Тема уравнения и неравенства с двумя переменными

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ И ПРАКТИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ПО АЛГЕБРЕ 9 КЛАССА ПО ТЕМЕ»УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Работа учителя математики

Ершова Елена Владимировна

Высшая категория ДНР Горловская ОШ №17

по теме «Уравнения и неравенства с двумя переменными»

I. УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

1.Равенство, которое содержит две переменные называют уравнением с двумя переменными.

2.Решение уравнения с двумя переменными х и у -это упорядоченная пара ( х; у), преобразующая уравнение в верное равенство.

3.За степень целого уравнения с двумя переменными, левая часть которого –многочлен стандартного ,а правая часть –нуль, принимается степень этого многочлена (5 +4ху -7 =0-уравнение третей степени).

4.Графиком уравнения с двумя переменными х и у –это множество точек координатной плоскости с координатами ( х ;у ),где пара ( х ;у )является решением данного уравнения с двумя переменными.

5 . Алгоритм построения графика уравнения с двумя переменными:

-Если уравнение можно привести к виду (х-ɑ) 2 (у-b) 2 ,где ɑ,b-произвольные числа, а R0,то графиком этого уравнения будет окружность радиуса R с центром (ɑ;b).

-В других случая(если нет модуля)выражаем у через х и строим график полученной функции у = f (х )

6.Графики некоторых уравнений

— х=ɑ+ bу +с — парабола, с вершиной(с- ; ),если ɑ 0,ветки направлены вправо,ɑ0,ветки направлены влево

— |х|+|у|=1 -квадрат с центром (0;0),диагонали квадрата лежат на осях ОХ и ОY

Системы уравнений с двумя переменными .

Система уравнений – это несколько уравнений, для которых находят общее решение

7.Решением системы уравнений с двумя переменными называется такая пара значений переменных (х ;у ),которая является решением каждого из уравнений системы.

8.Решить систему уравнений с двумя переменными значит, найти все ее решения или доказать, что их нет.

9.Если система не имеет решений, ее называют несовместимой.

10 . Алгоритм решения системы уравнений с двумя переменными х и у графическим способом:

-Выполняем равносильные преобразования системы ,чтобы было удобно строить графики уравнений системы;

-строим графики каждого из уравнений системы в одной прямоугольной системе координат;

-находим координаты точек пересечения графиков .Эти координаты и есть решение системы.

Пример. Решим графически систему уравнений:

Решение. Выделяя полные квадраты, получаем:

Следовательно, исходная система уравнений равносильна системе:

Графиком первого уравнения является окружность с центром и радиусом 5. Графики уравнений представлены на рисунке 1.

Графиком второго уравнения является уравнение прямой, проходящей через точки и Строим окружность радиуса 5 с центром в точке и проводим прямую через точки и Эти линии пересекаются в двух точках . Значит решение системы:

Рис.1

Ответ. ;

Пример. Решим графически систему уравнений:

Решение. Построим в одной системе координат графики уравнений и найдем координаты точек пересечения этих графиков. Построим на координатной плоскости окружность с центром в точке и и параболу у = х 2 +х–2 с вершиной в точке и точками пересечения графика функции и оси Графики уравнений представлены на рисунке 2. Видим, что окружность и парабола не пересекаются, следовательно, система не имеет решений.

Рис.2

Ответ. Система не имеет решений.

11 . Алгоритм решения систем способом подстановки:

-из одного уравнения системы выразим одну переменную через другую;

-найденное значение подставим в другое уравнение системы, получив равносильное уравнение с одной переменной;

-решаем полученное уравнение и находим значение этой переменной;

-подставляем найденное значений переменной в уравнение для первой переменной, получаем значение этой переменной. Записываем ответ.

Пример.Решить систему уравнений способом подстановки:

12. Алгоритм решения систем способом сложения:

-уравняем коэффициенты возле одной переменной путем почленного умножения обоих частей уравнения на подобранные множители;

-складываем (вычитаем ) почленно уравнения системы, исключая одну переменную;

-решаем полученное уравнение с одной переменной;

-находим значение второй переменной подстановкой. Записываем ответ.

Пример. Решить систему уравнений способом сложения:

13.Схема решения задач с помощью систем уравнений с двумя переменными

а) Выделяем в условии задачи две неизвестные величины (искомые или те, из которых можно выразить искомые величины)и обозначим их буквами х и у.

б) По условию задачи составляем два уравнения с переменными х и у

в) Решаем систему этих уравнений

г) Объясняем найденные решения в соответствии с условием задачи. Записываем ответ.

14.Таблица для решения задач на движение

15.Таблица для решения задач на совместную работу 16.Таблица для решения задач на процентный состав вещества Неравенства с двумя переменными

17.Неравенство вида f( х;у )0;f(х;у)0;f(х;у)0;f(х;у)0 называют неравенством с двумя переменными (у0,5х +4-содержит две переменные).

18.Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных (х;у), которая превращает неравенство в правильное числовое неравенство.

19.Графиком неравенства с двумя переменными называют множество всех точек координатной плоскости с координатами (х;у),где эта пара является решение данного неравенства.

20. Алгоритм решения неравенств и систем неравенств с двумя переменными:

а ) Строим график функции у = f (х), который разбивает плоскость на две полуплоскости.

б) Выбираем любую из полученных областей и рассматриваем в ней произвольную точку. Проверяем выполняемость исходного неравенства для этой точки .Если в результате проверки получается верное числовое неравенство ,то заключаем, что данное неравенство выполняется для всей области которой принадлежит выбранная точка. Таким образом ,множество решений неравенства -область, которой принадлежит выбранная точка. Если в результате проверки получается неверное числовое неравенство, то множеством решений неравенства будет вторая область ,которой выбранная точка не принадлежит;

в) Если неравенство строгое, то границы области, т.е.точки графика у= f(х),не включают в множество решений и границу изображают пунктиром. Если неравенство нестрогое, то границы графика функции у= f(х),включают в множество решений и границу в таком случае изображают сплошной линией.

21. Найдем полуплоскость, определяемую неравенством .

Решение. Построим прямую .Данная прямая не проходит через начало координат. Следовательно, в качестве контрольной точки для решения неравенства целесообразно взять точку .

Подставим координаты точки в неравенство, получим неверное числовое неравенство . Следовательно, точка не принадлежит области решений неравенства. Другими словами, полуплоскость, определяемая неравенством, не содержит точку . На рисунке 1. искомая полуплоскость заштрихована.

Рис.1

В общем случае множество решений системы неравенств представляет собой ограниченную или неограниченную область плоскости , линию, точку, пустое множество.

Пример.22 Решим графически систему неравенств:

Решение. Так как , то ; так как , то . Строим прямые и (Рис.2).

Множество решений неравенства состоит из точек плоскости, лежащих под прямой , а неравенство – из точек, лежащих над прямой (Рис.2), то есть множество решений каждого из этих линейных неравенств есть полуплоскость.

Графически решение данной системы неравенств есть пересечение полуплоскостей, не включая границу (Рис.2).

Рис.2

23. Изобразим на координатной плоскости множество решений неравенства .

Решение. Преобразуем неравенство к виду: . Построим на координатной плоскости параболу . Парабола разбивает плоскость на две области и . : ; ; (Рис. 3).

Решением неравенства является множество точек плоскости, лежащих выше параболы и поскольку неравенство нестрогое, то в решение неравенства входит множество точек плоскости, лежащих на параболе .

Решение данной системы неравенств представлено на рисунке 3.

24. Изобразим на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

Решение. , .

Геометрически, решением системы неравенств , является множество точек первого координатного угла (Рис.4).

Решением неравенства поскольку , является множество точек лежащих выше ветви гиперболы, служащей графиком функции .

Решением неравенства является множество точек, лежащих ниже прямой и на прямой, служащей графиком функции .

Решение данной системы неравенств представлено на рисунке 4.

25. Решим графически систему неравенств:

Решение. Построим параболу и прямую . Множество, заданное системой неравенств, состоит из точек, лежащих на параболе или под ней и одновременно на прямой или над ней.

Решение данной системы неравенств представлено на рисунке 5.

Рис.5 Рис.6

26. Решим графически систему двух неравенств:

Решение. Решением первого неравенства являются точки полуплоскости с границей , включая эту прямую. Решением второго неравенства является внутренность круга с центром в начале координат и радиусом, равным , включая точки окружности, которая является границей круга.

Решением системы неравенств является множество точек координатной плоскости, ограниченное дугой окружности и прямой . Решение данной системы неравенств представлено на рисунке 6.

.Симметрические системы .Метод введения новой переменной.

Симметрическая система-система, все уравнения которой симметрические. Симметрические уравнения от двух переменных х и у – уравнения, которые не изменяются при замене х на у и у на х.

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №42. Линейные уравнения и неравенства с двумя переменными

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Решение уравнений, неравенств, систем уравнений и систем неравенств с двумя переменными;
• Изображение в координатной плоскости множества решений уравнений, неравенств, систем уравнений, систем неравенств;
• Нахождение площади получившейся фигуры.

Глоссарий по теме

Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными, где a, b и c — некоторые числа (a ≠ 0 , b ≠0), а, х и у — переменные.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. Учебник: Алгебра 9 кл с углубленным изучением математики Мнемозина, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Уравнения, а также системы уравнений имеют давнюю историю. Нам известно, что уже в Древнем Вавилоне и Индии повседневные задачи, связанные с земляными работами или планированием военных расходов, а также астрономическими наблюдениями решались с помощью уравнений и их систем.

В то время еще не существовало привычного нам формального языка математики. Вавилоняне, также, как и индусы не использовали в своих трактатах привычные нам «икс» и «игрек». Не обозначали степень надстрочными индексами. И т.д. Их уравнения записаны в виде текстовых задач. Также, как и решения, не похожи на современные, а скорее напоминают цепочку логических рассуждений.

Вместе с тем, если перевести в привычный нам вид те уравнения, которые умели решать в Древнем Вавилоне, то мы увидим: . И в древнем индийском манускрипте «Ариабхаттиам», датируемом 499 годом нашей эры, также встречаются задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений. Индийские мудрецы (слово ученый тоже еще не существовало) уже не ограничивались решением конкретных житейских задач, но и работали над решением квадратного уравнения в общем виде.

Привычный нам вид уравнения обретают только в конце шестнадцатого века, благодаря трудам Франсу Виета (1540 – 1603 гг.). Именно он, помимо прочих своих научных достижений обладает и неофициальным титулом «создатель алгебры». Поскольку разработал и активно внедрял символический язык алгебры – те самые, привычные нам «иксы и игреки».

1.Найдите уравнения, которые являются линейными.

4х + 5у = 10; ; у = 7х +4

Ответ: 4х + 5у = 10; у = 7х +4

Сегодня на уроке мы вспомним что такое линейные уравнения и неравенства с двумя переменными; системы линейный уравнений и неравенств, а также научимся изображать множество на плоскости, задаваемое линейным уравнением и неравенством.

1. Линейные уравнения с двумя переменными.

Уравнение вида ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется линейным уравнением с двумя переменными х и у.

Решением уравнения ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется пара значений обращающая уравнение в верное числовое равенство.

Если одновременно а и b, то уравнение ах + by +с =0 является уравнением некоторой прямой. Для построения прямой достаточно найти две точки этой прямой.

Построить график уравнения 2х+у =1

На координатной плоскости отметим точки с координатами (0;1) и (2;-3). Через две точки на плоскости проведем прямую. Полученная прямая является геометрической моделью уравнения 2х+у =1.

1. Линейные неравенства с двумя переменными.

Линейным неравенством с двумя переменными называется неравенство вида ах + bу + с 0, где х и у – переменные, а, b, c – некоторые числа.

Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая его в верное равенство.

Является ли пара (2;1) решением неравенства 5х + 2у > 4 . Является, тк при подстановке в него вместо х числа 2, а вместо у числа 1 получается верное равенство 10 + 2 > 4.

Если каждое решение неравенства с двумя переменными изобразить точкой в координатной плоскости, то получится график этого неравенства. Он является некоторой фигурой.

Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству 3х – 2у +6 > 0.

1. Уравнение 3х – 2у +6 = 0 является уравнением прямой, проходящей через точки(- 2; 0) и (0; 3).
2. Пусть точка М₁(х_1,у₁) лежит в заштрихованной полуплоскости (ниже прямой 3х – 2у +6 = 0, а М₂(х_1,у₂)лежит на прямой 3х – 2у +6 = 0_. Тогда 2у₂ – 3х₁ – 6 = 0, а 2у₁ – 3х₁ – 6 0 штриховкой (рис. 1)

Рисунок 1 – решение неравенства 3х – 2у +6 > 0

Если в линейном неравенстве с двумя переменными знак неравенства заменить знаком равенства, то получится линейное уравнение ах + by +с =0, графиком которого является прямая при условии, что и . Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Одна из них является графиком неравенства ах + bу + с 0

Чтобы решить неравенство ах + bу + c 0, достаточно взять какую-нибудь точку М₁(х₁; у₁), не лежащую на прямой aх + bу + c = 0, и определить знак числа aх₁ + bу₁ + c.

Уравнения и неравенства с двумя переменными и их геометрическое решение
методическая разработка по математике (11 класс)

Разработка комплекса уроков содержит задания, аналитическое и графическое решения.Предназначена для подготовки к ЕГЭ.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Уравнения и неравенства с двумя переменными

и их геометрическое решение

2. Уравнения с двумя переменными, их геометрическое решение и применение.

2.1 Системы уравнений.

2.2 Примеры решения уравнений с двумя переменными.

2.3. Примеры решения систем уравнений с двумя переменными.

3. Неравенства и их геометрическое решение.

3.1. Примеры решения неравенств с двумя переменными

3.2. Примеры решения систем неравенств.

4. Графический метод решения задач с параметрами.

5.Список использованной литературы.

Изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики, и свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи, и порой является единственным средством их решения. Также графический метод решения уравнений позволяет определить число корней уравнения, значения корня, найти приближенные, а иногда точные значения корней.

В технике и физике часто используются именно графическим способом задания функций. Ученый- сейсмолог, анализируя сейсмограмму, узнает, когда было землетрясение, где оно произошло, определяет силу и характер толчков. Врач, исследовавший больного, может по кардиограмме судить о нарушениях сердечной деятельности: изучение кардиограммы помогает правильно поставить диагноз заболевания. Инженер – радиоэлектроник по характеристике полупроводникового элемента выбирает наиболее подходящий режим его работы. Количество таких примеров легко увеличить. Более того, по мере развития математики растет проникновение графического метода в самые различные области жизни человека. В частности, использование функциональных зависимостей и построение графиков широко применяется в экономике. Значит, растет и важность изучения рассматриваемого раздела математики в школе, в вузе, и особенно- важность самостоятельной работы над ним.

С развитием вычислительной техники, с ее прекрасными графическими средствами и высокими скоростями выполнения операций, работа с графиками функций стала значительно интересней, наглядней, увлекательней. Имея аналитическое представление некоторой зависимости, можно построить график быстро, в нужном масштабе и цвете, используя для этого различные программные средства.

1. Уравнения с двумя переменными и их геометрическое решение.

Уравнение вида f(x;y)=0 называется уравнением с двумя переменными.

Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара чисел (α, β), при подстановке которой (α – вместо х, β – вместо у) в уравнении имеет смысл выражение f( α; β)=0

Например, для уравнения (( х +1) ) 2 + у 2 =0 упорядоченная пара чисел (0;0) есть его решение, так как выражение ((0+1) ) 2 +0 2 имеет смысл и равно нулю, но упорядоченная пара чисел (-1;0) не является решением, так как не определен и поэтому выражение ((-1+1) ) 2 +0 2 не имеет смысла.

Решить уравнение – значит найти множество всех его решений.

Уравнения с двумя переменными может:

а) иметь одно решение. Например, уравнение х 2 +у 2 =0 имеет одно решение (0;0);

б) иметь несколько решений. Например, данное уравнение (‌‌│ х │- 1) 2 +(│ у │- 2) 2 имеет четыре решения: (1;2),(-1;2),(1;-2),(-1;-2);

в) не иметь решений. Например уравнение х 2 +у 2 + 1=0 не имеет решений;

г) иметь бесконечно много решений. Например, такое уравнение, как х-у+1=0 имеет бесконечно много решений

Иногда бывает полезной геометрическая интерпретация уравнения f(x;y)=g(x;y) . На координатной плоскости хОу множество всех решений – некоторое множество точек. В ряде случаев это множество точек есть некоторая линия, и в этом случае говорят, что уравнение f(x;y)=g(x;y) есть уравнение этой линии, например:

1. уравнение Ах+Ву+С=0 (А 2 +В 2 0) есть уравнение прямой (рис.1);
2. уравнение х 2 +у 2 =R 2 (R 0) есть уравнение окружности ( рис.2);
3. уравнение ху=а (а 0) есть уравнение гиперболы (рис.3,4);
4. уравнение у=ах 2 +bх+с (а 0) есть уравнение параболы (рис.5);
5. уравнение х 2 +у 2 =0 задает одну точку (0;0) (рис.6)

2.1 Системы уравнений

Пусть заданы два уравнения с неизвестными х и у

F 1 ( x; y)=0 и F 2 (x; y)=0

Будем считать, что первое из этих уравнений задаёт на плоскости переменных х и у линию Г 1 , а второе — линию Г 2 . Чтобы найти точки пересечения этих линий, надо найти все пары чисел (α, β), такие, что при замене в данных уравнениях неизвестной х на число α и неизвестной у на число β, получаются верные числовые равенства. Если поставлена задача об отыскании всех таких пар чисел, то говорят, что требуется решить систему уравнений и записывают эту систему с помощью фигурной скобки в следующем виде

Решением системы называется такая пара чисел (α, β), которая является решением как первого, так и второго уравнений данной системы.

Решить систему – значить найти множество всех ее решений, или доказать, что решений нет.

В ряде случаев геометрическая интерпретация каждого уравнения системы, ибо решения системы соответствуют точкам пересечения линий, задаваемых каждым уравнением системы. Часто геометрическая интерпретация позволяет лишь догадаться о числе решений.

Например, выясним, сколько решений имеет система уравнений

Первое из уравнений системы задает окружность радиусом R= c центром (0;0), а второе – параболу, вершина которой находится в той же точке. Теперь ясно, что имеются две точки пересечения этих линий. Следовательно, система имеет два решения – это (1;1) и (-1;1)

1. Примеры решения уравнений с двумя переменными

Изобразите все точки с координатами (х;у), для которых выполняется равенство.

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений

Каждое из полученных уравнений определяет на координатной плоскости прямую.

Решением данного уравнения является множество точек плоскости, координаты, которых удовлетворяют совокупности уравнений

На координатной плоскости решение будет выглядеть так

Решение: Воспользуемся определением абсолютной величины и заменим данное уравнение равносильной совокупностью двух систем

у=х 2 +2х у = -х 2 +2х

х 2 +2х=0 х в =1 у в =1

Решить систему графическим способом:

В каждом уравнении выразим переменную у через х и построим графики соответствующих функций:

у = +1

а) построим график функции у=

График функции у = +1 получается из графика у = путем сдвига на две единицы вправо и на одну единицу вверх :

у = — 0,5х+2 — это линейная функция, графиком которой является прямая

Решением данной системы являются координаты точки пересечения графиков функций.

3.Неравенства и их геометрическое решение.

Неравенство с двумя неизвестными можно представить так: f(x;y) >0, где Z = f(x;y) – функция двух аргументов х и у . Если мы рассмотрим уравнение f(x;y) = 0, то можно построить его геометрическое изображение, т.е. множество точек М(х;у), координаты которых удовлетворяют этому уравнению. В каждой из областей функция f сохраняет знак, остается выбрать те из них, в которых f(x;у ) >0 .

Рассмотрим линейное неравенство ax+by+c >0 . Если один из коэффициентов a или b отличен от нуля, то уравнение ax+by+c=0 задает прямую, разбивающую плоскость на две полуплоскости. В каждой из них будет сохраняться знак функции z = ax+by+c. Для определения знака можно взять любую точку полуплоскости и вычислить значение функции z в этой точке.

Решением неравенства является множество точек правой полуплоскости (закрашенной на рисунке 1)

Неравенству │y│+0,5 ≤ удовлетворяет множество точек плоскости (х;у), заштрихованной на рисунке 2. Для построения данной области воспользуемся определением абсолютной величины и способами построения графика функции с помощью параллельного переноса графика функции по оси ОХ или ОУ

3.1. Примеры решения неравенств с двумя переменными.

Изобразите множество решений неравенства

3.2. Примеры решения систем неравенств.

Изобразите множество решений системы неравенств на координатной плоскости

4. Графический метод решения задач с параметрами

Задачами с параметрами называют задачи, в которых участвуют фактически функции нескольких переменных, из которых одна переменная х выбрана в качестве независимой переменной, а оставшиеся играют роль параметров. При решении таких задач особенно эффективны графические методы. Приведем примеры

1. Определите, при каком значении а уравнение имеет ровно три различных действительных корня. Решение: построим график функции у= . Уравнение у=а определяет семейство прямых, параллельных оси абсцисс.

По рисунку видно, что прямая у=4 пересекает график функции у= в трех точках. Значит, исходное уравнение имеет три решения при а= 4.

1. Найти все значения параметра а , при которых уравнение х 2 -6|х|+5=а имеет ровно три различных корня.

Решение: Построим график функции у=х 2 -6х+5 для х ≥0 и отражаем его зеркально относительно оси ординат. Семейство прямых, параллельных оси абсцисс у=а , пересекает график в трех точках при а =5

3. Найти все значения а, при которых неравенство имеет хотя бы одно положительное решение.