Тема равносильные уравнения 8 класс

Алгебра 8 класс Равносильные уравнения. Рациональные уравнения. — презентация

Презентация была опубликована год назад пользователемАнастасия Ричкова

Похожие презентации

Презентация на тему: » Алгебра 8 класс Равносильные уравнения. Рациональные уравнения.» — Транскрипт:

1 Алгебра 8 класс Равносильные уравнения. Рациональные уравнения.

2 Решим и рассмотрим уравнения. х 2 =4 | х |=2 х =2, х =-2 2 х =4 4 х -8=0 х =2 х =2 х 2 =-5 | х |=-3 нет корней 3 х =9 х 2 =9 х =3 х =3, х =-3 7 х =14 -7 х =14 х =2 х =-2 5 х -10=0 2 х +5=0 х =2 х =-2,5 Какие уравнения имеют одинаковые корни ?

3 Равносильные уравнения — Это уравнения которые имеют одни и те же корни или каждое из уравнений не имеет корней. х 2 =4 | х |=2 х =2, х =-2 2 х =4 4 х -8=0 х =2 х =2 х 2 =-5 | х |=-3 нет корней

4 Свойства уравнений 1)Если к обеим частям уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение равносильное данному. 2) Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение равносильное данному. 3) Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же не равное нулю число, то получим уравнение равносильное данному.

5 Левая и правая части каждого равенства являются рациональными выражениями. Такие уравнения называются рациональными уравнениями. Целое рациональное уравнение Дробные рациональные уравнения

6 Решим целое уравнение Ответ : 1,5 6 Наименьший общий знаменатель

7 Решим целое уравнение 6 Решим дробное рациональное уравнение Если x= 3, то Если x= — 3, то Ответ : — 3 Ответ : 1,5

8 Решим дробное рациональное уравнение Если x= 3, то Если x= — 3, то Ответ : — 3 Алгоритм решения дробно — рационального уравнения : 1) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение ; 2) умножить обе части уравнения на общий знаменатель ; 3) решить получившееся целое уравнение ; 4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

9 Алгоритм решения дробно — рационального уравнения : 1) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение ; 2) умножить обе части уравнения на общий знаменатель ; 3) решить получившееся целое уравнение ; 4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Конспект урока алгебры в 8 классе по теме: Равносильные уравнения. Рациональные уравнения

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема урока Равносильные уравнения. Рациональные уравнения

Тип урока Урок закрепления знаний

Предметные: формировать умение решать рациональные уравнения.

Личностные: формировать умение представлять результат своей деятельности.

Метапредметные: развивать понимание сущности алгоритмических предписаний и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом.

Учащийся научится решать рациональные уравнения.

Основные понятия: Равносильные уравнения, свойства равносильных уравнений, условие равенства дроби нулю, алгоритм решения уравнения вида , (где A и B — многочлены), рациональное уравнение.

Оргмомент. Постановка формируемых результатов и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся

Здравствуйте, ребята. Прозвенел звонок — начинается новый урок, на котором будем учиться математике, а значит жизни.

Ведь жизнь перед нами ставит постоянно много вопросов, задач, на которые надо найти ответ непременно и именно только нам. И от правильности найденного решения зависит порою очень многое в жизни.

Математика считается царицей всех наук, потому что……?… «ум, который решает все наши жизненные вопросы, в порядок приводит», ……. через умения мыслить, анализировать, сопоставлять, делать выводы, считать. Все эти мыслительные процессы и помогают нам найти правильное решение жизненных проблем.

Проверка домашнего задания. Актуализация знаний учащихся.

Разложите на множители:

— Что такое уравнение? Корень уравнения? Что значит решить уравнение?

— Как называются данные уравнения?

— На какие две группы можно разделить эти уравнения?

— В чем заключается алгоритм решения дробно-рационального уравнения?

3. Закрепление изученного материала.

1. Работа с учебником № 207 (9,13)

9 – фронтально, 13 – работа в парах (на доске 1 пара объясняет)

Сам-но — с помощью алгоритма, на доске – с помощью пропорции

4. Контроль и коррекция знаний.

Самостоятельная работа по карточкам.

— Решите уравнения и назовите фамилию известного поэта …

Самопроверка по эталону.

— Экскурс в литературу.

Дата нашего урока совпала со знаменательной датой в литературе. Сегодня 205 лет со дня рождения М.Ю.Лермонтова. М. Ю. Лермонтов знаком нам как великий поэт и писатель.

Но помимо литературных способностей природа одарила его разнообразными талантами: он играл на скрипке и рояле, замечательно пел, был сильным шахматистом, с охотой занимался живописью и … даже решал сложные интегральные и дифференциальные вычисления увлекали Михаила Юрьевича в течении всей его жизни. Он всегда возил с собой учебник математики французского автора Безу.

Доказательством увлечений математикой могут служить следующие факты.

Однажды Лермонтов приехал в Москву и остановился у своего приятеля А. А. Лопухина. Накануне он никак не мог решить очень сложную математическую задачу. Решение ему пришло во сне. Михаилу Юрьевичу решил эту задачу пожилой джентельмен. После пробуждения поэт написал портрет своего «помощника». Потом выяснилось, что этот портрет выдающегося шотландского математика Джона Непира, умершего за 197 лет до рождения поэта.

Лермонтов страдал определенным комплексом неполноценности: его угнетала собственная наружность, небольшой рост и хрупкое телосложение. Находясь в высшем московском обществе, он нередко пользовался «математической смекалкой»

5. Задание на дом.

На «4» : № 213 (1), № 208 (6)

Творческое задание: сообщение на тему: Лермонтов и математика

Равносильные уравнения, преобразование уравнений

Некоторые преобразования позволяют нам перейти от решаемого уравнения к равносильным, а также к уравнениям-следствиям, благодаря чему упрощается решение первоначального уравнения. В данном материале мы расскажем, что из себя представляют эти уравнения, сформулируем основные определения, проиллюстрируем их наглядными примерами и поясним, как именно осуществляется вычисление корней исходного уравнения по корням уравнения-следствия или равносильного уравнения.

Понятие равносильных уравнений

Равносильными называются такие уравнения, имеющие одни и те же корни, или же те, в которых корней нет.

Определения такого типа часто встречаются в различных учебниках. Приведем несколько примеров.

Уравнение f ( x ) = g ( x ) считается равносильным уравнению r ( x ) = s ( x ) , если у них одинаковые корни или у них обоих нет корней.

Уравнения с одинаковыми корнями считаются равносильными. Также ими считаются два уравнения, одинаково не имеющие корней.

Если уравнение f ( x ) = g ( x ) имеет то же множество корней, что и уравнение p ( x ) = h ( x ) , то они считаются равносильными по отношению друг к другу.

Когда мы говорим о совпадающем множестве корней, то имеем в виду, что если определенное число будет корнем одного уравнения, то оно подойдет в качестве решения и другому уравнению. Ни одно из уравнений, являющихся равносильными, не может иметь такого корня, который не подходит для другого.

Приведем несколько примеров таких уравнений.

Например, равносильными будут 4 · x = 8 , 2 · x = 4 и x = 2 , поскольку каждое из них имеет только один корень – двойку. Также равносильными будут x · 0 = 0 и 2 + x = x + 2 , поскольку их корнями могут быть любые числа, то есть множества их решений совпадают. Также равносильными будут уравнения x = x + 5 и x 4 = − 1 , каждое из которых не имеет ни одного решения.

Для наглядности рассмотрим несколько примеров неравносильных уравнений.

К примеру, таковыми будут x = 2 и x 2 = 4 , поскольку их корни отличаются. То же относится и к уравнениям x x = 1 и x 2 + 5 x 2 + 5 , потому что во втором решением может быть любое число, а во втором корнем не может быть 0 .

Определения, данные выше, подойдут и для уравнений с несколькими переменными, однако в том случае, когда мы говорим о двух, трех и более корнях, более уместно выражение «решение уравнения». Таким образом, подытожим: равносильные уравнения – это те уравнения, у которых одни и те же решения или их совсем нет.

Возьмем примеры уравнений, которые содержат несколько переменных и являются равносильными друг другу. Так, x 2 + y 2 + z 2 = 0 и 5 · x 2 + x 2 · y 4 · z 8 = 0 включают в себя по три переменных и имеют только одно решение, равное 0 , во всех трех случаях. А пара уравнений x + y = 5 и x · y = 1 равносильной по отношению друг к другу не будет, поскольку, например, значения 5 и 3 подойдут для первого, но не будут решением второго: при подстановке их в первое уравнение мы получим верное равенство, а во второе – неверное.

Понятие уравнений-следствий

Процитируем несколько примеров определений уравнений-следствий, взятых из учебных пособий.

Следствием уравнения f ( x ) = g ( x ) будет уравнение p ( x ) = h ( x ) при условии, что каждый корень первого уравнения будет в то же время корнем второго.