предметами.

Познакомить студентов с определением показательного уравнения

Познакомить студентов с основными методами и приемами решения показательных уравнений и систем.

Воспитывать ответственное отношение к труду.

Воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов.

Развивать навыки самостоятельной работы, работы в группах.

Развивать навыки самоконтроля и взаимоконтроля.

Развивать познавательный интерес к предмету через содержание учебного материала

4.Освоение содержания учебного занятия по теме «Показательные уравнения и их системы. Методы решения» обеспечивает достижение студентами следующих результатов:

овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для освоения смежных естественнонаучных дисциплин и дисциплин профессионального цикла, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;

готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности;

готовность и способность к самостоятельной творческой и ответственной деятельности;

готовность к коллективной работе, сотрудничеству со сверстниками в образовательной, общественно полезной, учебно-исследовательской, проектной и других видах деятельности.

умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности, эффективно разрешать конфликты;

владение навыками познавательной, учебно-исследовательской и проектной деятельности, навыками разрешения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания;

готовность и способность к самостоятельной информационно-познавательной деятельности, включая умение ориентироваться в различных источниках информации, критически оценивать и интерпретировать информацию, получаемую из различных источников.

МЕЖДИСЦИПЛИНАРНЫЕ СВЯЗИ: биология, экономика, физика.

ВНУТРИДИСЦИПЛИНАРНЫЕСВЯЗИ: показательная функция и ее свойства, свойства степеней и логарифмов,

Обеспечение занятия

а) Наглядные пособия: презентация, учебники, задания на закрепление изученного материала, раздаточный материал.

б) Раздаточный материал: раздаточные листы; оценочные листы, лист рефлексия; лист с домашним заданием, лист с кроссвордом

в) Технические средства обучения: компьютер, проектор, интерактивная доска

1. Колягин Ю.М. и др. Математика (Книга 1,2). – М., Новая волна, 2008

2. Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 10кл. – М.,2005.

3. Богомолов Н.В. Сборник задач по матемайтике. Учебное пособие для ССУЗов– М., Дрофа, 2010.

1. «Алгебра и начала анализа» учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений под редакцией А.Н.Колмогорова.

Освоение содержания учебного занятия по теме «Показательные уравнения и их системы. Методы решения» обеспечивает достижение студентами следующих результатов:

владение методами доказательств и алгоритмов решения, умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;

владение стандартными приемами решения показательных уравнений и их систем;

Содержание занятия

1. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ

ЭПИГРАФ К УРОКУ.

Эпиграф появляется на экране и преподаватель его зачитывает

ОЗНАКОМЛЕНИЕ УЧАЩИХСЯ С УСЛОВИЯМИ ОЦЕНИВАНИЯ ИХ

ДЕЯТЕЛЬНОСТИ НА ЗАНЯТИИ

Знакомит студентов с оценочными листами

Знакомятся с оценочными листами

ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ

Проводит небольшой математический диктант, который состоит из 2 вариантов по 7 заданий в каждом. Задания записаны на доске, в виде презентации.

Учащиеся решают задания математического диктанта. После решения, меняются листочками и проверяют правильность решений, сравнивая с ответами, записанными на доске. Выставляют оценки по критериям, заданным на доске.

ОБОСНОВАНИЕ ТЕМЫ И ЦЕЛЕЙ ЗАНЯТИЯ

Постановка проблемного вопроса (разминочные упражнение на развитие логического мышления) и вывод учащихся на тему урока.

Озвучивает тему и цель занятия.

Постановка проблемного вопроса (разминочные упражнение на развитие логического мышления) и вывод учащихся на тему урока.

Озвучивает тему и цель занятия.

ИЗЛОЖЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА

Работает у доски.

Создает схему метода решения показательных уравнений и каждый раз, при нахождений нового метода решения, возвращается к схеме и дополняет его.

Предлагает студентам несколько примеров и показывает метод их решения на доске. Свои примеры сопровождает презентацией.

Показывает метод решения одной показательной системы и делает вывод решения показательных систем.

Напоминает студентам факт того, что они не должны забывать о своих оценочных листах.

Каждый метод заносят в схему.

Во время решения преподавателем у доски примеров, помогают с места своими ответами.

Кому тема понятна, то до решения преподавателем на доске, решают пример в тетрадях сами.

Результаты оценки собственных знаний заносят в оценочные листы.

ЗАКРЕПЛЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА

Преподаватель ставит вопрос выбора (разбиение множества представленных уравнений по способу их решения).

Дает ребятам задания для решения у доски.

Студенты по рядам решают задания самостоятельно в тетрадях. Дает возможность студентам оценить знания своего соседа.

Задаются индивидуальные задания, которые лежат на столах перед учащимися, у каждого свой вариант

Студенты решают задания на доске, но прежде определяют метод решения каждого из метод решения каждого из предложенных показательных уравнений.

У студентов есть возможность оценить не только свои знания, но и знания своего соседа и побывать на пару секунд на месте преподавателя.

Решают индивидуальные задания.

Инструктаж по выполнению домашнего задания

Рассматривают листочки с домашним заданием

Напоминает о том, что нужно подсчитать баллы, заполнить оценочные листы, листы рефлексия и сдать их в конце занятия.

Заполняют оценочный лист, лист рефлексия, считают набранные баллы и выставляют себе оценки.

В ОСТАВШЕЕСЯ ВРЕМЯ

Слушает презентацию студентов

Отвечают у доски, сопровождая свои ответы презентацией «Показательная функция в природе и технике»

Ставит точку урока притчей и словами знаменитого английского философа Герберта Спенсера и благодарит всех за урок.

Конспект занятия

Преподаватель: Сегодня я рада приветствовать вас на открытом уроке, посвященном показательным уравнениям и их системам.

Эпиграф

«Три пути ведут к знаниям: путь размышления – это путь самый благородный, путь подражания – это путь самый легкий и путь опыта – это путь самый горький»

Ознакомление студентов с условиями оценивания их деятельности на занятии .

Преподаватель: Каждому из вас были розданы оценочные листы. /слайд №2/ Посмотрите Приложение №1. В ходе нашего занятия, каждый из вас должен самостоятельно оценивать свои знания (по пятибалльной шкале), а в конце занятия вы выставите себе оценку, по собранным баллам. Надеюсь, что вы будете объективно оценивать свои знания.

Проверка домашнего задания

Преподаватель: А теперь давайте проверим домашнее задание.

Проверку домашнего задания мы проведем в виде математического диктанта по теме «Свойства степеней»

На доске вам заданы задания в 2-х вариантах /слайд №3/. 1-ый и 3-ий ряд делают 1-ый вариант, а 2-ой и 4-ый ряд выполняют 2-ой вариант.

;

;

;

;

;

;

.

;

;

;

;

;

;

.

А теперь поменяйтесь листочками с соседом по парте и посмотрите на доску. На доске высвечиваются ответы. Проверяете работу соседа и пишете сколько ответов правильных и какую оценку модно поставить. Критерии оценивания таковы:если вы без ошибок решили все 7 заданий, то получаете оценку5; если 6-5 заданий, то оценка – 4; если 4 задания, то оценка 3, если 3 и менее, то 2.

Обоснование темы и целей урока .

Преподаватель: Сейчас на доске я напишу две последовательности чисел, а вы должны определить принцип построения числового ряда.

Обучающиеся вместе с учителем: Все числа, записанные в каждом ряду, представляют собой степень некоторого положительного числа, не равного 1.

Преподаватель: А можно ли записать это одним общим выражением?

Обучающиеся: Да, можно. ( ).

Преподаватель: Верно. И так, мы получаем уравнение относительно переменной , которая содержится в показателе степени. Такой вид уравнения называется показательным. Вот мы с вами и пришли к теме нашего сегодняшнего занятия. И так записываем тему нашего урока: «Показательные уравнения и их системы. Методы их решения» /слайд №4/

Сегодня нашей основной целью будет Знакомство с показательным уравнением и основными методами решения показательных уравнений и систем.

А кто попробует сформулировать определение показательного уравнения?

Обучающиеся: Вывод: Показательное уравнение – это уравнение вида , где и . Оно имеет единственное решение . /слайд №6/

Преподаватель: Записываем это определение в тетрадях.

Изложение нового материала .

Преподаватель: Сразу хочу начать с того, что методов решения показательных уравнений несколько и мы сегодня с вами рассмотрим каждый и a з них. Давайте нарисуем в виде схемы методы решений показательных уравнений. И с нахождением каждого нового метода будем эту схему дополнять.

Решение показательных уравнений

Нарисуем на доске с краю

Рассмотрим первую группу примеров:

Учитель записывает примеры на доске, а на экране примеры появляются друг за другом, причем после решения каждого примера на доске высвечивается ответ. /слайд №7,8,9,10/

 . И так приступим к решению первого уравнения. /слайд №7/

.

Для решения данного уравнения применим свойства степеней

Мы привели обе части уравнения к одному основанию, а теперь приравниваем степени и получим, что . Уравнение решено. А теперь проверим правильность нашего ответа. Правильный ответ высвечивается на доске.

Но с другой стороны мы могли решить данное уравнение согласно определению, с помощью логарифма. Тогда получим =2/

Получили тот же самый ответ.

Мы получили 1 метод решения показательных уравнений – сведение к одному основанию. Запишем этот метод на схеме.

Решение показательных уравнений

Сведение к одному основанию

 .Преподаватель: Рассмотрим следующее уравнение. Учащиеся смотрят на интерактивную доску. /слайд № 7/

Приступим к решению данного уравнения.

Применим свойства степеней и получим равносильное уравнение.

У нас получились одинаковые множители –это и мы можем вынести его за знак скобки.

Ответ:

Смотрим ответ на доске.

Решение показательных уравнений

Сведение к одному основанию

Вынесение общего множителя за

Итак, мы получили еще один метод решения показательных уравнений – это вынесение общего множителя за скобки. Запишем этот метод на схеме.

 .Преподаватель: Теперь рассмотрим следующее показательное уравнение./слайд №8/

Заменим

не подходит т.к.

Возвращаемся к замене и получаем

Ответ:

Теперь я хочу задать один вопрос, а если бы уравнение выглядело бы так: , то какую замену здесь вы бы сделали?

Преподаватель: Вывод: получили еще один метод решения показательного уравнения и это – введение новой переменной. Добавим его в нашу схему.

Решение показательных уравнений

Сведение к одному основанию

Вынесение общего множителя за

Введение новой переменной

Не забывайте оценивать свои знания и заносить баллы в оценочные листы.

 V . Рассмотрим еще одно показательное уравнение.

Смотрим на интерактивную доску и там высвечивается уравнение. /слайд №8/

Уравнения данного вида решаются с помощью графиков. В одной координатной плоскости построим график (график показательной функции) и (график линейной функции).

Решением будет являться абсцисса точки пересечения графиков этих функции.

Из рисунка видно, что они пересекаются в точке . Следовательно решением данного уравнения является . Проверяем правильность данного решения:

4=4. Значит мы все сделали верно.

Мы получили еще один метод решения показательных уравнений — графический. Дополним нашу схему.

Решение показательных уравнений

Сведение к одному основанию

Вынесение общего множителя за

Введение новой переменной

Мы с вами рассмотрели основные методы решения показательных уравнений. Эти методами мы пользуемся довольно часто при решении показательных уравнений. Но есть еще и те методы, которые мы используем, хотя и не так часто. Все же мы на них остановимся и рассмотрим примеры с использованием этих методов.

V . Метод логарифмирования обеих частей /слайд №9/

Зачастую используют логарифмы для избавления от степеней и последующего решения показательных уравнений. Сейчас мы рассмотрим решение показательного уравнения с использованием логарифмов.

Мы с вами видим, что привести к одному основанию мы не можем. Поэтому будем решать с помощью логарифма. Первым делом нам надо избавиться от степени.

Для избавления от степеней, необходимо взять логарифм обеих сторон уравнения. При этом степень превращается в множитель перед логарифмом: log _b (x y ) = ylog _b (x). Таким образом, переменная уже не находится в показатели степени и поэтому с ней можно проводить основные арифметические действия до тех пор, пока она не будет обособлена на одной из сторон уравнения.

Можем брать логарифм по основанию 10 или по основанию 2 или натуральный логарифм обеих сторон уравнения. В нашем примере возьмем логарифм по основанию 10: log ₁₀ (6 x )= log ₁₀ (32) или по другому можем записать .

Множитель перед логарифмом вносится под знак логарифма в качестве показателя степени. С другой стороны, показатель степени выносится за знак логарифма как множитель. Например, 2log ₃ (x) = log ₃ (x 2 ). Это правило и применяется при логарифмировании обеих частей уравнения для избавления от степеней.

Используя эти правила, запишем lg(6 x )= lg32 как xlg6= lg32. Теперь разделим обе части уравнения на lg6 и получим: .

И так, в ответе получаем

Решение показательных уравнений

Сведение к одному основанию

Вынесение общего множителя за

Введение новой переменной

Логарифмирование обеих частей

V . Решение однородных показательных уравнений /слайд №9/

Очень часто при решении показательных уравнений можно встретить уравнения вида: . Уравнения такого вида называются однородными. Давайте разберем общий случай решения таких уравнений. Т.к. , то разделим обе части уравнения на Тогда получаем: . Введем новую переменную и получим . Находим корни квадратного уравнения и выполняем обратную замену. Решаем полученные показательные уравнения.

Рассмотрим данный метод на примере.

.

Т.к. мы можем наше уравнение поделить на .

Получим . Сделаем замену . Тогда получаем квадратное уравнение относительно t : .

Решать такое уравнение мы умеем: и .

Теперь выполняем обратную замену:

и

В ответе получим: , .

Системы показательных уравнений и неравенств

Вы будете перенаправлены на Автор24

Способы решения систем уравнений

Для начала кратко вспомним, какие вообще существуют способы решения систем уравнений.

Существуют четыре основных способа решения систем уравнений:

Способ подстановки: берется любое из данных уравнений и выражается $y$ через $x$, затем $y$ подставляется в уравнение системы, откуда и находится переменная $x.$ После этого мы легко можем вычислить переменную $y.$

Способ сложения: в данном способе необходимо умножать одно или оба уравнения на такие числа, чтобы при сложении вместе обоих одна из переменных «исчезла».

Графический способ: оба уравнения системы изображается на координатной плоскости и находится точка их пересечения.

Способ введения новых переменных: в этом способе мы делаем замену каких-либо выражений для упрощения системы, а потом применяем один из выше указанных способов.

Системы показательных уравнений

Системы уравнений, состоящие из показательных уравнений, называются системой показательных уравнений.

Решение систем показательных уравнений будем рассматривать на примерах.

Решить систему уравнений

Решение.

Будем пользоваться первым способом для решения данной системы. Для начала выразим в первом уравнении $y$ через $x$.

Подставим $y$ во второе уравнение:

Ответ: $(-4,6)$.

Решить систему уравнений

Решение.

Данная система равносильна системе

Применим четвертый метод решения уравнений. Пусть $2^x=u\ (u >0)$, а $3^y=v\ (v >0)$, получим:

Решим полученную систему методом сложения. Сложим уравнения:

Тогда из второго уравнения, получим, что

Возвращаясь к замене, получил новую систему показательных уравнений:

Ответ: $(0,1)$.

Готовые работы на аналогичную тему

Системы показательных неравенств

Cистемы неравенств, состоящие из показательных уравнений, называются системой показательных неравенств.

Решение систем показательных неравенств будем рассматривать на примерах.

Решить систему неравенств

Решение:

Данная система неравенств равносильна системе

Для решения первого неравенства вспомним следующую теорему равносильности показательных неравенств:

Теорема 1. Неравенство $a^ >a^ <\varphi (x)>$, где $a >0,a\ne 1$ равносильна совокупности двух систем

Изобразим оба решения на числовой прямой (рис. 11)

Рисунок 11. Решение примера 3 на числовой прямой

Ответ: $(3,+\infty )$

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 22 03 2021