Тема урока системы тригонометрических уравнений

урок по теме «Примеры решения тригонометрических уравнений и систем уравнений»
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема урока : Примеры решения тригонометрических уравнений и систем уравнений (2ч)

1. Образовательные – обеспечить повторение и систематизацию материала темы. Создать условия контроля усвоения знаний и умений.
2. Развивающие – способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выявления главного, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.
3. Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, умения общаться, общей культуры.

1. Организационный момент

2. Систематизация теоретического материала

1 ) Вопросы проецируются на экран, учащиеся письменно отвечают на вопросы. После окончания работы, ответы собираются. Затем демонстрируются правильные ответы, учащиеся отмечают на листочках неправильные шаги, которые обсуждаются с учителем

1. Каково будет решение уравнения при ( при )?
2. При каком значении а уравнение () имеет решение?
3. Какой формулой выражается это решение?
4. На какой оси откладывается значение а при решении уравнения ( )?
5. В каком промежутке находится ()?
6. В каком промежутке находится значение а?
7. Чему равняется ()?
8. В каком промежутке находится ()?
9. Какой формулой выражается решение уравнения ()?

Учащиеся решают парами с последующим обсуждением

4. Классификация тригонометрических уравнений

Составление таблицы по методам решения тригонометрических уравнений. Учащимся предлагается решить уравнения (по вариантам) предварительно определив, что это за уравнение и каким методом оно решается. У доски данную работу выполняет один ученик – решение уравнения одного варианта. Учащиеся в тетрадях выполняют работу другого варианта

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок № 49. Системы тригонометрических уравнений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• что такое система тригонометрических уравнений;
• как решать системы тригонометрических уравнений;
• какие приемы можно использовать при решении систем тригонометрических уравнений.

Глоссарий по теме

Система уравнений – это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

Записывается с помощью знака <

– система из трех уравнений с тремя неизвестными.

Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений обращается в верное равенство.

Колягин Ю.М., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – М.: Просвещение, 2010. — 368 с.

Амелькин,, В.В., Рабцевич В.Л., Задачи с параметрами: Справ. пособие по математике – М.: «Асар», 1996. – 752 с.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Основными методами решения систем уравнений являются:

— метод замены переменной.

Также при решении систем тригонометрических уравнений используются многие тригонометрические формулы.

Рассмотрим решение систем тригонометрических уравнений.

При решении этой системы можно действовать по-разному:

1) можно использовать формулы преобразования произведения в сумму синусов (в первом уравнении) или косинусов (во втором уравнении)

2) можно использовать формулами косинуса суммы и разности во втором уравнении.

Воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму косинусов:

.

Теперь, учитывая, что косинус двойного аргумента может быть выражен через квадрат синуса и косинуса аргумента, возведем в квадрат первое уравнение. Но, так как возведение в квадрат не является равносильным преобразованием, введем ограничение:

, то есть и должны быть одного знака.

.

Теперь введем новые переменные:

, (*) и решим вспомогательную систему:

.

Решим ее методом подстановки.

.

.

. Вернемся к исходным переменным.

,

.

С учетом условия получим две системы:

или

Ответ:

Или

Рассмотрим еще один пример.

С учетом области определения уравнений преобразуем каждое уравнение:

.

Теперь сложим эти уравнение, оставив в системе, например, первое уравнение:

,

,

.

Теперь выразим из второго уравнения y:

,

,

,

,

,

,

.

Ответ: .

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Решите систему уравнений:

Введем новые переменные: .

Тогда вспомогательная система будет иметь вид:

.

,

или

.

Получаем четыре пары решений для вспомогательной системы:

; ; ; .

Так как , то решение имеет только первая система: .

.

Решите систему уравнений: .

Пусть .

Система примет вид: , то есть мы получили простую линейную систему.

Ее можно решить методом подстановки или методом алгебраического сложения:

,

,

,

,

.

Ответ:.

Тема урока системы тригонометрических уравнений

Тема . Решение систем тригонометрических уравнений

Цель урока: познакомить учащихся с отдельными приемами решения систем тригонометрических уравнений.

И. Проверка домашнего задания

1. Четыре ученики воспроизводят решения домашних заданий: упражнение№ 2 (10; 18; 26; 38).

2. Устное решения тригонометрических уравнений, используя таблицу «Тригонометрические уравнения».

Таблица 11

sin x =

cos x =

tg x =

с tg x =

sin x = —

с os x = —

2 sin x cos x = 1

cos2 x — sin2 x = 1

cos2 x =

sin x — cos x = 0

sin x + cos x = 0

sin2 x + cos2 x = 0

sin2 x + cos2 x = 1

II. Повторение сведений о методах решения систем алгебраических уравнений

1. Решите систему уравнений (методом добавления).

Ответ: (5; 3).

2. Решите систему уравнений.

III . Восприятия и осознания материала о решение систем тригонометрических уравнений

Основные методы решения систем тригонометрических уравнений почти такие, как и методы решения алгебраических систем.

Пример 1. Решить систему уравнений:

Прибавив и вычтя (1) и (2) уравнение, получаем

Ответ: х = (-1) + π n , n Z; у = ± + 2 nk , k Z .

Пример 2. Решите систему уравнений:

.

Решение

Из первого уравнения находим у = n — х. Тогда cos х — cos ( n — х) = 1, cos х + cos х = 1, 2 cos х = 1, cos х = , х = ± +2 π n , n Z.

Затем находим: y= π — = ± + (1 — 2n) π , п Z.

Ответ: х = ± + 2 π п, у = ± + (1 — 2п) π , где n Z .

Пример 3. Решите систему уравнений:

Решение

Ответ: х = (k + n ), y = ( k — n ), где n , k Z.

IV. Формирование умений решать системы тригонометрических уравнений

Решить систему уравнений:

а) б) в) г)

Ответы: а) x 1 = + 2π k , y 1 = — 2π k , х2 = + 2π k , y 2 = — — 2π k , k Z .

б) х = ± + 2π k , y = π n где n Z , k Z .

в) х = + 2π k , у = + π n , где n Z , k Z.

г) х = — + π( n + k), n , kZ, у = — + n ( k — n ), n , k Z.

V. Подведение итогов урока

VI. Домашнее задание

Решить системы уравнений:

а) б )

Ответ: а) х= — π n , у = π n , n Z ;

б) х= (-1) k + nk , в = (- 1 ) k +1 + n (1 — k ), k Z.