Температурное поле уравнение температурного поля

Температурное поле

Температурным полем называется совокупность значений температур в данный момент времени во всех точках рассматриваемого пространства, занятого теплом.

Если температура поля с течением времени t изменяется, то оно называетсянестационарным и описывается уравнением:

где x,y,z – координаты точки поля.

Если же температура в каждой точке поля с течением времени t, остается неизменной, то такое температурное поле называетсястационарным. Температура, в этом случае, является функцией только пространственных координат

В каждый момент времени в температурном поле можно выделить поверхности, имеющие одинаковые температуры. Такие поверхности называются изотермическими. В стационарном температурном поле изотермические поверхности с течением времени не меняют свой вид и расположение, в то время как в нестационарном поле они со временем изменяются.

Одной из характеристик температурного поля является температурный градиент, представляющий собой вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры. На рис.4.1. изображены изотермические поверхности, температуры которых отличаются на DТ.

Рис. 1. К понятию температурного градиента

Из рисунка видно, что интенсивность изменения температуры по разным направлениям (из точки А лучи п и l) неодинакова. Наибольшая разность температур на единицу длины наблюдается в направление нормали п к изотермической поверхности в точке А, так как расстояние между соседними изотермами Dn при этом меньше, чем в точке В.

Предел отношения изменения температуры DТ к расстоянию между изотермами по нормали Dn, когда Dn стремится к нулю, называетсятемпературным градиентом:

В общем случае для различных точек одной и той же изотермической поверхности (например, для точек А и В) градиент температуры различен не только по направлению, но и по величине. За положительное направление градиента принято направление возрастания температур.

Основы теплового расчета

Несмотря на многообразие конструкций и принципов работы теплообменных аппаратов, процессы теплообмена в них подчиняются общим закономерностям, а основные положения методики их расчета могут быть рассмотрены в общей постановке.

До недавнего времени расчет теплообменных аппаратов приводился только для стационарных режимов, и при этом в основном решались две задачи:

1. Для заданных параметров на входе и выходе из аппарата и типе теплообменной поверхности определить требуемую площадь поверхности теплообмена и произвести его конструктивную разработку. Это есть проектный расчет.

2. Для реально существующего аппарата при заданных параметрах потоков на входе определить количество передаваемой теплоты и параметры потоков на выходе из аппарата. Это задача проверочного расчета.

К этим двум задачам можно добавить третью, так называемый оптимальный расчет теплообменного аппарата. Решение этой задачи возможно благодаря использованию ЭВМ. Суть этой задачи сводится к расчету оптимального теплообменника по выбранному критерию.

Тепловой расчет теплообменных аппаратов базируется на уравнениях теплового баланса и теплопередачи.

Решение нестационарных задач теплообмена возможно только при использовании математических моделей, записанных на основе моделей структуры потоков теплоносителей.

Проектный расчет теплообменного аппарата

Задачей проектного расчета является определение геометрических размеров и режима работы теплообменника, необходимого для отвода или подвода заданного количества теплоты к теплоносителю.

При проектном расчете задают:

1. Тип аппарата и общие геометрические характеристики поверхности теплообмена (размеры труб, оребрения, толщина стенок и др.).

2. Параметры теплоносителей на входе и выходе из аппарата (температура, давление и т.д.)

3. Тепловую мощность аппарата Q или расход сред.

Взаимность изменений температур теплоносителей определяется условием теплового баланса, которое для бесконечно малого элемента теплообменника имеет вид:

Здесь G₁, G₂, C_p1, C_P2 – расходы и теплоемкости теплоносителей 1 и 2, T₁ и Т₂ – их температуры в произвольном сечении аппарата. Уравнение теплового баланса для всего аппарата получается путем интегрирования уравнения (4.4) и имеет вид:

Уравнение (4.5) содержит две неизвестные: G₁ или G₂ и T_k1 или T_k2. Следовательно, это уравнение является неопределенным. Общий прием решения этих задач заключается в использовании метода последовательных приближений, состоящего в том, что в начале принимаются определенные решения относительно конструкции аппарата и неизвестных технологических параметров, затем путем пересчета проверяется до получения результатов с желаемой степенью точности.

Проверочный расчет теплообменного аппарата

Целью проверочного расчета теплообменного аппарата заданной конструкции является определение его мощности и температур потоков на выходе Т_k1, T_k2 при заданных площадях поверхности теплообмена F, расхода сред G₁, G₂ и их температурах на входе Т_h1 и Т_h2.

Математические модели теплообменников

Обычно принимают, что движение потоков теплоносителя и хладоагента характеризуется гидродинамическими моделями идеального смешения, идеального вытеснения, ячеечной моделью ОДМ или их комбинацией.

Если гидродинамическая структура потоков в теплообменном аппарате соответствует модели идеального смешения, то во всем потоке происходит полное смешение молекул потока. В таком случае любое изменение температуры потока на входе в зону идеального смешения мгновенно распространяется по всему объему зоны.

Гидродинамическая структура потоков теплоносителя, соответствующая модели идеального смешения, имеет место в теплообменных аппаратах с изменением агрегатного состояния потоков – в конденсаторах, кипятильниках, испарителях. Уравнение, описывающее изменение температуры для теплообменника в зоне идеального смешения, имеет вид:

, (6)

где V – объем зоны идеального смешения; v – объемная скорость; Т_вх, Т – температура потока на входе и в зоне идеального смешения; С_р – теплоемкость потока; t – время.

Условие физической реализуемости модели идеального вытеснения выполняются в случае поршневого потока, когда предполагается, что в направлении его движения смещение полностью отсутствует, а в направлении, перпендикулярном движению, происходит идеальное смешение. Гидродинамическая структура потоков, соответствующая модели идеального вытеснения, характерна для движения потоков в трубном пространстве кожухотрубчатых теплообменников различных конструкций, а также для теплообменного аппарата типа «труба в трубе».

Уравнение, описывающее изменение температуры в зоне идеального вытеснения, имеет вид:

, (7)

где S_b – сечение зоны идеального вытеснения; l – координата длины аппарата.

Диффузионная модель гидродинамической структуры потоков соответствует такому движению потоков, когда в направлении его движения существует продольное смещение, а перпендикулярном направлении предполагается наличие идеального смешения.

Диффузионная модель значительно лучше, чем модель идеального вытеснения, описывает гидродинамические условия в реальных кожухотрубчатых теплообменниках. Уравнение, характеризующее изменение температуры по длине зоны, имеет вид:

, (8)

где е_т – коэффициент продольного переноса теплоты.

Температуры потоков в теплообменных аппаратах могут изменяться в каждой точке потока не только в результате его движения, но также из-за теплообмена с окружающей средой или за счет источника теплоты. Интенсивность источника теплоты записывается следующим образом:

где F – поверхность теплообмена, отнесенная к единице объема; К – коэффициент теплопередачи; DТ – разность температур.

Уравнения (4.6) и (4.7) для температур потока с учетом источника теплоты в потоке имеет вид:

;(10)

. (11)

Учитывая (4.9) и зная, что V = S*L из (4.11) получим:

или

. (12)

Аналогично для ДДМ с учетом (4.9) имеем:

. (13)

Для описания гидродинамической структуры потоков в реальных теплообменных аппаратах используются комбинированные модели движения потоков: ячеечная модель; модель идеального смешения с застойной зоной; модель идеального смешения с байпасом; последовательное соединение двух моделей МИС и МИВ. Применение таких моделей для описания гидродинамической структуры потоков позволяет описать изменение профиля температур как по длине, так и в объеме теплообменного аппарата.

Теплообменник типа «перемешивание-перемешивание»

Математическая модель такого теплообменника (рис.4.2) представляет собой систему уравнений типа (4.7), записанных для теплоносителя и хладоагента:

, (14)

где T₁ – T₂ = DT, при этом T₁ и T₂ имеют постоянные значения в каждой точке объема идеального перемешивания V₁ и V₂; Т_вх1, Т_вх2 – температуры первичного и вторичного теплоносителей на входе в аппарат; Т_к1 = Т₂ и Т_к2 = Т₂ – конечные температуры первичного и вторичного теплоносителей. Величина FK(T₁ – T₂) имеет знак «минус» в уравнении описания потока теплоносителя, который отдает тепло, и знак «плюс», если тепло воспринимается теплоносителем.

Рис. 2. Схематическое изображение теплообменника типа «перемешивание-перемешивание»

Теплообменник типа «перемешивание-вытеснение»

Математическая модель такого теплообменника (рис.4.3) включает уравнение модели идеального перемешивания для потока теплоносителя и уравнение модели идеального вытеснения для хладоагента:

;

, (15)

где DT = T₁ – T₂ при этом значения T₁ остается одинаковыми в каждой точке объема идеального перемешивания, а Т₂ изменяются по длине зоны идеального вытеснения.

Рис. 3. Схематическое изображение теплообменника типа «перемешивание — вытеснение»

Теплообменник типа «вытеснение-вытеснение»

Рассмотрим моделирование широко распространенного в химической технологии теплообменника «труба в трубе», структура потоков которого соответствует модели «вытеснение – вытеснение» (рис.3.1).

Рис.4. Схема теплообменника типа «труба в трубе»

Это так называемый прямоточный теплообменник, для которого модель имеет вид:

;

, (16)

где DT = T₁ – T₂, при этом Т₁ и Т₂ изменяются по длине соответствующих зон идеального вытеснения. Цель работы: построить математическую модель и рассчитать теплообменный аппарат с известной структурой потоков.

Основные понятия и определения — температурное поле, градиент, тепловой поток, плотность теплового потока (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3

1 Основные понятия и определения — температурное поле, градиент, тепловой поток, плотность теплового потока (q, Q), закон Фурье.

Температурное поле – совокупность значений температуры во всех точках изучаемого пространства для каждого момента времени.

ционарное – изменяется с течением времени. Стационарное – не изменяется.

Изотермическая поверхность – геометрическое место точек, имеющих в данный момент времени одинаковую температуру. Изотермические поверхности, соответствующие разным температурам, не могут пересекаться между собой. Они могут замыкаться сами на себя либо оканчиваться на поверхности тела.

Градиент температуры – вектор, направленный по нормали к изотермическиой поверхности в сторону возрастания температуры.

Количество теплоты, Вт, проходящей в единицу времени через изотермическую поверхность площадью F, называется тепловым потоком и определяется из выражения: .

Количество теплоты, проходящее в единицу времени через единицу площади изотермической поверхности , Вт/м2, называется плотностью теплового потока: .

Связь между количеством теплоты dQ, Дж, которое за время dt проходит через элементарную площадку dF, расположенную на изотермической поверхности, и градиентом температуры dt/dn устанавливается законом Фурье: .

2. Уравнение теплопроводности, условия однозначности.

Дифференциальное уравнение теплопроводности выведено со следующими допущениями:

— тело однородно и изотропно;

— физические параметры постоянны;

— деформация рассматриваемого объема, связанная с изменением температуры, очень мала по сравнению с самим объемом;

— внутренние источники теплоты в теле, которые в общем случае могут быть заданы как , распределены равномерно.

, или .

Дифференциальное уравнение теплопроводности устанавливает связь между временным и пространственным изменениями температуры в любой точке тела, в которой происходит процесс теплопроводности.

Если принять теплофизические характеристики постоянными, что предполагалось при выводе уравнения, то дифур принимает вид: .

Примем — коэффициент температуропроводности.

и , где — оператор Лапласса в декартовой системе координат.

Тогда .

Условия однозначности или краевые условия включают в себя:

3. Теплопроводность в стенке (граничные условия 1-ого рода).

Теплопроводность однослойной стенки.

Рассмотрим однородную плоскую стенку толщиной d. На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянные во времени температуры tc1 и tc2. Теплопроводность материала стенки постоянна и равна l.

При стационарном режиме , кроме того, температура изменяется только в направлении, перпендикулярном плоскости стеки (ось 0х): . Поэтому уравнение теплопроводности имеет вид: .

Постоянные С1 и С2 в уравнении определим из граничных условий I рода:

при х = 0: t = tc1 и C2 = tc1;

при х = d: t = tc2 и C1 = –(tc1 – tc2)/ d.

Следовательно:

Определим плотность теплового потока через плоскую стенку. В соответствии с законом Фурье с учетом равенства (*) можно написать: .

Следовательно (**).

Разность значений температуры в уравнении (**) называется температурным напором. Из этого уравнения видно, что плотность теплового потока q изменяется прямо пропорционально теплопроводности l и температурному напору Dt и обратно пропорционально толщине стенки d.

Отношение называется тепловой проводимостью стенки, а обратная ему величина – термическим сопротивлением стенки.

Общее количество теплоты, которое передается через поверхность стенки площадью F за промежуток времени t: .

Теплопроводность l следует брать при средней температуре стенки.

Теплопроводность многослойной стенки.

Для каждого слоя :; ; .

Определяем температурные напоры:

Для сравнения теплопроводящих свойств многослойной плоской стенки со свойствами однородных материалов вводят понятие эквивалентной теплопроводности. Это – теплопроводность однослойной стенки, толщина которой равна толщине рассматриваемой многослойной стенки, т. е. при условии, что разности температур на поверхностях однослойной и многослойной стенок и тепловые потоки одинаковы. Эквивалентная теплопроводность определяется из следующего выражения:

.

4. Теплопередача через плоскую стенку (граничные условия 3-его рода).

Передача теплоты от одной подвижной среды (жидкости или газа) к другой через разделяющую их твердую стенку любой формы называется теплопередачей. Особенности протекания процесса на границах стенки при теплопередаче характеризуется граничными условиями III рода, которые задаются значениями температуры жидкости с одной и другой стороны стенки, а также соответствующими значениями коэффициентов теплоотдачи.

Рассмотрим стационарный процесс теплопередачи через бесконечную однородную плоскую стенку толщиной d. Задана теплопроводность стенки l, температуры окружающей среды tж1 и tж2, коэффициенты теплоотдачи a1 и a2. Необходимо найти тепловой поток от горячей жидкости к холодной и температуры на поверхностях стенки tc1 и tc2. Плотность теплового потока от горячей среды к стенке определится уравнением: . Этот же тепловой поток передается путем теплопроводности через твердую стенку: и от второй поверхности стенки к холодной среде: .

Тогда ,

где – коэффициент теплопередачи, числовое значение k выражает количество теплоты, проходящей через единицу поверхности стенки в единицу времени пр разности температур между горячей и холодной средой 1К и имеет туже единицу измерения, что и коэффициент теплоотдачи, Дж/(с*м2К) или Вт/(м2К).

Величина, обратная коэффициенту теплопередачи называется термическим сопротивлением теплопередаче: .

термическое сопротивление теплоотдаче;

термическое сопротивление теплопроводности.

Для многослойной стенки .

Плотность теплового потока через многослойную стенку: .

Тепловой поток Q, Вт, проходящий через плоскую стенку с площадью поверхности F, равен: .

Температура на границе любых двух слоев при граничных условиях III рода может быть определена по уравнению . Также можно определить температуру графическим методом.

5. Теплопроводность в цилиндрической стенке (граничные условия 1-ого рода).

Рассмотрим стационарный процесс теплопроводности через однородную цилиндрическую стенку (трубу) длиной l с внутренним радиусом r1 и наружным r2. Теплопроводность материала стенки l – величина постоянная. На поверхности стенки заданы постоянные температуры tc1 и tc2.

В случае (l>>r) изотермические поверхности будут цилиндрическими, а температурное поле одномерным. Т. е. t=f(r), где r – текущая координата цилиндрической системы, r1£r£r2. Тогда уравнение теплопроводности, которое для плоской стенки имело вид , для цилиндрической примет следующую форму: .

Введение новой переменной позволяет привести уравнение к виду:.

Граничные условия I рода записываются равенствами:

при r = r1: t = tc1;

при r =r2: t = tc2.

Подставляя эти выражения в равенство , имеем:

;

.

Подставляя значения С1 и С2 в уравнение , получим:

,

.

Это выражение представляет собой уравнение логарифмической кривой. Следовательно, внутри однородной цилиндрической стенки при постоянном значении теплопроводности температура изменяется по логарифмическому закону.

Для нахождения количества теплоты, проходящего через цилиндрическую стенку поверхность площадью F в единицу времени, можно воспользоваться законом Фурье:

.

Подставляя в уравнение закона Фурье значение градиента температуры согласно уравнению получим: (*) ® величина Q зависит не от толщины стенки, а от отношения его внешнего диаметра к внутреннему.

Если отнеси тепловой поток, отнесенный к единице длины цилиндрической стенки, то уравнение (*) можно записать в виде .

Тепловой поток, отнесенный к единице длины трубы, измеряется в Вт/м и называется линейной плотностью теплового потока. Величина есть термическое сопротивление теплопроводности цилиндрической стенки.

Для многослойной цилиндрической стенки.

Температура на границе двух любых слоев равна: .

6. Теплопередача через цилиндрическую стенку (граничные условия 3-его рода).

Рассмотрим однородную цилиндрическую стенку большой длины с внутренним диаметром d1, наружным диаметром d2 и постоянной теплопроводностью. Заданы значения температуры горячей tж1 и холодной tж2 среды и коэффициенты теплоотдачи a1 и a2. для стационарного режима можно записать:

;;

где — линейный коэффициент теплопередачи, характеризует интенсивность передачи теплоты от одной жидкости к другой через разделяющую их стенку; численно равен количеству теплоты, которое проходит от одной среды к ругой через стенку трубы длиной 1м в единицу времени при разности температур между ними в 1К.

Величина, обратная линейному коэффициенту теплопередачи, называется линейным термическим сопротивлением теплопередаче.

Для многослойной стенки линейное термическое сопротивление теплопередаче складывается из линейных сопротивлений теплоотдаче и суммы линейных термических сопротивлений теплопроводности слоев.

Температуры на границе между слоями:

7. Шаровая стенка (граничные условия 1-ого и 3-его рода).

Граничные условия III рода.

Принципы теплопередачи через шаровую стенку те же, что и через цилиндрическую. Пусть внутренний диаметр шара равен d1, внешний – d2, теплопроводность l, температура горячей жидкости внутри шара tж1, температура холодной жидкости снаружи шара tж2, коэффициенты теплоотдачи a1 и a2.

При стационарном режиме количество теплоты, переданное от горячей жидкости к холодной, равно: ;;

где – коэффициент теплопередачи для шаровой стенки.

Величина, обратная коэффициенту теплопередачи шаровой стенки, называется термическим сопротивлением теплопередаче шаровой стенки.

Граничные условия I рода.

Пусть имеется шар с радиусами внутренней и внешней поверхности r1 и r2, постоянной теплопроводностью и с заданными равномерно распределенными температурами поверхностей tc1 и tc2.

При этих условиях температура зависит только от радиуса r. По закону Фурье тепловой поток сквозь шаровую стенку равен: .

Интегрирование уравнения дает следующее распределение температуры в шаровом слое:

Граничные условия.® ;

Следовательно , d — толщина стенки.

Распределение температуры: ® при постоянной теплопроводности температура в шаровой стенке изменяется по закону гиперболы.

8. Термические сопротивления.

Однослойная плоская стенка:

Граничные условия 1го рода

Отношение называется тепловой проводимостью стенки, а обратная ему величина – термическим сопротивлением стенки.

Граничные условия 3го рода

Величина, обратная коэффициенту теплопередачи называется термическим сопротивлением теплопередаче: .

Однослойная цилиндрическая стенка:

Граничные условия 1го рода

Величина есть термическое сопротивление теплопроводности цилиндрической стенки. (для многослойной стенки: )

Граничные условия 3го рода

Линейное термическое сопротивление теплопередаче:

Линейное термическое сопротивление теплопередаче:

(многослойная стенка)

9. Критический диаметр изоляции.

Рассмотрим случай когда труба покрыта однослойной тепловой изоляцией с наружным диаметром d3. считая заданными и постоянными коэффициенты теплоотдачи a1 и a2, температуры обеих жидкостей tж1 и tж2, теплопроводности трубы l1 и изоляции l2.

Согласно уравнению , выражение для линейного термического сопротивления теплопередаче через двухслойную цилиндрическую стенку имеет вид: .

При возрастании диаметра изоляции член будет возрастать, а член – уменьшаться. Иными словами, увеличения наружного диаметра изоляции влечет за собой увеличение термического сопротивления теплопроводности изоляции и уменьшение термического сопротивления теплоотдаче на ее наружной поверхности. Последнее обусловлено увеличением площади наружной поверхности.

Экстремум функции Rl – – критический диаметр обозначается как dкр. Служит показателем пригодности материала к использованию его в качестве тепловой изоляции для трубы с заданным наружным диаметром d2 при заданном коэффициенте теплоотдачи a2.

10. Выбор тепловой изоляции по критическому диаметру.

См. вопрос 9. диаметр изоляции должен превышать критический диаметр изоляции.

11. Теплопередача через оребренную стенку. Коэффициент оребрения.

Рассмотрим оребренную стенку с толщиной d и теплопроводностью l. С гладкой стороны площадь поверхности равна F1, а с оребренной – F2. заданы постоянные во времени температуры tж1 и tж2, а также коэффициенты теплоотдачи a1 и a2.

Обозначим температуру гладкой поверхности tc1. Предположим, что температура поверхностей ребер и самой стенки одинакова и равна tc2. Такое предположение, вообще говоря, не соответствует действительности, но упрощает расчеты и им часто пользуются.

При tж1 > tж2 для теплового потока Q можно написать следующие выражения:

;;

где – коэффициент теплопередачи для оребренной стенки.

При расчете плотности теплового потока на единицу неоребренной поверхности стенки получим: . k1 – коэффициент теплопередачи, отнесенный к неоребренной поверхности стенки.

Отношение площади оребренной поверхности к площади гладкой поверхности F2/F1 называется коэффициентом оребрения.

12. Нестационарная теплопроводность. Направляющая точка. Физический смысл Bi, Fo.

Нестационарная теплопроводность – процесс при котором температура в заданной точке твердого тела изменяется во времению совокупность указанных температур образует нестационарное температурное поле, нахождение которого и является основной задачей нестационарной теплопроводности. Процессы нестационарной теплопроводности имеют большое значение для отопления, вентиляции, кондиционирования воздуха, теплоснабжения и теплогенерирующих установок. Ограждения зданий испытывают изменяющиеся во времени тепловые воздействия как со стороны наружного воздуха, так и со стороны помещения таким образом в массиве ограждающей конструкции осуществляется процесс нестационарной теплопроводности. Задачу об отыскании трехмерного температурного поля можно сформулировать в соответствии принципами, изложенными в разделе «математическая формулировка задач теплообмена». Формулировка задачи включает уравнение теплопроводности: , где – коэффициент температуропроводности м2/с, а также условия однозначности, позволяющие выделить единственное решение из множества решений уравнения, различающихся значением констант итегрирования.

Условия однозначности включают начальные и граничные условия. Начальные условия задают значения искомой функции t в начальный момент времени по всей области D. В качестве области D, в которой необходимо найти температурное поле, будем рассматривать прямоугольный параллелепипед с размерами 2d, 2ly, 2lz, например, элемент строительной конструкции. Тогда начальные условия можно записать в виде: при t =0 и — d£х£d; — ly£у£ly; -lz£z£lz имеем t = t(x, y, z,0) = t0(x, y, z). Из этой записи видно, что начало декартовой сстемы координат расположено в центре симметрии параллелепипеда.

Граничные условия сформулируем в форме граничных условий III рода, часто встречающихся на практике. Граничные условия III рода задают для любого момента времени на границах области D коэффициент теплоотдачи и температуру окружающей среды. В общем случае на различных участках поверхности S области D эти величины могут быть различными. Для случая одинакового коэффициента теплоотдачи a на всей поверхности S и всюду одинаковой температуры окружающей среды tж граничные условия III рода при t >0 можно записать в виде: ; ;

где . S – поверхность, ограничивающая область D.

Температура в каждом из трех уравнений берется на соответствующей грани параллелепипеда.

Рассмотрим аналитическое решение сформулированной выше задачи в одномерном варианте, т. е. при условии ly, lz »d. В этом случае требуется найти температурное поле вида t = t(x, t). Запишем формулировку задачи:

уравнение ;

начальное условие: при t = 0 имеем t(x, 0) = t0 = const;

граничное условие: при x = ±d, t > 0 имеем .

В соответствии с этими выражениями имеется бесконечная пластина толщиной 2d, изготовленная из материала с коэффициентом темературопроводности а и обладающая в начальный момент времени температурой t0. пластина резко переносится в среду с температурой tж и коэффициентом теплоотдачи a. С этого момента температура в пластине изменяется так, чтобы удовлетворялось уравнение . Задача состоит в том, чтобы получить конкретную формулу t = t(x, t), позволяющую найти температуру t в любой точке пластины в произвольный момент времени.

Сформулируем задачу в безразмерных переменных, это позволит сократить записи и сделает решение более универсальным. Безразмерная температура равна , безразмерная координата равна Х = х/d. Подставив эти величины в уравнение получим , где — число Фурье (безразмерное время).

Начальное условие запишется в следующем виде: Fo = 0; Q = 1.

Граничное условие запишется как: Fo > 0; Х =1; , где – число Био.

Формулировка задачи в безразмерном виде содержит единственный параметр – число Био, которое в данном случае является критерием, так как составлено только из величин, входящих в условие однозначности. Использование числа Био связано с нахождением температурного поля в твердом теле, поэтому в знаменателе Bi – теплопроводность твердого тела. Bi – наперд заданный параметр и является критерием.

Если рассматривать 2 процесса нестационарной теплопроводности с одинаковыми числами Био, то, согласно третьей теореме подобия, эти процессы подобны. Это значит, что в сходственных точках (т. е. при Х1=Х2; Fo1=Fo2) безразмерные температуры будут численно равны: Q1=Q2. следовательно, произведя один расчет в безразмерном виде, мы получим результат, справедливый для класса подобных явлений, которые могут различаться размерными параметрами a, l, d, t0 и tж.

13. Нестационарная теплопроводность для неограниченной плоской стенки.

17. Уравнение энергии. Условия однозначности.

Уравнение энергии описывает процесс переноса теплоты в материальной среде. При этом ее распространение связано с превращением в другие формы энергии. Закон сохранения энергии применительно к процессам ее превращения формулируется в виде первого закона термодинамики, который и является основой для вывода уравнения энергии. Среда, в которой распространяется теплота, предполагается сплошной; она может быть неподвижной или движущейся. Поскольку случай движущейся среды является более общим, используем выражение первого закона термодинамики для потока: (17.1), где q – подводимая теплота, Дж/кг; h – энтальпия, Дж/кг; w – скорость среды в рассматриваемой точке, м/с; g – ускорение свободного падения; z – высота, на которой расположен рассматриваемый элемент среды, м; lтр – работа против сил внутреннего трения, Дж/кг.

В соответствии с уравнением 17.1 подводимая теплота затрачивается на увеличение энтальпии, кинематической энергии и потенциальной энергии в поле сил тяжести, а также на совершение работы против вязких сил. Работа трения преобразуется в теплоту, представляющую собой часть подводимой теплоты: , где dqто – теплота, подводимая в результате теплообмена со средой, окружающей рассматриваемый элемент жидкости; dqтр – теплота, выделяющаяся при работе сил внутреннего трения.

Следовательно уравнение 17.1 можно представить следующим образом: (17.2).

Т. к. (17.3).

Подсчитаем количество подводимой и отводимой теплоты в единицу времени для элемента среды в виде прямоугольного параллелепипеда, размеры которого достаточно малы для того, чтобы в его пределах можно было бы предположить линейное изменение плотности теплового потока. По оси 0х в левую грань элемента за единицу времени подводится количество теплоты , из правой грани отводится: ; их разность равна .

Проводя аналогичную операцию для осей 0y и 0z, получим соответственно разности: ; . Просуммировав все три разности получим результирующее количество теплоты, подводимое(или отводимое) в элемент за единицу времени.

Уравнения теплопроводности и температурного поля

Количество тепла Q₁ (в ккал), распространяющееся путем теплопроводности в направлении х, в течение единицы времени составит:

Минус в выражении (1.4) означает, что для получения положительной величины Q₁ температура в направлении х должна уменьшаться, а не возрастать. Величина dt/dx, называемая градиентом температуры, выражается в град/м; λ — представляет коэффициент теплопроводности материала в ккал/м·ч·град.

При неустановившихся условиях количество тепла Q₁, распространяющееся в направлении х, изменяется, что связано с поглощением или отдачей тепла частицами материальной среды при изменении их температуры с течением времени т (т. е. наличии величины dt/dx≠0.

Изменение потока тепла dQ₁/dx пропорционально теплоемкости материала сγ (с — удельная теплоемкость в ккал/кг·град; γ — объемный вес материала в кг/мг); тогда

Знак минус в правой части уравнения означает, что повышение температуры материала связано с поглощением им тепла и соответствующим уменьшением теплового потока Q₁.

Величина изменения потока тепла Q₁ в направлении х может быть получена также дифференцированием уравнения (1.4), т. е.

При отсутствии внутренних источников или стоков тепла, изменение величины теплового потока связано только с поглощением тепла материалом, и выражения (1,5) и (1.6) должны быть равны. Из этого равенства выводится дифференциальное уравнение теплопроводности при одномерном распространении тепла в направлении х, а именно:

Это выражение известно как дифференциальное уравнение Фурье. Величина λ/cγ называется коэффициентом температуропроводности материала, имеет кинематическую размерность, в которую не входят измерители массы и энергии, и характеризует скорость перераспределения температуры, выражаемую обычно в м 2 /ч или см 2 /сут при нагреве или охлаждении материальной среды.

Материалы и конструкции с высоким коэффициентом температуропроводности быстро нагреваются или охлаждаются до температуры, соответствующей равновесному состоянию с окружающей средой.

В самом общем виде, при неустановившемся распространении тепла по всем трем осям координат, дифференциальное уравнение теплопроводности приобретает трехмерный вид:

Путемч интегрирования одномерного (1.7), двухмерного или трехмерного уравнения теплопроводности могут быть получены любые конкретные решения, раскрывающие закономерности распространения тепла в материальных средах, в частности, ограждающих конструкциях зданий.

Чтобы получить из множества возможных конкретное решение, соответствующее определенному рассматриваемому процессу распространения тепла, необходимо располагать дополнительными условиями, не содержащимися в исходном дифференциальном уравнении. Эти дополнительные условия, которые вместе с исходным уравнением однозначно определяют все особенности рассматриваемого процесса, называются условиями однозначности 1 .

Условия однозначности разделяются на временные (характеризующие рассматриваемый физический процесс во времени) и пространственные, относящиеся к поверхностям, ограничивающим изучаемый объект или конструкцию, и особенностям физического процесса, происходящего на этих граничных поверхностях.

Различают три вида граничных условий:

• 1) граничное условие I рода, устанавливающее распределение температуры на поверхности и ее изменения во времени;
• 2) граничное условие II рода, устанавливающее величину потока тепла, проходящего через поверхность, и его изменения во времени;
• 3) граничное условие III рода, определяющее температуру окружающей среды и закон теплообмена между поверхностью и этой средой.

В строительной теплофизике обычно задаются граничные условия III рода, устанавливаемые значениями температуры среды t и коэффициентов теплообмена α 2 .

При рассмотрении теплопередачи в однородной среде и в установившихся условиях (когда dt/dτ=0), временные условия исключаются и значение имеют только пространственные.

В этих случаях, поскольку а≠0, уравнение (1.7а) приобретает вид:

Уравнение относится к температурному полю в установившихся условиях. Выражение (1.8) известно как уравнение Лапласа. Физический смысл этого уравнения состоит в том, что сумма изменений количеств тепла, поступающего к любой рассматриваемой точке конструкции, равна нулю. Следовательно, температуры ее неизменны и имеют установившиеся значения, отвечающие постоянным условиям воздействий внешней среды, окружающей конструкцию. При практических расчетах температурного поля проектируемых конструкций на основе уравнения (1.8) расчетные температуры внешней среды принимаются соответствующими возможности завершения процесса предельного охлаждения рассматриваемой конструкции. Этот процесс происходит постепенно и требует определенного времени: незначительного для легких конструкций и длительного — для массивных, поэтому расчетные значения температуры наружного воздуха в наиболее холодные зимние периоды зависят от степени массивности конструкции и связаны с возможностью более или менее длительной стабилизации теплового состояния во времени.

Для многих практических случаев достаточно исследования плоского температурного поля (в плане или разрезе конструкции). Для двумерных условий уравнение (1.8) имеет вид:

Исследование на основе уравнения (1.8а) температурных полей неоднородных в теплофизическом отношении облегченных конструкций (панелей с контурными ребрами, сопряжений крупных элементов ограждающих конструкций и т. д.) имеет весьма важное значение при проектировании индустриальных конструкций зданий, особенно в достаточно суровых климатических условиях, когда низкие температуры наружного воздуха длительны во времени и вызывают полное охлаждение, для которого характерно неизменное установившееся распределение предельно низких температур.

Порядок проведения подобных практических расчетов и применение для этих целей счетно-решающих устройств типа электроинтегратора, изложены далее в гл. IV.

Дифференциальное уравнение Фурье (1.7) в обобщающем смысле является уравнением нестационарного поля любого потенциала переноса (в данном случае — поля потенциала переноса тепла, т. е. температуры). С определенными ограничениями это уравнение может быть использовано и для изучения процессов влагообмена, происходящих в материальных системах при неизменной температуре.

Если рассматривать какую-либо материальную систему, например, ограждающую конструкцию, выполненную из влажного капиллярно-пористого материала и находящуюся в изотермической воздушной среде 3 , то за потенциал переноса влаги может быть принято влагосодержание материала (со, г/кг). Уравнение (1.7), записанное применительно к исследованию одномерного поля потенциала переноса влаги называют уравнением влагопроводности. Оно имеет вид:

где ω — влагосодержание материала (часто выражаемое через весовую влажность материала); а_m — коэффициент нестационарной влагопроводности 4 , зависящий от природы материала и его влажностного состояния.

Уравнение влагопроводности, в частности, используется для обоснования простейших приближенных сравнительных расчетов длительности естественной сушки ограждающих конструкций из капиллярно-пористых материалов.

Примечания

1. Иногда условия однозначности называют краевыми условиями.

2. В теплотехнической литературе эти коэффициенты часто называют коэффициентами теплоотдачи, имея в виду особенности теплообмена материальных систем нагретых выше температуры окружающей среды.

3. То есть в среде с неизменной постоянной температурой.

4. Аналог коэффициента температуропроводности: