Тема урока рациональные уравнения и системы

Урок в 10 классе «Рациональные уравнения».
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

Данный урок предназначен для изучения темы в 10 классе: «Рациональные уравнения.» Тип урока: урок- лекция.

Скачать:

Предварительный просмотр:

МОУ «Гимназия № 5 г. Белгорода»

Тема урока: Рациональные уравнения.

УМК : Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10кл. общеобразоват. учреждений/[С.М.Никольский, М.К. Потапов.].-5-е изд., доп.-М.: Просвещение , 2006.-432с. Стр.65-74., 45-47.

Образовательная: систематизировать и обобщить известные из основной школы сведения о рациональных выражениях; показать способы решения рациональных уравнений;

Развивающая: расширить и углубить изучение различных видов рациональных уравнений разнообразными методами.

Воспитывающая: показать значимость изучаемой темы в разделе математика.

Тип урока: урок- лекция.

1. Постановка цели урока (1мин).
2. Подготовка к изучению нового материала(2 мин).
3. 3.Ознакомление с новым материалом(38мин).
4. 4.Итог урока.(2 мин)
5. 5.Домашнее задание (2 мин)

Оборудование урока: интерактивная доска, проектор, компьютер.

1. Рациональные выражения.

2. Рациональные уравнения.

3.Системы рациональных уравнений.

Алгебра возникла из решения практических задач с помощью уравнений. Цели алгебры оставались неизменными на протяжении тысячелетий- решались уравнения: сначала линейные, потом квадратные, а там и уравнения еще больших степеней. Но форма, в которой излагались алгебраические результаты, менялись до неузнаваемости.

Уравнение- это самая распространенная форма математической задачи. Учение об уравнениях является главным содержанием школьного курса алгебры. Для решения уравнений нужно уметь производить действия над одночленами, многочленами алгебраическими дробями, уметь производить разложение на множители, раскрывать скобки и т. д. Нужно привести свои знания в порядок. Мы начнем повторение с понятия «рациональные выражения». Сообщение ученика о рациональных выражениях известных из основной школы. Таким образом, учение об уравнениях невозможно без учения о законах действий.

II. Основная часть.

Главное в понятии уравнения – это постановка вопроса о его решении. Уравнение, левая и правая части которого есть рациональные выражения относительно х, называют рациональным уравнением с неизвестным х.

Например, уравнения 5х 6 — 9х 5 + 4х — Зх + 1 = 0, являются рациональными.

Корнем (или решением) уравнения с неизвестным х называют число, при подстановке которого в уравнение вместо х получается верное числовое равенство.

Решить уравнение — значит найти все его корни или показать, что их нет. При решении рациональных уравнений приходится умножать и делить обе части уравнения на не равное нулю число, переносить члены уравнения из одной части в другую, применять правила сложения и вычитания алгебраических дробей. В результате будет получаться уравнение, равносильное предшествующему, т. е. уравнение, имеющее те же корни, и только их.

Перечислим стандартные уравнения, которые были нами изучены. Ответы учащихся.( линейное уравнение , квадратное уравнение, простейшее степенное уравнение х n =а). Преобразование уравнений к одному из стандартных является основным шагом в решении уравнения. Полностью алгоритмизировать процесс преобразования нельзя, однако полезно запомнить некоторые приемы, общие для всех типов уравнений.

1).Уравнение вида А(х)•В(х) = О, где А(х) и В(х) — многочлены относительно х, называют распадающимся уравнением .

Множество всех корней распадающегося уравнения есть объединение множеств всех корней двух уравнений А(х)=0 и В(х)=0. К уравнениям вида А(х)=0 применяется метод разложения на множители. Суть этого метода : нужно решить уравнение А(х)=0, где А(х)=А 1 (х)А 2 (х)А 3 (х). Уравнение А(х)=0 заменяют совокупностью простых уравнений: А 1 (х)=0,А 2 (х)=0,А 3 (х)=0. Находят корни уравнений этой совокупности и делают проверку. Метод разложения на множители используется в основном для рациональных и тригонометрических уравнений.

Решим уравнение (х 2 — 5х + 6) (х 2 + х — 2) = 0.

Уравнение распадается на два уравнения.

х 2 — 5х + 6 = 0 х 1 = 2 и х 2 = 3

х 2 + х — 2 = 0. х 3 = -2 и х 4 = 1

Значит, уравнение исходное имеет корни х 1 = 2, х 2 = 3, х 3 = -2, х 4 =1.

ПРИМЕР. Решим уравнение х 3 -7х+6=0.

х-1=0 , х 1 =1; х 2 +х-6=0, х 2 =2,х 3 =-3.

2).Уравнение вида , где А(х) и В(х) — многочлены относительно х.

Сначала решим уравнение

х 2 + 4х — 21 = 0. х 1 = 3 и х 2 = -7

Подставив эти числа в знаменатель левой части исходного уравнения, получим

х 1 2 — х 1 -6 = 9-3-6 = 0,

х 2 2 — х 2 — 6 = 49 + 7 — 6 = 50 ≠0.

Это показывает, что число х 1 = 3 не является корнем исходного уравнения, а число х 2 =- 7 — корень этого уравнения.

где А(х), В(х), С(х) и D(х) — многочлены относительно х, обычно решают по следующему правилу.

Решают уравнение А(х)•D(х) — С(х)·В(х) = 0 и отбирают из его корней те, которые не обращают в нуль знаменатель уравнения.

х 2 — 5х + 6 — (2х + 3) (х — 3) = 0.

х 1 = -5 и х 2 = 3.

Число х 1 не обращает в нуль знаменатель х — 3, а число х 2 обращает. Следовательно, уравнение имеет единственный корень = -5.

Найти корни рационального уравнения часто помогает замена неизвестного. Умение удачно ввести новую переменную- важный элемент математической культуры. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной.

Решим уравнение х 8 + 4х 6 -10х 4 + 4х 2 + 1 = 0.

Число х 0 = 0 не является корнем уравнения, поэтому уравнение равносильно уравнению

х 4 + 4х 2 — 10 + + =0

Обозначим t = ,тогда х 4 + =t 2 -2 ,

получаем t 2 + 4t — 12 = 0, х 1 = 2 и х 2 = -6.

Следовательно, корни уравнения найдем, объединив все корни двух уравнений: =2, и =-6,

Первое уравнение имеет два корня -1 и 1, а второе уравнение не имеет действительных корней, поэтому уравнение имеет только два корня: -1 и 1. Ответ. -1; 1.

4). Симметрические уравнения.

Многочлен от нескольких переменных называют симметрическим многочленом, если его вид не изменяется при любой перестановке этих переменных.

Например, многочлены х + у, а 2 + b 2 — 1, zt и 5а 3 + 6ab + 5b 3 — симметрические многочлены от двух переменных, а многочлены х + у + г, а 3 + b 3 + с 3 , — симметрические многочлены от трех переменных.

В то же время многочлены х — у, а 2 –b 2 и а 3 + аb – b 3 — не симметрические многочлены.

Уравнение ax 4 +bx 3 +cx 2 +bx+a=0, где а R/ ,b R, с R называется симметрическим уравнением четвертой степени. Чтобы решить это уравнение необходимо:

1).Поделить обе части уравнения на х 2 и сгруппировать полученные выражения: .

2).Введение переменной уравнение приводится к квадратному.

Решите уравнение х 4 +5х 3 +4х 2 -5х+1=0.

Число 0 не является корнем уравнения. Поделим обе части уравнения на х 2 ≠0.

Системы рациональных уравнений.

Системы уравнений появляются при решении задач, в которых неизвестными являются несколько величин. Эти величины связаны определенной зависимостью, которые записываются в виде уравнений.

Уравнение, левая и правая части которого есть рациональные выражения относительно х и у, называют рациональным уравнением с двумя неизвестными х и у.

Если надо найти все пары чисел х и у, каждая из которых является решением каждого из данных уравнений с двумя неизвестными х и у, то говорят, что надо решить систему уравнений с двумя неизвестными х и у и каждую такую пару называют решением этой системы.

Неизвестные могут обозначаться и другими буквами. Аналогично определяется система уравнений, число неизвестных в которой больше двух.

Если каждое решение первой системы уравнений является решением второй системы, а каждое решение второй системы уравнений является решением первой системы, то такие системы называют равносильными. В частности, равносильными считаются две системы, не имеющие решений.

Например, равносильны системы

1). Способ подстановки .

ПРИМЕР 1. Решим систему уравнений

Выразив у через х из первого уравнения системы, получим уравнение:

Решив уравнение 5x 2 -4(3x-1)+3(3x-1) 2 =9, найдем его корни х 1 = 1 и х 2 = . Подставив найденные числа х 1 и х 2 в уравнение у = 3х — 1 , получим у 1 = 2

и у = Следовательно, система имеет два решения: (1; 2) и ( ; )

2). Метод алгебраического сложения.

ПРИМЕР 2. Решим систему уравнений

Оставив без изменения первое уравнение системы и сложив первое уравнение со вторым, получим систему равносильную системе.

Все решения системы есть объединение всех решений двух систем:

Решив каждую из этих систем, найдем все решения системы :

3). Метод введение новых неизвестных.

ПРИМЕР 3. Решим систему уравнений

Обозначив u = ху, v = х — у, перепишем систему в виде

Найдем ее решения: u 1 = 1, v 1 = 0 и u 2 = 5, v 2 = 4. Следовательно, все решения системы есть объединение всех решений двух систем:

Решив методом подстановки каждую из этих систем, найдем ее решения системы: (1; 1), (-1; -1), (5; 1), (-1; -5).

Ответ. (1; 1), (-1; -1), (5; 1), (-1; -5).

4). Уравнение вида ах 2 + bху + су 2 = 0, где а, b, с — данные неравные нулю числа, называют однородным уравнением относительно неизвестных х и у.

Рассмотрим систему уравнений, в котором есть однородное уравнение.

ПРИМЕР 4. Решим систему уравнений

Обозначив t = , перепишем первое уравнение системы в виде t 2 +4t+3=0.

Уравнение имеет два корня t 1 = -1 и t 2 = -3, поэтому все решения системы есть объединение всех решений двух систем:

Решив каждую из этих систем, найдем все решения системы:

При решении некоторых систем помогает знание свойств симметрических многочленов.

Введем новые неизвестные α = х + у и β= ху, тогда, х 4 +у 4 = α 4 -4 α 2 β+2 β 2

Поэтому систему можно переписать в виде

Решим квадратное уравнение относительно β: β 1 =6, β 2 =44.

Следовательно, все решения системы являются объединением

всех решении двух систем:

Первая система имеет два решения х 1 = 2, у 1 = 3 и х 2 = 3, у 2 =2, а вторая система не имеет действительных решений. Следовательно, система имеет два решения: (х: 1 ; у 1 ) и (х 2 ;у 2 )

Сегодня мы подвели итоги изучения темы рациональные уравнения. Мы поговорили об общих идеях, общих методах, на которых основана вся школьная линия уравнений.

Выделили методы решения уравнений:

1) метод разложения на множители;

2) метод введения новых переменных.

Расширили представления о методах решения систем уравнений.

На следующих 4 уроках проведем практические занятия. Для этого необходимо выучить теоретический материал, и подобрать из учебника по 2 примера на рассмотренные методы решения уравнений и систем уравнений, на 6 уроке будет проведен семинар по этой теме, для этого необходимо подготовить вопросы: формула бинома Ньютона, решение симметрических уравнений 3,5 степени. Заключительный урок по этой теме — зачет.

1. Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10кл. общеобразоват. учреждений/[С.М.Никольский, М.К. Потапов.].-5-е изд., доп.-М.: Просвещение , 2006.-432с. Стр.65-74., 45-47.
2. Математика: тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами для подготовки к ЕГЭ и к другим формам выпускного и вступительного экзаменов/сост. Г.И.Ковалева, Т.И. Бузулина — Волгоград: Учитель,2009.-494с. – стр. 62-72,194-199.
3. Титаренко А.М. Математика : т9-11 классы: 6000 задач и примеров/А.М. Титаренко.-М.:Эксмо,2007.-336с.

Много можно говорить об уравнениях. В этой области математики существуют вопросы, на которые математики еще не дали ответа. Возможно, кто-то из вас найдет ответы на эти вопросы.

Альберт Эйнштейн говорил: « Мне приходиться делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента. А уравнения будут существовать вечно ».

Уроки 2-5 отводиться практическим занятиям. Основным видом занятий на этих уроках является самостоятельная работа учащихся по закреплению и углублению теоретического материала, изложенного на лекции. На каждом из них проводится повторение вопросов теории и опрос учащихся. На основе самостоятельной работы на уроке и дома обеспечивается повторение и усвоение вопросов теории, ведется целенаправленная работа по выработке умений и навыков решения задач различного уровня сложности, проводится опрос учащихся. Цель: закрепить и углубить теоретический материал изложенный на лекции, научиться применять его на практике, усвоить алгоритмы решения типовых примеров и задач, добиться, чтобы все учащиеся усвоили основное содержание изучаемого раздела на уровне программных требований.

На семинар отводится 6-й и 7-й уроки, причем целесообразно на 6-м уроке провести семинар, а 7-м- зачет.

План урока – семинара.

Цель: повторение, углубление и обобщение пройденного материала, отработать основные методы, способы и приемы решения математических задач, приобретение новых знаний, обучение самостоятельному применению знаний в нестандартных ситуациях.

1. В начале урока организуется программный контроль. Цель проведения работы- проверка сформированности умений и навыков выполнения несложных упражнений. В процессе фронтального опроса учеников, неверно указавших номер ответа, учитель выясняет, какие из заданий вызвали затруднение. Далее ведется устная или письменная работа по устранению ошибок. На проведение программированного контроля отводится не более 10 минут.

2. Дифференцированный опрос нескольких учащихся по вопросам теории.

3. Историческая справка о возникновении и развитии понятия уравнения (сообщение ученика). Формула бином Ньютона. Решение симметрических уравнений третьей степени, четвертой степени, пятой степени.

х 4 -2х 3 -х 2 -2х+1=0

2х 4 +х 3 -11х 2 +х+2=0

х 5 -х 4 -3х 3 -3х 2 -х+1=0

2х 5 +3х 4 -5х 3 -5х 2 +3х+2=0

4. Решение примеров, проверка готовности учащихся к выполнению контрольной работы – это одна из главных задач семинара.

Проведение зачета не означает отказ от текущего контроля знаний учащихся. Оценки выставляются на практических и семинарских занятиях. На зачет выносятся некоторые типичные упражнения. Заранее ученикам сообщается, какой теоретический материал и упражнения будут представлены на зачете. Приведем содержание одной из карточек для проведения зачета по рассматриваемой теме.

Решите уравнения: (х+3) 4 +(х 2 +х-6) 2 =2(х-2) 4

Рациональные и иррациональные уравнения и системы уравнений

РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ.

(Раздел «Уравнения и неравенства»)

ДЕЯТЕЛЬНОСТНАЯ КАРТА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

Просмотр содержимого документа
«Рациональные и иррациональные уравнения и системы уравнений»

(Раздел «Уравнения и неравенства»)

ДЕЯТЕЛЬНОСТНАЯ КАРТА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

Профессии: 15.01.20 Слесарь по контрольно-измерительным приборам и автоматике, 09.01.03 Мастер по обработке цифровой информации, 23.01.03 Автомеханик, 09.01.01 Наладчик аппаратного и программного обеспечения

Учебные группы: КИП-11, М-11, А-11, Н-11

Учебная дисциплина: ООПу.04 Математика

Тема учебного занятия: Рациональные и иррациональные уравнения и системы уравнений.

Тип урока: урок «открытия» новых знаний

Вид урока: лекция-беседа

технические: мультимедийный проектор, персональный компьютер;

информационно-коммуникационные: электронная презентация.

методическая: использование объяснительно-иллюстративного метода обучения с целью формирования математического мышления студентов;

образовательная: создание условий для овладения знаниями о рациональных и иррациональных уравнениях и систем уравнений;

развивающая: развитие умений планировать, анализировать, выдвигать гипотезы по решению заданий, применять полученные знания для выполнения упражнений;

воспитательная: воспитание интереса к изучению математики, математической культуры студентов.

сформированность знаний о рациональных и иррациональных уравнениях и систем уравнений;

владение умением решать задачи на рациональные и иррациональные уравнения и системы уравнений;

умение ставить перед собой цель, видеть ожидаемый результат работы;

умение рационально распределять рабочее время;

умение объективно оценивать свои возможности, анализировать свои результаты, корректировать свои действия;

владение навыками познавательной рефлексии;

умение осуществлять поиск и отбор необходимой информации;

умение сопоставлять и анализировать, выделять в тексте базовые и вспомогательные концепты, опорные понятия, тезисы, структурировать их взаимосвязь;

умение структурировать полученную информацию;

умение анализировать и обобщать информацию;

умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности;

умение выражать свои мысли с достаточной полнотой и точностью.

Образовательные технологии: традиционное обучение.

Формы организации обучения: фронтальная, индивидуальная.

Методы обучения и контроля:

практические: метод сравнения, метод анализа и структурирования.

методы контроля и самоконтроля: устный контроль, самоконтроль.

Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (утв. приказом Министерства образования и науки Российской Федерации (Минобрнауки России) от 17 мая 2012 г. № 413 г.). – М.: Министерство образования и науки РФ, – 2012.

Башмаков М. И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. − М.: Издательский центр «Академия», 2018. – 256 с.

Башмаков М. И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. − М.: Издательский центр «Академия», 2014. – 416 с.

Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10—11 классы. Учебник. − М.: Просвещение, 2014. – 464 с.

Атанасян Л.С. Геометрия. 10 − 11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни / Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. – М.: Просвещение, 2013. – 255 с.

Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для техникумов / Н.В. Богомолов. – М.: Высш. шк., 2013. – 495 с.

Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика (Книга 1): Учебное пособие. – М.: Издательство «Новая волна», 2013. – 656 с.

Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика (Книга 2): Учебное пособие. – М.: Издательство «Новая волна», 2013. – 592 с.

Никольский С.М. Алгебра и начала анализа: учебник для 10 класса общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / С.М. Никольский, М.К. Потапов. – М.: Просвещение, 2013. – 430 с.

Никольский С.М. Алгебра и начала анализа: учебник для 11 класса общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / С.М. Никольский, М.К. Потапов. – М.: Просвещение, 2013. – 464 с.

Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов [Электронный ресурс] URL: www. fcior. edu. ru

Единая коллекции цифровых образовательных ресурсов [Электронный ресурс] URL: www. school-collection. edu. ru

Инновационные педагогические технологии: учебное пособие/ Михелькевич В.Н., Нестеренко В.М., Кравцова П.Г. – Самар. гос. тех. ун-т Самара, 2001. – 89 с.

Кульневич С.В., Лакоценина Т.П. Современный урок. Часть 1: Научно-практич. пособие для учителей, методистов, руководителей учебных заведений, студентов пед. заведений, слушателей ИПК. – Ростов н/Д: Учитель, 2005. – 288 с.

Кульневич С.В., Лакоценина Т.П. Современный урок. Часть 3: Научно-практич. пособие для учителей, методистов, руководителей учебных заведений, студентов пед. заведений, слушателей ИПК. – Ростов н/Д: Учитель, 2007. – 288 с.

Махмутов М.И. Проблемное обучение: Основные вопросы теории. – М.: Педагогика, 1975. – 368 с.

Основные термины и понятия: рациональные уравнения, иррациональные уравнения, рациональные системы уравнения, иррациональные системы уравнения.

ПЛАН УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

Содержание учебного материала:

1) Сформированность знаний о рациональных и иррациональных уравнениях и систем уравнений.

2) Закрепление теоретического материала по теме с помощью решения упражнений.

Этап мотивации (самоопределения) к учебной деятельности (2 мин)

Преподаватель приветствует студентов, создает деловую обстановку, настраивает на продуктивную мыслительную деятельность.

Этап актуализации опорных знаний. Целеполагание (15 мин)

Преподаватель задает вопросы студентам:

Что такое рациональное уравнение?

Что такое иррациональное уравнение?

Студенты отвечают на эти вопросы, вспоминая знания, полученные на предыдущем занятии.

Формулирование темы и целей учебного занятия.

Работа над новой темой («открытие» нового знания) (48 мин)

Алгоритм работы над «открытием» нового знания:

Формулирование преподавателем определений рациональных и иррациональных уравнений и систем уравнений.

Рациональным уравнением с двумя переменными 𝑥 и 𝑦 называют

уравнение вида 𝑔(𝑥,𝑦)=0, где 𝑔(𝑥,𝑦) — рациональное выражение.

Примеры рациональных уравнений с двумя переменными 𝑥 и 𝑦.

Решением уравнения 𝑔(𝑥,𝑦)=0 называют такую пару чисел (𝑥;𝑦),

которая обращает равенство 𝑔(𝑥,𝑦)=0 в верное числовое равенство.

Если поставлена задача найти пары чисел (𝑥;𝑦), которые одновременно удовлетворяют уравнению 𝑔(𝑥,𝑦)=0 и уравнению 𝑝(𝑥, 𝑦) = 0, то говорят, что уравнения 𝑔(𝑥,𝑦)=0 и 𝑝(𝑥, 𝑦) = 0 образуют систему уравнений:

Пару значений (𝑥;𝑦), которая одновременно является решением и первого, и второго

уравнений системы, называют решением системы уравнений.

Решить систему уравнений — это значит найти все её решения или установить, что решений нет.

a) Пара чисел (1;1) является решением системы уравнений, т. к.

обращает каждое уравнение системы в верное числовое равенство.

б) Пара чисел (2;8) не является решением системы уравнений, т. к.

только первое уравнение системы обращает в верное числовое равенство.

Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называются иррациональными.

Решение иррациональных уравнений обычно сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путём возведения в степень 𝑛 обеих частей уравнения.

При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать следующее:
1. если показатель корня — чётное число, то подкоренное выражение и значение корня не должны быть отрицательными;

2. если показатель корня — нечётное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом;

3. при возведении обеих частей уравнения в чётную степень могут возникать посторонние корни, поэтому при использовании данного метода необходимо делать проверку или находить область допустимых значений.

Включение нового знания в систему имеющихся знаний (20 мин)

Среди рациональных уравнений

5(𝑡+6)=4𝑡−7 является целым уравнением,

а , — дробные рациональные уравнения.

Чтобы решить дробное рациональное уравнение, надо:

— перенести все слагаемые из правой части в левую (если необходимо), поменяв знаки на противоположные;
— привести дроби к общему знаменателю;
— заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель;

— решить получившееся целое уравнение;

— исключить корни, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Дробь обращается в нуль лишь при условиях, что числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

1) решить уравнение .
Решение. Умножим обе части уравнения на знаменатель и

решим линейное уравнение:

Ответ: 𝑢=2.

2) Решить уравнение .
Решение. Дробь обращается в нуль лишь при условиях, что числитель равен нулю,

а знаменатель отличен от нуля. Значит, получаем

Поскольку при 𝑥=−3,5 знаменатель не обращается в нуль, то это значение является корнем уравнения.
Ответ: 𝑥=−3,5.

Пример иррациональных уравнений:

1. решить уравнение .

Возведём обе части уравнения в четвёртую степень:

2. Решить уравнение .

Решение: возведём обе части уравнения в квадрат:

Полученное неполное квадратное уравнение имеет два корня: −5 и 5.
Произведём проверку полученных корней, для этого подставим значения переменной 𝑥 в исходное уравнение.

Проверка
При — верно.
При — верно.
Значит, исходное иррациональное уравнение имеет два корня.
Ответ: −5 и 5.

3. Решить уравнение .

Решение: уравнение не имеет корней. Корень чётной степени — неотрицательное число.

Решение: возведём обе части уравнения в куб:

Рефлексия. Подведение итогов учебного занятия (5 мин)

Беседа со студентами по содержанию занятия. Вопросы для беседы:

Какая была тема сегодняшнего занятия?

Что нового вы узнали?

Какая была цель занятия?

Что получилось у вас сегодня?

Что не получилось?

Достигли ли мы поставленной цели?

Инструктирование о выполнении домашнего задания

Урок «Решение рациональных, иррациональных уравнений и систем»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема урока : « Решение рациональных, иррациональных уравнений и систем ».

закрепить основные способы решения рациональных и иррациональных уравнений и систем;

Повторить некоторые приемы решения рациональных и иррациональных уравнений;

формировать приемы логического мышления;

развивать умения анализировать, умения работать с информацией, представленной в различных формах;

развивать коммуникативные умения;

развивать интерес к предмету.

воспитание коммуникативной и информационной культуры студентов;

эстетическое воспитание осуществляется через формирование умения рационально, аккуратно оформлять задание на доске и в тетради.

Вид урока: комбинированный, с работой на ИД, частично – поисковый.

Тип урока: урок совершенствования умений и навыков .

Технологии обучения: информационно – коммуникационная, здоровье сберегающая, коллективная.

ноутбук, интерактивная доска, проектор, презентация.

презентация к учебному занятию в PowerPoint ««Уравнения, неравенства и системы»;электронные ресурсы;

Башмаков М.И. Математика. Учебник для НПО и СПО . Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа (профильный уровень). 11. В 2ч. Ч.1. Учебник и задачник.

чертежные принадлежности, тетради студентов.

1.Актуализация ранее усвоенных знаний:

1.1. Проверка домашнего задания ( фронтальная проверка, выборочно проверить в тетрадях ) .

1.2.Фронтальный опрос: по теме «Рациональные и иррациональные уравнения» . Повторить алгоритм решения рациональных и иррациональных уравнений, и их систем, основные методы решения, изучаемые ранее.

Рациональное выражение – это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной x с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем. Ну а рациональное уравнение – это равенство двух рациональных выражений.

Дробно рациональные уравнения — рациональные (без знака корня) уравнения, в которых левая или правая части являются дробными выражениями.

Какие уравнения называются иррациональными? ( Иррациональными называются уравнения, содержащие переменную под знаком радикала.)

О чем приходится задумывать и помнить при решении иррационального уравнения? ( Надо помнить об области допустимых значений переменной в уравнении – об ОДЗ).

3) Для следующих уравнений назовите ОДЗ:

4) В следующих случаях восстановите запись:

5) Что нам показывают две последние записи? ( Два стандартных способа решения простейших иррациональных уравнений.)

6) Назовите эти способы (- замена уравнения уравнением-следствием путем возведения обеих частей уравнения в квадрат с обязательной последующей проверкой корней уравнения-следствия в исходном уравнении; — замена иррационального уравнения равносильной смешанной системой).

2. Систематизация и закрепление материала : (формы на данном этапе: фронтальная и индивидуальная работа; методы: наглядный, частично — поисковый, проблемный).

2.1. Фронтальная беседа с обучающимися:

Полностью алгоритмизировать процесс преобразования нельзя, однако полезно запомнить некоторые приемы, общие для всех типов уравнений.

1).Уравнение вида А(х)•В(х) = О, где А(х) и В(х) — многочлены относительно х, называют распадающимся уравнением .

Множество всех корней распадающегося уравнения есть объединение множеств всех корней двух уравнений А(х)=0 и В(х)=0. К уравнениям вида А(х)=0 применяется метод разложения на множители. Суть этого метода : нужно решить уравнение А(х)=0, где А(х)=А ₁ (х)А ₂ (х)А ₃ (х). Уравнение А(х)=0 заменяют совокупностью простых уравнений: А ₁ (х)=0,А ₂ (х)=0,А ₃ (х)=0. Находят корни уравнений этой совокупности и делают проверку. Метод разложения на множители используется в основном для рациональных и тригонометрических уравнений (примеры 1-2).

2).Уравнение вида , где А(х) и В(х) — многочлены относительно х (пример3)

где А(х), В(х), С(х) и D(х) — многочлены относительно х, обычно решают по следующему правилу.

Решают уравнение А(х)•D(х) — С(х)·В(х) = 0 и отбирают из его корней те, которые не обращают в нуль знаменатель уравнения (пример 4).

2.2. Решение рациональных уравнений и систем: № 33.1(а,б).

Уравнение распадается на два уравнения.

Значит, уравнение исходное имеет корни х ₁ = 2, х ₂ = 3, х ₃ = -2, х ₄ =1. Ответ. -2; 1; 2; 3.

ПРИМЕР 2 . Решим уравнение х 3 -7х+6=0.

Сначала решим уравнение

Подставив эти числа в знаменатель левой части исходного уравнения, получим

х ₂ 2 — х ₂ — 6 = 49 + 7 — 6 = 50 ≠0.

Это показывает, что число х ₁ = 3 не является корнем исходного уравнения, а число х ₂ =- 7 — корень этого уравнения. Ответ. -7.

х 2 — 5х + 6 — (2х + 3) (х — 3) = 0.

Число х ₁ не обращает в нуль знаменатель х — 3, а число х ₂ обращает. Следовательно, уравнение имеет единственный корень = -5. Ответ. -5.

Найти корни рационального уравнения часто помогает замена неизвестного. Умение удачно ввести новую переменную- важный элемент математической культуры. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной.

Решим уравнение х 8 + 4х 6 -10х 4 + 4х 2 + 1 = 0.

Число х ₀ = 0 не является корнем уравнения, поэтому уравнение равносильно уравнению

х 4 + 4х 2 — 10 + + =0

Обозначим t = ,тогда х 4 += t 2 -2 ,

получаем t 2 + 4t — 12 = 0, х ₁ = 2 и х ₂ = -6.

Следовательно, корни уравнения найдем, объединив все корни двух уравнений: =2, и =-6,

Первое уравнение имеет два корня -1 и 1, а второе уравнение не имеет действительных корней, поэтому уравнение имеет только два корня: -1 и 1. Ответ. -1; 1.

2.3. Решение иррациональных уравнений и систем:№ 33.14(а, б).