Темы курсовых работ по дифференциальным уравнениям

Темы курсовых работ по математике, выполненные студентами под руководством преподавателей кафедры математического анализа

ТЕМЫ КУРСОВЫХ РАБОТ ПО МАТЕМАТИКЕ,

выполненные студентами под руководством преподавателей кафедры математического анализа

1. Вычеты и их применение

2. Гиперболические функции

3. Двойные интегралы

4. Динамическое программирование

5. Дифференциальные уравнения I порядка и их применение.

6. Дифференциальные уравнения II порядка

7. Дифференциальные уравнения и их приложения

8. Дифференциальные уравнения как математическая модель физических процессов

9. Дифференциальные уравнения как математические модели реальных процессов

10. Дифференциальные уравнения Клеро и Лагранжа

11. Дифференциальные уравнения первого порядка и их применение

12. Дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

13. Дифференциальные уравнения с частными производными

14. Дифференцирование функций нескольких переменных

15. Задачи с параметрами и их решение.

16. Интеграл Лебега

17. Интегрирование однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка при помощи степенных рядов

18. Исследование функций и построение графиков

19. История возникновения дифференциального исчисления

20. История развития функции

21. Классификация Пуанкаре особых точек дифференциальных уравнений с однородной дробно-линейной правой частью.

22. Контроль и коррекция знаний учащихся на уроке и во внеурочное время

23. Кривые третьего и четвертого порядка.

24. Линейное программирование.

25. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

26. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

27. Линейные функционалы и операторы

28. Математика и научно-технический прогресс

29. Математика и практика

30. Математические методы решения транспортных задач

31. Метод вариации произвольных постоянных при решении дифференциальных уравнений

32. Метод математической индукции и его приложения

33. Методика решения текстовых задач в школьном курсе математики

34. Метрические пространства

35. Мощность множества

36. Некоторые приложения определённого интеграла

37. Некоторые приложения теории рядов

38. Нелинейное программирование.

39. Неопределенный и определенный интеграл в школьном курсе математики

40. Непрерывность и дифференцируемость функций двух переменных

41. Непрерывные и разрывные функции

42. Неравенство Коши

43. Несобственные интегралы

44. Неявные функции и их дифференцирование

45. Общая характеристика математики как науки

46. Определённый интеграл и его некоторые приложения

47. Определитель Вронского

48. Основная задача линейного программирования (ОЗЛП)

49. Особые решения дифференциальных уравнений

50. Особые точки

51. Открытые и замкнутые множества

52. Площадь поверхностей и поверхностные интегралы I рода.

53. Поверхностные интегралы

54. Поверхностные интегралы II рода.

55. Полный дифференциал. Линеаризация функций

56. Понятия математического анализа, изучаемые в школе

57. Предел – основное понятие математики

58. Предел – фундаментальное понятие математического анализа.

59. Приложения дифференциального исчисления функций нескольких переменных

60. Приложения кратных интегралов

61. Приложения определенного интеграла

62. Применение дифференциальных уравнений в авиации.

63. Применение дифференциальных уравнений для решения задач естествознания

64. Применение математики в науках

65. Применение определённого интеграла в геометрии и физике

66. Применение производной для решения задач повышенной трудности

67. Применение производной и интеграла в экономике

68. Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

69. Применение производных для решения задач повышенной трудности

70. Применение рядов к приближённым вычислениям

71. Принцип сжимающих отображений

72. Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона

73. Производная и ее применение при решении задач математики и других наук

74. Производная по направлению. Градиент.

75. Развитие понятия «функция»

76. Различные определения логарифма

77. Различные способы аналитического построения теории логарифмической функции

78. Различные способы построения теории показательной и логарифмической функции

79. Разные методы интегрирования.

80. Решение физических задач с помощью определенного интеграла

82. Ряды Фурье и их применение.

83. Системы дифференциальных уравнений

84. Содержание и значение математической символики

85. Степенные ряды и их приложения

86. Степенные ряды и особые точки аналитической функции

87. Теория пределов

88. Типы дифференциальных уравнений

89. Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений

90. Трансцендентные кривые.

91. Уравнение Эйлера

92. Уравнения в частных производных и их решение.

93. Условный экстремум функции двух переменных

94. Функция в природе и технике

95. Цепи Маркова

96. Численные методы

97. Числовые ряды

98. Экстремумы функции одной и нескольких переменных

99. Элементы линейного программирования

Примечание: с работами можно ознакомиться на кафедре математического анализа в 402 аудитории.

Курсовая работа На тему: «Построение решений дифференциальных уравнений с помощью рядов»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

На тему: «Построение решений дифференциальных уравнений с помощью рядов»

1. Дифференциальные уравнения высших порядков

1.1. Понятие о линейном дифференциальном уравнении n-го порядка

2. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов

2.1. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов.

2.2. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи обобщенных степенных рядов.

3. Частные случаи использования обобщенных степенных рядов при интегрирование дифференциальных уравнений.

3.1. Уравнение Бесселя.

3.2. Гипергеометрическое уравнение или уравнение Гаусса.

4. Применение метода интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи рядов на практике.

В общем случае нахождение точного решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка его интегрированием невозможно. Тем более это неосуществимо для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Это обстоятельство привело к созданию большого числа приближенных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Среди приближенных методов можно выделить три группы: аналитические, графические и численные. Разумеется, подобная классификация в известной мере условна. Например, графический метод ломаных Эйлера лежит в основе одного из способов численного решения дифференциального уравнения.

Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов является приближенным аналитическим методом, применяемым, как правило, к линейным уравнениям не ниже второго порядка.

Аналитические методы встречаются в курсе дифференциальных уравнений. Для уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, однородных, линейных и др.), а также для некоторых типов уравнений высших порядков (например, линейных с постоянными коэффициентами) удается получить решения в виде формул путем аналитических преобразований.

Целью работы является анализ одного из приближенных аналитических методов, такого как интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи рядов, и применение их при решении дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения высших порядков

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется соотношение вида

где F – известная функция своих аргументов, заданная в некоторой области;

x – независимая переменная;

y – функция переменной x, подлежащая определению;

y’, y”, …, y (n) – производные функции y.

При этом предполагается, что y (n) действительно входит в дифференциальное уравнение. Любой же из остальных аргументов функции F может в этом соотношении явно не участвовать.

Всякая функция, удовлетворяющая данному дифференциальному уравнению, называется его решением, или интегралом. Решить дифференциальное уравнение — это значит найти все его решения. Если для искомой функции y удается получить формулу, дающую все решения данного дифференциального уравнения и только их, то говорим, что нашли его общее решение, или общий интеграл.

Общее решение дифференциального уравнения n-го порядка содержит n произвольных постоянных с ₁ , с ₂ . c _n и имеет вид .

1.1. Понятие о линейном дифференциальном уравнении n-го порядка

Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно совокупности величин y, y’, …, y (n) . Таким образом, линейное дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид:

где – известные непрерывные функции от x.

Данное уравнение называется неоднородным линейным уравнением или уравнением с правой частью. Если же правая часть уравнения, , тождественно равна нулю, то линейное уравнение называется однородным дифференциальным линейным уравнением и имеет вид

В случае если n будет равно 2, то получим линейное уравнение II-го порядка, которое запишется как Как и линейное уравнение n-го порядка уравнение второго порядка может быть однородным ( ) и неоднородным.

Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов.

Решения обыкновенного дифференциального уравнения выше первого порядка с переменными коэффициентами не всегда выражаются через элементарные функции, и интегрирование такого уравнения редко приводится к квадратурам.

2.1. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов.

Наиболее распространенным приемом интегрирования указанных уравнений является представление искомого решения в виде степенного ряда. Рассмотрим уравнения второго порядка с переменными коэффициентами

Замечание1. Достаточно широкий класс функций можно представить в виде

где , — некоторые постоянные. Это выражение называют степенным рядом. Если его значения равны соответствующим значениям функции для любого x из интервала (х ₀ – Т; х ₀ + Т), то такой ряд называют сходящимся в этом интервале.

Предположим, что функции a(х), b(х) являются аналитическими функциями уравнения (2.1) на интервале (х ₀ – Т; х ₀ + Т), Т > 0, т.е. разлагаются в степенные ряды:

Имеет место следующая теорема (опуская доказательство, приведем лишь ее формулировку).

Теорема_1. Если функции a(х), b(х) имеют вид (2.2), то любое решение y(х) обыкновенного дифференциального уравнения (2.1) представимо в виде сходящегося при |x — x ₀ |

Эта теорема не только дает возможность представить решение в виде степенного ряда, но и, что самое главное, обосновывает сходимость ряда (2.3).

Алгоритм такого представления состоит в следующем. Для удобства положим в (2.2) и (2.3) x ₀ = 0 и будем искать решение обыкновенного дифференциального уравнения (2.1) в виде

Подставив (2.4) в (2.1), получим равенство

Для выполнения (2.5) необходимо, чтобы коэффициент при каждой степени x был равен нулю. Из этого условия получаем бесконечную систему линейных алгебраических уравнений

Из полученной бесконечной системы линейных алгебраических уравнений можно последовательно найти , , …, если задать значения и (в случае задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (2.1) можно ввести начальные условия = , = ).

Если функции а(х), b(х) являются рациональными, т.е. , b , где — многочлены, то в окрестностях точек, в которых или , решение в виде степенного ряда может не существовать, а если и существует, то может расходиться всюду, за исключением точки x = 0. Это обстоятельство было известно еще Л. Эйлеру, который рассмотрел уравнение первого порядка

Этому уравнению удовлетворяет степенной ряд

Нетрудно, однако, видеть, что этот ряд расходится при любом . Решение обыкновенного дифференциального уравнения в виде расходящегося степенного ряда называют формальным.

Одним из наиболее ярких и понятных примеров на применение данного способа интегрирования является уравнения Эйри или

Все решения этого уравнения являются целыми функциями от x. Тогда решение уравнения Эйри будем искать в форме степенного ряда (2.4). Тогда равенство (2.5) принимает вид

Приравняем нулю коэффициент при каждой степени x. Имеем

Коэффициент при нулевой степени x равен 2у ₂ . Следовательно, у ₂ = 0. Тогда из равенства нулю коэффициента находим = . Коэффициент при равен . Отсюда .

Из этой формулы получаем

Коэффициенты и остаются неопределенными. Для нахождения фундаментальной системы решений положим вначале = 1, = 0, а затем наоборот. В первом случае имеем

На основании теоремы_1 эти ряды являются сходящимися всюду на числовой прямой .

Функции и называют функциями Эйри. При больших значениях x асимптотическое поведение этих функций описывают следующие формулы и .

Графики этих функций изображены на рис. 2.1. Получаем, что при неограниченном увеличении x нули всякого решения уравнения Эйри неограниченно сближаются, что видно и из асимптотического представления этих решений, но совсем не очевидно из представления функций Эйри в виде сходящихся степенных рядов. Отсюда следует, что способ поиска решения обыкновенного дифференциального уравнения при помощи ряда, вообще говоря, малопригоден при решении прикладных задач, а само представление решения в виде ряда затрудняет анализ качественных свойств полученного решения.

2.2. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи обобщенных степенных рядов.

Итак, если в уравнении (2.1) функции а(х), b(х) рациональные, то точки, в которых или , называются особыми точками уравнения (2.1).

Для уравнения второго порядка

в котором а(х), b(х) — аналитические функции в промежутке |х – x ₀ | ₀ или b ₀ в разложении функций а(х) и b(х) в степенной ряд отличен от нуля. Это пример простейшей особой точки, так называемой регулярной особой точки (или особой точки первого рода).

В окрестности особой точки х = х ₀ решения в виде степенного ряда может не существовать, в этом случае решения надо искать в виде обобщенного степенного ряда:

где λ и , , , …, ( ) подлежат определению.

Теорема_2. Для того чтобы уравнение (2.6) имело в окрестности особой точки х = х ₀ хоть одно частное решение в виде обобщенного степенного ряда (2.7), достаточно, чтобы это уравнение имело вид

Суть сходящиеся степенные ряды, причем коэффициенты не равны нулю одновременно, ибо в противном случае точка х = х ₀ не особая точка и существует два линейно независимых решения, голоморфных в точке х = х ₀ . При этом, если ряды (2.7”), входящие в коэффициенты уравнения (2.7’) сходятся в области | х — х ₀ |

Рассмотрим уравнение (2.6) при х > 0. Подставив в это уравнение выражение (2.7) при х ₀ = 0, имеем

Приравнивая нулю коэффициенты при степенях х, получаем рекуррентную систему уравнений:

Так как , то λ должно удовлетворять уравнению

которое называется определяющим уравнением. Пусть – корни этого уравнения. Если разность не есть целое число, то ни при каком целом k > 0, а значит, указанным методом можно построить два линейно независимых решения уравнения (2.6):

Если же разность является целым числом, то указанным выше способом можно построить одно решение в виде обобщённого ряда . Зная это решение, с помощью формулы Лиувилля — Остроградского можно найти второе линейно независимое с решение:

Из этой же формулы вытекает, что решение можно искать в виде

(число А может оказаться равным нулю).

Частные случаи использования обобщенных степенных рядов при интегрирование дифференциальных уравнений.

3.1. Уравнение Бесселя.

Уравнению Бесселя является одним из важных в математике и ее приложениях дифференциальным уравнением. Решения уравнения Бесселя, составляющие его фундаментальную систему функций, не являются элементарными функциями. Но они разлагаются в степенные ряды, коэффициенты которых вычисляются довольно просто.

Рассмотрим уравнение Бесселя в общем виде:

К этому уравнению сводятся многие задачи математической физики.

Поскольку уравнение не изменяется при замене в нем x на –x, досточно рассмотреть неотрицательные значения x. Единственная особая точка x=0. Определяющее уравнение, соответствующее x=0, есть , . Если 0, то определяющее уравнение имеет два корня: и . Найдем решение данного уравнения в виде обобщенного степенного ряда

то, подставив у, у’ и у» в исходное уравнение, получим

Отсюда, сокращая на , имеем

Чтобы это равенство выполнялось тождественно, коэффициенты должны удовлетворять уравнениям

Найдем решение, соответствующее корню определяющего уравнения λ = n. Подставив в последние равенства λ = n, видим, что в качестве можно взять любое число, отличное от нуля, число = 0, а для k = 2, 3, . имеем

Отсюда при всех m = 0, 1, 2, … .

Таким образом, найдены все коэффициенты , а значит, решение уравнения (3.1) запишется в виде

называемую гамма-функцией Эйлера. Учитывая, что и что для целых , , а также выберем произвольную постоянную как то запишется в виде

называется функцией Бесселя первого рода n-го порядка.

Второе частное решение уравнения Бесселя, линейно независимое с ищем в виде

Уравнения для определения при имеют вид

По условию n не является целым числом, так что все коэффициенты с четными номерами однозначно выражаются через :

Полагая представим у ₂ (х) в виде

называется функцией Бесселя первого рода с отрицательным индексом.

Таким образом, если n не является целым числом, то все решения исходного уравнения Бесселя являются линейными комбинациями функции Бесселя и : .

3.2. Гипергеометрическое уравнение или уравнение Гаусса.

Гипергеометрическим уравнением (или уравнением Гаусса) называется уравнение вида

где α, β, γ — действительные числа.

Точки являются особыми точками уравнения. Обе они регулярные, так как в окрестности этих точек коэффициенты уравнения Гаусса, записанного в нормальной форме

можно представить в виде обобщенного степенного ряда.

Убедимся в этом для точки . Действительно, замечая, что

уравнение (3.2) можно записать в виде

Это уравнение является частным случаем уравнения

причем здесь , так что точка х=0 есть регулярная особая точка уравнения Гаусса.

Построим фундаментальную систему решений уравнения Гаусса в окрестности особой точки х=0.

Определяющее уравнение, соответствующее точке х=0, имеет вид

Его корни , причем их разность не является целым числом.

Поэтому в окрестностях особой точки х=0 можно построить фундаментальную систему решений в виде обобщенных степенных рядов

первый из которых соответствует нулевому корню определяющего уравнения и является обычным степенным рядом, так что решение голоморфно в окрестности особой точки х=0. Второе решение заведомо неголоморфно в точке х=0. Построим сначала частное решение, соответствующее нулевому корню определяющего уравнения.

Итак, будем искать частное решение уравнения (3.2) в виде

Подставим (3.3) в (3.2), получим

Приравнивая к нулю свободный член, получаем .

Пусть , тогда получаем .

Приравнивая нулю коэффициент при , найдем:

Следовательно, искомое частное решение имеет вид:

Ряд справа называется гипергеометрическим рядом, так как при α=1, β=γ он превращается в геометрическую прогрессию

Согласно теореме_2 ряд (3.4) сходится при |x|

Второе частное решение имеет вид:

Вместо того, чтобы находить методом неопределенных коэффициентов, сделаем в уравнении Гаусса замену искомой функции по формуле

Получим уравнение Гаусса

в котором роль параметров α, β и γ играют и .

Поэтому, построив частное решение этого уравнения, соответствующее нулевому корню определяющего уравнения и подставив его в (3.6), получим второе частное решение данного уравнения Гаусса в виде:

Общим решением уравнения Гаусса (3.2) будет:

Пользуясь построенной фундаментальной системой решений уравнения Гаусса в окрестности особой точки х=0, можно легко построить фундаментальную систему решений этого уравнения и в окрестности особой точки х=1, которая тоже является регулярной особой точкой.

С этой целью переведем интересующую нас особую точку х = 1 в точку t = 0 и вместе с ней особую точку x = 0 в точку t = 1 при помощи линейной замены независимой переменной x = 1 – t.

Выполняя эту подстановку в данном уравнении Гаусса, получим

Это — уравнение Гаусса с параметрами . Оно имеет в окрестности |t|

Возвращаясь к переменной х, т. е. полагая t = 1 – х, получим фундаментальную систему решений исходного уравнения Гаусса в окрестности точки | х – 1|

Общим решением уравнения Гаусса (3.2) в области будет

Применение метода интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи рядов на практике.

Пример_1. (№691) Вычислить несколько первых коэффициентов ряда (до коэффициента при х 4 включительно) с начальными условиями

Решение: Решение уравнения будем искать в виде

Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:

Представляя правую часть в виде степенного ряда и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях уравнения, получаем:

Так как по условию необходимо вычислить коэффициенты ряда до коэффициента при х 4 включительно, то достаточно вычислить коэффициенты .

Из начальных условий следует, что Теперь найдем остальные коэффициенты:

Следовательно, решение уравнения запишется в виде

Пример_2. (№696) Вычислить несколько первых коэффициентов ряда (до коэффициента при х 4 включительно) с начальными условиями

Решение: Решение уравнения будем искать в виде

Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:

Представляя правую часть в виде степенного ряда и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях уравнения, получаем:

Так как по условию необходимо вычислить коэффициенты ряда до коэффициента при х 4 включительно, то достаточно вычислить коэффициенты .

Из начальных условий следует, что и 2. Теперь найдем остальные коэффициенты:

Следовательно, решение уравнения запишется в виде

Пример_3. (№700) Найти линейно независимые решения в виде степенных рядов уравнения . По возможности сумму полученного ряда выразить с помощью элементарных функций.

Решение. Решение уравнения будем искать в виде ряда

Дважды продифференцировав этот ряд и подставив в данное уравнение, имеем

Выпишем несколько первых членов рядов в полученном уравнении:

Приравняв нулю коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений для определения :

Из этих уравнений находим

Положим , тогда отличными от нуля будут только коэффициенты . Получаем, что

Построено одно решение уравнения

Второе решение, линейно независимое с найденным, получим, предположив . Тогда отличными от нуля будут только коэффициенты :

Ряды, представляющие и , сходятся при любых значениях х и являются аналитическими функциями. Таким образом, все решения исходного уравнения — аналитические функции при всех значениях х. Все решения выражаются формулой , где С ₁ , С ₂ — произвольные постоянные:

Так как сумму полученного ряда легко выразить с помощью элементарных функций, то и запишется как:

Пример_4. (№711) Решить уравнение 2х 2 у» + (3х – 2х 2 )у’ – (х + 1)у = 0.

Решение. Точка х = 0 является регулярной особой точкой данного уравнения. Составляем определяющее уравнение: Его корни λ ₁ = 1/2 и λ ₂ = — 1. Решение исходного уравнения, соответствующее корню λ = λ ₁ ищем в виде

Подставив , , и в исходное уравнение, имеем

Отсюда, сократив на , получим

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, имеем уравнения для определения :

Положив y ₀ = 1, находим

Соответствующее корню λ = λ ₂ решение исходного уравнения ищем в виде

Подставив это выражение в исходное уравнение и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим или Положив y ₀ = 1, находим

Общее решение исходного уравнения запишем в виде , где и — произвольные постоянные.

Решение уравнения, содержащие неизвестные функции и их производные в степени выше первой или каким-либо более сложным образом, зачастую очень сложно.

В последние годы такие дифференциальные уравнения привлекают все большее внимание. Так как решения уравнений зачастую очень сложны и их трудно представить простыми формулами, значительная часть современной теории посвящена качественному анализу их поведения, т.е. разработке методов, позволяющих, не решая уравнения, сказать нечто существенное о характере решений в целом: например, что все они ограниченны, или имеют периодический характер, или определенным образом зависят от коэффициентов.

В ходе выполнения курсовой работы был проведен анализ метода интегрирования дифференциальных уравнений с помощью степенных и обобщенных степенных рядов.

Матвеев Н.В. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. 4-е, испр. и доп. Минск, “Вышэйш. школа”, 1974. – 768с. с ил.

Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. — 3-е изд, стереотип. -М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. — 352 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Т.3: Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного: Учеб. для вузов: В 3 т. / Я. С. Бугров, С. М. Никольский; Под ред. В. А. Садовничего. — 6-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2004. —— 512с.: ил.

Самолейнко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. Учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. – М.: Высш. шк., 1989. – 383 с.: ил.

Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Учеб. пособие для вузов. – М.: Физматизд, 1961. – 100 с.: ил.

Список предлагаемых тем курсовых и дипломных работ

В настоящее время на кафедре геометрии ведутся исследования по изучению различных структур на гладких многообразиях методами дифференциальной геометрии и топологии. Это структуры, определяемые алгебрами комплексных и гиперкомплексных чисел в неевклидовых и обобщенных пространствах, в том числе бесконечномерных. Активно изучаются структуры, возникающие на расслоенных пространствах и слоениях. Эти исследования стимулируются запросами как самой геометрии, так и анализа, теории дифференциальных уравнений, аналитической механики, теории физических полей. Большое внимание уделяется также вопросам истории математики, особенно в связи с исследованием и популяризацией творческого наследия Н.И.Лобачевского.

Научные руководители: проф. Шурыгин В.В., доц. Шурыгин В.В.

Темы курсовых работ:

1. Аффинные преобразования на евклидовой плоскости.

2. Кватернионы и их применение в геометрии.

3. Огибающие семейств кривых и поверхностей.

4. Фундаментальная группа топологического пространства.

5. Геометрия трехмерной сферы.

6. Функции на плоских кривых.

7. Модель Пуанкаре плоскости Лобачевского.

8. Псевдоевклидово пространство. Геометрия Лобачевского на сфере псевдоевклидова пространства.

9. Проективные преобразования на евклидовой плоскости/

В случае обращения студентов с просьбой о предоставлении темы выпускной работы, тема будет предложена после собеседования.

Научный руководитель Иваньшин П.Н.

Темы курсовых работ:

1.Приближение компакта шаром.
​2.Условная аппроксимация и деформация контуров. Оптимальное приближение контура фиксированной кривой.
3.Минимальные деформации поверхностей. Решения задачи расщепления в различных нормах

Научный руководитель Попов А.А.

Темы выпускных работ:

1.Статические сферически симметричные решения 4D теории Эйнштейна-анти-Максвелла-дилатона.

Темы курсовых работ:

1.Нетривиальные вакуумные решения шестимерной R^2 гравитации