Тема решение логарифмических уравнений и их систем

Тема: Логарифмические уравнения и их системы. математика 11 Б класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

математика 11 Б класс

Тема: Логарифмические уравнения и их системы.

осмысление уже известных знаний, выработка умений и навыков по их применению.

закрепить основные методы решения логарифмических уравнений, предупредить появление типичных ошибок;

развитие логического мышления для сознательного восприятия учебного материала, внимание, зрительную память, активность учащихся на уроке;

воспитание познавательной активности, формирование положительной мотивации к изучению предмета, аккуратности, добросовестности и чувство ответственности.

Углубят и систематизируют теоретические знания, будут развивать познавательный интерес, мышление, речь, творчество.

Создать условия для развития практического и творческого мышления. Воспитание ответственного отношения к учебному труду, воспитание чувства уважения между учащимися для максимального раскрытия их способностей через групповое обучение

Тип : урок закрепления

Форма: фронтальная, индивидуальная, парная, групповая.

Методы обучения : частично-поисковый, практический.

Методы познания : анализ, логический, сравнение.

Оборудование: учебник, таблицы.

Оценка учащихся: взаимооценка и самооценка, наблюдение за детьми во время урока.

осмысление уже известных знаний, выработка умений и навыков по их применению.

закрепить основные методы решения логарифмических уравнений, предупредить появление типичных ошибок;

развитие логического мышления для сознательного восприятия учебного материала, внимание, зрительную память, активность учащихся на уроке;

воспитание познавательной активности, формирование положительной мотивации к изучению предмета, аккуратности, добросовестности и чувство ответственности.

Форма: фронтальная, индивидуальная, парная, групповая.

Тип урока: обобщение и закрепление пройденного материала

Оборудование: задания для самостоятельной работы, карточки.

І. Организационный момент

IІ. Постановка целей урока и мотивация учебной деятельности учащихся

— О чем говорят данные высказывания? Демонстрируется презентация

«Изобретение логарифмов, сокращая вычисления нескольких месяцев

в труд нескольких дней, словно удваивает жизнь астрономов».Лаплас

С точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов по важности можно смело поставить рядом с другим, более древним великим изобретением индусов –нашей десятичной системой нумерации.

«Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы».

Современный польский математик С. Коваль.

— С учетом темы урока, цели урока, поставленной учителем, какие цели каждый из Вас ставит на данном уроке?

IІI. Актуализация опорных знаний и умений учащихся.

(Ведется воспроизведение и коррекция опорных знаний.)

1) Теоретический опрос: «Закончи предложение»

Логарифмом числа b по основанию a называется .

Записать основное логарифмическое тождество .

Логарифм числа 1 равен.

Логарифм самого числа равен.

Логарифм произведения равен.

Логарифм частного равен.

Логарифм степени равен.

Основанием десятичного логарифма является число.

Основанием натурального логарифма является число.

Логарифмическая функция — это функция, заданная формулой.

2) Работа с сигнальными карточками: «Верно, неверно»

(Если верно, поднимают зеленую карточку, если неверно — красную.)

Логарифмическая функция определена при любом х.

Функция — логарифмическая при .

Область определения логарифмической функции является множество всех действительных чисел.

Логарифмическая функция — четная.

Логарифмическая функция — нечетная.

Функция — возрастающая.

Функция — убывающая.

График функции пересекает ось ОХ.

Существует логарифмическая функция дробного положительного числа.

График логарифмической функции симметричен относительно прямой у=х.

Область значения логарифмической функции — множество всех действительных чисел.

Существует логарифмическая функция отрицательного числа.

3) Вычислите устно:

Ответы: 2; 3; -2; 0; 6; -1; не существует;

Сравните с 1: а) log20102009, b) log20102011.

Ответ: а) Меньше 1; b)Больше 1.

Графики функций отличаются или совпадают:
и .

Ответ: отличаются в точке х=0, во втором графике точка х=0 «выколота».

IV. Повторение основных фактов.

a) Устно решите уравнения:

Ответ: 24; 10; -10 и 10; 16; 64

V. Систематизация знаний.

а) Назовите виды простейших уравнений и методы их решения.

б) Выделите этапы решения логарифмических уравнений:

— Найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной.

— Решить уравнение, выбрав метод решения.

— Проверить найденные корни непосредственной подстановкой в исходное уравнение или выяснить, удовлетворяют ли они условиям ОДЗ.

в) Укажите ход решения следующих уравнений.

г) Назовите основные методы решения логарифмических уравнений:

1) по определению логарифма;

2) функционально-графический метод;

3) метод потенцирования;

4) метод введения новой переменной;

5) метод логарифмирования;

6) приведение к одному основанию

VI. Физминутка — гимнастика для глаз.

VII. Закрепление раннее изученного.

Одновременно несколько учеников на досках, решают уравнения:

Учащиеся самостоятельно выбирают задания согласно уровню подготовленности. Каждый учащийся решает минимум по два уравнения.

VIII. Дидактическая игра «Отгадайте фразу» .

На доске зашифровано высказывание Г. Галилея, которое вы должны прочитать. Работа по карточкам. Каждый ученик выбирает себе карточки с разными номерами. Решив, находит букву, соответствующую его ответу. Расположите букву в порядке вариантов ответов, и вы узнаете, что сказал этот великий человек.

Вычислите log ₃ (1 /243)

Вычислите (1/7) — log ₇ 2

Вычислите 2 log ₂ 1- log ₂ 25

Вычислите 1 /2 log ₂ log ₂ 16

Вычислите 1 /2 log ₉ log ₂ 8

Вычислите (3 log ₃ 5 ) 2

Вычислите 3 2-log ₃ 10

Вычислите (lg100000-lg10000) / lg100

Вычислите 5 2log ₅ 3

Вычислите 5 log ₅ 8+1

Вычислите 4 3log ₄ 2

Вычислите 3 1-log ₃ 7

Решите уравнение log ₂ (x+6)=2

Решите уравнение x=log ₅ 125

Решите уравнение log _{0, 04} 5=x

Решите уравнение lg (5 x +7)= lg (3 x -5)

Решите уравнение log _a x=2log _a 3+log _a 5

Ответ: «Природа формирует свои законы языком математики».

IX. Тест — Приложение 2 — выполняют индивидуально каждый учащийся.

X. Задание на дом: индивидуальные карточки с набором уравнений из сборника экзаменационных заданий (Приложение 3). Карточки выбираются учащимися самостоятельно. В каждой карточке по 9 заданий, учащиеся могут решить по 6 уравнений.

Молодцы! Работали хорошо. (Выставить оценки).

Решение логарифмических уравнений и неравенств продолжим на следующих уроках. А закончить урок я хочу стихотворением.

Веками люди над логарифмами трудились.

Облегчить вычисления стремились.

С тем логарифм и был изобретен.

И функция придумана потом.

Одни таблицы, что непера стоят.

Компьютеры на чьей основе строят?

Линейка им прабабушкой была

И скольким людям в жизни помогала!

И можно смело утверждать:

«Логарифмы — это всё!

И музыка и звуки

И без них никак нельзя

И ещё немного математических пожеланий для вас и для наших гостей.

1) Пусть ваши возможности будут равновелики вашим пожеланиям.

2) В ваших критических точках пусть будет max успехов и min неудач.

3) Перефразируя Л.Н. Толстого, можно сказать, что человек подобен дроби, числитель — это хорошее, что о нём говорят и думают люди, а знаменатель — это, то , что думает о себе сам. Известно правило — чем больше числитель, тем больше дробь, верно не только в математике, но и в жизни.

4) Счастья вам от .

5) Неугомонные года остановить не в вашей власти, так пусть же будет так всегда — чем больше дет, тем больше счастья.

Спасибо за работу! Урок окончен.

Данный урок проходит в рамках учебного курса математики в одиннадцатом классе общеобразовательных школ. Место и роль данного урока в курсе математики были определены правильно, урок находится в связи с предыдущими и последующими уроками.

Тема: Логарифмические уравнения и их системы.

осмысление уже известных знаний, выработка умений и навыков по их применению.

закрепить основные методы решения логарифмических уравнений, предупредить появление типичных ошибок;

развитие логического мышления для сознательного восприятия учебного материала, внимание, зрительную память, активность учащихся на уроке;

воспитание познавательной активности, формирование положительной мотивации к изучению предмета, аккуратности, добросовестности и чувство ответственности.

Углубят и систематизируют теоретические знания, будут развивать познавательный интерес, мышление, речь, творчество.

Создать условия для развития практического и творческого мышления. Воспитание ответственного отношения к учебному труду, воспитание чувства уважения между учащимися для максимального раскрытия их способностей через групповое обучение.

Методы обучения и используемые приемы послужили способом создания максимальных условий для активной мыслительной деятельности учащихся, соответствовали, характеру и содержанию учебного материала, уровню знаний, умений и навыков учащихся.

Задания, которые предлагались детям, быстро сменяли друг друга, были запоминающимися.

Для организации деятельности учащихся на уроке применялись различные формы работы с детьми: фронтальная, групповая (во время систематизации имеющихся знаний),работа в парах (для развития сотрудничества среди учащихся).

Способы взаимодействия продуманы с учетом индивидуальных способностей учащихся и их интересов. При подготовке к уроку мною были учтены и возрастные особенности:

Контроль усвоения знаний, умений и навыков учащихся осуществлялся на всех этапах урока методами само- и взаимоконтроля учащихся и корректного контроля за само- и взаимоконтролем учащихся со стороны учителя.

Психологическая атмо сфера на уроке отличалась дружественностью, оптимизмом и равенством как учащихся между собой, так и между учащимися и учителем .
Результаты урока , п оставленные задачи и план урока удалось реализовать. Программный материал урока учащимися усвоен в полном объеме.

Основным в уроке является этап открытия «новых» знаний. На этом этапе использован проблемный метод: создание проблемной ситуации, организация поиска решения проблемы, подводящий к знанию диалог, приём сопоставления «открытого» знания с научной формулировкой учебника. Изложение новых знаний мною не давалось в готовом виде, детям было предложено самим сформулировать тему урока и определить цель, к которой они будут стремиться.

Организованная данным образом работа позволила учащимся ориентироваться в своей системе знаний, отличать новое от уже известного с помощью учителя, добывать новые знания, находить ответы на вопросы, используя учебник, и информацию, полученную на уроке.

Использовала математическую терминологию и старалась, чтобы дети при ответе пользовались так же терминологией. Предложенные задания, групповая работа носили как развивающий, так и воспитывающий характер. По объёму материал был подобран верно, т.к. уложилась во временные рамки урока, и дети не испытывали большие трудности в его выполнении.

Выбранный темп учебной работы на уроке позволил добиться поставленных задач.

Постепенно увеличивалась степень сложности заданий. Самостоятельная работа была проведена с целью закрепления и углубления знаний учащихся по теме урока, способствовала развитию логического мышления.

Дети самостоятельно решали задачи, самостоятельно оценивали правильность своего решения. Для сравнения полученных ответов я использовала проектор, таким образом, был повышен интерес детей к выполнению заданий.

Применение проблемного обучения на уроке позволило сделать его интересным, насыщенным, плотным по структуре.

На каждом этапе урока учитывались индивидуальные особенности и интересы учащихся, уровень их подготовленности, осуществлялась индивидуализация обучения и дифференцированный подход. При дифференцированном подходе перед разными категориями учащихся ставились различные цели: одни достигали уровня базовой подготовки, другие должны были достичь более высоких результатов. В соответствии с этим класс был поделён на группы.

Разноуровневые задания, составленные с учетом возможностей учащихся, помогли создать в классе благоприятный климат. У школьников возникало чувство удовлетворения после каждого верно решенного задания, что повышало их познавательную активность. У слабых ребят появилась уверенность в своих силах, создалась положительная мотивация к учению.

Порядок и дисциплину учащихся на уроке я поддерживала с помощью умелой организации, интересного материала и высокой степени корректности. Постоянно приветствовала проявление активности детей, поощряла самостоятельность. Доброжелательный тон, умение контролировать внутриколлективные отношения, позволили комфортно чувствовать себя всем детям на уроке.

Завершающим этапом было подведение итогов и оценивание учителем результатов урока. При оценивании ответов обучающихся были использованы специально разработанные для данного занятия критерии оценок.

Высокая работоспособность на протяжении всего урока обеспечивалась сменой видов деятельности, различными формами организации работы , а также применением здоровьесберегающих технологий (физминутка). Это способствовало созданию на уроке положительной психологической атмосферы, ситуации успеха.

Я считаю, что на данном уроке были реализованы все поставленные цели. По моему мнению, урок прошёл на высоком эмоциональном уровне. Думаю, что и учеников заинтересовал сегодняшний урок, и они ушли с урока не только с полученными ЗУНами, но и с хорошим настроением, желанием использовать полученные ЗУНы на практике. А это самое главное для любого учителя!

Решение логарифмических уравнений и систем уравнений. Подготовка к ЕГЭ

Разделы: Математика

Ученик проходит в несколько лет дорогу, на которую человечество употребило тысячелетие.
Однако его следует вести к цели не с завязанными глазами, а зрячим:
он должен воспринимать истину, не как готовый результат, а должен её открывать.
Учитель должен руководить этой экспедицией открытий, следовательно, также присутствовать
не только в качестве простого зрителя. Но ученик должен напрягать свои силы;
ему ничто не должно доставаться даром.
Даётся только тому, кто стремится.
(А. Дистервег)

Форма урока: комбинированный урок

Тип урока: Урок повторного контроля знаний.

Обобщение и закрепление пройденного материала.

Цели урока:

• Образовательная — обобщение знаний учащихся по теме «Логарифмические уравнения и системы уравнений; закрепить основные приемы и методы решения логарифмических уравнений и систем уравнений; ознакомить учащихся с видами заданий повышенной сложности по данной теме в ЕГЭ.
• Развивающая — развитие логического мышления для сознательного восприятия учебного материала, внимание, зрительную память, активность учащихся на уроке. Предоставить каждому из учащихся проверить свой уровень подготовки по данной теме.
• Воспитывающая — воспитание познавательной активности, формирование личностных качеств: точность и ясность словесного выражения мысли; сосредоточенность и внимание; настойчивость и ответственность, положительной мотивации к изучению предмета, аккуратности, добросовестности и чувство ответственности. Осуществить индивидуальный подход и педагогическую поддержку каждого ученика через разноуровневые задания и благоприятную психологическую атмосферу.

Задачи урока:

• выработать у учащихся умение пользоваться алгоритмом решения логарифмических уравнений.
• осуществить формирование первоначальных знаний в виде отдельных навыков после определенной тренировки решения уравнений и систем уравнений.
• познакомить учащихся с частными случаями и отработать навыки по решению таких уравнений и систем уравнений.

Методы и педагогические приемы:

• Методы самообучения
• Приемы устного опроса.
• Приемы письменного контроля.
• Коллективная учебная деятельность.
• Организация работы в группах.
• Повышение интереса к учебному материалу.

Оборудование:

• компьютер, мультимедийный проектор и экран;
• тетради;

Раздаточный материал: задания для самостоятельной работы.

План урока:

1. Организационный момент (1 мин)
2. Проверка домашнего задания (3 мин)
3. Входной контроль (повторение теоретического материала) (15 мин)
4. Этап обобщения знаний учащихся. Решение уравнений и систем уравнений (45 мин)
5. Разноуровневая самостоятельная работа (проверка знаний учащихся) (20 мин)
6. Итоги урока (4 мин)
7. Домашнее задание (2 мин)

1. Организационный момент

Взаимное приветствие; проверка готовности учащихся к уроку, организация внимания.

2. Проверка домашнего задания

Установить правильность и осознанность выполнения домашнего задания всеми учащимися; установить пробелы в знаниях.

3. Входной контроль (повторение теоретического материала)

Организация устной фронтальной работы с классом по повторению логарифмических формул и способов решения логарифмических уравнений.

Решение простейших уравнений:

а) и

б) и

2) Найдите Х, если х>0:

[1/5]

[4]

Перечислите: основные способы решения логарифмических уравнений.

Способы решения логарифмических уравнений

• По определению логарифма.
• Метод потенцирования.
• Метод введения новой переменной.
• Решение уравнений логарифмированием его обеих частей.
• Функционально-графический способ.

На экране уравнения:

1. log₂(3 — 6x) = 3
2. lg(х 2 — 2х) = lg (2х + 12)
3. 5 х + 1 — 5 х — 1 = 24
4. х lg х = 10000
5. 3 2х + 5 = 3 х + 2 + 2
6. log₃ 2 x — log₃ x = 3
7. log₂x — log₄x = 3
8. 2 x = x 2 — 2x

Среди данных уравнений выбрать логарифмические. Определить способ решения каждого уравнения. Решите уравнения.

По окончанию работы правильность решения уравнений осуществляется с помощью экрана.

Устно ответить на следующие вопросы (если имеется не один корень):

• Найти наименьший корень уравнения.
• Найти сумму корней уравнения.
• Найти разность корней уравнения.
• Найти произведение корней уравнения.
• Найти частное корней уравнения

Самооценка и взаимооценка деятельности учащихся (результаты заносятся в листы самоконтроля).

4. Этап обобщения знаний учащихся

Решение логарифмических уравнений из заданий ЕГЭ части В и С.

№ 1 (В) Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения log₆(3x + 88) — log₆ 11 = log₆ x. [1]

№ 2 (B) Найдите произведение всех корней уравнения

. [1]

№ 3 (B) Найдите сумму корней уравнения = log₄ (x — 3) + 2. [2]

№ 4 (C) найти наибольший корень уравнения: log₂(2+5)+ log_0,5(-х-0,5) = 1 [-4]

№ 5 (C) Решите уравнение — log₆ x + 34 = () 2 + x. [2]

Уравнения №1-3 решает по два ученика на обратных крыльях доски с последующей проверкой решения всем классом.

Уравнение №4,5 решает ученик с подробным комментарием.

По окончании самооценка и взаимооценка учащихся (результаты заносятся в листы самоконтроля).

Простейшими логарифмическими уравнениями будем называть уравнения следующих видов:

log _a x = b, a > 0, a 1.

log _a f(x) = b, a > 0, a 1.

Эти уравнения решаются на основании определения логарифма: если log_b a = c, то a = b c .

Решить уравнение log₂ x = 3.

Решение. Область определения уравнения x > 0. По определению логарифма x = 2 3 , x = 8 принадлежит области определения уравнения.

Уравнения вида log_a f(x) = b, a > 0, a 1.

Уравнения данного вида решаются по определению логарифма с учётом области определения функции f(x).

Обычно область определения находится отдельно, и после решения уравнения f(x) = a b проверяется, принадлежат ли его корни области определения уравнения.

Пример. Решить уравнение log₃(5х — 1) = 2.

ОДЗ: 5х — 1 > 0; х > 1/5.

Пример. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения находится из неравенства 2х 2 — 2х — 1 > 0. Воспользуемся определением логарифма:

Применим правила действий со степенями, получим 2х 2 — 2х — 1 = 3. Это уравнение имеет два корня х = -1; х = 2. Оба полученные значения неизвестной удовлетворяют неравенству 2х 2 — 2х — 1 > 0, т.е. принадлежат области определения данного уравнения, и, значит, являются его корнями.

Уравнения этого вида решаются по определению логарифма с учётом области определения уравнения. Данное уравнение равносильно следующей системе

Чаще всего, область определения логарифмического уравнения находится отдельно, и после решения уравнения (f(x)) c = b или равносильного уравнения проверяется, принадлежат ли его корни найденной области.

Пример. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение равносильно системе

Суть метода заключается в переходе от уравнения

На основании свойства монотонности логарифмической функции заключаем, что f(x) = g(x).

Нужно отметить, что при таком переходе может нарушиться равносильность уравнения. В данном уравнении f(x) > 0, g(x) > 0, а в полученном после потенцирования эти функции могут быть как положительными, так и отрицательными. Поэтому из найденных корней уравнения f(x) = g(x) нужно отобрать те, которые принадлежат области определения данного уравнения. Остальные корни будут посторонними.

Решение. Область определения уравнения найдётся из системы неравенств:

х> -1,5+ , х 2 — 3х — 5 = 7 — 2х,

х 2 — х — 12 = 0, откуда х₁ = -3, х₂ = 4. Число 4 не удовлетворяет системе неравенств.

Cведение уравнений к виду log _a f(x) = log _a g(x) с помощью свойств логарифмов по одному основанию.

Если уравнение содержит логарифмы по одному основанию, то для приведения их к виду log _a f(x) = log _a g(x) используются следующие свойства логарифмов:

log_b a + log_b c = log_b (a*c), где a > 0; c > 0; b > 0, b 1,

log_b a — log_b c = log_b (a/c), где a > 0; c > 0; b > 0, b 1,

m log_b a = log_b a m , где a > 0; b > 0, b 1; m R.

Пример 1. Решить уравнение log₆ (x — 1) = 2 — log₆ (5x + 3).

Решение. Найдём область определения уравнения из системы неравенств

Применяя преобразования, приходим к уравнению

log₆ ((x — 1)(5x + 3)) = 2, далее, потенцированием, к уравнению

(х — 1)(5х + 3) = 36, имеющему два корня х = -2,6; х = 3. Учитывая область определения уравнения, х = 3.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Найдём область определения уравнения, решив неравенство (3x — 1)(x + 3) > 0 методом интервалов.

Учитывая, что разность логарифмов равна логарифму частного, получим уравнение log₅ (x + 3) 2 = 0. По определению логарифма (х + 3) 2 = 1, х = -4, х = -2. Число х = -2 посторонний корень.

Пример 3. Решить уравнение log₂ (6 — x) = 2 log₆ x.

Решение. На области определения 0 2 , откуда х = -3, х = 2. Число х = -3 посторонний корень.

Метод потенцирования применяется в том случае, если все логарифмы, входящие в уравнение, имеют одинаковое основание. Для приведения логарифмов к общему основанию используются формулы:

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения 1 1. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (4).

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения x > -1, x 0. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (2).

Умножим обе части уравнения на log ₃(x + 1) ? 0 и перенесем все слагаемые в левую часть уравнения. Получим (log ₃(x + 1)-1) 2 = 0, откуда log ₃(x + 1) = 1 и x = 2.

3. Введение новой переменной

Рассмотрим два вида логарифмических уравнений, которые введением новой переменной приводятся к квадратным.

где a > 0, a 1, A, В, С — действительные числа.

Пусть t = log_a f(x), t R. Уравнение примет вид t 2 + Bt + C = 0.

Решив его, найдём х из подстановки t = log_a f(x). Учитывая область определения, выберем только те значения x, которые удовлетворяют неравенству f(x) > 0.

Пример 1. Решить уравнение lg 2 x — lg x — 6 = 0.

Решение. Область определения уравнения — интервал (0; ).Введём новую переменную t = lg x, t R.

Уравнение примет вид t 2 — t — 6 = 0. Его корни t₁ = -2, t₂ = 3.

Вернёмся к первоначальной переменной lg x = -2 или lg x = 3, х = 10 -2 или х = 10 3 .

Оба значения x удовлетворяют области определения данного уравнения (х > 0).

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Найдём область определения уравнения

Применив формулу логарифма степени, получим уравнение

Так как х 2 — 4t + 4 = 0

имеет два равных корня t_1,2 = 2. Вернёмся к первоначальной переменной log₃ (-x) = 2, отсюда —х = 9, х = -9. Значение неизвестной принадлежит области определения уравнения.

где a > 0, a 1, A, В, С — действительные числа, A 0, В 0.

Уравнения данного вида приводятся к квадратным умножением обеих частей его на log_a f(x) 0. Учитывая, что log_a f(x) log_f(x) a=1

(свойство log_b a = 1/ log_a b), получим уравнение

Замена log_a f(x)=t, t R приводит его к квадратному At 2 + Ct + B = 0.

Из уравнений log_a f(x)= t₁, log_b f(x)= t₂ найдем значения x и выберем среди них принадлежащие области определения уравнения:

f(x) > 0, f(x) 1.

Пример. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения находим из условий x+2>0, x+2 1, т.е. x >-2, x -1.

Умножим обе части уравнения на log₅ (x+2) 0, получим

или, заменив log₅ (x+2) = t, придем к квадратному уравнению

Возвращаемся к первоначальной переменной:

Оба корня принадлежат области определения уравнения.

ОДЗ: x > 0, х 1

Используя формулу перехода к новому основанию, получим

Ответ:

4. Приведение некоторых уравнений к логарифмическим логарифмированием обеих частей.

Переход от уравнения вида f(x) = g(x) к уравнению log_a f(x) = log_a g(x), который возможен если f(x) >0, g(x) >0, a >0, a 1, называется логарифмированием.

Методом логарифмирования можно решать:

Уравнения вида

Область определения уравнения — интервал (0, ). Прологарифмируем обе части уравнения по основанию a, затем применим формулы логарифма степени и произведения

Приведем подобные и получим линейное уравнение относительно log_a x.

Пример. Решить уравнение 3 2log 4 x+2 =16x 2 .

Решение. Область определения x >0. Прологарифмируем обе части по основанию 4.

Используя свойства логарифмов, получим

Область определения уравнения — интервал (0, ). Прологарифмируем обе части уравнения по основанию a, получим

Применим формулы логарифма степени и логарифма произведения

Введем новую переменную t=log_a x , t R. Решив квадратное уравнение At 2 + (B-а)t-log_a C=0, найдем его корни t₁ и t₂. Значение x найдем из уравнений t₁ = log_a x и t₂=log_a x и выберем среди них принадлежащие области определения уравнения.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения х > 0. Так как при х > 0 обе части уравнения положительны, а функция y = log₃ t монотонна, то

Введём новую переменную t, где t = log₃ x, t R.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения х >1. Обе части уравнения положительны, прологарифмируем их по основанию 2, получим

Применим формулы логарифма степени и логарифма частного:

Введем новую переменную t=log₂x, получим квадратное уравнение t 2 — 3t + 2 = 0,

1) Найти наибольший корень уравнения: lq(x+6) — 2 = 1 /₂lq(2x -3) — lq25

3) Пусть (х₀;y₀) — решение системы уравнений

4) Пример .Решите систему уравнений

Решение. Решим эту систему методом перехода к новым переменным:

Заметим, что x>0 и у R является областью определения данной системы.

Логарифмируя обе части второго уравнения по основанию 3, получим:

Тогда по обратной теореме Виета переменные и и v являются корнями квадратного уравнения

z 2 -z-12 = 0

Следовательно, решения данной системы найдем как множество решений совокупности двух систем а) и б):

а) б)

Решениями указанных систем являются соответственно пары (27;4), (; -3).

Ответ: (27; 4), (; -3).

5) Пример. Решите систему уравнений

Перейдем к новым переменным:

x = 2 u >0, 1оg₂ у = v, у = 2 v >0.

В новых переменных данная система имеет вид:

Следовательно, и и v являются корнями квадратного уравнения :

z 2 -42 + 3 = 0

Отсюда следует, что достаточно решить систему

Другое решение найдем из-за симметричности х и у, т. е. если (х; y) — решение, то (у; х) также является решением.

5. Самостоятельная работа.

1. Вычислите значение выражения: 11-3log₃

2. Решите уравнения:

3.Решите систему уравнений :

1. Вычислите значение выражения: 13-3log₂

2. Решите уравнения:

6.Подведение итогов урока:

Учитывая контингент учащихся данного класса, можно сделать вывод о том, что в целом учащиеся усвоили материал по данной теме.

Логарифмические уравнения и их системы

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида \(\log_a x = b\) .

Утверждение 1. Если \(a > 0, a ≠ 1\) , уравнение \(\log_a x = b\) при любом действительном \(b\) имеет единственное решение \(x = a^b\) .

Утверждение 2. Уравнение \(\log_a f(x) = \log_a g(x) \ (a > 0, a ≠ 1)\) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще): \(\begin f(x)=g(x) \\ f(x)>0 \\ \end \ или \ \begin f(x)=g(x) \\ g(x)>0 \\ \end\) .

Утверждение 3. Уравнение \(\log_ <\varphi (x)>f(x) = \log_ <\varphi (x)>g(x) \ (a > 0, a ≠ 1)\) равносильно системе \(\begin f(x)=g(x) \\ f(x)>0 \\ \varphi(x)>0 \\ \varphi(x)\ne1 \end \ или \ \begin f(x)=g(x) \\ g(x)>0 \\ \varphi(x)>0 \\ \varphi(x)\ne1 \end \) .

При решении логарифмических уравнений во многих случаях приходится использовать свойства логарифма произведения, частного, степени. В тех случаях, когда в одном логарифмическом уравнении имеются логарифмы с различными основаниями, применение указанных свойств возможно лишь после перехода к логарифмам с равными основаниями. Кроме того, решение логарифмического уравнения следует начинать с нахождения области допустимых значений (О.Д.З.) заданного уравнения, т. к. в процессе решения возможно появление посторонних корней. Завершая решение, не забудьте проверить найденные корни на принадлежность О.Д.З. Решать логарифмические уравнения можно и без использования О.Д.З. В этом случае проверка является обязательным элементом решения.

При решении логарифмических уравнений часто приходится логарифмировать или потенцировать обе части уравнения, что не всегда может привести к равносильным уравнениям.

Логарифмировать алгебраическое выражение – значит выразить его логарифм через логарифмы отдельных чисел, входящих в это выражение.

Метод потенцирования – переход от уравнения с логарифмами к уравнениям, которые их не содержат.

Приведем основные способы решения логарифмических уравнений.

Использование определения логарифма

Пример 1. Решить уравнение: \(\log_<0,1>x=3\) .

Для нахождения решения возведем основание логарифма в степень, равную 3 (правая часть уравнения), получим: \(x=(0,1)^3 \Rightarrow x=0,001\) . Полученное решение принадлежит ОДЗ, поэтому \(x=0,001\) – решение исходного уравнения.

Использование свойств логарифма

Пример 2. Решить уравнение: \(\log_2(x − 2) +\log_2(x − 3) = 1\) .

Решение: Оба логарифма одновременно определены при выполнении системы неравенств: \(\begin x-2>0, \\ x-3>0. \\ \end \)

ОДЗ нашего уравнения есть множество \(x > 3\) . Найдя ОДЗ, переходим к преобразованиям уравнения. Имеем: \(\log_2 (x − 2)(x − 3) = 1 \Rightarrow\log_2 (x − 2)(x − 3) = \log_22 \Rightarrow\)

\((x-2)(x-3)=2 \Rightarrow x^2-5x+4=0 \Rightarrow x_1=1, x_2=4\) .

При этом число 1 не принадлежит ОДЗ и поэтому не является корнем исходного уравнения. Число 4 входит в ОДЗ и, следовательно, будет корнем исходного уравнения.

Метод подстановки

Пример 3. Решить уравнение: \(\log_2^2(3-x)+3\log_2(3-x)=4\) .

Решение: Введем замену \(\log_2(3-x)=t\) , тогда получим: \(t^2+3t=4 \Rightarrow t^2+3t-4=0\) .

Решая полученное квадратное уравнение, будем иметь: \(D=3^2-4\cdot 1\cdot (-4)=25=5^2 \Rightarrow t_1=1, t_2=-4\) .

Делаем обратную замену:

\(1) \ \log_2(3-x)=1 \Rightarrow 3-x=2^1 \Rightarrow x_1=1; \\2) \ \log_2(3-x)=-4 \Rightarrow 3-x=2^ <-4>\Rightarrow x_2=2\frac<15><16>.\)

Метод логарифмирования

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 6: \(\log_6x^<\log_6x>=\log_66\) .

В левой части уравнения показатель степени выносим за знак логарифма, в правой – вычисляем значение логарифма: \(\log_6x\cdot \log_6x=1 \Rightarrow \log_6^2x=1\) . Пусть \(\log_6x=t \Rightarrow t^2=1 \Rightarrow t_1=1,t_2=-1\) .

Обратная замена: \(1) \ \log_6x=1 \Rightarrow x_1=6^1=6; \\2) \ \log_6x=-1\Rightarrow x_2=6^<-1>=\frac16.\)

Метод потенцирования

Пример 5. Решить уравнение: \(\log_3 (x^2 – 3x – 5) = \log_3 (7 – 2x)\) .

Поскольку основания в левой и правой частях одинаковые (равны 3), то мы можем освободиться от знаков логарифмов: \(x^2-3x-5=7-2x\) .

Приравниваем уравнение к нулю и получаем квадратное уравнение: \(x^2-3x-5-7+2x=0 \Rightarrow x^2-x-12=0\) .

Решив квадратное уравнение, находим его корни: \(x_1=4, x_2=-3\) .

4 не является решением уравнения, так как не входит в ОДЗ. Значит, –3 является единственным решением уравнения.

При решении систем логарифмических уравнений применяются те же способы и приемы, что и при решении систем алгебраических уравнений и неравенств.

Пример 6. Решить систему уравнений: \(\begin x+y=4, \\ \log_2x+\log_2y=\log_23. \\ \end\)

Решение: ОДЗ: \(x > 0, y > 0\) .

Из первого уравнения можно сделать подстановку:

\(\begin x+y=4 \\ \log_2x+\log_2y=\log_23 \\ \end \Rightarrow \begin y=4-x \\ \log_2x+\log_2(4-x)=\log_23 \\ \end \Rightarrow\) \(\begin y=4-x \\ x(4-x)=3 \\ \end \Rightarrow\begin y=4-x \\ x^2-4x+3=0 \\ \end \Rightarrow x_1=1, x_2=3\) .

Находим соответствующие значения у: \(y_1 = 4 – 1 = 3, y_2 = 4 – 3 = 1\) .

Все найденные решения входят в ОДЗ.

Решите систему уравнений.

\(\begin \log_9(3x+4y)+\log_3x=\log_316 \\ \log_9x+\log_3y=\log_32 \\ \end\)

Решите систему уравнений.

\(\begin \log_2(x^2+y^2)=5 \\ 2\log_4x+\log_2y=4 \\ \end\)