Тензорный анализ и интегральные уравнения

Введение в тензорный анализ

ВВЕДЕНИЕ В ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ

Для студентов 2-5 курсов.

Расписание на весенний семестр 2014: курс читается по средам 18-30, ауд. 432

В настоящее время без понятия тензор немыслимо освоение основ механики. Например, для описания состояния деформируемого элемента сплошной среды векторный аппарат оказывается недостаточным. Равновесие и кинематика элемента сплошной среды определяются соответственно тензором напряжений и тензором скоростей. В связи с этим уравнения динамики сплошной среды также носят тензорный характер. Многомерная дифференциальная геометрия, описывающая внутренние свойства многообразия, это геометрия тензоров. Все физические поля, форминвариантные относительно преобразования Лоренца, имеют кватернионную природу. Кватернионы изоморфны матрицам. Следовательно, уравнениям электродинамики и гравитодинамики можно придать матричную форму аналогичную тензорной.

Рассмотрено возникновение понятия тензор в механике твёрдого тела, линейной теории упругости, гидроаэромеханике, дифференциальной геометрии поверхностей, теории поля, общей теории относительности.

Систематическое использование диад, триад и т.д. для представления тензоров делает тензорный анализ аналогичным векторному анализу, а индексный формализм тензорного анализа естественным для восприятия.

Тема 1. Одновалентные и многовалентные тензоры:

тензор упругих напряжений;

тензор инерции твёрдого тела;

Тема 2. Тензорные поля:

производная по направлению;

поток вектора через поверхность;

расхождение вектора; теорема Гаусса;

циркуляция вектора вдоль контура;

вихрь вектора; теорема Стокса.

Тема 3. Оператор Гамильтона:

тензор скоростей деформаций;

система уравнений гидромеханики;

применение к теории упругости;

применение к теории электромагнитного поля.

Тема 4. Криволинейные координаты:

исходный и взаимный базисы;

ковариантные и контравариантные преобразования тензора;

ковариантное и контравариантное дифференцирование тензора;

оператор набла в ортогональных криволинейных координатах.

Тема 5. Неевклидовы геометрии:

внутренняя геометрия поверхностей, первая фундаментальная квадратичная форма;

тензор Римана-Кристоффеля и гауссова кривизна.

Тема 6. Геометрия поверхностей:

геометрия кривых, формулы Серре-Френе;

вторая и третья фундаментальные квадратичные формы поверхности;

кривые на поверхности;

параллельные векторные поля;

теоремы Гаусса и Боне.

Тема 7 Элементы общей теории относительности:

Основная литература.

1. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. АН СССР: Изд-во «НАУКА», М. 1965.
2. Мак-Коннел А.Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике.: Гос. изд-во физ-мат. лит-ры, М. 1963.
3. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. : Изд-во «НАУКА» Главная ред. Физ-мат лит-ры, М. 1967.
4. Сокольников И.С. Тензорный анализ. : Изд-во «НАУКА» Главная ред. физ-мат лит-ры, М. 1971.
5. Коренев Г.В. Тензорное исчисление. М.: Изд-во МФТИ. 1996.

Дополнительная литература.

1. Валландер С.В. Лекции по гидромеханике. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2005.
2. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. : ФИЗМАТЛИТ, М. 2001.
3. Кильчевский Н.А. Элементы тензорного исчисления и его приложения к механике.: Гос. изд-во технико-теор. лит-ры, М. 1954.
4. Ламб Г. Гидродинамика.: ОГИЗ, Гос.изд-во технико-теор. лит-ры, М.Л.1947.
5. Лурье А.И. Теория упругости.: Изд-во «НАУКА», Главная ред. физ-мат лит-ры, М. 1970.
6. Стрэттон Дж.А. Теория электромагнетизма.: ОГИЗ, Гос. изд-во технико-теор. лит-ры, М.Л. 1948.
7. Шефер Клеменс. Теоретическая физика. Механика сплошных сред.: Объединённое научно-техн. изд-во НКТП СССР. Главн. ред. общетехн. лит-ры и номографии М.Л.1936.

Новый взгляд на методы расчета электрических цепей или введение в тензорный анализ сетей

Метод контурных токов был хорошо описан в статье, метод узловых потенциалов был рассмотрен в статье. Однако приведенные статьи скорее повторяют «старые» учебники ТОЭ, чем дают какую-либо новую информацию.

Вообще говоря, существующее изложение методов расчета электрических цепей (в том числе и метода узловых потенциалов), приведенное в учебниках ТОЭ, на мой взгляд достаточно скучно и скорее оттолкнет «интересующегося» читателя от изучения этих прекрасных методов, нежели позволит раскрыть их истинную красоту (но повторюсь — это мое личное мнение).

В данной публикации я бы хотел показать подход к этим методам (на примере контурных токов) с другой стороны. Сразу скажу, что я не открою здесь ничего нового: подход, который будет изложен ниже, в некоторой степени описан в замечательных книгах 1.

Основная идея подхода (не самого метода) основана на идее замечательного венгерского инженера физика математика Габриэля Крона о тензорной природе электрических цепей. Отмечу, что целью статьи является не введение в тензорную алгебру и прочие дебри, а как раз наоборот — показать простоту и красоту идей тензорного подхода.

Идеи Г. Крона, изложенные в [4], несмотря на их простоту, до сих пор остаются непонятными для обывателя. Отсутствие понимания, очевидно, связано со своеобразным (нетрадиционным) изложением автором своих идей.

Суть тензорного подхода

Не вдаваясь в тензорную алгебру, основная идея «тензорного» подхода Г. Крона заключается в том, что тензор, как физический или геометрический объект (именно как физический или геометрический, а не математический), не должен зависеть от системы координат, в которой он рассматривается (как например, не зависит от системы координат объем обычной кружки и собственно сама кружка)… Да, да – оказывается, всё так просто (оказывается, что тензор – это кружка… ☺). Конечно, это шутка, но на этом шуточном примере я хотел объяснить тензор тем, кто пока ещё с ним не знаком, но хочет понять, что это за зверь. Если посерьёзней, то под тензором я понимаю объект, полностью описываемый некоторым множеством чисел (в том числе комплексных и гиперкомплексных), изменяющихся при изменении системы координат по некоторому закону, но при этом не изменяющийся сам по себе.

Давайте разберем идею тензорного подхода на примере метода контурных токов.

Метод контурных токов (МКТ)

Как отмечалось в статье, МКТ основан на II законе Кирхгофа и законе Ома. Сам МКТ можно вывести в несколько простых этапов:

1) В соответствии со II-м законом Кирхгофа выбираются контуры и составляются уравнения (напряжения ветвей Ub выражаются через напряжения контуров Uc):

N·Ub = Uc, (1)

где N – матрица соединения ветвей в контуры (строки – образуют контуры, столбцы – ветви), в литературе называется второй матрицей инциденций (а какое название больше нравится вам?).

Примечание: как правило, если нет особых ветвей, то Uc = 0.

2) Записывается закон Ома для всех ветвей схемы:

Zbb·Ib = Eb + Ub, (2)

откуда выражаются напряжения ветвей схемы:

Ub = Zbb·Ib − Eb. (3)

3) Токи ветвей выражаются через токи контуров

Ib = Nt·Iс. (4)

4) Далее закон Ома (для ветвей) преобразуется к контурному виду (). Для этого (4) подставляется в уравнение (3), умноженное на N. Получается закон Ома в контурном виде:

Zcc·Ic = Ec + Uc, (5)

где Zcc = N·Zbb·Nt – матрица контурных сопротивлений;

Ec = N·Eb – вектор контурных ЭДС.

5) Далее вычисляются контурные токи

Iс = Zсс -1 ·(Ec + Uc) (6)

6) И определяются токи ветвей схемы по формуле (4):

Ib = Nt·Iс

Давайте сравним (5) и (2). Да, да… ваши глаза вас не обманывают – форма уравнений одинакова (или, как говорят, инвариантна), т.е. формула (5) – это тот же закон Ома, только записанный не для ветвей («b«), а для контуров («с«) (как для новой системы координат). Ммм… все это наталкивает на мысль о тензорной природе электрических сетей (естественно, наталкивает тех, кто знаком с тензорами, хотя мы все в той или иной мере с ними знакомы: помните кружка – тоже тензор). Остается только удивляться, как этот простой факт не был замечен ранее. Более того, как показано в [4], электрические величины, рассматриваемые в электрической цепи (I, U, Z, S) являются тензорами, а раз так однажды составленное уравнение для одной системы координат можно записать для любой другой системы (естественно, в которой решение определяется гораздо проще, например для системы симметричных координат, несимметричных координат, координат d, q, 0 и пр.), найти решение стандартным способом и выполнить обратное преобразование (думаю метод симметричных составляющих откроется кому то с новой стороны). Вся сложность заключается в установлении этого закона преобразования. В этом и заключается основная идея тензорного подхода.

Замечание 1: На самом деле, хоть форма уравнений (5) и (2) получилась одинаковой, преобразование (2) в (5) является не полным в том смысле, что число уравнений в (2) равно числу ветвей Nb, а число уравнений в (5) равно числу контуров Nс = Nb − (Nу − 1) Метки: Тензорный анализТОЭ

5 комментариев для “Новый взгляд на методы расчета электрических цепей или введение в тензорный анализ сетей”

Добрый день.
Есть ли практический эффект от применения тензоров при расчетах схем?
Под практическим эффектом понимаю преимущество (хотя бы одно) при выполнении расчетов — снижение порядка матриц, уменьшение объема вычислений, упрощение мат.аппарата, снятие каких-либо принципиальных ограничений и т.п.
Когда-то меня тоже заинтересовала эта теория, знакомился с трудами Крона, Хэппа, Шакирова…
и сложилось впечатление, что практической пользы нет — только «математическая красота». А «математическая красота» — такая штука, что не каждому дано ее увидеть.

Спасибо за вопрос Алексей! Я тоже когда то задавался этим вопросом и для себя понял так: если говорить о вычислительных преимуществах перед матричным аппаратом, то естественно тензоры не дадут никакого преимущества, ведь с вычислительной точки зрения тензоры — это те же таблицы чисел (т.е. те же матрицы). Однако если говорить об упрощении мат. аппарата — то тензоры на мой взгляд как раз для этого и создавались (это их основное предназначение если хотите). Например, когда мы решаем схему методом узловых напряжений в фазных координатах или симметричных координатах — нет никакой разницы запишем мы уравнения в тензорном или матричном виде. Но в каких координатах проще считать: вручную естественно проще в симметричных, на ПК — вопрос спорный (обычно в современных ПВК считают в фазных). И если говорить о симметричных координатах, то они, как известно, были созданы для упрощения (по крайней мере аналитического). Подводя итог я бы сказал так тензорный аппарат говорит нам: «чувак раз форма уравнений в любых координатах одинакова выбери ту в которой решение будет проще».
Если же говорить о диакоптике, то тут совсем другая песня. Здесь без тензорного подхода составить матричные уравнения было бы достаточно сложно (для этого нужно было выделить цепь пересечений, в соответствии с тем как разделяется схема на части, найти и записать матрицы контуров, связывающие цепь пересечений с уже найденными узловыми напряжениями, в общем я бы сказал занятие не для ленивых). Кстати касательно уменьшения порядка матриц — здесь тоже порядок уменьшает не сам тензор, а «разделение» на части (диакоптика). Но как автоматизировать это разделение или как получить матрицу контуров для цепи пересечений без её выделения вручную может дать понять (именно понять, а не составить) только и только тензорный аппарат. На это обращал внимание Крон в книге Диакоптика на стр. 71 «Различие между анализом и решением», но опять же таким языком, который вряд ли будет понятен широкому кругу читателей. Я бы сказал так — Крона надо читать меду строк или как писал мой научный руководитель Щедрин В.А. с карандашом и бумагой.

Кстати говоря о книге Хэппа — я бы сказал это хорошая книжка, для начинающего (но только в начале), а о книге Шакирова — через чур весёлая ☺. Но, к сожалению, ни в одной из этих книжек не написано, что метод диакоптики основан на старом добром методе наложения (хотя может я читал невнимательно ☺, если что прошу понять и простить ☺).

Спасибо за ответ!
выделю время — сделаю еще подход к теории, а пока буду ждать продолжения темы)
в общем, ситуация с тензорами примерно такая:
имеет сложную систему, требующую решения. Как ее можно решить, мы знаем. Знаем,что в процессе решения можем наткнуться на подводные камни, но как их обойти — тоже знаем. Решать будем долго, но известными способами и с гарантированным результатом.
А можем решить с помощью тензоров. Берешь систему, преобразуешь ее в другую систему координат (с помощью тензора(-ов)) и в новой системе координат получаешь красивое решение. Но есть нюанс:новая система координат нам неизвестна, тензора нет, как его получить в общем случае не знаем.

Переход к новой системе координат выполняется через матрицу преобразования (или тензор преобразования), которой действительно первоначально нет. Но сама задача или система может подсказать как эту матрицу найти. Например, если в фазных координатах матрица сопротивление симметрична или кососимметрична, то её собственные значения будут Z0, Z1, Z2, а собственные вектора будут образовать матрицу Фортескью (хотя можно построить и другие собственные вектора) , т.е. как раз ту матрицу преобразования, которая переведёт симметричную матрицу в диагональную для которой определение обратной матрицы тривиально. Если же матрица полностью не симметрична, то тут даже симметричные координаты не помогут и нужно рассматривать какие то другие. Кстати не надо думать, что раз матрицы преобразования нет, то и тензора нет. Ток, напряжение и сопротивления это тоже тензорный величины, но чтобы понять, что они тензорные как раз и нужна матрица преобразования. В случае диакоптики матрицей преобразования является матрица замкнутых и разомкнутых контуров С или дуальная ей матрица замкнутых и разомкнутых сечений ( на счёт разомкнутых сечений имеются ввиду разомкнутые контура для дуальной схемы) А, а собственных чисел как таковых нет есть контурные матрицы сопротивления замкнутых и разомкнутых контуров или узловые матрицы проводимостей для замкнутых и разомкнутых сечений.

Добавить комментарий Отменить ответ

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.