Тема системы уравнений с 8

Как решать систему уравнений

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Основные понятия

Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в исходное уравнение получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.

Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.

Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство.

Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент при переменной — его графиком будет прямая линия.

Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:

Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0.

Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.

Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).

Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.

Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так:

Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.

Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.

Можно записать систему иначе:

Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.

Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.

Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.

Метод подстановки

Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:

Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.

Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.

Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.

Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.

Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).

Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.

Пример 1

Решите систему уравнений:

x − y = 4
x + 2y = 10

Выразим x из первого уравнения:

x − y = 4
x = 4 + y

Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:

x + 2y = 10
4 + y + 2y = 10

Решим второе уравнение относительно переменной y:

4 + y + 2y = 10
4 + 3y = 10
3y = 10 − 4
3y = 6
y = 6 : 3
y = 2

Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:

x − y = 4
x − 2 = 4
x = 4 + 2
x = 6

Ответ: (6; 2).

Пример 2

Решите систему линейных уравнений:

x + 5y = 7
3x = 4 + 2y

Сначала выразим переменную x из первого уравнения:

x + 5y = 7
x = 7 − 5y

Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение:

3x = 4 + 2y
3 (7 − 5y) = 4 + 2y

Решим второе линейное уравнение в системе:

3 (7 − 5y) = 4 + 2y
21 − 15y = 4 + 2y
21 − 15y − 2y = 4
21 − 17y = 4
17y = 21 − 4
17y = 17
y = 17 : 17
y = 1

Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:

x + 5y = 7
x + 5 = 7
x = 7 − 5
x = 2

Ответ: (2; 1).

Пример 3

Решите систему линейных уравнений:

x − 2y = 3
5x + y = 4

Из первого уравнения выразим x:

x − 2y = 3
x = 3 + 2y

Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его:

5x + y = 4
5 (3 + 2y) + y = 4
15 + 10y + y = 4
15 + 11y = 4
11y = 4 − 15
11y = −11
y = −11 : 11
y = −1

Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его:

x − 2y = 3
x − 2 (−1) = 3
x + 2 = 3
x = 3 − 2
x = 1

Ответ: (1; −1).

Метод сложения

Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:

При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.

Складываем почленно левые и правые части уравнений системы.

Решаем получившееся уравнение с одной переменной.

Находим соответствующие значения второй переменной.

Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).

Система линейных уравнений с тремя переменными

Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:

Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).

Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.

Решение задач

Разберем примеры решения систем уравнений.

Задание 1. Как привести уравнение к к стандартному виду ах + by + c = 0?

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y − 4x + 9y = 3

Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки

Выразить у из первого уравнения:

Подставить полученное выражение во второе уравнение:

Найти соответствующие значения у:

Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения

1. Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:

1. Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:

1. Найти у, подставив найденное значение в любое уравнение:

1. Ответ: (1; 1), (1; -1).

Задание 4. Решить систему уравнений

Решим второе уравнение и найдем х = 2, х = 5. Подставим значение переменной х в первое уравнение и найдем соответствующее значение у.

Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными

При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается:

Конспект урока по алгебре в 8 классе по теме «Системы линейных уравнений»
план-конспект урока по алгебре (8 класс)

Данный конспект урока предназначен для проведения обобщающего урока по алгебре в 8 классе по теме «Системы линейных уравнений»

Скачать:

Предварительный просмотр:

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

школа-интернат №1 имени К. К. Грота Красногвардейского района Санкт-Петербурга

Образовательное учреждение: ГБОУ школа-интернат №1 им. К. К. Грота

Продолжительность урока: (40 минут)

Учитель: Глотова Марина Александровна

Тема урока: Системы линейных уравнений

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Технология (если используется конкретная): нет.

Оборудование: листы самооценки, индивидуальные карточки.

Мультимедийное обеспечение: компьютер, мультимедийный проектор, презентация, интерактивная доска.

Цель урока: систематизировать и закрепить знания и умения по теме «Системы линейных уравнений».

Коррекционная составляющая урока: развитие быстрой переключаемости и устойчивости внимания; развитие мелкой моторики; совершенствование коммуникативных умений (умение отвечать на вопросы, работать в паре, аргументировать мнение, комментировать свои действия); развитие монологической речи; воспитывать интерес к предмету через использование разнообразных заданий.

• научиться обосновывать суждения, проводить классификацию;
• овладеть базовым понятийным аппаратом: иметь представление о линейном уравнении с двумя переменными и о его свойствах, о системах линейных уравнений;
• потренироваться строить график линейного уравнения с двумя переменными;
• потренироваться решать системы линейных уравнений способом подстановки и способом сложения;
• уметь точно и грамотно выражать свои мысли;
• овладеть навыками решения задач с помощью систем уравнений.

• научиться самостоятельно планировать свою деятельность на уроке;
• научиться устанавливать причинно-следственные связи, строить логические рассуждения, умозаключения и выводы;
• овладеть способностью организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками: определять цели, распределять функции и роли участников, взаимодействовать и находить общие способы работы;
• научиться работать в парах: находить общее решение, слушать партнера; формулировать, аргументировать и отстаивать своё мнение.

• научиться ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи;
• добиться креативности мышления, активности при решении различных заданий на протяжении всего урока;
• сформировать коммуникативные навыки, необходимые при ответе на вопрос, при комментировании своих действий;
• научиться контролировать процесс и результат учебной деятельности;

1. Организационный момент.

— Здравствуйте, ребята! Один из великих философов сказал: «Где есть желание – найдется путь!» Надеюсь, что вы сегодня на уроке с желанием будете решать задания, определяя свой рациональный путь.

-Давайте проверим, как вы подготовились к уроку. Назовите предметы, которые должны лежать на парте к началу урока?

— Давайте обменяемся тетрадями – сдайте, пожалуйста, тетради с выполненной домашней работой.

Обучающиеся приветствуют учителя .

Восьмиклассники отвечают на вопрос (дневник, тетрадь, чертежные принадлежности, учебник).

Обучающиеся сдают тетради с домашней работой и получают тетрадь с проверенной предыдущей домашней работой.

2. Определение темы и целей урока

— Какую тему мы с вами изучаем?

— Что мы умеем делать с системами линейных уравнений с двумя переменными?

— Какие способы решения систем линейных уравнений с двумя переменными вы знаете?

— Мы с вами заканчиваем изучать системы линейных уравнений и должны будем подготовиться к контрольной работе. Как вы думаете, чем мы должны будем, в связи с этим, заняться на сегодняшнем уроке?

— Итак, какая цель нашего урока?

— Тогда давайте сформулируем тему урока.

— Запишите в тетрадях число и тему сегодняшнего урока: «Подготовка к контрольной работе».

— Системы линейных уравнений с двумя переменными.

— Мы умеем их решать.

— Способы решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными:

— Мы должны будем подготовиться к контрольной работе. Для этого нужно будет повторить способы решения систем линейных уравнений с двумя переменными, потренироваться их решать.

— Повторить способы решения систем линейных уравнений с двумя переменными; потренироваться их решать.

— Подготовка к контрольной работе.

Ученики записывают в тетрадях число и тему урока.

3. Систематизация знаний, умений и навыков.

— Давайте вспомним на практике известные вам способы решения систем линейных уравнений с двумя переменными.

Учитель раздает учащимся карточки с заданиями. Задание дублируется на интерактивной доске.

Решить графическим способом систему уравнений:

х

х

— В чем заключается графический способ решения системы уравнения с двумя переменными?

— Давайте решим графически систему:

Учитель вызывает одного из учеников к смарт-доске для выполнения задания.

— Теперь давайте построим график.

— Какой ответ в задании?

— Мы с вами получили ответ (4; 5), то есть система имеет сколько решений?

— Как бы мы могли узнать, сколько решений имеет система, не выполняя построение графика?

— Давайте выполним следующее задание, чтобы вспомнить случаи, когда система линейных уравнений с двумя переменными будет иметь одно решение, когда их будет несколько, и когда система не будет иметь решений.

(Задание выводится на интерактивную доску)

— Нужно установить, сколько решений имеет каждая система.

1. Система имеет единственное решение.

2. Система имеет два решения.

3. Система имеет бесконечно много решений.

4. Система не имеет решений.

— Давайте рассмотрим систему, записанную под буквой а). Что вы можете сказать о количестве ее решений?

Учитель вызывает одного из учеников к смарт-доске для демонстрации ответа.

— Давайте рассмотрим систему под буквой б). Что вы можете сказать о количестве ее решений?

Учитель вызывает одного из учеников к смарт-доске для демонстрации ответа.

— Давайте рассмотрим систему под буквой в). Что вы можете сказать о количестве ее решений?

Учитель вызывает одного из учеников к смарт-доске для демонстрации ответа.

-А сейчас с вами давайте немного отдохнем и проведем физкультминутку.

Физкультминутка «Ах, как долго мы писали»

Ах, как долго мы писали,

Глазки у ребят устали. — Поморгать глазами.

Посмотрите все в окно, — Посмотреть в окно и в другую сторону.

Ах, как солнце высоко. — Посмотреть вверх

Мы глаза сейчас закроем, — Закрыть глазки ладонями.

В классе радугу построим,

Вверх по радуге пойдем, — Посмотреть глазами по дуге.

Вправо, влево повернем, — Ворочать глазами вправо-влево.

А потом скатимся вниз, — Посмотреть вниз.

Жмурься сильно, но держись. — Зажмурить глаза, открыть и поморгать.

— Какие способы решения систем линейных уравнений с двумя переменными вы знаете еще?

— Давайте вспомним, как решать систему линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки.

— Давайте проведем исследовательскую работу. Вам нужно будет проанализировать пошагово решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. И, в случае обнаружения ошибок, исправить их и записать верное решение. Данное задание вы будете выполнять в паре со своим соседом по парте.

Проанализируйте решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки и исправьте ошибки:

Решить способом подстановки систему линейных уравнений с двумя переменными:

Выразим со второго уравнения х через у:

Подставим во второе уравнение вместо х выражение 4 + 2у:

Подставив в равенство х = 4 + 2у.

вместо у число -1, найдем соответствующее значение х:

Система уравнений алгебра как решить 8 класс. Алгебраический метод решения системы уравнения

Поиск решения системы уравнений подразумевает одновременное определение неизвестных, которое будет приемлемо для обеих уравнений. Переменные находят с помощью нескольких способов: подставления (замены), вычетания и графическим методом. Рассмотрим каждый из вариантов более подробно.

Как решать систему уравнений с 2 неизвестными

Данная система подразумевает под собой два уравнения, объединенных фигурной скобкой и записанных друг под дружкой. Например,

где а,b,c –заданные числа, а х,у- неизвестные.

Чтобы решить систему, необходимо определить значение неизвестных или доказать, что ответа не существует. Наиболее известные способы решения – это нахождение х,у методом подставления, вычитания и с помощью визуального графического метода.

Школьники или их родители, которые хотят проверить правильность решений подобных заданий, могут найти в интернете специальный онлайн калькулятор. Достаточно ввести на сайте уравнения и сервис сам рассчитает решение двумя методами. Причем, ответ получается пошаговый.

Для примера введем в отведенные графы уравнения.

В ответе получаем два пошаговых решения системы.

Как решить систему уравнений способом алгебраического сложения

Чтобы упростить подсчеты и сэкономить время поиска ответа достаточно применить алгебраический метод сложения. Суть данного способа поиска ответа заключается в избавлении от одной переменной.

Рассмотрим данный метод на простом примере.

Сделав анализ системы, можно отметить, что переменная у имеет одно по модулю число, но с противоположным знаком (-1,1).

Сложим два уравнения почленно:

В результате действий переменная у пропадает.
Теперь осталось решить уравнение: 3х+12=0; х=-4.
Найдя переменную х, можно подставить ее в любое из уравнений.
-4-у+5=0; у=1.

Решение должно иметь следующие записи:

Ответ: х=-4, у=1

Важно! При выражении переменной в ответе можно получить дроби, что значительно усложняет решение, а метод сложения исключает вероятность ошибки.

Рассмотрим еще один более сложный пример.

При анализе уравнений видим, что обе переменные имеют разные числовые коэффициенты. Если их сложить, то избавиться от неизвестной не получится.

Для нахождения одинаковых по модулю чисел в парах, найдем их наименьшее кратное. Рассмотрим числовые коэффициенты при переменной х:

Наименьшим кратным является число 12. Числовые коэффициенты первого уравнения умножим на 4, а второго — на 3.

Важно! На определенное число умножается не только коэффициент неизвестной, но и каждый член уравнения.

Затем вычтем из первого уравнения второе. Ниже приведен наглядный пример вычитания.

Найдя у, подставим ее в уравнение: 3х-4-2=0; х=2

Ответ: х=2, у=-1

Как решить систему уравнений методом подстановки х, у

Метод подстановки, который называют «школьным методом», предусматривает исключение одной неизвестной.

Способ имеет следующую последовательность:

1. нахождение одной переменной через другую;
2. подстановка значения и решение другого уравнения;
3. нахождение второй переменной.

Пример 1

Для начала свободные члены перенесем влево, не забывая сменить знаки.

Найдем х через у: х=у-5 и подставим это значение во 2-е уравнение:

2(у-5)+у+7=0
2у-10+у+7=0
3у-3=0
3у=3
у=1

Затем определимся со второй неизвестной х: х=1-5=-4

Ответ: х=-4; у=1

Во время решения можно изначально выражать любую переменную.

Как решать систему уравнений графическим способом

Метод предусматривает графическое определение общих точек пересечения графиков. Система может иметь одно решение в случае пересечения прямых, несколько решений — при графике из параллельных прямых и множество решений — при совпадении графиков.

Пример 1

Для начала определимся с координатами х;у и нарисуем прямые. Функции имеют общую точку А (4;5), что будет решением системы.

Ответ: х=4; у=5

Пример 2

Чтобы решить второй пример необходимо выразить у через х, а затем определить точки прохождения прямых. Графики уравнений пересекутся в точке В (-2; 5).

Ответ: х=-2; у=5

Пример 3, где решений у системы нет.

Последний графический способ считается неточным и системы с квадратами и корнями им не решить.

Если следовать алгоритму и верно выполнять все действия, можно с легкостью решить самые сложные системы уравнений.